Um curso de Geometria Descritiva

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Um Curso De Geometria Descritiva
Alex Laier Bordignon, Carlos Claudio Arlindo Pessanha e Ivan Silva de Onofre
8 de Novembro de 2012
ii
Conteu´do
1 O ponto, a reta e o plano 1
1.1 Aula 01 - O estudo do ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Materiais de Desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Construc¸o˜es Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Projec¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 O sistema Mongeano de projec¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 O Estudo do Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Construc¸o˜es Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Aula 02 - O estudo da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 O Estudo da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Classificac¸a˜o, definic¸o˜es e propriedades das retas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3 Posic¸o˜es relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Aula 03 - O estudo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1 O estudo descritivo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.3 Pertineˆncia de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.4 Retas principais de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.5 Determinac¸a˜o dos trac¸os de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.6 Classificac¸a˜o dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4 Aula 04 - Posic¸o˜es relativas entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.4.1 Posic¸o˜es relativas entre retas e planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Os me´todos descritivos 71
2.1 Aula 01 - Os me´todos descritivos: rotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.1 Os me´todos descritivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.2 O me´todo das rotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.3 Rotac¸a˜o aplicada ao ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.5 Rotac¸a˜o aplicada a´ reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.6 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.7 Rotac¸a˜o aplicada os planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.8 Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Aula 02 - O me´todo da mudanc¸a de plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.1 O me´todo das mudanc¸as de plano de projec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.2 Mudanc¸a de plano aplicada ao ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.3 Mudanc¸a de plano aplicada a` reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
iii
iv CONTEU´DO
2.2.5 Dupla mudanc¸a de plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.6 Mudanc¸a de plano aplicada aos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.7 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Aula 03 - O me´todo do rebatimento - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.1 O me´todo dos rebatimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.2 Rebatimento aplicado ao ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3.3 Rebatimento aplicado a` reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3.4 Rebatimento aplicado aos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.5 Rebatimento de planos projetantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.6 Rebatimento do Plano de topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.7 Rebatimento do Plano vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4 Aula 04 - O me´todo do rebatimento - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4.1 Rebatimento do Plano de perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4.2 Rebatimento de planos na˜o projetantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.3 Plano qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.4 Plano paralelo a` linha de terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5 Aula 05 - O me´todo do rebatimento - parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.5.1 Plano que passa pela linha de terra e por um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.5.2 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3 Os poliedros 133
3.1 Aula 01 - Poliedros parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.1 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.2 Poliedros Irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2 Aula 02 - Poliedros parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.2.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 Aula 03 - Poliedros parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.1 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.2 Tetraedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.3 Hexaedro Regular ou cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3.4 Octaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.5 Dodecaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.6 Icosaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.4 Aula 04 - Sec¸o˜es a poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.1 Sec¸o˜es planas a poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.5 Construc¸o˜es Geome´tricas Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.1 Construc¸a˜o do triaˆngulo, conhecidos seus lados l1, l2 e l3 . . . . . . . . . . . . 172
3.5.2 Construc¸a˜o do quadrado, conhecido seu lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.3 Construc¸a˜o do penta´gono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5.4 Construc¸a˜o do hexa´gono regular conhecido seu lado . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5.5 Transporte de um polı´gono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4 Superfı´cies de revoluc¸a˜o 179
4.1 Aula 01 - O cone circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.1.1 Cone circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2 Aula 02 - O cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.2.1 Cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.3 Aula 03 - Sec¸o˜es planas em cones e cilindros - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.1 Sec¸o˜es planas a cilindros e a cones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
CONTEU´DOv
4.3.2 Sec¸a˜o plana a cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.3 Sec¸o˜es planas em cones circulares retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.3.4 Teoremas das sec¸o˜es coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.4 Aula 04 - Sec¸o˜es em cones e cilindros - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.4.1 Aplicac¸a˜o dos Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.5 Aula 05 - A esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.5.1 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.5.2 Sec¸o˜es planas a` esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.6 Construc¸o˜es geome´tricas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6.1 Arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6.2 Divisa˜o de um segmento em partes iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6.3 Bissetriz de um aˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6.4 Incentro de um triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5 As curvas 215
5.1 Aula 01 - O estudo das curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.1 Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.2 Projec¸a˜o de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.3 Tangente a uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1.4 Pontos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1.5 Cicunfereˆncia (Curva geome´trica plana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.2 Aula 02 - O estudo da he´lice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.1 He´lice cilı´ndrica normal (curva geome´trica reversa) . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.3 Construc¸o˜es geome´tricas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3.1 Retificac¸a˜o de um arco de circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6 Projec¸o˜es cotadas 229
6.1 Aula 01 - Projec¸o˜es cotadas, o ponto, a reta e escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.1 Projec¸o˜es cotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.2 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.3 Estudo das projec¸o˜es cotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.4 Estudo do ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1.5 Distaˆncia entre dois pontos no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.1.6 Estudo da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.1.7 Posic¸o˜es da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.1.8 Pertineˆncia de ponto em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.1.9 Graduac¸a˜o da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.10 Posic¸o˜es relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.2 Aula 02 - O plano cotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.1 O estudo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.2 Representac¸a˜o usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2.3 Pertineˆncia de ponto e reta em plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2.4 Representac¸a˜o do plano definido a partir de seus elementos mı´nimos . . . . . . . 244
6.2.5 Rebatimento, alc¸ado e aˆngulo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2.6 Intersec¸a˜o de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
vi CONTEU´DO
7 Perspectiva axonome´trica 253
7.1 Aula 01 - Axonometria - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.1.1 Estudo da perspectiva axonome´trica cilı´ndrica ortogonal . . . . . . . . . . . . . 254
7.1.2 Graduac¸a˜o dos eixos de uma perspectiva axonome´trica cilı´ndrica ortogonal . . . 256
7.1.3 Construc¸a˜o da perspectiva axonome´trica cilı´ndrica ortogonal de um cubo . . . . 259
7.1.4 Construc¸a˜o da perspectiva axonome´trica cilı´ndrica ortogonal de um so´lido . . . . 261
7.2 Aula 02 - Axonometria - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.2.1 Perspectiva axonome´trica de um so´lido representado por suas projec¸o˜es mongeanas269
7.2.2 Perspectiva isome´trica – me´todo tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3 Aula 03 - Aonometria - parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.3.1 Perspectiva isome´trica – me´todo pra´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.3.2 Perspectiva isome´trica de corpos redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.4 Construc¸o˜es geome´tricas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.4.1 Construc¸a˜o da oval de 4 centros para o caso da perspectiva axonome´trica . . . . 286
Prefa´cio
A origem deste livro foi o curso semipresencial da disciplina Geometria Descritiva, pioneiro na Univer-
sidade Federal Fluminense (UFF), nessa classe de curso. O curso foi oferecido inicialmente no primeiro
semestre de 2009 ate´ o primeiro semestre de 2010.
Sem pretenso˜es de ser refereˆncia completa, o livro conte´m as informac¸o˜es essenciais para as aulas
do referido curso, ou seja, a compilac¸a˜o das aulas normalmente ministradas nos cursos presenciais da
disciplina na UFF. Para a nova versa˜o do curso, as aulas originais foram atualizadas e revistas, para se
obter uma maior clareza no texto e melhor visualizac¸a˜o gra´fica.
Sugerimos este livro como texto-guia na ordem de disposic¸a˜o da disciplina de Geometria Descritiva,
principalmente em instituic¸o˜es que possuam ementas parecidas com a da UFF. Recomendamos, princi-
palmente no que se refere a` resoluc¸a˜o de exercı´cios de fixac¸a˜o, que seja estudado juntamente com outros
textos de refereˆncia, que inclusive serviram para a preparac¸a˜o das notas de aula originais, os quais sera˜o
citados ao longo do livro.
Na˜o podemos deixar de agradecer ao professor Claudio Arlindo Pessanha, precocemente falecido, por
seu empenho e dedicac¸a˜o quando da implantac¸a˜o inicial do curso semipresencial, a quem os dois outros
autores dedicam este livro.
Ficamos gratos, desde ja´, a`queles que contribuı´rem com sugesto˜es no sentido de aprimorar este livro.
Nitero´i, 12 de novembro de 2012.
Os autores
vii
viii CONTEU´DO
Os autores
O professor Alex Laier Bordignon doutorado em Matema´tica aplicada pela Pontifı´cia Universidade Cato´lica
do Rio de Janeiro em 2010, Bacharel em Matema´tica Pura pela Universidade Estadual de Maringa´ em
2002 e mestrado em Matema´tica pela Pontifı´cia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro 2006. Atua nas
a´reas de Computac¸a˜o Gra´fica e Modelagem Geome´trica. Atuou no desenvolvimento de diversos projetos
de pesquisa em colaboracao com a Petrobras.
O professor Ivan Silva de Onofre formou-se em Engenharia Ele´trica pela Universidade FederalFlu-
minense - UFF em 1974, sendo po´s-graduado em Engenharia de Produc¸a˜o no ano de 1982, na mesma
Universidade. Embora tenha trabalhado em paralelo por 28 anos como engenheiro, leciona Geome-
tria Descritiva desde 1971, inicialmente em escolas do segundo grau e, a partir de 1975, naUFF, onde,
tambe´m, foi monitor da disciplina, no perı´odo de 1971 ate´ 1973.
