Cálculo Técnico

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CÁLCULO TÉCNICO
2
SENAI-RS – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL
DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL
CONSELHO REGIONAL
Presidente Nato
Francisco Renan O. Proença – Presidente do Sistema FIERGS
Conselheiros Delegados das Atividades Industriais – FIERGS
Titulares Suplentes
Manfredo Frederico Koehler Deomedes Roque Talini
Astor Milton Schmitt Arlindo Paludo
Valayr Hélio Wosiack Pedro Antônio G. Leivas Leite
Representantes do Ministério da Educação
Titular Suplente
Edelbert Krüger Aldo Antonello Rosito
Representantes do Ministério do Trabalho e Emprego
Titular Suplente
Neusa Maria de Azevedo Elisete Ramos
Diretor do Departemento Regional do SENAI-RS
José Zortéa
DIRETORIA REGIONAL DO SENAI-RS
José Zortéa – Diretor Regional
Paulo Fernando Presser – Diretor de Educação e Tecnologia
Jorge Solidônio Serpa – Diretor Administrativo-Financeiro
3
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL
CÁLCULO TÉCNICO
Porto Alegre
2004
4
Cálculo Técnico
 2004, SENAI-RS
Trabalho organizado por técnicos do Centro Tecnológico de Mecânica de Precisão
Plínio Gilberto Kroeff, sob a coordenação, orientação e supervisão da Unidade de
Negócios em Educação Profissional de Nível Básico e da Diretoria de Educação
Tecnológica do Departamento Regional do SENAI-RS
Coordenação Geral Paulo Fernando Presser DET
Coordenação Técnica Jaures de Oliveira DET/UNEP
Coordenação Local Boaz Ungaretti CETEMP
Revisão técnica Boaz Ungaretti
Maria Inês da Silveira Daudt
Diretor/CETEMP
Professora/CETEMP
Digitação, formatação e
revisão lingüística e
gramatical Regina Maria Recktenwald consultora
Normalização bibliográfica Nelson Oliveira da Silva Bibliotecário/CETEMP
Produção gráfica CEP SENAI de Artes Gráficas Henrique d' Ávila Bertaso
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S 491c
SENAI.RS. Cálculo Técnico. Porto Alegre: Unidade de Negócios
em Educação Profissional / Diretoria de Educação e Tecnologia,
SENAI, 2004. 145 p. il.
1. Matemática I. Título
CDU - 51
5
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................................11
INTRODUÇÃO.....................................................................................................................13
1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO .........................................................................................15
1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO.........................................................................15
1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA ...............................................................................17
1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO..................................17
1.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................18
2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS .......................................19
2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .............................................................................19
2.1.1 Propriedades fundamentais da adição ....................................................................19
2.1.2 Regra prática para efetuar a adição .........................................................................19
2.1.3 Como conferir uma soma .........................................................................................20
2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .....................................................................20
2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração ...................................................................20
2.2.3 Como verificar se a subtração está certa ...............................................................21
2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS...............................................................21
2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação.........................................................22
2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação..........................................................22
2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa ..........................................................23
2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS.............................................................................24
2.4.1 Propriedades gerais da divisão................................................................................24
2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão ....................................................................25
2.4.3 Como verificar se a divisão está correta .................................................................27
3 NÚMEROS DECIMAIS .....................................................................................................31
3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS ..........................................................................31
3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................32
3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................................................32
3.3.1 Primeiro caso ............................................................................................................33
3.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................43
6
4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE.............................................................47
4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO ........................................................................................47
4.2 DIVISIBILIDADE.............................................................................................................47
4.2.1 Divisibilidade por 2 ...................................................................................................47
4.2.2 Divisibilidade por 3 ...................................................................................................47
4.2.3 Divisibilidade por 4 ...................................................................................................47
4.2.4 Divisibilidade por 5 ...................................................................................................47
4.2.5 Divisibilidade por 6 ...................................................................................................47
4.2.6 Divisibilidade por 9 ...................................................................................................48
4.2.7 Divisibilidade por 10..................................................................................................48
4.3 NÚMERO PRIMO...........................................................................................................48
4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................48
4.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................49
5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS .................................................................................................51
5.1 LEITURA DE FRAÇÕES................................................................................................51
5.2 TIPOS DE FRAÇÕES ....................................................................................................53
5.2.1 Fração própria ...........................................................................................................53
5.2.2 Fração imprópria .......................................................................................................535.2.3 Fração aparente (imprópria) .....................................................................................54
5.2.4 Número misto ............................................................................................................54
5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-
VERSA..........................................................................................................................54
5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES..........................................................................................54
5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES....................................................................................54
5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR .............................................55
5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES .....................................................................................56
5.7.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................56
5.7.2 Frações de mesmo numerador ................................................................................57
5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes ..........................................57
5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................58
5.8.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58
5.8.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................58
5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.........................................................................................58
5.9.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58
5.9.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................59
5.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ................................................................................59
5.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES...............................................................................................59
5.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES ......................................................................................60
5.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimais .....................................60
5.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números mistos ...60
7
6 REGRA DE TRÊS.............................................................................................................61
6.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES..........................................................................................61
6.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA............................................................................62
6.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA .........................................................................62
6.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................64
6.5 PORCENTAGEM...........................................................................................................65
6.5.1 Exercícios ..................................................................................................................67
7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO ...................................................................69
7.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS....................................................69
7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO..........................................71
7.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS ...............................................................................73
7.4 POLEGADA ...................................................................................................................75
7.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA.............................75
7.6 EXERCÍCIOS.................................................................................................................76
7.7 PAQUÍMETRO...............................................................................................................78
7.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mm ................................................................................78
7.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinário ...................................................................80
7.7.3 Uso do Vernier (Nônio) .............................................................................................80
7.7.4 Exercícios ..................................................................................................................84
7.7.5 Exemplos de paquímetros ........................................................................................85
8 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................87
8.1 POLÍGONO....................................................................................................................87
8.1.1 Polígono regular........................................................................................................87
8.1.2 Polígono irregular .....................................................................................................87
8.2 PERÍMETRO..................................................................................................................87
8.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS ................................................................89
8.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE.............................91
8.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS ....................................................................94
8.5.1 Área do retângulo......................................................................................................94
8.5.2 Área do quadrado......................................................................................................95
8.5.3 Área do paralelogramo .............................................................................................97
8.5.4 Área do triângulo.......................................................................................................98
8.5.5 Área do trapézio ........................................................................................................99
8.5.6 Área do losango ........................................................................................................99
8.5.7 Área do círculo ........................................................................................................100
8.6.1 Exercícios ................................................................................................................102
8.7.1 Aplicação da tabela de constante ..........................................................................103
8.8 ÂNGULOS ...................................................................................................................104
8.8.1 Ângulos consecutivos ............................................................................................104
8
8.8.2 Ângulos adjacentes.................................................................................................105
8.8.3 Bissetriz ...................................................................................................................105
8.8.4 Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................105
8.8.5 Ângulo reto ..............................................................................................................106
8.8.6 Ângulo agudo ..........................................................................................................106
8.8.7 Ângulo raso .............................................................................................................106
