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Integral Definida Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença: Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a) O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo: ∫b a dxxf )( O símbolo ∫b a dxxf )( é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é freqüentemente conveniente usar o símbolo: b axF )( para a diferença F(b) – F(a). Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma taxa de 2 + x6 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 meses? Solução: P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao tempo dP/dx = 2 + x6 e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 meses será a integral definida: P(4) – P(0) = dx)x62( 4 0 ∫ + = 2 dx∫4 0 + 6 dx∫4 0 1/2x( = 2x + 40 2/3 2/3 6 Cx + = 2x + 4x 2/3 + C 40 = (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) = 40 pessoas Exercícios: 1. Calcular as integrais. a) ∫ − + 2 1 3 )1( dxxx b) ∫ − +− 0 3 2 )74( dxxx c) ∫2 1 6x dx d) ∫ + 1 0 13y dy e) ∫4 3 4 cos pi pi dxsenx f) ∫ − + 1 1 3 2 9x dxx g) dxxx )1( 3 0 ∫ + 2. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 +1 e y = 2x – 2 entre x = -1 e x = 2. 3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 . 4. Encontre a área da região limitada pela curva y = -x2 + 4x – 3 e pelo eixo x. 5. Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva y = 1/x e é limitado por esta curva e pelas retas y = x, x=0 e x =2. 6. Encontre a área da região S, limitada pela curva y = senx e pelo eixo dos x de 0 até 2π. 7. Encontre a área limitada por y = x2 e y = x+2. 8. Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x +1. As curvas interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2.
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