Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I - 3a Prova

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B
MAT 2453 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia I
1o semestre de 2006 - 3a PROVA - 27/06/2006
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Questa˜o 1. Calcule as seguintes integrais:
(1,0) (a)
∫
x2cos(2x) dx (1,5) (b)
∫
3
√
3
√
9 + x2
x4
dx
(a)Usaremos integrac¸a˜o por partes. Seja u = x2 e dv = cos(2x)dx. Enta˜o du = 2xdx e
v =
1
2
sen(2x). Assim:∫
x2cos(2x) dx =
1
2
x2sen(2x)−
∫ 1
2
sen(2x)2xdx =
1
2
x2sen(2x)−
∫
xsen(2x)dx.
Vamos agora calcular
∫
xsen(2x)dx. Para isso, usamos novamente integrac¸a˜o por partes, desta vez
com u = x e dv = sen(2x)dx. Temos enta˜o que du = dx e v = −1
2
cos(2x) e∫
xsen(2x)dx = −1
2
xcos(2x)−
∫
−1
2
cos(2x)dx = −1
2
xcos(2x) +
1
4
sen(2x) + C,C ∈ IR.
Logo: ∫
x2cos(2x) dx =
1
2
x2sen(2x) +
1
2
xcos(2x)− 1
4
sen(2x) + C,C ∈ IR.
(b) Vamos primeiro calcular
∫ √9 + x2
x4
dx. Para isso usamos a substituic¸a˜o trigonome´trica x = 3tgθ,
com −pi
2
< θ < pi
2
. Enta˜o dx = 3sec2θdθ.∫ √9 + x2
x4
dx =
∫ 9sec3θ
81tg4θ
dθ =
1
9
∫ cosθ
sen4θ
dθ = − 1
27
sen−3θ + C,C ∈ IR.
Para voltar para a varia´vel x, vemos no triaˆngulo abaixo, que senθ =
x√
9 + x2
.
Portanto: ∫ √9 + x2
x4
dx = − 1
27
(9 + x2)
3
2
x3
+ C,C ∈ IR.
Logo, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo , temos que∫
3
√
3
√
9 + x2
x4
dx = − 1
27

(9 + 32) 32
33
− (9 + (
√
3)2)
3
2
(
√
3)3

 .
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Questa˜o 2. Calcule as seguintes integrais:
(1,0) a)
∫ sen 3(√x)√
x
dx = 2
∫
sen 3(
√
x)
1
2
√
x
dx = 2
∫
sen 3(u) du = 2
∫
sen 2(u)sen (u) du=
↓
u =
√
x du =
1
2
√
x
dx
= 2
∫
(1− cos 2(u))sen (u) du = −2
∫
(1− v2) dv = −2v + 2v
3
3
+ k = −2cos u+ 2cos
3(u)
3
+ k=
↓
v = cos (u) dv = −sen (u) du
= −2cos (√x) + 2cos
3(
√
x)
3
+K, K ∈ IR.
(1,5) a)
∫ ln (x2 + 9)
(x− 1)2 dx = −
ln (x2 + 9)
x− 1 +
∫ 2x
(x− 1)(x2 + 9) dx=
↓
u = ln (x2 + 9) du =
2x
x2 + 9
dv =
1
(x− 1)2 dx v = −
1
x− 1
= − ln (x
2 + 9)
x− 1 +
∫ [ A
x− 1 +
Bx+ C
x2 + 9
]
dx = − ln (x
2 + 9)
x− 1 +
∫ [ 1
5
x− 1 +
−1
5
x+ 9
5
x2 + 9
]
dx=
↓
2x
(x− 1)(x2 + 9) =
A
x− 1 +
Bx+ C
x2 + 9
=
(A+B)x2 + (−B + C)x+ (9A− C)
(x− 1)(x2 + 9)

A+B = 0
−B + C = 2
9A− C = 0
⇒


A = 1/5
B = −1/5
C = 9/5
= − ln (x
2 + 9)
x− 1 +
1
5
∫ 1
x− 1 dx−
1
5
∫ x
x2 + 9
dx+
9
5
∫ 1
x2 + 9
dx=
= − ln (x
2 + 9)
x− 1 +
1
5
ln |x− 1| − 1
10
ln (x2 + 9) +
3
5
arctg
(
x
3
)
+K, K ∈ IR.
B
Questa˜o 3. Seja F : [1,+∞[→ IR dada por
F (x) =
∫
x
1
√
t3 − 1 dt.
(1,0)(a) Calcule o comprimento do gra´fico de F entre x = 1 e x = 4.
(1,5)(b) Calcule
lim
x→3
F (x2)− F (9)
sen(x− 3) .
(a) Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, temos que F ′(x) =
√
x3 − 1. Logo, o compri-
mento L do gra´fico de F entre x = 1 e x = 4 e´
L =
∫
4
1
√
1 + (F ′(x))2 dx =
∫
4
1
x
3
2dx = 2
x
5
2
5
∣∣∣∣∣∣
4
1
=
2
5
[
25 − 1
]
=
62
5
.
(b) Observe que
d
dx
F (x2) =
d
dx
∫
x
2
1
√
t3 − 1 dt =
√
(x2)3 − 1 · 2x = 2x
√
x6 − 1.
Portanto, pela Regra de L’Hospital, temos
lim
x→3
F (x2)− F (9)
sen(x− 3) = limx→3
2x
√
x6 − 1
cos(x− 3) = 6
√
36 − 1.
B
Questa˜o 4. (2,5) Seja R a regia˜o do plano delimitada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 e por sua
reta tangente em x = 1. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o de R em torno da reta y = 2.
-4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
Como f ′(x) = 3x2, temos que f ′(1) = 3 e a equac¸a˜o da
reta tangente ao gra´fico de f em x = 1 e´ y − 1 = 3(x− 1), ou , y = 3x− 2. A intersecc¸a˜o do gra´fico
de f com a reta y = 3x − 2 ocorre em nos pontos (1, 1) (e´ claro!) e em (−2,−8) ( encontre esse
ponto!). A regia˜o R e´ enta˜o
R = {(x, y) ∈ IR2| − 2 ≤ x ≤ 1, 3x− 2 ≤ y ≤ x3}.
Quando a regia˜o R gira em torno da reta y = 2, obtemos um so´lido cujas secc¸o˜es transversais por
planos ortogonais ao eixo x e passando por x sa˜o arruelas com o raio menor igual a 2 − x3 e raio
maior igual a 2− (3x− 2). Logo o volume do so´lido e´:
∫
1
−2
pi
[
(4− 3x)2 − (2− x3)2
]
dx.
Agora e´ so´ calcular essa integral!∫ [
(4− 3x)2 − (2− x3)2
]
dx =∫ [
(16− 24x+ 9x2)− (4− 4x3 + x6)
]
dx = 12x − 24x
2
2
+ 9
x3
3
+ 4
x4
4
− x
7
7
+ C,C ∈ IR. Portanto o
volume pedido e´:
∫
1
−2
pi
[
(4− 3x)2 − (2− x3)2
]
dx = pi
(
12x− 24x
2
2
+ 9
x3
3
+ 4
x4
4
− x
7
7
)∣∣∣∣∣
1
−2
=
pi
(
12− 24
2
+ 9
1
3
+ 4
1
4
− 1
7
)
− pi
[
12(−2)− 24(−2)
2
2
+ 9
(−2)3
3
+ 4
(−2)4
4
− (−2)
7
7
]
=
459
7
pi.