8.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementares................................107
8.8.9 Medidas de ângulos ................................................................................................107
8.8.10 Adição de ângulos.................................................................................................107
8.8.11 Subtração de ângulos ...........................................................................................108
8.9 TEOREMA DE PITÁGORAS........................................................................................109
8.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras.........................................................................110
9 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................................111
9.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS) ...................................................111
9.1.1 Prismas ....................................................................................................................112
9.1.2 Pirâmides .................................................................................................................113
9.1.3 Cilindro, cone e esfera ............................................................................................114
9.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .........................................115
9.2.1 Mudança de unidades de volume...........................................................................116
9.2.2 Cálculo de volumes.................................................................................................116
9.2.3 Formulário para o cálculo de volumes ..................................................................120
10 TRIGONOMETRIA........................................................................................................121
10.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO...............................................................................122
10.1.1 Exercícios ..............................................................................................................123
10.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO ........................................................................124
10.2.1 Exercícios ..............................................................................................................125
10.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO ...................................................................................126
10.3.1 Exercícios ..............................................................................................................126
10.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO ...............................................................127
10.4.1 Exercícios ..............................................................................................................127
10.5 APLICAÇÃO PRÁTICA ..............................................................................................128
10.5.1 Exercícios ..............................................................................................................128
11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE....................................................................135
11.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME........................................................135
11.1.1 Transformação de medidas ..................................................................................135
11.2 MEDIDA DE MASSA..................................................................................................137
11.2.1 Unidade fundamental ............................................................................................137
11.2.2 Mudança de unidade .............................................................................................137
9
11.2.3 Exercícios ...............................................................................................................138
11.3 MASSA ESPECÍFICA ................................................................................................138
12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc ....................................................................................141
12.1 ROTAÇÕES...............................................................................................................141
12.2 DESIGNAÇÃO ...........................................................................................................142
12.3 TABELA .....................................................................................................................144
REFERÊNCIAS .................................................................................................................145
10
11
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Polias ..................................................................................................................63
Figura 2 – Diâmetro de polias ..............................................................................................63
Figura 3 – Engrenagens de polias........................................................................................64
Figura 4 − Paquímetro .........................................................................................................78
Figura 5 − Escala .................................................................................................................78
Figura 6 − Nônio ..................................................................................................................79
Figura 7 – Escala nônio .......................................................................................................79
Figura 8 – Posição 0,1 ........................................................................................................79
Figura 9 – Posição 0,2 ........................................................................................................79
Figura 10 – Posição 0,3 .......................................................................................................79
Figura 11 – Sistema Inglês Ordinário ...................................................................................80
Figura 12 – Posição 1/16” ....................................................................................................80
Figura 13 - Posição 1/8” .......................................................................................................80
Figura 14 – Posição 5/8” ......................................................................................................80
Figura 15 - Nônio em polegadas ..........................................................................................80
Figura 16 - Nônio e escala em polegadas ............................................................................81
Figura 17 – Posição 1/128” ..................................................................................................81
Figura 18 – Posição 1/64” ....................................................................................................81
Figura 19 – Posição 3/128” ..................................................................................................81
Figura 20 - Posição 33/128” .................................................................................................82
Figura 21 - Posição 45/64” ...................................................................................................82
Figura 22 - Posição 49/128” .................................................................................................82
Figura 23 - Posição 37/64” ...................................................................................................83
Figura 24 - Posição 13/32” ...................................................................................................83
Figura 25 - Posição 1 39/128” .............................................................................................83
Figura 26 − Medição interna.................................................................................................85Figura 27 − Medição externa................................................................................................85
Figura 28 − Medição de profundidade..................................................................................85
Figura 29 − Paquímetro de profundidade .............................................................................85
Figura 30 – Paquímetro com bicos longos, para medição em posição profunda ..................85
Figura 31 − Paquímetro de altura.........................................................................................86
12
Figura 32 − Paquímetro de altura equipado com relógio comparador ..................................86
Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição da espessura de dente de
engrenagem.......................................................................................................86
Figura 34 – Ângulo Ô .........................................................................................................104
Figura 35 – Ângulos consecutivos......................................................................................105
Figura 36 – Ângulos adjacentes .........................................................................................105
Figura 37 – Bissetriz...........................................................................................................105
Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice...........................................................................106
Figura 39 – Ângulo reto......................................................................................................106
Figura 40 – Ângulo agudo ..................................................................................................106
Figura 41 – Ângulo raso .....................................................................................................106
Figura 42 – Triângulo retângulo .........................................................................................109
Figura 43 − Quadrados dos catetos ...................................................................................109
Figura 44 − Retângulo e suas dimensões ..........................................................................111
Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada........................................111
Figura 46 − Figura geométrica ...........................................................................................112
Figura 47 − Prisma.............................................................................................................112
Figura 48 − Prismas retos ..................................................................................................113
Figura 49 − Pirâmide..........................................................................................................113
Figura 50 − Nomes das pirâmide........................................................................................114
Figura 51 − Cilindro............................................................................................................114
Figura 52 − Cone ...............................................................................................................114
Figura 53 − Esfera..............................................................................................................115
Figura 54 - Volumes...........................................................................................................115
Figura 55 – Litro .................................................................................................................136
13
INTRODUÇÃO
Em grego mathema vem da raiz manthanein, que quer dizer aprendizagem.
Este fascículo tem caráter instrumental. Serve como um conjunto de ferramentas e
estratégias para serem aplicadas a diversas áreas do conhecimento, assim como
para a atividade profissional.
Elaborado de forma concisa e clara, trata-se de valioso subsídio em sala de aula,
que permite otimizar a gestão de tempo e o rendimento do grupo, transformando-se
em ferramenta essencial para o desempenho do professor, assim como promover a
preparação do aluno para que execute os cálculos matemáticos básicos necessários
à interpretação e ao pleno desempenho na execução de projetos, operacionalização
de máquinas, ferramentas e equipamentos para a confecção de produtos industriais.
14
15
1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO
Números naturais são todos os números inteiros e positivos do zero até o infinito (∞).
1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO
Os objetos podem ser contados em grupos maiores ou menores, conforme a
conveniência. Assim, contam-se ovos em dúzia, pentes em centos, grampos em
grosas. Dúzias e centos passam a ser base de contagem. Quando se compram duas
dúzias de ovos, deve-se receber duas vezes uma dúzia.
Nem sempre é fácil avaliar um total quando não se tem com que compará-lo. O
hábito de comparar as quantidades contadas nos dedos das mãos talvez tenha
contribuído para que se estabelecesse o sistema decimal de numeração.
No sistema decimal de numeração, a base de contagem é dez. Logo, são
necessárias 10 unidades para formar uma dezena ( )10110 =× , dez dezenas para
formar uma centena ( )1001010 =× e dez centenas para formar uma unidade de
milhar ( )100010010 =× .
O sistema decimal representa as quantidades usando a regra da posição decimal.
Cada posição indica um tipo de grupo: unidade, dezenas, centenas, milhar etc., e
cada algarismo indica a quantidade de grupos:
{ }∞= ,.....5,4,3,2,1N
1000
100
10
1
16
Um número com um algarismo: por exemplo, o algarismo 2, só tem uma posição: é a
posição das unidades. As outras posições aparecem à esquerda da posição das
unidades.
Posição das
unidades
2
Um número com dois algarismos – como 82 – tem duas posições: a das unidades e
das dezenas, que fica logo à esquerda da posição das unidades. Isso indica que a
dezena vale 10 vezes mais que a unidade.
posição das
dezenas
posição das
unidades
8 2
Um número com três algarismos – como 982 – tem três posições: a das unidades, a
das dezenas e a das centenas. A posição das centenas fica logo à esquerda da
posição das dezenas. Isso indica que a centena vale 10 vezes mais que a dezena.
Posição das
centenas
posição das
dezenas
posição das
unidades
9 8 2
Um número com quatro algarismos – como 1 982 – tem quatro posições: a das
unidades, a das dezenas, a das centenas e a das unidades de milhar. Logo à
esquerda da posição das centenas fica a posição das unidades de milhar. Isso
indica que a unidade de milhar vale 10 vezes mais que a centena.
Posição das
unidades de
milhar
posição das
centenas
posição das
dezenas
posição das
unidades
1 9 8 2
Cada posição representa um grupo que é 10 vezes maior que o grupo que fica na
posição logo à direita. Por exemplo, a centena é 10 vezes maior do que a dezena.
unidades
de milhar centenas dezenas unidades
A isso se chama regra da posição decimal. Ao utilizá-la, pode-se usar mais posições
colocando novos algarismos para a esquerda; as posições representam grupos cada
vez maiores.
17
No exemplo a seguir estão marcadas as posições do número 71 329 081 (setenta e
um milhões, trezentos e vinte e nove mil e oitenta e um).
