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LISTA DE EXERCÍCIOS -SUBESPAÇOS VETORIAIS E DEPENDÊNCIA LINEAR- 1) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: • Escreva três elementos de �; • Reescreva �, apresentando o vetor genérico do item a até o item d; • Verifique se � é subespaço vetorial de �. a) � � ���, � � , � – 2��, � � � ; b) � � ���, � � ; � – 2� � 1�, � � � ; c) � � ���, , �, �� � ��; � � � � � 2��, � � ��; d) � � ���, , �� � ��; � – 2 – 4� � 6�, � � �� ; e) � é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem � � �, para � � 2, 3, 4, … ; � � !�� � � ; f) � � ���, � ; � 0�, � � � ; g) � � #$0 %& 0' ; %, & � �( , � � !�2 � 2 ; h) � � )�%, %, . . . , %� � �+; % � � ,, � � �+; i) � � ��%, 2%, 3% ; % � ��, � � ��; 2) Seja - o conjunto de todas as funções . tais que .�0 � 1 no espaço vetorial / de todas as funções de � em �, ou seja, / = � .: � 1 � � � - � � . � /; .�0 � 1 �. - é subespaço vetorial de /? 3) Considere os vetores 23 � �1, 3 , 24 � �0, 0 , 25 � �– 1, 2 e 26 � �1, 0 . a) Obtenha o vetor 73 � 323 – 226; b) O vetor 74 � �– 3, – 4 pode ser obtido a partir dos vetores 23, e 25? Se sim, escreva a correspondente combinação linear, se não, diga por que; c) Obtenha o mesmo vetor 74 como combinação linear dos vetores 23 e 26; d) O vetor 74 pode também ser obtido como combinação linear de v1 e v2? Por quê? e) E se usamos os vetores 23, 24 e v3, podemos obter 74? f) O vetor 24, vetor nulo, traz alguma colaboração para a formação de novos vetores? Justifique. g) Que combinação linear de vetores não nulos, resulta no vetor nulo? Dê um exemplo usando os vetores dados no exercício a). 4) Para cada caso abaixo, escreva se os vetores são li ou ld. Para os casos de dois ou mais vetores, quando sua resposta for ld, justifique escrevendo um dos vetores como combinação linear dos outros. a) u = (0, 0, 0); b) v = (1, – 2, 0); c) w1 = (2, 3), w2 = (1, 4) e w3 = (0, 1); d) p1 = (2, 4, 1), p2 = (– 1, 3, 6); e) q1 = (1, 0, – 1), q2 = (– ½ , 0, ½). 5) 8 � 91 02 1: é uma combinação linear de 8; � 9 1 1 0 2:, 8 � 9 2 2 <1 1: e 8� � 9 1 <1 0 3 :? 6) É possível escrever uma das matrizes de #91 11 2: , 9 <1 1 1 2: , 9 0 3 1 2: , 9 2 6 4 6:( como combinação linear das demais? 7) Para que valores de c os vetores (1, 0, 1), (2, 1, 2) e ( – 1, – 1, c) são ld? 8) Verifique em cada item: se os vetores geram R2 e se são li ou ld. a) (0, 0), (1, 1), (– 2, 2); b) (1, 3), (1, 1), (– 1, 2); c) (1, 3), (2, 6); d) (1, 3), (– 1, 1). 9) Verifique em cada item: se os vetores geram R3 e se são li ou ld. a) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1); b) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1), (1, 1, 0); c) (1, 2, – 1), (6, 3, 0), (4, – 1, 2), (2, – 5, 4); d) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1); 10) Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3: a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4) b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1) c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13) 11) Considere o subespaço de R4 S = [(1, 2, – 2, 4), (1, 1, – 1, 2), (1, 4, – 4, 8)]. a) o vetor (2/3, 1, – 1, 2) ∈ S ? b) o vetor (0, 0, 1, 1) ∈ S? 12) Seja = � �1, 2, 3 . a) Seja > � �2 ∈ ��; =. 2 � 0 �. Mostre que H é um subespaçco de R3. b) Ache dois vetores l.i. em >. Chame-os 73 e 74. c) Calcule 7 � 73 � 74 (produto vetorial). d) Mostre que = e 7 são l.d. e) Dê uma interpretação geométrica de (a) e (c) e explique por que (d) é verdadeiro. 13) Mostre que as matrizes 91 10 0:, 9 0 0 1 1:, 9 1 0 0 1: e 9 0 1 1 1: formam uma base para o espaço !�2 � 2 . 14) Quais dos conjuntos de vetores a seguir são bases para o R3? Dê uma "boa olhada" antes de escrever, veja quais conjuntos têm chance de ser base quais não têm. Justifique suas respostas. a) {(1, 3, 0), (– 2, 1, 5)}; b) {(– 1, 3, 2), (1, 0, 2), (– 1, 6, 6)}; c) {(3, 2, 2), (– 1, 2, 1), (0, 1, 0)}; d) {(1, 1, – 1), (0, 0, 0), (4, 1, – 1)}; e) {(1, 0, 0), (0, 2, – 1), (0, 1, 0), (3, 4, 1)}.
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