O professor Claudio Arlindo Pessanha formou-se no curso de Arquitetura e Urbanismo da Universi-
dade Federal Fluminense - UFF no anode 1975, do qual foi o aluno matrı´cula nu´mero 001. Trabalhou no
ramo da arquitetura ate´ 1995, quando ingressou na UFF para lecionar a disciplina Geometria Descritiva,
func¸a˜o que exerceu ate´ seu falecimento, em julho de 2010.
ix
x CONTEU´DO
Capı´tulo 1
O ponto, a reta e o plano
1
1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
1.1 Aula 01 - O estudo do ponto
1.1.1 Materiais de Desenho
Em Geometria Descritiva, voceˆ tera´ a necessidade de representar graficamente os problemas e suas
soluc¸o˜es. Para representa´-los, voceˆ precisara´ dos materiais descritos a seguir. Estes materiais sera˜o
u´teis ao longo de todo o curso.
La´pis e Borracha
Voceˆ podera´ usar la´pis ou lapiseira com grafite de duas durezas diferentes. O grafite mais duro, que pode
ser HB hard brush, deve ser utilizado para os trac¸ados de construc¸a˜o e o mais macio, B, para os trac¸ados
de soluc¸a˜o. As lapiseiras 0,3 mm (para construc¸o˜es) e 0,5 mm (para soluc¸o˜es) sa˜o mais vantajosas que
o la´pis, ja´ que na˜o precisam ser apontadas. Caso ocorram problemas de quebra do grafite 0,3 mm, voceˆ
podera´ substituir as lapiseiras de grafite 0,3 mm pelas de grafite 0,5 mm e 0,7 mm, respectivamente. Os
trac¸os feitos com o la´pis (grafite) devem ser executados em um so´ sentido (na˜o va´ e volte). Observe os
desenhos da figura 1.1.
Figura 1.1: Utilizac¸a˜o do la´pis.
A borracha de desenho deve ser macia e pro´pria para la´pis, fabricada com material natural ou sinte´tico.
Ela devera´ ser usada somente para desenhar e deve sempre ser mantida limpa. Nunca lave a sua borracha.
Re´gua graduada
A re´gua graduada e´ um instrumento de medic¸a˜o e na˜o deve ser usada para trac¸ado de retas. Os compri-
mentos devem ser determinados por pequenos trac¸os e na˜o pelo emprego de pontos. Quando for marcar
uma sequ¨eˆncia de segmento,s fac¸a conforme indicado na figura 1.2. Nunca use a re´gua para trac¸ar linhas
com caneta, pois ira´ suja´-la ou danifica´-la. A re´gua utilizada devera´ ter entre 15 e 30 cm.
Figura 1.2: A re´gua graduada.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Par de esquadros
Os esquadros sa˜o os instrumentos de desenho mais versa´teis que voceˆ ira´ usar. Eles servem para trac¸ado
de retas, de paralelas, de perpendiculares e para marcac¸a˜o de aˆngulos. Os esquadros para desenho devem
ser feitos em acrı´lico transparente, de bordos (beiradas) retos e sem graduac¸a˜o. Um par de esquadros e´
composto por um esquadro com a forma de um triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles (aˆngulos de 45o, 45o e 90o)
e outro com a forma de um triaˆngulo retaˆngulo escaleno (aˆngulos de 30o, 60o e 90o). Seu tamanho e´
medido na hipotenusa do esquadro iso´sceles, que e´ igual ao maior cateto do esquadro escaleno (figura
1.3). O seu par de esquadros deve ter aproximadamente 20 cm.
Figura 1.3: Jogo de esquadros.
Compasso
O compasso e´ um instrumento que permite a construc¸a˜o de circunfereˆncias e a marcac¸a˜o ou o transporte
de medidas. Ele e´ composto por duas pernas e por um apoio para os dedos. No extremo de uma das
pernas, esta´ a ponta seca – um tipo de agulha -, e, no extremo da outra, a ponta de grafite. Para ajustar
o tamanho do raio, fac¸a como demonstrado na porc¸a˜o da esquerda da figura 1.4 (com a outra ma˜o voceˆ
pode segurar a re´gua). Quando voceˆ for trac¸ar uma circunfereˆncia, primeiro marque o centro dela. A
sequeˆncia de desenhos da figura 1.5 mostra como se manuseia o compasso.
A ponta de grafite deve ser afiada em bisel (voltada para fora das pernas do compasso). Use uma lixa
de unhas e lixe a grafite (inclinada em relac¸a˜o a` lixa). A forma final da ponta esta´ indicada na parte direita
da figura 1.6.
As articulac¸o˜es do compasso permitem que a ponta seca e a ponta de grafite fiquem quase perpendi-
culares ao papel. Tais articulac¸o˜es proporcionam trac¸os finos e impedem que a ponta seca rasgue o papel.
Observe ”a”na imagem do centro da figura 1.4
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.4: Compasso.
Figura 1.5: Utilizac¸a˜o do compasso.
Alguns compassos sa˜o dotados de prolongadores que permitem o trac¸ado de raios grandes. A parte
esquerda da figura 1.6 mostra um compasso com o prolongador em ac¸a˜o.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.6: Compasso.
Transferidor de aˆngulos
E´ o instrumento de desenho que serve para marcar aˆngulos de medidas diferentes das encontradas no par
de esquadros. Como ilustrado na figura 1.7, o transferidor pode ser de 180o (meia volta) ou de 360o (volta
inteira).
Figura 1.7: Transferidor.
1.1.2 Construc¸o˜es Geome´tricas
Durante o curso de geometria descritiva, voceˆ vai conhecer algumas construc¸o˜es geome´tricas e resolver
alguns exercı´cios. O conteu´do desta aula exige o conhecimento de trac¸ado de retas paralelas e perpendi-
culares.
Trac¸ado de retas perpendiculares
Alinhe a hipotenusa de um dos esquadros com a reta dada (a que voceˆ quer trac¸ar a perpendicular). O
esquadro alinhado com essa reta e´ o que chamamos de mo´vel, e o outro esquadro chamamos de fixo, pois
este vai servir de apoio e na˜o deve ser movido (figura 1.8 a` esquerda). Apoie a palma de sua ma˜o sobre
o esquadro fixo para que ele na˜o se mova. Os dedos desta mesma ma˜o devem fixar o esquadro mo´vel na
hora de trac¸ar a reta.
Em seguida, gire o esquadro mo´vel em torno do aˆngulo de 90o. Deslize o esquadro mo´vel ate´ o ponto
desejado e trace a perpendicular a` reta dada (figura 1.8 centro e direita).
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.8: Como desenhar uma perpendicular.
Trac¸ado de retas paralelas
Alinhe um dos esquadros com a reta dada (use a hipotenusa). Este sera´ o esquadro mo´vel. Ajuste o
outro esquadro (o fixo) a um dos catetos do esquadro mo´vel conforme indicado na figura 1.9. Deslize o
esquadro mo´vel para a posic¸a˜o desejada e trace a reta paralela.
Caso as paralelas tenham distaˆncia determinada, trace uma perpendicular a` primeira, marque sobre
ela a distaˆncia dada e enta˜o desenhe a paralela.
Figura 1.9: Desenhando paralelas.
1.1.3 Projec¸o˜es
Pode-se definir como projec¸a˜o a imagem de um determinado objeto sobre um anteparo, obtida a partir
das intersec¸o˜es de retas que passam por pontos do objeto com esse anteparo. Existem va´rios tipos de
projec¸a˜o. Para a geometria descritiva e´ suficiente um estudo ra´pido sobre projec¸a˜o plana, entendida como
aquela em que o anteparo e´ um plano.
Chamamos projec¸a˜o de um ponto (A) sobre um plano (α) - que na˜o conte´m (A) - a intersec¸a˜o em
(α) de uma reta que passa por (A). Esta reta recebe o nome de projetante e sua intersec¸a˜o em (α) o nome
de (Aα) (figura 1.10). Nota: os planos sa˜o identificados por letras gregas minu´sculas.
Figura 1.10: Projec¸a˜o de ponto sobre o plano.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Tipos de projec¸a˜o (sistemas de projec¸a˜o)
Os dois tipos de sistema de projec¸a˜o sa˜o: o coˆnico e o cilı´ndrico. As projetantes partem de um ponto
chamado centro de projec¸o˜es (O).
O sistema coˆnico de projec¸o˜es O sistema representado na figura 1.11 e´ chamado de coˆnico, central ou
perspectiva quando (O) ocupa uma posic¸a˜o definida no espac¸o.
Figura 1.11: Projec¸a˜o coˆnica.
O Sistema cilı´ndrico de projec¸o˜es Temos na figura 1.12 um sistema de projec¸o˜es cilı´ndrico ou paralelo
quando (O) e´ posicionado no infinito.
O sistema cilı´ndrico e´ determinado pela direc¸a˜o das projetantes (δ) na˜o paralela ao plano de projec¸o˜es
(α). Este sistema pode ser de dois tipos: - ortogonal, quando a direc¸a˜o das projetantes e´ perpendicular aoplano de projec¸a˜o considerado; - oblı´quo, quando a direc¸a˜o e´ inclinada.
Figura 1.12: Projec¸a˜o cilindrica.
1.1.4 O sistema Mongeano de projec¸o˜es
O sistema Mongeano de projec¸o˜es e´ baseado no sistema de projec¸a˜o cilı´ndrico ortogonal.
Ele e´ composto por dois planos de projec¸a˜o perpendiculares entre si (figura 1.13). Um plano na
posic¸a˜o vertical, que e´ chamado de plano vertical de projec¸o˜ese indicado por (pi′). ou PVP. O outro plano
na posic¸a˜o horizontal recebe o nome de plano horizontal de projec¸o˜es, indicado por (pi). ou PHP.A reta
intersec¸a˜o destes planos recebe o nome de linha de terra que pode ser indicada por L.T. ou (pipi′).
