Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2002

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a2Q1: Dados os pontos A,B e C de E3 tais que −−→AB = (−5, 3,−8)
e −→AC = (2, 3,−6). Assinale a alternativa correta:
a) o aˆngulo BAˆC e´ obtuso
b) o aˆngulo ACˆB e´ obtuso
c) o aˆngulo entre −−→AB e −−→BC e´ agudo
d) o aˆngulo entre −→AC e −−→BC e´ obtuso.
e) todos os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC sa˜o agudos
a2Q2: Toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′′′−3y′′+4y′−2y = 0
e´ da forma:
a) y = et(c1 + c2(cos t+ sen t)), com c1, c2 ∈ IR
b) y = et(c1(1 + cos t) + c2 sen t), com c1, c2 ∈ IR
c) y = c et(1 + cos t+ sen t), com c ∈ IR
d) y = et(c1(1 + sen t) + c2 cos t), com c1, c2 ∈ IR
e) y = et(c1 + c2 cos t+ c3 sen t), com c1, c2, c3 ∈ IR
a2Q3: A medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v e´
pi
3
. Sabendo
que |~u| = 2, |~v| = 1 e que θ e´ a medida em radianos do aˆngulo
entre ~u+ ~v e ~u− ~v, temos que cos θ vale:
a) − 3√
24
b) − 3√
21
c)
3√
21
d)
1
7
e)
3√
24
2
a2Q4: Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 tais que {~u,~v} e´ L.I., ~u ⊥ ~w e ~v ⊥ ~w.
Assinale a afirmac¸a˜o verdadeira:
a) {~u,~v, ~w} e´ uma base positiva de V 3
b) {~u,~v, ~w} e´ uma base negativa de V 3
c) ~u ∧ ~v = λ~w para algum λ ∈ IR
d) {~u,~v, ~w} e´ L.I.
e) ~w = λ~u ∧ ~v para algum λ ∈ IR
a2Q5: Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) |~u+ ~v| = |~u− ~v| se e somente se ~u ⊥ ~v.
(II) Se ~u,~v e ~w pertencem a V 3 e ~u+ ~v + ~w = 0 enta˜o
~u ∧ ~v = ~v ∧ ~w = ~w ∧ ~u.
(III) A altura do ∆ABC relativa ao lado AB e´ h =
|−−→AB ∧ −→AC|
|−−→AB|2 .
a) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
c) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
d) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
e) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
a2Q6: Considere ~x, ~y, ~z ∈ V 3 e suponha que ~x 6= ~0 e que {~x, ~z} e´
L.D. Assinale a afirmac¸a˜o falsa:
a) proj~x~z =
~z · ~x
|~x|2 ~x
b) [~x, ~y, ~z] = 0
c) ~x ∧ ~z = ~0
d) ~x · ~z = 0
e) proj~x~z//~x
3
a2Q7: Suponhamos fixada uma base ortonormal positiva
B = {~i,~j,~k} de V 3. Considere o ∆ABC tal que −−→AB = (1, 1, 0)B
e −→AC = (0, 1, 1)B. Enta˜o, a altura do ∆ABC relativa a` base AB
e´:
a)
√
3
b) 2
√
3
c)
√
6
2
d)
√
3
2
e)
√
2