7 dezenas
de milhão
1 unidade
de milhão
3 centenas
de milhar
2 dezenas
de milhar
9 unidades
de milhar
0 centenas 8 dezenas 1 unidade
7 1 3 2 9 0 8 1
campo do milhão campo do milhar campo da centena
1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA
A decomposição de um número em classes de três algarismos é feita com um
pequeno intervalo entre os algarismos que separam as classes. Não se deve usar
sinais, como o ponto ou a vírgula. Vejam-se os exemplos:
85 307 → lê-se oitenta e cinco mil, trezentos e sete (unidades).
9 666 201 → lê-se nove milhões, seiscentos esessenta e seis mil e duzentos e um
(unidades).
3 567 908 315 → lê-se três bilhões, quinhentos e sessenta e sete milhões, novecentos
e oito mil e trezentos e quinze (unidades).
1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO
Cada algarismo significativo de um número tem dois valores: o valor absoluto e o
valor relativo.
Valor absoluto é o que ele tem isoladamente do número a que pertence, e valor
relativo é aquele que o algarismo recebe de acordo com o lugar que ocupa no
número. Veja-se o exemplo:
No número 4 602 tem-se que: valores relativos
2 – representa as unidades simples ............................................ 2
0 – representa as dezenas .......................................................... 00
6 - representa as centenas ......................................................... 600
4 – representa as unidades de milhar ........................................4 000
4 602
18
1.4 EXERCÍCIOS
1) Dizer quais os algarismos que representam as unidades simples, as dezenas e as
centenas do número 453.
Solução: em 453 tem-se:
3..... unidades .... simples .....3
5..... dezenas ....... ....... ...50
4..... centenas ...... ....... ..400
2) Quantas unidades, dezenas e centenas há em 726 unidades?
Solução: em 726 há
7 centenas e 2 dezenas; e, como cada centena vale dez dezenas, o
total de dezenas é 72.
 7 x 100 = 700 → 7 centenas
 70 x 10 = 700 → 70 dezenas
 2 x 10 = 20.... → 2 dezenas
3) Qual é o valor relativo de 5 em cada um dos números: 12 502 e 36 715?
Solução:
em 12 502 tem-se 500 como valor relativo
em 36 715 tem-se 5 como valor relativo
4) Quantas dezenas há em 850 unidades? E quantas centenas?
5) Observar o número 293 e dizer qual é o algarismo de maior valor absoluto e qual
é o algarismo de maior valor relativo.
6) No número 3 472, quais são os algarismos das unidades simples, das dezenas e
das centenas e das unidades de milhar?
7) Escrever o menor e o maior número formado por dois algarismos significativos
diferentes.
8) Qual é o valor relativo de 8 em cada um dos números: 8 315 e 12 080?
19
2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS
2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Adição é a operação que permite reunir todas as unidades de diversos números em
um só número. O resultado desta operação chama-se soma ou total, e os números
que se somam, parcelas ou termos. Esta operação permite resolver todos os
problemas práticos nos quais ocorre o ato de reunir ou juntar os objetos da mesma
espécie ou as medidas de diversas grandezas referentes à mesma unidade.
2.1.1 Propriedades fundamentais da adição
São duas as propriedades fundamentais:
2.1.1.1 Comutativa – A ordem das parcelas não altera a soma.
Exemplos: 4 + 3 é igual a 3 + 4 (ambas valem 7)
6 + 8 + 1 = 8 + 6 + 1 = 1 + 8 + 6 (todas valem 15).
2.1.1.2 Associativa – A adição de vários números não se altera se algumas de suas
parcelas forem substituídas por sua soma efetuada.
Exemplo: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 ou
8 + 3 + 5 = 11 + 5
NOTA:
Inversamente pode-se aplicar a propriedade dissociativa, isto é, substituir parcela
por outras que a tenham por soma.
Exemplo: 11 + 5 = (8 + 3) + 5
2.1.2 Regra prática para efetuar a adição
Para somar diversos números naturais, escrevem-se uns embaixo dos outros, de
modo que fiquem dispostos em colunas ou em algarismos da mesma ordem. Em
outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de
dezenas, centenas embaixo de centenas...
20
Exemplo: Para somar 125 + 13 + 9, escreve-se da seguinte maneira:
125
 + 13
 9
Somam-se os algarismos da última coluna à direita, escreve-se embaixo dela o
algarismo que representa as unidades simples da soma; as dezenas, caso existam,
são somadas aos algarismos da coluna das dezenas. Procede-se da mesma forma
até a última coluna à esquerda, quando se obtém o resultado total.
No exemplo: 1
125
13
+ 9
147
2.1.3 Como conferir uma soma
Pode-se comparar o resultado de uma soma através da prova real, que é baseada
na propriedade comutativa. Desse modo, pode-se refazer a operação depois de ter
trocado a ordem das parcelas. Na prática, equivale a fazer a adição de baixo para
cima. Se estiver correta, encontra-se o mesmo resultado.
Exemplo:
 1 024 89
20 132 20 132
+ 89 + 1 024
21 245 21 245
2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Subtração é a operação que envolve ou representa a idéia de tirar, deduzir ou
diminuir. O número do qual se tiram unidades é chamado minuendo; o que é tirado
dele chama-se subtraendo, e o resultado é chamado resto ou diferença.
A subtração só é possível quando o subtraendo é menor que o minuendo ou, no
máximo, igual a ele. Se os termos forem iguais, o resultado será nulo.
2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração
Para efetuar a subtração de dois números escreve-se o subtraendo embaixo do
minuendo, de modo que fiquem dispostos em colunas os algarismos de mesma
ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas
embaixo de dezenas e centenas embaixo de centenas.
21
Exemplo: 8 563 – 928 8 563
– 928
resultado: 7 635
2.2.3 Como verificar se a subtração está certa
Quando se faz uma subtração pode-se tirar a prova, isto é, pode-se verificar se a
subtração está correta. Para isso, soma-se o subtraendo com o resto ou diferença.
Exemplo: 8 563 7 635
– 928 + 928
7 635 8 563
A subtração está certa, porque o número 8 563 – obtido como resultado na adição –
coincide com o minuendo da subtração, que também é 8 563.
2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo: 4 + 4 + 4 = 12
4 x 3 = 12 ⇒ que se lê: quatro multiplicado por três ou quatro vezes três.
Nesta adição, a parcela (4) que se repete é chamada multiplicando; o número de
vezes (3) que a parcela aparece é chamado multiplicador, e o resultado (12) chama-
se produto.
Desse modo, tem-se a seguinte definição: Multiplicação é a operação que permite
somar um número chamado multiplicando tantas vezes como parcela quantas forem
as unidades do outro número, chamado multiplicador.
A multiplicação é indicada por um X colocado entre os dois números chamados
fatores. Costuma-se, também, indicar a multiplicação de dois números por um ponto
colocado entre os fatores.
Exemplo: 1234 =×
OBSERVAÇÕES:
1.ª Quando o multiplicando ou o multiplicador for 0, o produto será nulo.
Exemplo:
050 =× ⇒ porque 000000 =++++
2.ª Quando o multiplicando for 1, o produto será igual ao multiplicador.
Exemplo:
441 =× ⇒ porque 41111 =+++
22
3.ª Ao multiplicar um número natural por 2, obtém-se o dobro desse número; por 3,
o triplo; por 4, o quádruplo etc.
Exemplos:
5 x 2 = 10 5 + 5 = 10
5 x 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15
5 x 4 = 20 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação
São duas as propriedades fundamentais:
2.3.1.1 Comutativa – A ordem dos fatores não altera o produto.
Exemplo: 4 x 3 é igual a 3 x 4 (ambas iguais a 12).
2.3.1.2 Distributiva em relação à soma e à diferença indicada – Para multiplicar uma
soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma de suas
parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os
resultados.
Exemplos: (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3
(7 – 4) x 5 = 7 x 5 - 4 x 5
Esta propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos
os termos.
2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação
Mostram-se duas regras:
1.ª A multiplicação de dois números naturais de um só algarismo é feita de memória.