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.13: O sistema Mongeano de projec¸o˜es.
Considere um observador em pe´ sobre o plano horizontal de projec¸a˜o (pi)e de frente para o plano
vertical de projec¸a˜o (pi′). Isto vai facilitar a compreensa˜o do sistema (figura 1.13 direita).
O plano horizontal de projec¸a˜o fica dividido pelo plano vertical de projec¸a˜o em semiplano horizontal
anterior – SPHA ou (pa) - e semiplano horizontal posterior - SPHP ou (pp) – antes e depois do vertical.
De forma semelhante, o plano vertical de projec¸a˜o fica dividido em semiplano vertical superior - SPVS
ou (p’s) e semiplano vertical inferior - SPVI ou (p’i) – acima e abaixo do horizontal.
Tambe´m o espac¸o foi dividido em quatro regio˜es. Cada uma dessas regio˜es recebe o nome de diedro
e e´ limitada por dois semiplanos distintos.
O diedro onde se encontra o observador recebe o nome de primeiro diedro. Ele fica limitado pelo
semiplano vertical superior (SPVS) e pelo semiplano horizontal anterior (SPHA). O segundo diedro, pelo
semiplano vertical superior (SPVS) e pelo semiplano horizontal posterior (SPHP). O terceiro diedro,
pelo semiplano vertical inferior (SPVI) e pelo semiplano horizontal posterior (SPHP). Por u´ltimo, o
quarto diedro que e´ limitado pelo semiplano vertical inferior (SPVI) e pelo semiplano horizontal anterior
(SPHA).
Os planos bissetores
Estes planos compo˜em o sistema de monge (figura 1.14) e passam pela linha de terra com inclinac¸o˜es
iguais em relac¸a˜o aos planos de projec¸a˜o - 45o.
O plano que passa pelos diedros ı´mpares (1o e 3o) e´ denominado bissetor ı´mpar (β13).ou
(βi).. O outro passa pelos diedros pares (2o e 4o) e´ denominado bissetor par (β24). ou (βp).
Os bissetores sa˜o considerados lugares geome´tricos de pontos equ¨idistantes dos planos de
projec¸a˜o.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.14: Os planos bissetores.
1.1.5 O Estudo do Ponto
Representac¸a˜o do ponto
Para que voceˆ possa representar objetos em Geometria Descritiva, voceˆ deve iniciar pelo estudo da
representac¸a˜o do menor deles: o ponto.
O ponto gene´rico ou objetivo e´ representado por sua projec¸a˜o vertical, em (pi′) e por sua projec¸a˜o
horizontal, em (pi). Um ponto e´ sempre indicado por letras maiu´sculas com a seguinte notac¸a˜o:
(A) - ponto no espac¸o
A′ - projec¸a˜o vertical do ponto
A - projec¸a˜o horizontal do ponto
A0- projec¸a˜o sobre a linha de terra – usada somente para compreensa˜o inicial
As projec¸o˜es de um ponto e o ponto objetivo esta˜o contidas em um plano perpendicular aos planos
de projec¸a˜o e a` linha de terra.
A figura 1.15 representa no espac¸o -perspectiva- os planos de projec¸a˜o, um ponto e suas projec¸o˜es.
Veja que os segmentos (A) A e (A) A′ esta˜o contidos em projetantes (perpendiculares aos planos de
projec¸a˜o) e que os dois segmentos determinam um u´nico plano. Este plano e´ perpendicular aos planos de
projec¸a˜o.
Figura 1.15: Projec¸o˜es de um ponto nos planos de projec¸a˜o.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Afastamento e´ o nome dado a` distaˆncia entre o ponto e o plano (pi′) e cota, a` distaˆncia do ponto ao
plano horizontal (pi). Na figura 1.16 esta˜o representados dois pontos de mesma cota e mesmo afastamento
- ambos no primeiro diedro.
Note que se voceˆ for representar os mesmos pontos conhecendo apenas suas cotas e o afastamento
com certeza na˜o sabera´ quem fica a` direita ou a distaˆncia entre eles.
Figura 1.16: Cota e afastamento dos pontos.
Se quisermos que pontos na˜o coincidentes possuam representac¸o˜es distintas devemos fornecer re-
fereˆncias a cada um deles. Estas refereˆncias sa˜o as coordenadas. As coordenadas sa˜o exatamente as
distaˆncias do ponto aos planos de projec¸a˜o.
Voceˆ notou que duas coordenadas para um ponto sa˜o insuficientes para individualiza´-lo?
A figura 1.17 mostra um terceiro plano auxiliar - perpendicular aos dois primeiros – anexado ao
sistema.
Figura 1.17: Abscissa dos pontos.
Se agora, ale´m da cota e do afastamento do ponto, voceˆ considerar distaˆncia a este terceiro plano,
os pontos ficara˜o individualizados. Esta distaˆncia, a terceira coordenada, recebe o nome de abscissa do
ponto. O ponto (O) e´ o encontro dos treˆs planos e recebe o nome de ponto origem de abscissas.
O ponto dado por suas coordenadas e´ indicado da seguinte forma (notac¸a˜o):
(A) [x; y; z] onde x e´ a abscissa do ponto, y e´ seu afastamento e z sua cota.
Para que o ponto seja localizado no espac¸o (em que diedro esta´) a cota e´ considerada positiva se o
ponto esta´ acima de (pi). Caso contra´rio a cota e´ negativa (figura 1.18).
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.18: Direc¸a˜o das cotas.
Da mesma forma, um ponto situado antes de (pi′) tem afastamento positivo. Se o ponto esta´ situado
apo´s este plano afastamento e´ negativo (figura 1.19). A abscissa e´ considerada positiva para a direita do
observador.
Figura 1.19: Direc¸a˜o dos afastamentos.
Resumindo:
- o SPVS e´ o lugar geome´trico das projec¸o˜es verticais dos pontos de cota positiva e o SPVI o lugar
geome´trico das projec¸o˜es verticais dos pontos de cota negativa.
- o SPHA e´ o lugar geome´trico das projec¸o˜es horizontais do ponto de afastamento positivo e o SPHP
o lugar geome´trico das projec¸o˜es horizontais do ponto de afastamento negativo.
Embora ja´ tenha definido as coordenadas, projec¸o˜es etc. para um ponto, ainda estamos lidando
com um sistema a treˆs dimenso˜es. Para os estudos em Geometria Descritiva, iremos utilizar apenas
as projec¸o˜es dos objetos.
A e´pura
A e´pura e´ o modo de representac¸a˜o no sistema mongeano. Nela voceˆ representa com perfeic¸a˜o objetos
tridimensionais, usando um u´nico plano. Voceˆ ira´ representar os objetos usando apenas suas projec¸o˜es.
Para obter a e´pura, gire o plano horizontal de projec¸a˜o, usando a linha de terra como eixo, ate´ que
ele coincida com o plano vertical de projec¸a˜o (figura 1.20). Esta operac¸a˜o e´ chamada de rebatimento e a
linha de terra, eixo de rebatimento.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Ao final do rebatimento o semiplano horizontal anterior deve estar sobreposto ao vertical inferior e o
semiplano vertical superior ao horizontal posterior (figura 1.20 na direita).
Figura 1.20: A construc¸a˜o da e´pura.
As posic¸o˜es do ponto no espac¸o
Observe agora o ponto nos quatro diedros.
Primeiro diedro Um ponto situado no primeiro diedro esta´ acima do (SPHA) e antes do (SPVS); logo,
possui cota e afastamento positivos.
Ponto no primeiro diedro.
Segundo diedro Todo ponto do segundo diedro esta´ acima do (SPHP) e apo´s o (SPVS); logo, possui
cota positiva e afastamento negativo.
Ponto no segundo diedro.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Terceiro diedro Neste diedro os pontos esta˜o situados abaixodo (SPHP) e apo´s o (SPVS); logo,
possuem cota e afastamento negativos.
Ponto no terceiro diedro.
Quarto diedro Os pontos do quarto diedro esta˜o abaixo do (SPHA) e antes do (SPVI); logo, possui
cota negativa e afastamento positivos.
Ponto no quarto diedro.
O ponto nos planos de projec¸a˜o
O ponto vai pertencer a um dos planos de projec¸a˜o se possuir cota ou afastamento nulo. Todo ponto
de cota nula pertence a` (pi). Enta˜o (pi) e´ o lugar geome´trico dos pontos de cota nula. Todo ponto de
afastamento nulo pertence a` (pi′). Enta˜o (pi′) e´ o lugar geome´trico dos pontos de afastamento nulo.
Ponto no (SPHA) Todo ponto situado neste semiplano, ale´m da cota nula, possui afastamento positivo.
Ponto no semi plano horizontal anterior (SPHA).
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Ponto no (SPHP) Todo ponto situado neste semiplano, ale´m da cota nula, possui afastamento negativo.
Ponto no semi plano horizontal posterior (SPHP).
Ponto no (SPVS) Todo ponto situado neste semiplano, ale´m do afastamento nulo, possui cota positiva.
Ponto no semi plano vertical superior (SPVS).
Ponto no (SPVI) Todo ponto situado neste semiplano, ale´m do afastamento nulo, possui cota negativa.
Ponto no semi plano vertical inferior (SPVI).
Ponto nos planos bissetores
Para que voceˆ visualize melhor os planos bissetores, vamos lanc¸ar ma˜o de uma vista lateral , como
indicada pela seta na figura abaixo
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Utilizac¸a˜o da vista lateral.
