Álgebra Linear I - Poli - P2 - 2011

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Com excec¸a˜o da Questa˜o 2, em todas as questo˜es da prova os sis-
temas de coordenadas considerados sa˜o da forma Σ = (O, E), onde
E e´ uma base ortonormal positiva de V3.
Q1. Sejam α, β, γ ∈ R e considere o sistema linear:
x+ w = 0,
αx+ 2y + z + 2w = β,
x− 2y − z = γ,
com inco´gnitas x, y, z e w. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o
FALSA:
(a) se α 6= 1 enta˜o o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(b) se α = 1 e β + γ = 0 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es;
(c) se α = 2 e β + γ = 1 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es;
(d) para quaisquer α, β, γ ∈ R, o sistema possui infinitas soluc¸o˜es ou na˜o
possui soluc¸a˜o;
(e) se α = 3 e γ = 2 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
Q2. Considere o paralelep´ıpedo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo e
o sistema de coordenadas Σ = (A, E), onde E = {−→AC,−→AG,−−→AH}.
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
��
A B
FE
D C
GH
Seja r a reta cuja equac¸a˜o no sistema de coordenadas Σ e´:
r : x+ 2 =
y − 4
−3 =
z + 2
2
.
Se pi e´ o plano que conte´m r e o ponto D, pode-se afirmar que uma equac¸a˜o
para pi no sistema de coordenadas Σ e´:
(a) 3x+ 9y + 12z − 6 = 0;
(b) 3x− 7y − 12z + 2 = 0;
(c) x+ y + z = 0;
(d) x− y + 2z + 10 = 0;
(e) 2x+ 2y − 2z + 2 = 0.
Q3. Considere a reta:
s :
{
x− y + 2z − 1 = 0,
x+ y + z − 2 = 0.
Assinale a alternativa contendo uma equac¸a˜o para a reta r que e´ paralela a
s e conte´m o ponto (1, 0,−1):
(a) r : X = (7,−2,−5) + λ(6,−2,−4), λ ∈ R;
(b) r : X = (1, 0,−1) + λ(−3, 1,−1), λ ∈ R;
(c) r : X = (4, 1,−3) + λ(−3,−1, 2), λ ∈ R;
(d) r : X = (1, 0,−1) + λ(2, 1,−3), λ ∈ R;
(e) r : X = (−5, 1, 3) + λ(−3, 1, 2), λ ∈ R.
Q4. Considere os planos:
pi1 : 3x− 2y + z + 5 = 0, pi2 : x+ 2y + z − 3 = 0,
e a reta:
r : X = (2, 0, 1) + λ(2, 1,−4), λ ∈ R.
Pode-se afirmar que:
(a) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2 e paralelo a` reta r;
(b) o plano pi1 e´ paralelo ao plano pi2 e a` reta r;
(c) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2 e a` reta r;
(d) o plano pi1 e´ paralelo ao plano pi2 e ortogonal a` reta r;
(e) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2, mas na˜o e´ ortogonal nem paralelo
a` reta r.
Q5. Considere o sistema linear:
x+ y + 2z = 1,
x+ y + 3z + v + 2w = 2,
x+ y + 3z + v = 4,
x+ y + z − v − w = −1.
Assinale a alternativa correta:
(a) existem A,B,C ∈ R5 tais que A 6= (0, 0, 0, 0, 0), B e C na˜o sa˜o propor-
cionais e tais que {A + λB + µC : λ, µ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o do
sistema;
(b) existem A,B ∈ R5 tais que {A + λB : λ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o do
sistema;
(c) o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(d) o sistema na˜o possui soluc¸a˜o;
(e) existem B,C ∈ R5 tais que {λB + µC : λ, µ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o
do sistema.
Q6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) seja A uma matriz n×n. Se para quaisquer b1, . . . , bn ∈ R, o sistema
linear:
A