Os resultados dessas multiplicações encontram-se na tábua de multiplicação de
Pitágoras. Como exemplo, veja-se como saber o resultado da multiplicação 7 x 8:
1 2 3 4 5 6 7 8 9X
1 1 2 3 4 5 6 7 89
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
23
Procura-se o número 8 na primeira coluna vertical e acompanha-se a linha do 8 na
horizontal; depois busca-se o número 7 na primeira linha horizontal e acompanha-se
a coluna do 7 na vertical. Onde as duas linhas se encontram, acha-se o resultado.
Solução: 7 x 8 = 56
2.ª A multiplicação de um número natural qualquer por outro de um só algarismo é
feita multiplicando-se o valor absoluto do multiplicador por cada um dos
algarismos do multiplicando, a partir da direita.
De cada produto parcial escreve-se o algarismo das unidades, enquanto as
dezenas se juntam ao produto parcial sucessivo. O último produto obtido é
escrito por completo.
Exemplo: 8329 x 7
1º) 6379 =× 2º) 1472 =×
3º) 2173 =× 4º) 5678 =×
2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa
2.3.3.1 Prova real – É feita refazendo-se a operação depois de trocada a ordem dos
fatores. Pela propriedade comutativa, deve-se encontrar o mesmo resultado se a
operação estiver certa.
Exemplo: 236 25
X 25 x 236
1180 150
472 75
5 900 50 .
5 900
2.3.3.2 Também é possível fazer a prova dividindo o produto da multiplicação (5 900)
pelo multiplicador (25). Para que o cálculo esteja correto, deve-se obter como
resultado o multiplicando (236).
20
6+
23
2+
58
2+
58303
7
8329
622
×
24
Exemplo: 5 900 25
50 0 236
090
 75 0
 150
 150
000
2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Divisão é a operação que permite verificar quantas vezes um número está contido
em outro. O maior número (o que contém) chama-se dividendo; o menor (o que está
contido), divisor; o número de vezes que o dividendo contém o divisor é chamado
quociente.
Se o divisor está contido exatamente um certo número de vezes no dividendo, a
divisão é exata; caso contrário, é aproximada.
Chama-se resto a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente.
A divisão é indicada pelos sinais : ou ÷ que se lêem “dividido por”.
Exemplo:
– divisão exata
15 é o dividendo
15 : 3 = 5 onde 3 é o divisor
 5 é o quociente.
– divisão aproximada
17 3 onde 17 é o dividendo
15 5 3 é o divisor
02 5 é o quociente
2 é o resto.
2.4.1 Propriedades gerais da divisão
1.ª Um número dividido por si mesmo resulta como quociente a unidade.
Exemplo: 188 =÷ porque 818 =×
2.ª Um número dividido pela unidade resulta como quociente o próprio número.
Exemplo: 155 =÷ porque 515 =×
25
3.ª Zero dividido por qualquer outro número resulta como quociente zero.
Exemplo: 070 =÷ porque 070 =×
4.ª Não tem sentido a divisão quando o divisor é zero.
Assim, por exemplo, =÷ 07 ? (impossível), pois não existe número algum que,
multiplicado por 0, dê 7.
Quando um número é dividido por 2 costuma-se dizer que se tomou sua metade; por
3, sua terça parte; por 4, sua quarta parte etc.
Para as divisões exatas vale, também, a propriedade distributiva, isto é:
( ) 31232431224 ÷+÷=÷+
( ) 31232431224 ÷−÷=÷−
Do estudo feito, observa-se que:
a) O resto de uma divisão aproximada é sempre menor que o divisor.
Exemplo: 39 5 10 7
35 0 7 7 1
04 3
b) O resto de uma divisão exata é zero.
Exemplo: 24 8
 24 0 3
 00
2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão
1.ª Lembrando da tábua de multiplicação de Pitágoras, pode-se fazer de memória
as divisões em que o divisor tem um só algarismo e o quociente é menor que 10.
Assim, por exemplo, na divisão de 30 por 4 o quociente é 7 e o resto é 2, porque
30 = 7 x 4 + 2
2.ª Para dividir um número qualquer por outro, separa-se no dividendo, a partir da
esquerda, um número que tenha o divisor no mínimo uma vez e no máximo nove
vezes. A parte separada é o primeiro dividendo parcial.
Exemplo: 5 639 15
Divide-se o número que foi separado no dividendo (56) pelo divisor (15), obtendo
o primeiro algarismo do quociente (3).
5 639 15
 3
26
A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (3) pelo divisor (15) e
subtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial (56), tendo como resultado o
resto parcial (11).
5 639 15
45 0 3
11
Divide-se o segundo dividendo parcial (113) pelo divisor (15) e encontra-se o
segundo algarismo do quociente (7).
5 639 15
45 0 37
113
A seguir multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (7) pelo divisor (15) e
subtrai-se o produto (105) do segundo dividendo parcial (113), tendo como
resultado o resto parcial (8).
5 639 15
45 0 37
113
105
008
À direita do resto obtido (8) baixa-se o algarismo seguinte do dividendo (9);
obtém-se, assim, o terceiro dividendo (89), que é o último desta divisão.
5 639 15
45 0 37
113
105 0
0089
Divide-se o terceiro dividendo (89) pelo divisor (15) e encontra-se o terceiro
algarismo do quociente (5).
5 639 15
45 0 375
113
105 0
0089
A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (5) pelo divisor (15) e
subtrai-se o produto do terceiro dividendo (89).
27
5 639 15
45 0 375
113
105 0
0089
 75
 14
Está terminada a divisão. Obteve-se como resultado do cálculo 375 e como resto, 14.
2.4.3 Como verificar se a divisão está correta
Faz-se a prova real. A prova real da divisão é feita multiplicando-se o quociente
(375) pelo divisor (15) e somando este produto com o resto (14). Se a operação
estiver correta, deve-se encontrar o dividendo (5 639).
5 639 15
45 0 375
113 x 15
105 0 5 625
0089 + 14 
 75 5 639
 14
2.4.4 Divisão de números naturais com zeros no final dos números
Para facilitar a divisão de números naturais com zeros no final dos números, deve-se
cortar o mesmo número de zeros no dividendo e no divisor e fazer a divisão
normalmente, como já aprendido. Exemplos:
1 680 40 6 000 80
16 0 42 56 0 75
008 040
 8 0 40 0
 0 00
2.5 POTÊNCIA
Chama-se potência de um número o produto cujos fatores são todos iguais a ele.
Exemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Representação: 35 = 243 → lê-se três elevado à quinta potência.
- o número 3 é denominado base;
- o número 5, expoente ou grau;
- o número 243, produto de todos os fatores repetidos, é a
potência.
28
2.5.1 Regras práticas de potenciação
1.ª Para multiplicar potências semelhantes (com mesmos expoentes) multiplicam-se
as bases e conserva-se o expoente.
Exemplos: 34 x 44 = 124 82 x 42 = 322
2.ª Para dividir potências semelhantes dividem-se as bases e conserva-se o expoente.
Exemplos: 83 ÷ 23 = 43 42 ÷ 22 = 22
3.ª Para multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes e conserva-se a
base.
Exemplos: 32 x 33 x 34 = 32+3+4 = 39
73 x 74 = 73+4 = 77
4.ª Para dividir potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os
expoentes.
Exemplos: 37 ÷ 34 = 37-4 = 33
54 ÷ 53 = 54-3 = 51
5.ª Para elevar uma potência a outra potência multiplicam-se os expoentes.
Exemplos: (22)5 = 210
(33)4 = 312
6.ª Para elevar uma fração a uma potência elevam-se os dois termos a essa potência.
Exemplos:
7.ª Qualquer número diferente de zero, elevado a um expoente negativo, é igual ao
inverso do mesmo número, com expoente positivo.
Exemplo:
 8
1
2
12 3
3
==
−
OBSERVAÇÕES:
a) 18 = 1 (um) 1 elevado qualquer expoente será sempre 1.
b) 21 = 2 qualquer número elevado a expoente 1 não se altera.
c) 70 = 1 qualquer número elevado a expoente zero será sempre 1.