Ponto situado no (β13) Todo ponto situado no (β13) tem relac¸a˜o cota/afastamento = +1, ou seja, o
valor da cota e´ igual ao do afastamento.
Ponto no bissetor ı´mpar.
Ponto situado no (β24) Todo ponto situado no (β24) tem relac¸a˜o cota/afastamento = -1, ou seja,
mo´dulos iguais e sinais diferentes.
Ponto no bissetor par.
A representac¸a˜o do ponto em e´pura
Chegou o momento de representar um ponto em e´pura a partir de suas coordenadas. As coordenadas sa˜o
expressas em centı´metros.
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Exemplo: Represente as projec¸o˜es mongeanas do ponto (A)[5; 3; 4].
Voceˆ deve acompanhar as etapas abaixo.
Algoritmo para representar um ponto dado por suas coordenadas em e´pura.
1.1.6 Construc¸o˜es Geome´tricas
Marcac¸a˜o e transporte de aˆngulos
Os aˆngulos podem ser marcados com o auxı´lio do transferidor (qualquer valor de abertura) ou com o
auxı´lio do par de esquadros (mu´ltiplos de 15o).
Marcac¸a˜o de um aˆngulo com auxı´lio do transferidor Coloque a linha de fe´ do transferidor sobre o
lado do aˆngulo que voceˆ ja´ tem e o seu centro no ve´rtice (figura 1.21 ). Marque a abertura desejada (limbo
do aparelho), no caso 60o. Ligue o ponto que indica o fim da abertura ao ve´rtice.
16 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.21: Marcando um aˆngulo com o auxilio do transferidor.
Marcac¸a˜o de aˆngulo com o par de esquadros Escolha para fixo o esquadro que na˜o tem o aˆngulo
que voceˆ quer marcar. Alinhe o esquadro fixo paralelo ao lado do aˆngulo que voceˆ ja´ tem (2 cm mais ou
menos). Posicione o outro esquadro (mo´vel) com o aˆngulo sobre o ve´rtice. Trace o outro lado do aˆngulo.
Marcac¸a˜o de aˆngulo com o auxilio de esquadros.
Transporte de aˆngulo
1. Desenhe um lado do aˆngulo (na nova posic¸a˜o) e marque seu ve´rtice – figura 1.22.
2. Marque, usando uma abertura qualquer do compasso, um arco de circunfereˆncia sobre o aˆngulo
que vai ser transportado.
3. Usando a mesma abertura (distaˆncia entre o ve´rtice e o ponto 1) e com o centro no ve´rtice V1.
Marque um arco de circunfereˆncia (com tamanho pro´ximo do primeiro).
O ponto 3 fica na intersec¸a˜o do lado do novo aˆngulo com o arco de circunfereˆncia.
4. Os pontos 1 e 2 determinam a corda da abertura. A partir do ponto 3 marque sobre o arco o ponto4.
A corda 34 e´ igual a` corda 12.
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Geometria Descritiva UFF
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.22: Transporte de um aˆngulo
Divisa˜o de um segmento em partes iguais
Divisa˜o em duas partes (trac¸ado de mediatriz)
1. Escolha uma abertura para o compasso que seja um pouco maior que a metade do segmento AB
(figura 1.23).
2. Trace a partir dos pontosA eB com o raio escolhido arcos de circunfereˆncia e determine os pontos
C e D.
3. Una os pontos C e D por uma linha reta. Esta linha recebe o nome de mediatriz do segmento AB.
4. E e´ o ponto me´dio de AB , ou seja, AE=EB.
18 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.1. AULA 01 - O ESTUDO DO PONTO
Figura 1.23: Divisa˜o de um segmento em duas partes iguais.
Mediatriz de um segmento: “E´ o lugar geome´trico dos pontos do plano equ¨idistantes do extremo de
um segmento”.
Divisa˜o em um nu´mero de partes maior que duas:
1. Trace por um dos extremos do segmento AB uma reta auxiliar com uma inclinac¸a˜o (aˆngulo) qual-
quer - figura 1.24;
2. Escolha uma unidade qualquer (pode ser 1 cm);
3. Marque sobre a reta auxiliar uma quantidade de unidades igual ao nu´mero de diviso˜es que voceˆ
quer fazer no segmento.
4. Use uma linha reta para unir o extremo do segmento AB ao extremo da u´ltima unidade marcada
sobre o segmento auxiliar.
5. Trace em cada marcac¸a˜o do segmento auxiliar uma linha reta paralela a` linha que voceˆ acabou de
trac¸ar.
6. Estas linhas determinam sobre o segmento sua divisa˜o no nu´mero de partes iguais desejado.
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Geometria Descritiva UFF
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.24: Dividindo um segmento em partes iguais.
1.2 Aula 02 - O estudo da reta
1.2.1 O Estudo da Reta
Introduc¸a˜o
A projec¸a˜o de uma linha sobre um plano e´ o conjunto de projec¸o˜es no plano de todos os pontos da
linha.
Na execuc¸a˜o de uma e´pura, voceˆ vai representar uma linha pelas projec¸o˜es (verticais e horizontais)
de seus pontos e em seguida unir todas elas com um trac¸o contı´nuo. Se a linha em estudo for uma reta,
bastam as projec¸o˜es de dois pontos.
Notac¸a˜o empregada:
(r): reta no espac¸o.
r: projec¸a˜o horizontal.
r′: projec¸a˜o vertical.
Nota: A projec¸a˜o de uma reta em um plano e´, em geral, uma reta.
Se voceˆ observar as retas (r)e (s) na figura 1.25 vera´ que (r), por ser perpendicular ao plano (α),
esta´ na mesma direc¸a˜o das projetantes e por isto sua projec¸a˜o em (α) se reduz a um ponto. Ja´ a reta (s)
apresenta projec¸a˜o segundo uma linha reta.
20 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.25: A projec¸a˜o de uma reta em um plano e´, em geral, uma reta. E´ um ponto somente se a reta
for perpendicular ao plano.
Posic¸o˜es relativas entre a reta e o plano
A reta pode ocupar quatro posic¸o˜es distintas em relac¸a˜o a qualquer plano (α):
1. Paralela ao plano (α)
reta e sua projec¸a˜o sa˜o paralelas e, portanto, a projec¸a˜o de um segmento tem o tamanho do seg-
mento – verdadeira grandeza – figura 1.26.
2. Perpendicular ao plano (α)
projec¸a˜o da reta fica reduzida a um ponto ou sofre deformac¸a˜o total – figura 1.26.
3. Contida no plano (α)
reta coincide com sua projec¸a˜o – figura 1.26.
4. Inclinada em relac¸a˜o ao plano (α)
Neste caso, a projec¸a˜o de um segmento de reta e´ sempre menor que ele pro´prio – figura 1.26.
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicularao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Toda reta perpendicular a um plano de projec¸a˜o e´ paralela ao outro, mas nem toda reta
paralela a um plano de projec¸a˜o e´ perpendicular ao outro.
Os planos de projec¸a˜o sa˜o perpendiculares entre si. Na figura 1.28 a reta (r) e´ perpendicular a um
destes planos e sera´ paralela ao outro.
Figura 1.28: Reta perpendicular ao plano de projec¸a˜o.
Ja´ na figura 1.29 a reta e´ paralela a um deles e na˜o e´ perpendicular ao outro.
Figura 1.29: Reta paralela ao plano de projec¸a˜o.
Pertineˆncia de ponto na reta
Se a reta na˜o tem as duas projec¸o˜es perpendiculares a` linha de terra, para que um ponto
pertenc¸a a ela e´ necessa´rio e suficiente que suas projec¸o˜es estejam sobre as projec¸o˜es de
mesmo nome da reta (figura 1.30).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.30: Pertineˆncia de ponto na reta.
Trac¸os de uma reta
A intersec¸a˜o de uma reta com um plano (qualquer que seja o plano) recebe o nome de trac¸o da reta no
plano considerado (figura 1.29). Neste caso, Aα e´ o trac¸o (intersec¸a˜o) dareta (r) com o plano (α).
Figura 1.31: Trac¸o de reta no plano.
Pontos nota´veis de uma reta
Pontos nota´veis de uma reta sa˜o os trac¸os desta com os planos de projec¸a˜o e com os bissetores.
Enta˜o, uma reta pode ter ate´ quatro trac¸os: o trac¸o vertical, o horizontal e os trac¸os nos bisseto-
res. Logo, determinar os pontos nota´veis de uma reta e´ pesquisar e determinar na reta os pontos que
pertenc¸am, ao mesmo tempo, a ela e ao plano em questa˜o. Para cada reta, chamaremos de (H) o trac¸o
horizontal, (V ) o vertical, (I) o trac¸o em (β13) e de (P ) em (β24).
Quando determinada reta e´ paralela a um plano de projec¸a˜o, dizemos que possui trac¸o impro´prio neste
plano, ou seja, sua intersec¸a˜o com o plano se dara´ no infinito.
Caso ela passe pela linha de terra, todos os trac¸os estara˜o em um mesmo ponto – no encontro das
projec¸o˜es com a linha de terra.
Caracterı´sticas dos pontos nota´veis (V ) – o trac¸o vertical da reta - possui afastamento igual a zero
por pertencer ao plano vertical de projec¸a˜o, e sua projec¸a˜o horizontal deve estar sobre a linha de terra.
24 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
A projec¸a˜o horizontal de (V ) e´ determinada prolongando-se a projec¸a˜o horizontal r da reta (r), ate´
que ela encontre a linha de terra (figura 1.32).
Com uma linha de chamada, sua projec¸a˜o vertical e´ determinada sobre r′, que coincide com seu trac¸o
vertical.
Figura 1.32: O trac¸o vertical da reta.