a2Q8: Fixada uma orientac¸a˜o de V 3, seja E uma base ortonormal
positiva de V 3. Dados ~x = (1, 1, 1)E , ~y = (−1, 1, 1)E e
~z = (2, 1,−1)E , considere o tetraedro ABCD tal que−−→
AB = ~x, −→AC = 3 proj~z~y e −−→AD = 3(−−→AB ∧ −→AC). Podemos afirmar
que o volume do tetraedro ABCD e´:
a) 14
b)
5
3
c) 10
d)
7
3
e) 7
a2Q9:A medida em radianos do aˆngulo entre −−→AB e −→AC e´ pi
4
e −−→AD
e´ ortogonal a −→AC e a −−→AB. Sendo |−−→AB| = 1, |−→AC| = 4, |−−→AD| = 3
e (−−→AB,−→AC,−−→AD) base negativa, enta˜o os valores de [−−→AB,−→AC,−−→AD]
e da altura do tetraedro ABCD relativa a` base ABC sa˜o, respec-
tivamente:
a)
√
2 e 3
b) −6√2 e 3
c) 6
√
2 e 1
d) −6√2 e 1
e) 6
√
2 e 3
4
a2Q10: No paralelep´ıpedo retaˆngulo, conforme figura, suponha
|−−→AB| = 5, |−−→BC| = 4, |−−→BF | = 3 e seja E = {~e1, ~e2, ~e3} base positiva
de V 3. Sendo ~e1//
−−→
BC, ~e2//
−−→
BF e ~e3//
−−→
BA com |~e1| = |~e2| = |~e3| =
1. Podemos afirmar que o produto misto [−−→BG,−−→BA,−−→BF ] e´:
a) − 1
30
b) -60
c)
1
60
d) 60
e) − 1
60
a2Q11: Sejam E = {~i,~j,~k} uma base ortonormal positiva e ~v
tal que as medidas dos aˆngulos entre ~i,~j e ~k com ~v sa˜o
pi
4
, θ e
pi
3
respectivamente. Sabendo-se que ~v e´ unita´rio e que θ e´ agudo,
enta˜o a projec¸a˜o de ~u = (
√
2,−1,−5) na direc¸a˜o de ~v e´:
a) −(1,√2, 1)
b) (
√
2, 1, 1)
c) −(√2, 1, 1)
d) −(1, 1,√2)
e) (1,
√
2, 1)
a2Q12: Dada a equac¸a˜o diferencial linear y′′−3y′+2y = 0. Enta˜o
a soluc¸a˜o y = y(t) que verifica y(0) = −1 e y′(0) = 2 e´:
a) y(t) = −e2t + te2t
b) y(t) = −3et + 2e2t
c) y(t) = −4et + 3e2t
d) y(t) = 3et − 4e2t
e) y(t) = 2et − 3e2t
5
a2Q13: Considere as afirmac¸o˜es:
(I) Se ~u ∧ ~v + ~v ∧ ~w + ~w ∧ ~u = 0 enta˜o [~u,~v, ~w] = 0.
(II) Se {~u,~v, ~w} e´ base enta˜o {~u∧~v,~v ∧ ~w, ~u∧ ~w} e´ base positiva.
(III) |[~u,~v, ~w]| ≤ |~u||~v||~w|
Podemos afirmar que:
a) apenas (II) e (III) sa˜o verdadeiras
b) apenas (I) e (III) sa˜o verdadeiras
c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas
d) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras
e) apenas (I) e (II) sa˜o verdadeiras
a2Q14: Considere o cubo unita´rioABCDEFGH, conforme figura.
Seja E = {~e1, ~e2, ~e3} uma base de V 3 onde
~e1 =
−−→
AB,~e2 =
−→
AC, ~e3 =
−→
AG e F = {~f1, ~f2, ~f3}
uma base ortonormal tal que ~f1 = ~e1, ~f2 =
−−→
AD
e F tem orientac¸a˜o contra´ria a` de E.