35
333
5
3
=





292.5.2 Exercícios
1. Calcular as potências:
2. Calcular o quadrado de 133.
3. Calcular o quadrado de 125.
4. Calcular o cubo de 3.
5. Calcular o cubo de 9.
6. Calcular a diferença entre o cubo de 6 e o quadrado de 7.
7. Calcular o produto da diferença entre o quadrado de 11 e o quadrado de 9 por 15.
8. Calcular a divisão do cubo de 8 pelo quadrado de 4.
9. Calcular as seguintes expressões:
82 + 33 + 52 + 122 + 112 + 73 =
132 - 92 + 152 - 202 + 63 + 42 =
=
=
=÷
=×
=
=
=
=
−
2
2
35
42
2
1
0
2
4 )8
40 )7
33 )6
22 )5
7 )4
175 )3
5 )2
7 )1
( )
( )
=





=





=×
=÷
=
=
=
=
−
3
3
3
3
2
2
2
2
4
1 )16
5
3 )15
42 )14
26 )13
1000 )12
100 )11
8 )10
2 )9
30
10. Controle mensal da produção de uma indústria de ferramentas segundo a
capacidade horária de fabricação das máquinas, por setor.
Calcular as unidades fabricadas.
Especificação do produto Setor Produção horária Horas trabalhadas Unidades
fabricadas
chaves de boca ¾”
alicate bico redondo
martelo modelo 00/20
chave Allen
brocas ½”
alargadores 3/8”
chave de fenda 4x¼”
A
B
C
D
E
A
D
14 500
324
867
285
620
255
117
35
25
40
38
27
18
29
Total das unidades fabricadas
O quadro abaixo representa a produção mensal de uma máquina. Sabendo que a
empresa trabalha 21 dias por mês, à razão de 8 horas por dia, calcular o número de
peças fabricadas.
a) durante 1 dia de trabalho
b) durante 1 hora de trabalho.
Especificação do produto Produção mensal Produção diária Produção horária
peça 7-04
peça 185/B
peça 04-12
peça BC-7
peça KL-24
peça 35-12
peça ZY
peça 400.02
672
840
1 344
2 016
2 520
1 512
7 392
1 008
31
3 NÚMEROS DECIMAIS
Decimal é o número que tem uma parte (inteira) à esquerda da vírgula e outra parte,
a decimal, à direita. Exemplo: 3,125. Os algarismos à esquerda da vírgula representam
o número de unidades inteiras, e os números à direita da vírgula representam,
sucessivamente, décimos, centésimos, milésimos etc. dessa unidade.
O grupo de algarismos à esquerda da vírgula denomina-se parte inteira; o da direita,
parte decimal.
3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS
Exemplos de leitura dos números decimais:
 trezentos e quatorze centésimos
 sete mil, quatrocentos e oitenta e cinco milésimos
 duzentos e cinco centésimos
 dois mil e cinco milésimos.
Na outra forma de leitura, é necessário conhecer os décimos, centésimos e milésimos,
e também as posições decimais. Lê-se primeiramente o número que representa a parte
inteira, seguido do nome unidades, e depois a parte decimal, dando a designação da
unidade representada pelo último algarismo da direita. Se a parte inteira for nula, lê-
se somente a parte decimal. São exemplos:
⇒623,15 15 inteiros e 623 milésimos
⇒72,2 2 inteiros e 72 centésimos
⇒8543,3 3 inteiros e 8 543 décimos de milésimos
⇒01856,0 1 856 centésimos de milésimos
⇒02,0 2 centésimos
⇒001,0 1 milésimo
→= 100
31414,3
→= 1000
7485485,7
→= 100
20505,2
→= 1000
2005005,2
32
O quadro a seguir apresenta as posições decimais do número 4,918463.
in
te
iro
s
dé
ci
m
os
ce
nt
és
im
os
m
ilé
si
m
os
dé
ci
m
os
 d
e
m
ilé
si
m
o
ce
nt
és
im
os
de
 m
ilé
si
m
o
m
ili
on
és
im
o
quatro inteiros, novecentos e
dezoito mil e quatrocentos e
sessenta e três milionésimos
4, 9 1 8 4 6 3
Se for necessário escrever um número decimal que tenha partes ainda menores que
o milionésimo, pode-se usar posições cada vez mais para a direita.
3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Compor é formar um número juntando seus grupos.
Exemplos:
Qual é o número que contém 3 dezenas, 2 unidades, 8 décimos, 4 centésimos e 5
milésimos? O número decimal formado é: 32,845
Qual é o número que contém 4 unidades, 6 décimos, 2 centésimos e 3 milésimos?
O número decimal formado é: 4,623
Por outro lado, decompor um número decimal é dar o valor de cada algarismo dele.
Exemplos:
43,265 – A posição dos algarismos indica que esse número é formado por:
4 dezenas, 3 unidades, 2 décimos, 6 centésimos e 5 milésimos.
21,874 – Ele é formado por:
2 dezenas, 1 unidade, 8 décimos, 7 centésimos e 4 milésimos.
3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Comparar números decimais consiste em descobrir qual é o maior. Quando dois
números decimais têm as unidades inteiras diferentes, é muito fácil saber qual é o
maior. Neste caso, o maior é aquele que tem a parte antes da vírgula, inteira, maior.
33
Exemplos:
Qual é o maior: 2,31 ou 1,52? Logo se vê que 2,31 é maior que 1,52, porque 2 é
maior que 1. Do mesmo modo, o número 11,03 é maior que 9,12 porque 11 é maior
que 9 e o número 12,5 é maior que 10,628 porque 12 é maior que 10.
Mostra-se agora como descobrir o número decimal que é maior quando as unidades
inteiras são iguais.
3.3.1 Primeiro caso
Observando os números 3,15 e 3,12, verifica-se que têm unidades inteiras iguais
antes da vírgula, e também a mesma quantidade de posições depois da vírgula. Os
dois números têm duas posições decimais depois da vírgula. Neste caso, é só
comparar: é maior o número que tem a parte decimal maior. Assim, 3,15 é maior que
3,12, porque 15 é maior que 12.
3.3.2 Segundo caso
Observando agora os números 6,15 e 6,7, vê-se que têm unidades inteiras iguais e
partes decimais com quantidade diferente de posições depois da vírgula. O primeiro
tem dois algarismos depois da vírgula, e o segundo só tem um. Neste caso, para
saber qual é o maior, iguala-se a quantidade de casas decimais colocando zeros no
número que tiver menos casas. Assim: 6,15 e 6,70. Em seguida, vê-se qual dos
dois tem a parte decimal maior.
No exemplo, 6,7 é maior que 6,15 porque:
– as partes inteiras são iguais (6 e 6);
– ao igualar o número de casas vê-se que 70 é maior que 15.
Em outro exemplo:
8,3 é maior que 8,125 porque:
– as partes inteiras são iguais (8 e 8);
– ao igualar o número de casas da parte decimal colocando zeros deixam-se os
dois números com três casas: 8,300 e 8,125;
– vê-se que 300 é maior que 125.
3.4 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS DECIMAIS
3.4.1 Adição de números decimais
Para somar um número decimal deve-se escrever os números de maneira que as
vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a
soma exatamente como se faz com os números naturais. Depois, para completar a
soma, coloca-se a vírgula no resultado.
34
Exemplo: Efetuar a soma: 5,135 + 103,61 + 237,402= 346,147 5,135
 103,61
 + 237,402
 346,147
A vírgula do resultado da soma deve ficar abaixo das demais vírgulas.
Às vezes torna-se necessário somar números inteiros (números sem vírgulas) com
números decimais (números com vírgula). Neste caso, para a montagem da conta
considera-se que há uma vírgula logo após o número inteiro.
Exemplo: Efetuar a soma: 8,23 + 13= 21,23 8,23
+ 13,00
21,23
Observe-se que a vírgula que se considera existir no número 13 ficou
embaixo da vírgula do número decimal.