(H) - trac¸o horizontal da reta: na˜o possui cota por pertencer ao plano horizontal.
Esse trac¸o e´ determinado prolongando-se a projec¸a˜o vertical da reta, ate´ que ela encontre a linha de
terra (figura 1.33). Nesse encontro, estara´ definida a projec¸a˜o vertical de (H).
Empregando-se uma linha de chamada, a projec¸a˜o horizontal deste ponto sera´ determinada.
Figura 1.33: O trac¸o horizontal da reta.
(I) - trac¸o em (β13): possui cota igual ao afastamento.
As projec¸o˜es de (I) ficam determinadas empregando-se uma construc¸a˜o auxiliar, baseada nos princı´pios
da simetria.
Prolonga-se uma das projec¸o˜es ate´ que ela encontre a linha de terra. Essa projec¸a˜o e a linha de terra
va˜o formar um aˆngulo – 1 (foi usada a projec¸a˜o horizontal – figura 1.34). Utilize a linha de terra como
lado comum. Reproduza o aˆngulo 1 no lado oposto da linha de terra (use uma linha auxiliar representada
por uma linha tracejada).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
25
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.34: Trac¸o no bissetor impar.
Na intersec¸a˜o desta linha auxiliar com a outra projec¸a˜o, teremos uma das projec¸o˜es de (I) – no caso,
a projec¸a˜o vertical. A outra projec¸a˜o sera´ determinada com o emprego de linha de chamada.
(P ) - trac¸o em (β24) : possui projec¸o˜es coincidentes.
As projec¸o˜es de(P ) sa˜o obtidas na intersec¸a˜o das projec¸o˜es da reta (figura 1.35).
Figura 1.35: Trac¸o no bissetor par.
Trajeto´ria de uma reta
Sempre que uma reta interceptar um plano de projec¸a˜o, ela estara´ mudando de diedro.
O estudo da trajeto´ria de uma reta e´ feito determinando-se a posic¸a˜o de pontos a` direita e a` esquerda
de cada trac¸o (pontos(V ) e (H), respectivamente).
Se a reta for perpendicular a um plano de projec¸a˜o, ou seja, se ela tiver uma das projec¸o˜es um ponto,
usaremos, para este estudo, os trac¸os nos bissetores.
Como exemplo disso, estudaremos a trajeto´ria das retas na figura 1.36.
Figura 1.36: Trajeto´ria de uma reta.
26 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
1.2.2 Classificac¸a˜o, definic¸o˜es e propriedades das retas
A classificac¸a˜o das retas e´ feita a partir da posic¸a˜o que elas ocupam em relac¸a˜o aos planos de projec¸a˜o.
Reta qualquer ou gene´rica (ver figura 1.37)
Figura 1.37: Reta qualquer.
E´ toda reta inclinada em relac¸a˜o aos planos de projec¸a˜o e ao plano origem das abscissas, e revessa em
relac¸a˜o a` linha de terra.
Propriedades
1. Todo segmento de reta qualquer na˜o tem projec¸o˜es em VG.
2. Os aˆngulos que a reta qualquer faz com os planos de projec¸a˜o na˜o sa˜o projetados em VG.
3. A reta qualquer possui as projec¸o˜es inclinadas em relac¸a˜o a` linha de terra e, normalmente, trac¸os
vertical e horizontal.
Um caso particular da reta qualquer e´ quando ela passa pela linha de terra (figura 1.38). Suas carac-
terı´sticas sa˜o todos os trac¸os em um so´ ponto e a raza˜o cota/afastamento constante.
Figura 1.38: Reta qualquer.
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Reta horizontal (ver figura 1.39)
E´ toda reta paralela a (pi), revessa em relac¸a˜o a` linha de terra e inclinada em relac¸a˜o a` (pi′) e ao plano
origem de abscissas.
Figura 1.39: Reta horizontal.
Propriedades
1. Qualquer segmento de reta horizontal tem projec¸a˜o horizontal VG.
2. Por ser paralela a (pi), a reta horizontal possui cota constante, sua projec¸a˜o vertical e´ paralela a`
linha de terra e na˜o possui trac¸o horizontal.
3. O aˆngulo que a reta forma com (pi) e´ projetado sobre (pi) em VG.
Reta frontal (ver figura 1.40)
E´ toda reta paralela a (pi′), revessa em relac¸a˜o a` linha de terra, inclinada em relac¸a˜o a (pi) e ao plano
origem de abscissas.
Figura 1.40: Reta frontal.
Propriedades
1. Qualquer segmento de reta frontal tem projec¸a˜o vertical em VG.
2. Por ser paralela a (pi′), a reta frontal possui afastamento constante, sua projec¸a˜o horizontal e´ para-
lela a` (pipi′) e na˜o possui trac¸o vertical.
3. O aˆngulo que a reta frontal faz com (pi′) e´ projetado em VG sobre (pi′).
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Geometria Descritiva UFF
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Reta vertical (ver figura 1.41)
E´ toda reta perpendicular a (pi).
Figura 1.41: Retavertical.
Propriedades 1 - Qualquer segmento de reta vertical tem projec¸a˜o vertical em VG.
2- Por ser perpendicular a (pi), a reta vertical possui abscissa constante, sua projec¸a˜o vertical e´ per-
pendicular a` linha de terra, sua projec¸a˜o horizontal e´ um ponto e na˜o possui trac¸o vertical.
3 - A reta vertical e´ dita projetante em relac¸a˜o a (pi).
Reta de topo (ver figura 1.42).
E´ toda reta perpendicular a (pi′).
Figura 1.42: Reta de topo.
Propriedades
1. Qualquer segmento de reta de topo tem projec¸a˜o horizontal em VG.
2. Por ser perpendicular a (pi′), a reta de topo possui abscissa constante, sua projec¸a˜o horizontal e´
perpendicular a` linha de terra, sua projec¸a˜o vertical e´ um ponto e na˜o possui trac¸o horizontal.
3. A reta de topo e´ dita projetante em relac¸a˜o a (pi′).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Reta paralela a` linha de terra ou frontorizontal
E´ toda reta paralela aos planos de projec¸a˜o e, consequentemente, a` linha de terra.
Veja figura 1.43
Figura 1.43: Reta paralela a` linha de terra ou frontorizontal.
Propriedades
1. Qualquer segmento de reta frontorizontal possui ambas as projec¸o˜es em VG.
2. Por ser paralela aos planos de projec¸a˜o e a` linha de terra, a reta frontorizontal possui cota e afasta-
mento constantes, abscissa varia´vel, ambas as suas projec¸o˜es sa˜o paralelas a` linha de terra e todos
os seus trac¸os sa˜o impro´prios.
Reta de perfil
E´ toda reta ortogonal a` linha de terra e inclinada em relac¸a˜o aos planos de projec¸a˜o e paralela ao plano
origem de abscissas. V
Veja figura 1.44
Figura 1.44: Reta de perfil.
30 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Propriedades
1. Todo segmento de reta de perfil na˜o possui projec¸o˜es em VG.
2. Os aˆngulos que uma reta de perfil faz com os planos de projec¸a˜o na˜o sa˜o projetados em VG.
3. Por ser ortogonal a` linha de terra, as projec¸o˜es da reta de perfil sa˜o perpendiculares a` linha de terra.
4. Toda reta de perfil e´ dada (representada) necessariamente por um segmento.
Nota - Como a reta de perfil e´ ortogonal a` linha de terra, a pertineˆncia de seus pontos e seus trac¸os
sa˜o determinados de modo diferente das demais retas. Somente se for observada de lado, ela permitira´
tais determinac¸o˜es. Para isso, e´ necessa´rio o artifı´cio do rebatimento da reta, conforme vimos na criac¸a˜o
da e´pura.
Use a projec¸a˜o vertical como eixo de rebatimento. Gire a reta em torno deste, como indicado na figura
1.45, ate´ que a reta se sobreponha ao plano vertical de projec¸o˜es.
Figura 1.45: Vista de perfil.
Em e´pura, essa operac¸a˜o e´ simples e resulta numa vista lateral de todo o sistema mongeano de
projec¸o˜es, no qual a linha de terra se confunde com (pi) e a linha de chamada que une as projec¸o˜es
dos pontos com (pi′). A ponta seca do compasso deve ser posicionada no encontro da linha de terra com
a linha de chamada, conforme pode ser visto na 1.45.
Os pontos nota´veis e a trajeto´ria de uma reta de perfil Pontos (V) e (H) (figura 1.46)
Rebata a reta. Prolongue a reta rebatida (A′′B′′). H ′′ e´ determinado no encontro da reta rebatida com
a linha de terra, que se confunde com (pi). As projec¸o˜es de (H) sa˜o obtidas por uma operac¸a˜o contra´ria
ao rebatimento (o alc¸ado ou alc¸amento). V ′′ e´ determinado no encontro da reta rebatida com a linha de
chamada, que se confunde com (pi′) e suas projec¸o˜es sa˜o obtidas da mesma forma que as de (H).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
31
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.46: Trac¸os da reta de perfil.
Ponto (P) (figura 1.47)
Depois de rebater a reta, represente (β24) usando uma linha que forme aˆngulo de 45o com a linha de
terra. P ′′ fica terminado no encontro da reta rebatida com esta linha. Observe a e´pura da figura (inclusive
a construc¸a˜o de suas projec¸o˜es).
Figura 1.47: Trac¸o com o bissetor par.
Ponto (I) (figura 1.48)
As projec¸o˜es de (I) sa˜o determinadas de forma semelhante que a`s de (P). Observe a e´pura da figura
1.48.