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn

possui uma u´nica soluc¸a˜o, enta˜o e´ poss´ıvel obter a matriz identidade
fazendo operac¸o˜es elementares de escalonamento sobre as linhas da
matriz A;
(II) se P e Q sa˜o soluc¸o˜es de um sistema linear enta˜o P +Q necessaria-
mente e´ soluc¸a˜o desse sistema;
(III) se P e 2P sa˜o soluc¸o˜es de um sistema linear enta˜o λP necessaria-
mente e´ soluc¸a˜o desse sistema, para todo λ ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira.
Q7. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA:
(a) [~u,~v, ~w] = [~u, ~u+ 2~v − ~w, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3;
(b) [~u, λ~v, λ~w] = λ2[~u,~v, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3 e qualquer λ ∈ R;
(c) [~u+ ~v,~v + ~w, ~w + ~u] = 2[~u,~v, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3;
(d) se ~u, ~v sa˜o vetores na˜o nulos, r e´ uma reta paralela a ~u, s e´ uma reta
paralela a ~v, A e´ um ponto de r e B e´ um ponto de s enta˜o r e s sa˜o
coplanares se e somente se [~u,~v,
−−→
AB] = 0;
(e) se ~u,~v, ~w ∈ V 3 sa˜o dois a dois distintos e ~u∧~v+~v∧ ~w+ ~w∧~u = ~0 enta˜o
o conjunto {~u,~v, ~w} e´ linearmente dependente.
Q8. As faces laterais do prisma ABCDEF ilustrado na figura abaixo sa˜o
quadrados de lado 6.
�
�
�
�
�
@
@
@
@
@
�
�
�
�
�
@
@
@
@
@
A B
F E
C
D
Considere os vetores ~u = 13
−→
AC, ~v = 12
−−→
AB e ~w =
−→
FA. Se
{−−→
ED,
−−→
EF,
−−→
DA
}
e´
uma base positiva de V 3 enta˜o [~u,~v, ~w] e´ igual a:
(a) −18√3;
(b) −18;
(c) 18
√
3;
(d) 18;
(e) 18
√
2.
Q9. Considere um tetraedro ABCD cujo volume e´ igual a 24. Se o ponto
M e´ tal que
−−→
BM = 2
−−→
MD e se N e´ o ponto me´dio do segmento DC enta˜o o
volume do tetraedro ABMN e´ igual a:
(a) 8;
(b) 6;
(c) 4;
(d) 2;
(e) 16.
Q10. Considere as retas:
r : x− 1 = −y = z − 1, s :

x = 2µ,
y = −1 + µ,
z = 1,
µ ∈ R.
A distaˆncia entre r e s e´ igual a:
(a) 1√
14
;
(b) 1√
7
;
(c) 3√
10
;
(d) 1√
11
;
(e) 2√
13
.
Q11. Sejam m,n ∈ R. Considere o plano pi : x−my + nz = 0 e a reta:
r :

x = −m+ λ,
y = −2 + λ,
z = 1− λ,
λ ∈ R.
Se a distaˆncia entre pi e r e´ igual a 12 enta˜o m
2 + n2 e´ igual a:
(a) 3;
(b) 8;
(c) 7;
(d) 5;
(e) 11.
Q12. Considere os conjuntos de pontos r e s definidos pelas equac¸o˜es:
r :
{
2x− 3y + 5z = 1,
−4x+ 6y − 10z = 2, s :
2x+ 3
−2 = y =
3z − 4
7
.
Assinale a alternativa correta:
(a) r na˜o e´ uma reta;
(b) s na˜o e´ uma reta;
(c) r e s sa˜o retas paralelas e distintas;
(d) r e s sa˜o retas que se intersectam em um u´nico ponto;
(e) r e s sa˜o retas reversas.
Q13. A reta r passa pela origem do sistema de coordenadas e e´ paralela a`
reta:
s :
{
x+ y = 1,
x− y + 2z = 1.
A distaˆncia do ponto (1, 1, 0) a` reta r e´ igual a:
(a)
√
2;
(b) 1√
2
;
(c) 12 ;
(d) 23 ;
(e)
√
3
6 .
Q14. Considere a reta r : x− 1 = −y− 1 = 2z− 4 e o ponto A = (2,−1, 3).
Se (a, b, c) e´ o ponto sime´trico ao ponto A em relac¸a˜o a r enta˜o a+ b+ c e´
igual a:
(a) 23 ;
(b) 13 ;
(c) −53 ;
(d) 73 ;
(e) 2.
Q15. Considere o vetor ~u = (1,−1, 2) e o plano pi : 2x + y − z = 7. Se o
vetor ~v e´ ortogonal a pi, o vetor ~w e´ paralelo a pi, ~u = ~v + ~w e ~w = (a, b, c),
enta˜o a+ b+ c e´ igual a:
(a) 73 ;
(b) 53 ;
(c) −13 ;
(d) 2;
(e) −16 .
Q16. Sejam a, b ∈ R e seja s uma reta que passa pelo ponto (−1, 0, 1) e e´
paralela ao vetor ~u = (2, a, b). Se s e´ concorrente com a reta:
r :
x− 1
2
=
y + 1
3
= z − 3
e e´ paralela ao plano pi : x+ y + z = 0, pode-se afirmar que a+ b e´ igual a:
(a) −2;
(b) 8;
(c) 2;
(d) −8;
(e) −1.
Respostas todas A