3.4.1.1 Soma de medidas – Para somar medidas, o procedimento é o mesmo
utilizado para efetuar adições ou subtrações de números naturais e números
decimais. As medidas a ser somadas precisam estar na mesa unidade.
Exemplo: Para somar 3,2 m + 25,1 m
 3,2 m a unidade de medida é o metro
+ 25,1 m a unidade de medida é o metro
28,3 m a unidade de medida é o metro
3.4.2 Subtração de números decimais
Para subtrair um número decimal, deve-se escrever os números de maneiraque as
vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a
subtração exatamente como é feito com números naturais. Depois, para completar a
subtração, é necessário colocar a vírgula no resultado.
Exemplo: Efetuar a seguinte subtração:
228,943 - 117,540 228,943
– 117,540
 111,403
A vírgula do resultado da subtração deve ficar abaixo das demais vírgulas.
Às vezes precisa-se subtrair números inteiros (números sem vírgula) de números
decimais (números com vírgula), ou subtrair números decimais (números com
vírgulas) de números inteiros (números sem vírgula).
35
Exemplos: 9,453 5
- 7 - - 3,22
Para facilitar a operação, coloca-se a vírgula no número natural e preenchem-se as
posições vazias com zeros.
 9,453 5,00
- 7.000- - 3,22
Depois, efetua-se a operação:
 9,453 5,00
- 7.000- - 3,22
 2,453 1,78
3.4.3 Multiplicação de números decimais
3.4.3.1 Multiplicação de números decimais por números naturais – Inicialmente, faz-
se a multiplicação como nos números naturais.
12,6
 x 4
504
Agora só falta pôr a vírgula no resultado.
Dos números que foram multiplicados, um possui uma casa decimal (12,6, isto é, um
algarismo depois da vírgula). Neste caso, o resultado ficará com uma casa decimal,
uma casa após a vírgula:
12, 6 este fator tem uma posição decimal
 x 40
50, 4 o produto ou resultado tem uma posição decimal
Quando se multiplica um número decimal que tem duas posições decimais por um
número natural, o resultado também fica com duas posições decimais, isto é, dois
algarismos depois da vírgula.
Exemplo:
2, 14 este fator tem duas posições decimais
 x 2 0
4, 28 o produto ou resultado tem duas posições decimais.
36
Quando se multiplica um número decimal que tem três posições decimais por um
número natural, o resultado também fica com três posições decimais, isto é, três
algarismos depois da vírgula. Exemplo:
 2, 314 este fator tem três posições decimais
 x 5 0
11, 570 o produto ou resultado tem três posições decimais.
Da mesma maneira, ao multiplicar um número decimal com quatro casas decimais
por um número natural, o resultado terá quatro casas decimais, e assim por diante.
3.4.3.2 Multiplicação de números decimais por números decimais – Também neste
caso, a única diferença entre a multiplicação com números naturais e a multiplicação
com números decimais é a vírgula. Exemplo:
 2,7 uma casa decimal Serão somadas as casas decimais e contadas
x 1,4 0 uma casa decimal no resultado, da direita para a esquerda.
 108
+ 27 
 3,78 duas casas decimais
− − , 7 2 casas ,78 duas casas após a vírgula
− − , 4
Outros exemplos:
 13,58 duas casas decimais
 x 3,6 0 uma casa decimal
 8148
+4074 0
 48,888 três casas decimais
Neste exemplo, o resultado ficou com três casas decimais, porque os dois fatores
juntos têm três casas decimais após a vírgula.
 14,59 duas casas decimais
 x 1,25 0 duas casas decimais
 7295
 2918
+ 1459 0
 18,2375 quatro casas decimais
Neste exemplo, o resultado ficou com quatro casas decimais porque os dois fatores
juntos têm quatro casas decimais.
37
3.4.4 Divisão de números decimais
A divisão é o processo inverso da multiplicação. Assim, nesta operação, ao invés de
somar, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo do número de
posições decimais do divisor.
Exemplo:
 4 , 9 5 0 ÷ 2, 7 5 = 1 , 8
 três duas uma
 posições posições posição
 decimais decimais decimal
3.4.4.1 Divisões cujo dividendo tem maior número de posições decimais que o divisor
1.º exemplo: 3,22 ÷ 2,3 =
Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem
naturais.
 3,22 2,3 322 230 método de igualar as casas decimais
- 2 3 0 1,4 ou 230 1,......
 0 92 092
- 92 para continuar, coloca-se um zero ao lado do 92.
 00 920 230
920 ...,4
000 Resultado: 1,4
Para colocar a vírgula no quociente, contam-se as casas decimais do dividendo e
subtrai-se do número de casas decimais do divisor.
3,22 ÷ 2,3 =
 2 – 1 = 1
Nesta divisão, o quociente terá 1 casa decimal, ou seja: 1,4.
2.º exemplo: 12,744 ÷ 5,4
 12,744 5,4
- 10 8 0 2,36
 01 94
- 1 62
 0 324
- 324
 000
38
O dividendo tem três posições decimais, e o divisor tem uma posição decimal. Como
3 - 1 = 2, o quociente terá duas posições decimais.
Assim: 12,744 ÷ 5,4 = 2,36
3 - 1 = 2
3.º exemplo:
Tendo-se uma divisão cujo dividendo tem uma ou mais posições decimais e o divisor
é número natural que não tem posições decimais, ou seja, zero posições decimais.
Inicialmente faz-se a divisão como segue:
83,7 ÷ 27 = 3,1
 83,7 27
- 81 0 3,1
 02 7
- 2 7
 0 0
Para colocar a vírgula, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo, que
é um, do número de posições decimais do divisor, que é zero. Então: 1 – 0 = 1
83,7 ÷ 27 = 3,1
 1 - 0 = 1
4.º exemplo:
116,55 ÷ 63 =
 116,55 63
- 63 0 1,85
 53 5
- 50 4 0
 03 15
- 3 15
 0 00
Para colocar a vírgula, tem-se duas posições decimais no dividendo menos zero
posições decimais no divisor:
116,55 ÷ 63 = 1,85
 2 - 0 = 2
39
3.4.4.2 Divisões cujo dividendo e divisor têm o mesmo número de posições decimais
1.º exemplo:
46,8 ÷ 7,8
Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem
naturais.
 46,8 7,8
- 46 80 6
 00 0
O dividendo tem uma posição decimal. O divisor também tem uma posição decimal.
46,8 ÷ 7,8 = 6
 1 - 1 = 0
O quociente é um número sem posições decimais.
2.º exemplo:
8,16 ÷ 0,68 = 12
 8,16 0,68
- 6 8 0 12
 1 36
- 1 36 0
0 00
O quociente é um número que tem apenas unidades inteiras, sem partes decimais,
porque o dividendo e o divisor têm o mesmo número de posições decimais.
3.4.4.3 Divisões cujo dividendo tem menor número de posições decimais que o divisor
1.º exemplo:
 53,9 ÷ 3,85 =
O dividendo tem uma posição decimal; o divisor tem duas posições decimais. Pode-se
calcular zeros à direita de um número decimal depois da vírgula, sem mudar seu
valor. Se for colocado um zero no dividendo, ficam duas posições decimais, tanto no
dividendo como no divisor:
53,90 ÷ 3,85 =
40
Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem
naturais.
 53,90 3,85
- 38 5 0 14
 15 40
- 15 40 0
00 00
O quociente é um número sem posição decimal, porque:
53,90 ÷ 3,85 = 14
 2 – 2 = 0
2.º exemplo:
59,5 ÷ 2,125 = 28
 59,500 2,125
 - 42 50 0 28
 17 000
- 17 000 0
 00 000
O quociente é um número sem posição, porque:
59,500 ÷ 2,125 = 28
 3 – 3 = 0
3.º exemplo:
Quando o dividendo tem somente unidades inteiras, pode-se colocar vírgula no
dividendo e acrescentar zeros:
202 ÷ 50,5 =
 202,0 50,5
 - 202 0 0 4
000 0
O quociente é um número sem posição decimal, porque:
41
 202,0 ÷ 50,5 = 4
1 – 1 = 0
3.4.4.4 Divisões com aproximação – Já foi visto que, para determinar as posições
decimais do quociente de uma divisão, basta contar as posições decimais do
dividendo e do divisor e subtrair uma da outra.