32 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.48: Trac¸o com o bissetor impar.
1.2.3 Posic¸o˜es relativas entre duas retas
Duas retas podem formar um plano (sa˜o coplanares) ou na˜o (sa˜o revessas). Se as retas forem coplanares
enta˜o duas coisas podem acontecer: as retas sera˜o paralelas ou concorrentes.
Retas coplanares
Paralelas As retas paralelas na˜o possuem ponto comum, e suas projec¸o˜es de mesmo nome sa˜o paralelas
(figura 1.49).
Figura 1.49: Projec¸a˜o de retas paralelas.
Pode haver coincideˆncia das projec¸o˜es horizontais ou das verticais. Neste caso, as retas estariam
contidas em um mesmo plano perpendicular ao plano de projec¸a˜o considerado. A figura 1.50 e sua
e´pura representam duas retas contidas num mesmo plano perpendicular ao plano horizontal de projec¸o˜es.
Quando as retas estiverem em um plano perpendicular ao plano vertical de projec¸a˜o, as projec¸o˜es verticais
das duas sera˜o coincidentes.
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
33
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.50: Projec¸a˜o de paralelas com sobreposic¸a˜o.
Concorrentes As retas concorrentes admitem um ponto em comum.
As projec¸o˜es de mesmo nome da reta encontram-se e, quando isso ocorre, determinam um ponto
comum a`s duas (figura 1.51).
Figura 1.51: Retas concorrentes.
Na figura 1.52, e´ representada a situac¸a˜o em que as retas concorrentes esta˜o contidas em um plano
perpendicular ao plano horizontal de projec¸a˜o. Quando as retas estiverem em um plano perpendicular ao
plano vertical de projec¸a˜o, as projec¸o˜es verticais das duas sera˜o coincidentes.
34 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.52: Concorrentes com sobreposic¸a˜o.
Se duas retas tiverem as projec¸o˜es horizontais – ou verticais – coincidentes, elas sera˜o
coplanares e estara˜o contidas num plano perpendicular a um dos planos de projec¸a˜o (de
mesmo nome que a projec¸a˜o coincidente).
Retas na˜o coplanares - Retas reversas
Duas retas sa˜o na˜o coplanares (revessas ou reversas) caso na˜o ocorra nenhuma das situac¸o˜es vistas ante-
riormente. Duas retas sera˜o revessas se na˜o forem paralelas ou concorrentes.
O desenho da figura 1.53 e sua e´pura representam um par de retas na˜o coplanares.
Figura 1.53: Retas reversas.
Perpendicularismo entre retas
Se duas retas forem perpendiculares e uma delas for paralela a um plano de projec¸a˜o, o aˆngulo formado
pelas projec¸o˜es das duas, neste plano, sera´ reto (90o). Veja a figura 1.54.
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
35
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.54: Projec¸a˜o de retas perpendiculares.
Retas contidas no (β13)
Uma reta estara´ contida em (β13) se as suas projec¸o˜es formarem o mesmo aˆngulo com a linha de terra e
concorrerem sobre ela – logo, elas passam pela linha de terra. Veja na figura 1.55. Retas frontohorizontais
de cota igual ao afastamento tambe´m estara˜o contidas no (β13). Retas de perfil devera˜o ser estudadas por
rebatimento.
Figura 1.55: Reta do bissetor impar.
Retas paralelas a (β13)
Sa˜o retas que na˜o passam pela linha de terra, e suas projec¸o˜es formam o mesmo aˆngulo com essa linha.
Retas frontohorizontais de cota diferente do afastamento tambe´m sa˜o paralelas ao (β13). Veja na figura
1.56. Ja´ as retas de perfil dependem de estudo.
Figura 1.56: Retas paralelas ao bissetor impar.
Retas contidas no (β24)
Sa˜o as retas que possuem projec¸o˜es coincidentes (figura 1.57). As retas de perfil dependem de estudo.36 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.57: Retas do bissetor par.
Retas paralelas a (β24)
Sa˜o todas as retas que tenham projec¸o˜es paralelas (figura 1.58). As retas de perfil dependem de estudo.
Figura 1.58: retas paralelas ao bissetor par.
1.3 Aula 03 - O estudo do plano
1.3.1 O estudo descritivo do plano
Os planos que sa˜o objeto de estudo, exceto os planos de projec¸a˜o, recebem o nome de plano objetivo.
Todo plano objetivo e´ identificado por uma letra grega minu´scula. Quando nos referirmos ao plano
objetivo no espac¸o, essa letra devera´ estar entre pareˆntesis.
Este e´ o alfabeto grego:
Alfabeto grego.
Determinac¸a˜o de um plano
Um plano objetivo fica definido, ou determinado, por treˆs pontos distintos.
A afirmativa acima e´ suficiente para que um plano seja individualizado. Pode ser dito tambe´m que
um plano fica determinado por:
1. uma reta e um ponto fora dela;
2. duas retas concorrentes;
3. duas retas paralelas.
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Geometria Descritiva UFF
37
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Observe as representac¸o˜es disso na figura 1.59.
Figura 1.59: Planos determinados por seus elementos mı´nimos.
Voceˆ reparou que a definic¸a˜o do plano por treˆs pontos pode ser convertida em qualquer um dos outros
casos acima?
Cada uma das quatro afirmativas (casos) gera uma forma de representac¸a˜o do plano. Enta˜o, um plano
pode ser representado por:
1. treˆs pontos distintos (na˜o alinhados) – figura 1.59a;
38 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
2. uma reta e um ponto fora dela – figura 1.59b;
3. duas retas concorrentes – figura 1.59c;
4. duas retas paralelas – figura 1.59d.
Voceˆ podera´ transformar a representac¸a˜o do plano objetivo feita por treˆs pontos (figura 1.59a.) ou
por um ponto e uma reta (figura 1.59b.) em duas retas concorrentes (figura 1.59c), ou em duas paralelas
(figura 1.59d.).
Essa transformac¸a˜o vai ajudar bastante o seu trabalho. Quando um plano objetivo for definido por
duas retas, estas retas sera˜o chamadas de retas definidoras do plano.
Trac¸os de um plano
Observe que no desenho da figura 1.60 esta´ representado um plano (α) que atravessa os quatro diedros.
As retas intersec¸a˜o de (α ) com os planos de projec¸a˜o sa˜o os trac¸os do plano (intersec¸a˜o do plano com os
planos de projec¸a˜o). Eles sa˜o identificadas pela unia˜o do nome dos planos secantes.
Figura 1.60: Trac¸os de um plano.
A intersec¸a˜o de (α) com (pi′) e´ o trac¸o vertical do plano e e´ denominado αpi′. O trac¸o horizontal
de (α) – intersec¸a˜o de (pi) com (α) – recebe o nome de αpi. Os trac¸os de um plano objetivo podem ser
definidos como lugares geome´tricos. Os trac¸os verticais sa˜o os lugares geome´tricos dos pontos do plano
que possuem afastamento nulo (zero). Os trac¸os horizontais sa˜o os lugares geome´tricos dos pontos do
plano que possuem cota nula.
Em geral, o plano objetivo tem dois trac¸os que sa˜o retas do plano de projec¸a˜o. Cada trac¸o pertence
a um plano de projec¸a˜o. Eles podem ser paralelos (figura 1.61) ou concorrentes na linha de terra (figura
1.62).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
39
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.61: Trac¸os de um plano paralelo a linha de terra.
Figura 1.62: Trac¸os de um plano qualquer.
O ponto de encontro dos trac¸os de um plano com a linha de terra e´ comumente indicado por (T ).
Se o plano objetivo for paralelo a um dos planos de projec¸a˜o, ele so´ possuira´, apenas, um trac¸o, que
sera´ paralelo a` linha de terra (figura 1.63).
40 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.63: Plano com apenas um trac¸o.
Outro caso u´nico e´ o do plano objetivo que passa pela linha de terra que tera´ os trac¸os coincidentes
com ela (figura 1.64).
Figura 1.64: Plano que passa pela linha de terra.
Neste caso, somente os trac¸os na˜o definem (individualizam) o plano. Para que isso acontec¸a, e´ ne-
cessa´rio que seja fornecido um ponto do plano objetivo, que ira´ funcionar como ponto individualizador
ou definidor deste plano. Este ponto e´ comumente designado pela letra M .
Alguns autores identificam estes planos por pi′pi(M). Vale a pena lembrar que os planos bissetores
sa˜o deste tipo.
A vantagem da representac¸a˜o do plano objetivo por seus trac¸os e´ a simplicidade.
Em e´pura, o plano objetivo fica representado por, no ma´ximo, treˆs linhas, incluindo a linha de terra.
Ele e´ facilmente identificado.
Outra vantagem dessa representac¸a˜o e´ voceˆ poder identificar as porc¸o˜es u´teis do plano objetivo nos
diedros pelos quais ele passa (figura 1.65).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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41
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.65: Porc¸o˜es u´teis do plano.
Quando representar o plano objetivo por retas ou por trac¸os? Somente a natureza do problema vai
dizer o que voceˆ deve fazer.
Pertineˆncia da reta ao plano
Toda reta concorrente a duas retas de um plano pertence a esse plano, desde que na˜o passe
por um possı´vel ponto de concorreˆncia destas duas retas, ou seja, uma reta so´ pertencera´ a
um plano se passar por dois pontos distintos desse plano.
A figura 1.66 apresenta um plano (α) representado por duas de suas retas, (r) e (s). O ponto (A)
pertence a` reta (r) e o ponto (B) a` reta (s). Os dois pontos pertencem a`s retas do plano e definem a reta
(t). Logo essa reta tambe´m sera´ do plano (α).