Enta˜o, ~f1, ~f2 e ~f3 sa˜o dadas na base E por:
a) ~f1 = (1, 0, 0)E , ~f2 = (−1, 1, 0)E , ~f3 = (0, 1,−1)E
b) ~f1 = (1, 0, 0)E , ~f2 = (−1, 1, 0)E , ~f3 = (0, 1, 1)E
c) ~f1 = (1, 0, 0)E , ~f2 = (1, 1, 0)E , ~f3 = (0, 1,−1)E
d) ~f1 = (1, 0, 0)E , ~f2 = (0, 1− 1)E , ~f3 = (1, 1, 0)E
e) ~f1 = (1, 0, 0)E , ~f2 = (0, 1, 1)E , ~f3 = (1,−1, 0)E
a2Q15: Fixada uma orientac¸a˜o de V 3, sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} uma
base ortonormal positiva de V 3 e F = {λ~e1, ~e2, λ~e1∧~e2} uma base
de V 3, onde λ ∈ IR e λ 6= 0. Podemos afirmar que:
a) para qualquer λ, F e´ base negativa de V 3
b) se λ < 0 enta˜o F e´ base negativa de V 3
c) se λ > 0 enta˜o F e´ base negativa de V 3
d) E e F teˆm orientac¸o˜es contra´rias
e) para qualquer λ, F e´ base positiva de V 3
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a2Q16: Seja a equac¸a˜o diferencial
(1) y(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y′ + a0y = 0
consideremos as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) O conjunto soluc¸a˜o de (1) e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o n.
(II) SejamD0, D1, ..., Dn−1 nu´meros reais. Enta˜o existe uma u´nica
soluc¸a˜o y : IR→ IR de (1) tal que y(0) = D0, y′(0) = D1, ...,
yn−1(0) = Dn−1.
(III) Existem nu´meros reais D0, ..., Dn−1 tais que na˜o existe uma
soluc¸a˜o y : IR→ IR de (1) tal que y(0) = D0, y′(0) = D1, ...,
y(n−1)(0) = Dn−1.
a) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
c) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
d) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
e) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
a2Q17: Esta´ fixada uma orientac¸a˜o em V 3. Seja F = {~f1, ~f2, ~f3}
uma base de V 3 tal que ~f1 · ~f2 = 0, |~f1| = |~f2| = 1 e ~f3 = ~f1 ∧ ~f2.
Considere a base G = {~g1, ~g2, ~g3} tal que ~g1 = ~f1 + ~f2,
~g2 = ~f2 − proj~g1 ~f2 e ~g3 = ~f2 ∧ ~f1. Podemos afirmar que:
a) A matrizM de mudanc¸a da base de F para G tem determinante
positivo.
b) F e G teˆm mesma orientac¸a˜o.
c) G e´ base negativa.
d) F e´ base negativa de V 3.
e) {~g1, ~g2, ~f3} e´ base negativa de V 3.
a2Q18: Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} e F = {~f1, ~f2, ~f3} bases de V 3 tais
que ~f1 = ~e1 − ~e3, ~f2 = 3~e1, ~f3 = 4~e1 − 3~e2. As coordenadas de
~v = (1, 2,−1)F na base E sa˜o:
a) (3,−3,−1)E
b) (−3,−3, 1)E
c) (3, 3,−1)E
d) (−3, 3, 1)E
e) (3, 3, 1)E
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a2Q19: Sejam A,B e C pontos de E3 tais que a a´rea do ∆ABC
e´ igual a 2. Se ~a = −−→AB,~b = −→AC e ~v = (2~a +~b) ∧ (2~a + α~b) com
α ∈ IR, enta˜o podemos afirmar que:
a) |~v| = 0 se e somente se α = 0 ou α = 2.
b) |~v| = 8 se e somente se α = 0 ou α = 2.
c) |~v| = 1 se e somente se α = 9
8
ou α =
7
4
.
d) Na˜o existe α ∈ IR tal que |~v| = 1
e) Para todo r > 0, existe um u´nico α ∈ IR tal que |~v| = r.
a2Q20: O vetor ~w e´ ortogonal aos vetores ~u e ~v e a medida do
aˆngulo entre ~u e ~v e´
pi
6
. Sabendo-se que |~u| = 6, |~v| = 3, |~w| = 3
e que {~u,~v, ~w} e´ uma base negativa de V 3, enta˜o [~u,~v, ~w] vale:
a) -27
b) 27
c) -25
d) 29
e) 25