1.º exemplo:
3,3 ÷ 1,2 = 2
 3,3 1,2
 – 2,40 2
 0 9
O quociente é um número sem posições decimais, e sobra o resto9.
2.º exemplo:
3,30 ÷ 1,2 = 2,7
 3,30 1,2
- 2 4 0 2,7
 0 90
 84 0
 06
O quociente possui uma casa decimal, e sobra resto 6.
3.º exemplo:
3,300 ÷ 1,2 = 2,75
 3,300 1,2
- 2 4 0 2,75
 0 90
- 84 0
 060
- 60
 00
O quociente possui duas posições decimais. Sabe-se que é possível colocar zeros à
direita de um número decimal depois da vírgula sem mudar seu valor.
Então, 3,3 = 3,30 = 3,300
42
O dividendo e o divisor são os mesmos nas divisões anteriores,
3,3 ÷ 1,2 = 2
3,30 ÷ 1,2 = 2,7
3,300 ÷ 1,2 = 2,75
mas o quociente é diferente em cada exemplo. Isso significa que, quanto mais zeros
forem colocados no dividendo, mais posições decimais terá o quociente.
Ao continuar a conta – colocando zeros no dividendo – está-se fazendo uma
aproximação.
4.º exemplo:
1,5 ÷ 0,8 = 1
Esta é uma conta sem aproximação decimal.
 1,5 0,8
 – 8 0 1
 0 7
5.º exemplo:
1,50 ÷ 0,8 = 1,8
Esta é uma conta com aproximação de décimos, porque o quociente ficou com uma
posição decimal.
 1,50 0,8
 - 8 0 1,8
 0 70
 - 64 0 aproximação de décimos
Se for desejado, pode-se continuar a conta anterior até a casa dos centésimos,
milésimos..., desde que se continue a dispor de resto. Basta, para isso, ir
acrescentando zeros no dividendo.
 1,500 0,8 1,5000 0,8
 - 8 0 1,87 - 8 0 1,875
 0 70 0 70
 - 64 0 aproximação de centésimos - 64 0 aproximação de milésimos
 060 060
 - 56 - 56 0
 04 040
 40
00
43
3.4.4.5 Divisões com números decimais por 10, 100, 1 000 etc. – Para dividir um
número decimal por 10, 100, 1 000... deve-se deslocar a vírgula para a esquerda
tantas casas quantos forem os zeros do algarismo divisor. Na falta de casas
decimais no número que está sendo dividido, é preciso completar com zero a
posição decimal que está faltando.
1.º exemplo:
Para dividir um número por 10, desloca-se a vírgula uma casa para a esquerda:
375,12 ÷ 10 = 37,512
289,75 ÷ 10 = 28,975
 0,32 ÷ 10 = 0,032
2.º exemplo:
Para dividir um número por 100, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda:
843,2 ÷ 100 = 8,432
 43,8 ÷ 100 = 0,438
 0,2 ÷ 100 = 0,002
3.º exemplo:
Para dividir um número por 1 000, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda:
1 042,4 ÷ 1 000 = 1,0424
9 651,3 ÷ 1 000 = 9,6516
 74,8 ÷ 1 000 = 0,0748
3.5 EXERCÍCIOS
Calcular os comprimentos “C” indicados nas seguintes peças:
A B
44
C D
E F
G
45
H
Achar a profundidade de corte “P” necessária para dar forma quadrada ao eixo
representado abaixo.
Qual é a espessura da parede “E” da tubulação da figura a seguir?
46
Calcular o diâmetro “Ø” e a dimensão “X” da figura.
Calcular o comprimento C da figura.
Calcular na figura abaixo:
a) C =
b) Os espaços entre os pontos do intervalo 1 e 2.
∅
47
4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE
4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
Um número é múltiplo de outro quando sua divisão por ele é exata.
Assim, 21 é múltiplo de 7 e de 3, pois 21 ÷ 7 = 3
21 ÷ 3 = 7
4.2 DIVISIBILIDADE
4.2.1 Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando o último algarismo (de suas unidades) é 0, 2, 4,
6 ou 8. Isto é: divisíveis por 2 são todos os números pares.
4.2.2 Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos é divisível por 3.
Exemplo: o número 37 212 é divisível por 3 porque 3 + 7 + 2 + 1 + 2 = 15, que é
múltiplo de 3.
4.2.3 Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos da direita formam
um número divisível por 4.
Exemplos: os números 316, 7 620 e 156 732 são divisíveis por 4.
4.2.4 Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos: 220, 785, 250, 135, 170 e 485.
4.2.5 Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplos: 282, 180, 2 334, 192 e 72.
48
4.2.6 Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos é divisível por 9.
Exemplo: o número 1 836 é divisível por 9 porque 1 + 8 + 3 + 6 = 18, que é divisível
por 9.
4.2.7 Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Exemplos: 20, 50, 100, 2 000.
4.3 NÚMERO PRIMO
Um número é primo quando é divisível só por si e pela unidade (1).
Exemplos: a) 3 ÷ 3 = 1 b) 17 ÷ 17 = 1 c) 29 ÷ 29 = 1
3 ÷ 1 = 3 17 ÷ 1 = 17 29 ÷ 1 = 1
4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Mínimo múltiplo comum – MMC de dois ou mais números é o menor número
diferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo tempo.
Na prática, escrevem-se os números em linha horizontal, dividem-se todos pelos
fatores primos comuns e, separadamente, pelos não-comuns, até obter quocientes
iguais à unidade.
Exemplo: esta é a disposição de dados para extrair o MMC dos números 36, 90 e 120:
o MMC é o produto de todos os divisores, à direita do traço vertical. Isto é:
MMC (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 =360
 8 x 9 x 5 =360
36 – 90 -120 2
18 – 45 - 60 2
09 – 45 - 30 2
09 – 45 - 15 3
03 – 15 - 05 3
01 - 05 - 05 5
01 - 01- 01
49
4.5 EXERCÍCIOS
1 Calcular o MMC dos números:
a) 220, 110 e 50
b) 25, 15 e 90
c) 400, 1 200 e 1 500
d) 45, 60 e 75
e) 680 e 920
f) 750 e 370
g) 6, 12, 24 e 18
h) 8, 24, 18 e 16
2 Decompor os números 168, 180 e 300 em seus fatores primos, determinando o
MMC entre esses números.
3 Escrever à direita de 36 um algarismo tal que o número formado seja divisível
por 3.
4. Qual é o menor número que se deve somar a 453 para torná-lo divisível por 9?
50
51
5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Para representar uma ou mais partes do inteiro são necessários dois números: o
primeiro indica o número de partes que foram tomadas do inteiro, e é chamado
numerador; o segundo, diferente de zero, indica em quantas partes, de mesma
forma e tamanho, foi dividido o inteiro, e chama-se denominador.
Exemplo:
 . numerador
 denominador
O inteiro foi dividido em quatro partes iguais e foi tomada somente uma parte. A
parte tomada representa um quarto do todo.
 desenhar figura 0 ( )avosdezesseiscinco
16
5
= (( (((999
O inteiro foi dividido em dezesseis partes iguais e foram tomadas somente cinco
partes.
5.1 LEITURA DE FRAÇÕES
Para ler uma fração, diz-se primeiro o numerador e depois o denominador. Mas não
basta dizer os dois números, um depois do outro: conforme o denominador, lê-se a
fração de modo diferente.
Exemplos:
4
1
=
52
Denominador lê-se Exemplo
2
3
4
5
6
7
8
9
meio, meios
terço, terços
quarto, quartos
quinto, quintos
sexto, sextos
sétimo, sétimos
oitavo, oitavos
nono, nonos
 1 0
 2
 1 0 2 0
 3 3
 1 0 3 0
 4 4
 1 0 4 0
 5 5
 1 0 5 0
 6 6
 1 0 6 0
 7 7
 1 0 7 0
 8 8
 1 0 8 0
 9 9
Além desses denominadores, as frações podem ter qualquer outro denominador,
diferente de zero.