Se a reta (t) for paralela a uma das retas, (r) ou (s), e concorrente a` outra, ela tambe´m pertencera´ ao
plano (figura 1.66).
Figura 1.66: Pertineˆncia de reta em plano.
Quando o plano objetivo for definido por dois trac¸os, uma reta pertencera´ a ele se tiver seus trac¸os
(vertical e horizontal) situados sobre os trac¸os de mesmo nome do plano (ver figura 1.67).
42 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.67: Trac¸os de retas sobre os trac¸os do plano que a conte´m.
Caso a reta na˜o possua um de seus trac¸os, ela ira´ pertencer ao plano se o trac¸o existente pertencer
ao trac¸o de mesmo nome do plano e se uma de suas projec¸o˜es for paralela ao trac¸o de mesmo nome do
plano. Veja na figura 1.68. A reta (r) e´ frontal, ou seja, na˜o possui trac¸o vertical. Seu trac¸o horizontal
pertence ao αpi e sua projec¸a˜o vertical e´ paralela ao trac¸o vertical do plano (αpi′).
Figura 1.68: Frontais do plano.
Quando o plano objetivo contiver a linha de terra, a pertineˆncia da reta e´ verificada dos seguintes
modos:
1. toda reta que contiver o ponto (M) (definidor do plano) e pela linha de terra pertencera´ ao plano
(figura 1.69);
2. toda reta que passar pela linha de terra e que for paralela a uma reta do plano objetivo tambe´m
pertencera´ ao plano (figura 1.70);
3. toda reta que tiver as projec¸o˜es paralelas a` linha de terra e que for concorrente com uma reta do
plano objetivo pertencra´e a ele (figura 1.70).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.69: Pertineˆncia de reta para o plano passante.
Figura 1.70: Retas do plano passante.
Se o plano objetivo for paralelo a um dos planos de projec¸a˜o, isto e´, ele possui, apenas, um trac¸o, a
pertineˆncia so´ ocorrera´ se a projec¸a˜o da reta for coincidente com o trac¸o de mesmo nome do plano (figura
1.71).
44 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.71:
Quando um plano objetivo e´ paralelo a´ um plano de projec¸a˜o ele e´ perpendicular ao outro plano de
projec¸a˜o. Enta˜o, as projetantesem relac¸a˜o ao plano de projec¸a˜o que ele e´ perpendicular esta˜o contidas
nele e a projec¸a˜o da reta neste plano objetivo ira´ coincidir com o trac¸o deste plano.
1.3.2 Aplicac¸o˜es
Representar as projec¸o˜es de uma reta contida num plano sendo conhecido o plano e uma das
projec¸o˜es da reta.
O plano e´ dado por duas retas.
A projec¸a˜o dada e´ concorrente com as projec¸o˜es de mesmo nome das duas retas definidoras do
mesmo.
1. Determine A′ no encontro de r′ com s′, e B′ no encontro de r′ com t′ (figura 1.72 a` esquerda).
2. Use linhas de chamada para determinar A sobre s e B sobre t (figura ?? ao centro).
3. Una A e B com uma linha reta para obter r, projec¸a˜o horizontal da reta (r), que e´ a soluc¸a˜o do
problema (figura ?? a` direita).
Figura 1.72: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: conhecendo duas retas do
plano.
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
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45
1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
A projec¸a˜o dada da reta e´ paralela a uma das projec¸o˜es de mesmo nome de uma das retas defini-
doras do plano. Quando isso acontecer a reta sera´ paralela a` reta definidora.
1. Determine A′ sobre s′ e, com auxı´lio de uma linha de chamada, A sobre s (figura 1.73).
2. Trace por A′ uma linha paralela a t paraa soluc¸a˜o para o problema (figura 1.73).
Figura 1.73: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: uma das projec¸o˜es e´ paralela a
reta do plano.
A projec¸a˜o dada passa pelo ponto de encontro das retas definidoras Neste caso, voceˆ tera´ necessi-
dade de usar uma reta auxiliar, como a da reta da figura 1.73 na posic¸a˜o superior a` esquerda.
1. Trace uma reta u′, que corte r′, s′ e t′. Fac¸a issi conforme demonstrado na figura 1.74, imagem
localizada na posic¸a˜o superior a` direita.
2. Determine (figura 1.74):
(a) A′ no encontro de s′ com u′;
(b) B′ no encontro de r′ com u′;
(c) C ′ no encontro de t′ com u’.
3. Use linhas de chamada para determinar A sobre s e C sobre t (figura 1.74).
4. Una A e C para obter u – projec¸a˜o horizontal da reta (u) (figura 1.74).
5. Use uma linha de chamada a partir de B′ e determine sobre u a projec¸a˜o B (figura1.74).
6. Una B a O, a fim de obter a outra projec¸a˜o da reta (r) (figura 1.74).
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.74: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: projec¸a˜o da reta passa pela
intersec¸a˜o das retas do plano.
O plano e´ dado por seus trac¸os.
A projec¸a˜o conhecida corta a linha de terra e o trac¸o de mesmo nome do plano.
1. Determine V ′ – projec¸a˜o vertical do trac¸o vertical da reta – sobre αpi′ (figura 1.75 a` esquerda).
2. Determine H ′ – projec¸a˜o vertical do trac¸o horizontal da reta – sobre pipi′ – linha de terra (figura
1.75 ao centro).
3. Com auxı´lio de linhas de chamada determine V sobre pipi′ e H sobre αpi.
4. Una H e V para obter r – projec¸a˜o horizontal da reta (r) (figura 1.75 a` direita).
Figura 1.75: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: plano e´ dado por seus trac¸os.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
A projec¸a˜o dada passa pelo ponto de encontro dos trac¸os do plano – (T )
1. Use uma reta auxiliar do plano.
2. Desenhe uma linha reta que corte a projec¸a˜o dada, o trac¸o de mesmo nome do plano e a linha de
terra – s′ ( figura 1.76a).
3. No encontro de s′ com r′, determine A′ (figura 1.76a).
4. Determine s – projec¸a˜o horizontal de (s) - com o auxı´lio de linhas de chamada (figura 1.76b).
5. Usando uma linha de chamada, determine A sobre s (figura 1.76c).
6. Una A a T para obter r – projec¸a˜o horizontal da reta (r) (figura 1.76d).
7. O plano conte´m a linha de terra – do tipo pipi′(M), onde (M) e´ o ponto definidor do plano. Em-
preque, tambe´m aqui, a reta auxiliar.
Figura 1.76: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: reta passa pela intersec¸a˜o dos
trac¸os.
O plano passa pela linha de terra.
1. Identifique como (A) o ponto em que a projec¸a˜o dada corta a linha de terra (figura 1.77a e b).
2. Construa uma reta – s′– que passe pela projec¸a˜o M ′ e pela projec¸a˜o conhecida da reta, e determine
sobre este encontro B′ (figura 1.77b).
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
3. Partindo do encontro de s′ com a linha de terra, trace a projec¸a˜o s, que devera´ conterM , e determine
com uma linha de chamada a projec¸a˜o B sobre s (figura 1.77c).
4. Una B a A para a outra projec¸a˜o da reta (figura 1.77d).
Figura 1.77: Recuperar as projec¸o˜es de uma reta passando por um plano: Plano passante.
1.3.3 Pertineˆncia de ponto a plano
Como verificar se um ponto pertence a um plano?
Um ponto pertence a um plano se pertencer a uma reta do plano.
A resoluc¸a˜o desce tipo de problema e´ simples. Examine o exemplo representado na e´pura da figura
1.78. Perceba que a projec¸a˜o vertical da reta (h) foi desenhada sobre a projec¸a˜o vertical do ponto (A).
A projec¸a˜o horizontal da reta (h) foi “construı´da” de forma que ela – a reta – pertenc¸a ao plano (α).
A projec¸a˜o horizontal do ponto (A) esta´ sobre a projec¸a˜o horizontal da reta (h).
Logo, o ponto pertence a` reta, e por isso pertence ao plano (a). Se a prova da pertineˆncia foi obtida
com um tipo de reta, ela valera´ para qualquer outro tipo.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.78: Pertinencia de reta em plano.
Aplicac¸o˜es
Completar a projec¸a˜o do ponto (A) que pertence ao plano definido pelas retas (s) e (t).
O plano na˜o e´ dado por seus trac¸os (figura 1.79a).
1. Use uma reta auxiliar (r). Trace uma reta – r′ – que passe pela projec¸a˜o conhecida do ponto (A) e
que corte as projec¸o˜es das retas definidoras do plano (figura 1.79b).
2. Determine B′ no encontro de r′ com s′, e c′ no encontro de r′ com t′.
3. Usando linhas de chamada, determine B sobre r e C sobre t (figura 1.79c).
4. Determine r, unindo B e C por uma reta (figura 1.79c).
5. Usando uma linha de chamada, determine A sobre r (figura 1.79d).
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.79: Pertinencia de ponto em plano: plano na˜o e´ dado por seus trac¸os.
O plano e´ dado por seus trac¸os (figura 1.80a).
1. Use uma reta auxiliar do plano e proceda de forma semelhante ao caso anterior.
2. Trace uma projec¸a˜o da reta que passe pela projec¸a˜o dada de mesmo nome do ponto (figura 1.80b).
3. Construa a outra projec¸a˜o da reta, que deve pertencer ao plano (figura 1.80c).
4. Com uma linha de chamada, determine a outra projec¸a˜o do ponto, que deve estar sobre a projec¸a˜o
da reta (figura 1.80d).
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.80: Pertinencia de ponto em plano: plano e´ dado por seus trac¸os.
