Cálculo Diferencial E Integral (44)

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Gabarito da Terceira Prova
MAT-2453 - Tipos A e B
22 de Junho de 2011
-A-
Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) (1,0 ponto) J x arcsen(5x2)dx
b) (1,5 ponto) J
1
dx
x4YX2 + 9
Gl) f X ~Wr\ (51-2) d-x.., ~ i!; ClJ1Lsun l5t1 -/ 2
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d"t = 3)tC~ de ~~+q 1 = ~ \)Lc-e\:: 5 fiLe
-B-
Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) (1,0 ponto) J xarcsen(3x2)dx
b) (1,5 ponto) J V
1
dx
x4 x2 + 4
i3- PJll$,VY\.\~'X-2)-
S
31v1- dx.-
2- ~~C1:t
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Questa˜o 3.(turma A)
a) (1,5) Calcule o comprimento de y(x) = ln(1− x2) para x ∈ [0, 1
2
].
b) (1,0) Seja G(x) =
∫
x
0
(t
∫
t
0
eu
2
du)dt. Calcule G′(x) e G′′(x).
Soluc¸a˜o:
a) L =
∫ 1
2
0
√
1 + (y′(x))2 dx =
∫ 1
2
0
√
1 + (
−2x
1− x2
)2 dx =
∫ 1
2
0
1 + x2
1− x2
dx
=
∫ 1
2
0
(
−1 +
2
1− x2
)
dx = −
∫ 1
2
0
dx+ 2
∫ 1
2
0
1
(1− x)(1 + x)
dx
= (−x)
1/2
0
+
∫ 1
2
0
1
1− x
dx+
∫ 1
2
0
1
1 + x
dx
= −
1
2
− ln(|1− x|)
1/2
0
+ ln(|1 + x|)
1/2
0
= −
1
2
+ ln(3)
b)G′(x) = x
∫
x
0
eu
2
du & G′′(x) =
∫
x
0
eu
2
du+ xex
2
Questa˜o 3.(turma B)
a) (1,5) Calcule o comprimento de y(x) = ln(1− x2) para x ∈ [0, 1
3
].
b) (1,0) Seja G(x) =
∫
x
0
(t
∫
t
0
sin(u2)du)dt. Calcule G′(x) e G′′(x).
Soluc¸a˜o:
a) L =
∫ 1
3
0
√
1 + (y′(x))2 dx =
∫ 1
3
0
√
1 + (
−2x
1− x2
)2 dx =
∫ 1
3
0
1 + x2
1− x2
dx
=
∫ 1
3
0
(
−1 +
2
1− x2
)
dx = −
∫ 1
3
0
dx+ 2
∫ 1
3
0
1
(1− x)(1 + x)
dx
= (−x)
1/3
0
+
∫ 1
3
0
1
1− x
dx+
∫ 1
3
0
1
1 + x
dx
= −
1
3
− ln(|1− x|)
1/3
0
+ ln(|1 + x|)
1/3
0
= −
1
3
+ ln(2)
b)G′(x) = x
∫
x
0
sin(u2)du & G′′(x) =
∫
x
0
sin(u2)du+ x sin(x2)
1
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-B-
Questão 4. Seja f(x) = ln(3x + 1), com x > -i.
a) (1,0 ponto) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto Xo = O.
b) (1,5 ponto) Usando o item (a), calcule um valor aproximado para In(1,03) e para ln(0,97).
Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10-6.
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Questão 4. Seja f(x) = In(2x + 1), com x > -!.
-A.
a) (1,0 ponto) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto Xo = o.
b) (1,5 ponto) Usando o item (a), calcule um valor aproximado para ln(1,02) e para In(0,98).
Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10-7.
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