Para ler frações com denominador 10, 100 e 1 000:
- quando o denominador é 10, diz-se décimo ou décimos:
 1 0 lê-se um décimo
 10
 3 0 lê-se três décimos
 10
- quando o denominador é 100, diz-se centésimo ou centésimos:
 1 0 lê-se um centésimo
 100
 3 0 lê-se três centésimos
 10027 0 lê-se vinte e sete centésimos
 100
53
- quando o denominador é 1 000, diz-se milésimo ou milésimos:
 1 0 lê-se um milésimo
 1000
 27 0 lê-se vinte e sete milésimos
 1 000
 53 0 lê-se cinqüenta e três milésimos
 1 000
Se o denominador é um número maior que 10 e diferente de 100, 1 000..., lê-se o
número que representa o denominador seguido da palavra avos:
 3 0 lê-se três onze avos
 11
 6 0 lê-se seis quinze avos
 15
 1 0 lê-se um vinte avos
 20
 4 0 lê-se quatro cento e um avos
 101
5.2 TIPOS DE FRAÇÕES
5.2.1 Fração própria
O numerador é menor que o denominador.
5.2.2 Fração imprópria
O numerador é maior que o denominador. Suponha-se um círculo dividido em seis
partes. Cada parte corresponde a um sexto do círculo.
Na figura a seguir, o número de partes corresponde a nove sextos:
3
2
=
4
3
=
numerador menor
denominador maior
6
3
6
6
+
6
9
=
numerador maior
denominador menor
54
24
8
=
5.2.3 Fração aparente (imprópria)
O numerador é igual ou múltiplo do denominador. Representam números inteiros
que se obtêm dividindo o numerador pelo denominador.
 → inteiros → inteiros
5.2.4 Número misto
É a soma de um número inteiro, diferente de zero, com uma fração própria.
Exemplo:
5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-
VERSA
Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplica-se o denominador
pelo inteiro e adiciona-se o numerador, mantendo o mesmo denominador.
Exemplos:
Para fazer a operação inversa – transformar a fração imprópria em número misto –,
o quociente será o inteiro, o resto será o numerador e o denominador será o mesmo.
Exemplos:
a) 9 | 4 → b) 14 | 3 →
 8 2 12 4
 1 02
5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES
Multiplicando ou dividindo ambos os termos de uma fração por um mesmo número,
diferente de zero, obtém-se uma fração de mesmo valor que a anterior.
Exemplos:
a) b)
5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Com base no princípio anterior, sempre que os termos de uma fração admitem
divisores comuns, diferentes de 1, pode-se simplificá-la (torná-la irredutível).
a) 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2 0÷ 2 = 1 0
 32 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2
5
3
15
=
8
32
8
32 =+
4
9
4
124
4
12 =+×=
3
14
3
243
3
24 =+×=
4
124
9
=
3
243
14
=
[ ]2415853324153385 ⇔⇒÷÷=× [ ]604512955604555129 ⇔⇒÷÷=×
55
Fração irredutível
b) 30 ÷ 2 = 15 0÷ 3 = 5 0
 42 ÷ 2 = 21 ÷ 3 = 7
5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
Reduzir é transformar as frações dadas em frações equivalentes de mesmo
denominador. Para isso, é necessário observar os seguintes passos:
1º Determinar o MMC dos denominadores das frações. O resultado é o novo
denominador.[
Exemplo: 3 ; 1 0 ; 2 0 MMC (4, 3, 5)
 4 3 5
4 – 3 – 5 2
2 – 3 – 5 2
1 – 3 – 5 3 2 x 2 x 3 x 5 = 60
1 – 1 – 5 5
1 – 1 – 1 novo denominador
2º Dividir o MMC encontrado pelos denominadores das frações dadas.
a) →
4
3 60 ÷ 4 = 15
b) →
3
1 60 ÷ 3 = 20
c) →
5
2 60 ÷ 5 = 12
3º Multiplicar o quociente de cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O
produto é o novo numerador.
a)
b) 0
c)
Então:
60
45
154
153
=
×
×
60
20
203
201
=
×
×
60
24
125
122
=
×
×
60
24,
60
20,
60
45
5
2,
3
1,
4
3
=
56
Resumo: MMC (4, 3, 5) = 60
 3 1 0 2 0
 4 3 5
3 x 15 = 45 1 x 20 = 20 2 x 12 = 24
60 ÷ 4 = 15 60 ÷ 3 = 20 60 ÷ 5 = 12
 45 0 20 0 24 0
 60 60 60
5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Na comparação de frações, usam-se sinais próprios para indicar maior que e menor
que. São os sinais > e <, respectivamente.
Por esta razão, ao invés de escrever 3 0é maior que 3 , pode-se escrever.
 4 8
Ao invés de escrever 3 0é menor que 3 , pode-se escrever .
 8 4
5.7.1 Frações de mesmo denominador
Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo denominador, a
maior é aquela que tem maior numerador. Para comparar as frações que têm o
mesmo denominador, observem-se as figuras a seguir:
Nas duas figuras, a unidade está dividida em 5 partes iguais, mas na fração
tomam-se mais partes que na fração .
Então 0 é maior que , e escreve-se
Ou : é menor que , e escreve-se 0
8
3
4
3 >⇒
4
3
8
3 <⇒
5
3
5
2
5
2
5
3 >→
5
3
5
2 <→5
2
5
2
5
3
5
3
5
3
5
2
5
3
5
2
57
16
4
16
3
5.7.2 Frações de mesmo numerador
Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo numerador, a maior é
aquela que tem o menor denominador.
Nas duas frações toma-se o mesmo número de partes (3), mas a fração 0indica
que a mesma unidade foi dividida em mais partes e elas são menores.
Então, é maior que , e escreve-se .
Ou: é menor que , e escreve-se .
5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes
Quando se comparam duas ou mais frações que têm numeradores e denominadores
diferentes, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador antes de comparar.
Para reduzir e 0 ao mesmo denominador:
4 – 16 2
2 – 8 2
1 – 4 2
1 – 2 2
1 – 1
MMC (4, 16) = 16 → 162222 =×××
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, encontram-se frações equivalentes:
16
4
4
1
= e 
16
3 só pode ser igual a 
16
3
Agora pode-se comparar as equivalentes: e .
Já se sabe que, se as duas frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem
o maior numerador.
tem maior numerador que
8
3
4
3 >→
8
3
4
3
8
3 <→
16
4
16
3
4
3
8
3
4
3
8
3
4
3
8
3
4
1
16
4
58
Então:
Pode-se escrever : 
16
3
16
4 > .
 Então: .
5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES
5.8.1 Frações de mesmo denominador
Deve-se manter o denominador e somar os numeradores.
5.8.2 Frações de denominadores diferentes
Deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador; em seguida, conservando o
mesmo denominador, somam-se os numeradores.
 mmc ( 5 e 3) =15 assim
5.8.3 Transformação de números naturais e números mistos em frações
impróprias
Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se
os números naturais e os números mistos em frações impróprias; uma vez realizada
a operação, simplificam-se ou extraem-se os inteiros.
 mmc (1, 3, 5) = 15
5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
5.9.1 Frações de mesmo denominador
Deve-se manter o denominador e subtrair os numeradores.
↓↓
⇒=++ 6
8
6
5
6
1
6
2
3
113
4
6
8
==
→+
3
2
5
4
15
7115
22
15
1012
3
2
5
4
==
+
=+
⇒++ 5
4
3
125
15
2815
122
15
123575
5
4
3
7
1
5
==
++
=++
4
1
8
2
8
5
8
7
==−
16
3
4
1 >
59
5.9.2 Frações de denominadores diferentes
Deve-se reduzir as frações o mesmo denominador e, em seguida, aplicar a regra
anterior.
 mmc (8, 5) = 40
OBSERVAÇÃO:
Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se
os números naturais em frações impróprias e, uma vez realizada a operação,
simplifica-se ou extraem-se os inteiros.