1.3.4 Retas principais de um plano
A reta pode assumir diversas posic¸o˜es em um plano. Quatro destas posic¸o˜es sa˜o da maior importaˆncia e
consideradas principais. Elas sa˜o:
• horizontais;
• frontais;
• de ma´ximo declive;
• de ma´xima inclinac¸a˜o.
Retas horizontais de um plano
As retas horizontais de um plano sa˜o paralelas ao seu trac¸o horizontal. Ainda pode-se dizer que o trac¸o
horizontal de um plano e´ uma reta horizontal de cota nula, cota zero. Veja a perspectiva representada na
figura 1.81.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.81: Retas horizontais de um plano.
Retas frontais de um plano
As retas frontais de um plano,de forma semelhante, sa˜o paralelas ao seu trac¸o vertical, e o trac¸o vertical
de um plano, que por sua e´ uma reta frontal de afastamento nulo. Observe que o desenho da figura 1.82
representa uma das retas frontais do plano.
Figura 1.82: Retas frontais de um plano.
Voceˆ notou que existe uma projec¸a˜o da reta paralela a um trac¸o do plano? Cada uma das retas vistas
nos casos acima – figuras 1.81 e 1.82 – possui um trac¸o impro´prio. Observe novamente a reta horizontal
na e´pura da figura 1.81. Ela na˜o possui trac¸o horizontal. Sua projec¸a˜o horizontal e´ paralela ao trac¸o de
mesmo nome do plano - αpi.
Algue´m ja´ deve ter falado para voceˆ que retas paralelas se encontram no infinito (ponto impro´prio).
Enta˜o, o trac¸o horizontal da reta esta´ sobre o trac¸o horizontal do plano no infinito. De forma semelhante,
o trac¸o vertical da reta (f) – figura 1.82 –, frontal do plano, ira´ encontrar αpi′ no infinito.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Retas de ma´ximo declive de um plano
Retas de ma´ximo declive – ou de maior declive - de um plano objetivo sa˜o todas as retas perpendiculares
ao seu trac¸o horizontal – figura 1.83.
A projec¸a˜o horizontal da reta de maior declive e´ sempre perpendicular ao trac¸o horizontal do plano
objetivo. Por isso, uma reta de maior declive e´ capaz de definir um plano objetivo. Sua projec¸a˜o horizontal
determina a direc¸a˜o do trac¸o horizontal do plano, e seus trac¸os determinam a posic¸a˜o dos trac¸os do plano.
Observe a figura 1.83.
Figura 1.83: Reta de ma´ximo declive.
Retas de ma´xima inclinac¸a˜o de um plano
Retas de ma´xima inclinac¸a˜o sa˜o todas as retas de um plano objetivo que sejam perpendiculares ao seu
trac¸o vertical - figura 1.84.
A projec¸a˜o vertical de uma reta de ma´xima inclinac¸a˜o e´ sempre perpendicular ao trac¸o vertical do
plano objetivo. De forma semelhante a` reta de maior declive, a reta de ma´xima inclinac¸a˜o define um
plano objetivo. Sua projec¸a˜o vertical determina a direc¸a˜o do trac¸o vertical do plano, e seus trac¸os definem
a posic¸a˜o dos trac¸os do plano objetivo. Veja a figura 1.84.
Figura 1.84: Reta de ma´xima inclinac¸a˜o.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
1.3.5 Determinac¸a˜o dos trac¸os de um plano
Uma reta pertence a um plano se seus trac¸os coincidem com os trac¸os de mesmo nome do plano. Enta˜o,
se voceˆ tem um plano definido por retas, seus trac¸os devem conter os trac¸os de mesmo nome das retas.
Caso voceˆ tenha treˆs pontos definindo um plano, trace por eles duas retas.
O primeiro passo para a determinac¸a˜o dos trac¸os de um plano e´ a determinac¸a˜o dos trac¸os das retas
que o definem.
As duas retas possuem trac¸os finitos
Veja a figura 1.85.
1. Determine os trac¸os verticais das retas.
2. Desenhe uma linha reta que contenha as projec¸o˜es verticais destes trac¸os e determine seu encontro
com a linha de terra, determinando o ponto (T ). Esta linha e´ o trac¸o vertical do plano.
3. Determine o trac¸o horizontal de uma das retas - caso exista (T ). Una a projec¸a˜o horizontal deste
trac¸o a` projec¸a˜o T . Esta linha e´ o trac¸o horizontal do plano.
4. Se o ponto (T ) na˜o existir, determine os trac¸os horizontais das duas retas e una as projec¸o˜es hori-
zontais dos mesmos para obter o trac¸o horizontal do plano.
Figura 1.85: Recuperar os trac¸os de um planos: conhecendo duas de suas retas.
Uma das retas possui um dos trac¸os impro´prio
Veja a figura 1.86.
1. Determine os trac¸os verticais das retas.
2. Determine o trac¸o vertical do plano, usando uma linha reta que contenha as projec¸o˜es verticais
destes trac¸os.
3. O encontro do trac¸o vertical com a linha de terra determina (T ). O trac¸o horizontal do plano conte´m
o ponto (T ) e e´ paralelo a` projec¸a˜o horizontal da reta que na˜o tem trac¸o horizontal.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Figura 1.86: Recuperar os trac¸os de um planos: conhecendo duas de suas retas e um trac¸o impro´prio.
Lembretes u´teis
Todo ponto do plano objetivo que:
1. na˜o possui afastamento pertence ao seu trac¸o vertical;
2. na˜o possui cota pertence ao seu trac¸o horizontal;
3. tem as duas projec¸o˜es coincidentes sobre a linha de terra pertence ao ponto de encontro
dos trac¸os do plano.
1.3.6 Classificac¸a˜o dos planos
O plano pode ocupar posic¸o˜es particulares (perpendiculares, paralelas ou oblı´quas) em relac¸a˜o aos planos
de projec¸a˜o. A classificac¸a˜o (nome) dos planos considera a posic¸a˜o deles em relac¸a˜o aos dois planos de
projec¸a˜o e a` linha de terra.
A posic¸a˜o do plano em relac¸a˜o aos planos de projec¸a˜o pode ser identificada pela observac¸a˜o em sua
e´pura da posic¸a˜o dos trac¸os em relac¸a˜o a` linha de terra. Os planos podem ser classificados em dois grupos.
1. Os projetantes: que sa˜o planos perpendiculares a, pelo menos, um plano de projec¸a˜o.
2. Os na˜o projetantes: que sa˜o inclinados em relac¸a˜o aos dois planos de projec¸a˜o.
Qualquer plano conte´m um nu´mero infinito de retas. Para cada posic¸a˜o particular do plano podemos
identificar treˆs tipos – ou posic¸o˜es particulares – de retas.
Os planos projetantes e suas retas
Plano horizontal ou de nı´vel
Plano horizontal.
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
E´ todo plano paralelo ao plano horizontal de projec¸a˜o (pi). Planos horizontais sa˜o projetantes em
relac¸a˜o a (pi). Eles “passam” por dois diedros.
Todo plano paralelo a um plano de projec¸a˜o e´, necessariamente, perpendicular ao outro plano de
projec¸a˜o.
Propriedades do plano horizontal
1. Possui, apenas, o trac¸o vertical, que e´ paralelo a` linha de terra.
2. As projec¸o˜es verticais de retas, ou de figuras planas, contidas neste plano coincidem com o trac¸o
vertical dele.
3. As projec¸o˜es horizontais de segmentos de retas, ou de figuras planas, contidas neste plano teˆm
dimenso˜es reais – esta˜o em verdadeira grandeza – VG.
Retas contidas no plano horizontal
1. Reta horizontal – (AB).
2. Reta frontorizontal – (AC).
3. Reta de topo – (BC) – reta de ma´ximo declive do plano.
Plano frontal ou de frente
Plano frontal ou de frente.
E´ todo plano paralelo ao plano vertical de projec¸a˜o (pi′). Planos frontais sa˜o projetantes em relac¸a˜o
ao (pi′).
Propriedades do plano frontal
1. Possui, apenas, trac¸o vertical, que e´ paralelo a` linha de terra.
2. As projec¸o˜es horizontais de retas, ou de figuras planas, contidas neste plano coincidem com o trac¸o
horizontal dele.
3. As projec¸o˜es verticais de segmentos de retas, ou de figuras planas, contidas neste plano teˆm di-
menso˜es reais – esta˜o em verdadeira grandeza (VG).
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1.3. AULA 03 - O ESTUDO DO PLANO
Retas contidas no plano frontal 1. Reta frontal – (AB).
1. Reta frontorizontal – (AC).
2. Reta vertical – (BC) – reta de ma´xima inclinac¸a˜o do plano.
Plano de topo
Plano de topo.
E´ todo plano perpendicular a (pi′) e inclinado em relac¸a˜o a (pi). Planos de topo sa˜o projetantes em
relac¸a˜o a (pi′).
Todo plano perpendicular a um plano de projec¸a˜o na˜o e´, necessariamente, paralelo ao outro plano de
projec¸a˜o.
Propriedades do plano de topo
1. Possui trac¸o vertical inclinado em relac¸a˜o a` linha de terra.
2. Possui trac¸o horizontal perpendicular a` linha de terra.
3. As projec¸o˜es verticais de retas ou de figuras planas contidas no plano de toipo coincidem com o
trac¸o vertical dele.
4. As projec¸o˜es horizontais de segmentos de retas ou de figuras planas contidas nessetipo plano na˜o
teˆm dimenso˜es reais, ou seja, na˜o esta˜o em verdadeira