p2 poli 2016 (Com gabarito

Prévia do material em texto

Nesta prova considera-se fixada uma orientac¸a˜o do espac¸o e um
sistema de coordenadas Σ = (O,E) em E3, em que E e´ uma base
ortonormal positiva de V3. A menos de menc¸a˜o expl´ıcita em con-
tra´rio, equac¸o˜es de retas e planos e coordenadas de pontos esta˜o
escritas no sistema Σ e coordenadas de vetores esta˜o escritas na
base E.
Q1. Em Mecaˆnica, se ~F1, ~F2, . . . , ~Fn ∈ V 3 sa˜o forc¸as aplicadas, respectiva-
mente, a pontos A1, A2, . . . , An ∈ E3, define-se o momento desse sistema de
forc¸as em relac¸a˜o a um ponto P ∈ E3 como sendo o vetor −→MP ∈ V 3 dado
por: −→
MP =
−−→
PA1 ∧ ~F1 +−−→PA2 ∧ ~F2 + · · ·+−−→PAn ∧ ~Fn.
Considere o sistema formado pelas forc¸as
~F1 = (1, 0, 0) e ~F2 = (0, 1, 0)
aplicadas, respectivamente, aos pontos
A1 = (0, 0, 0) e A2 = (1, 0, 0)
e seja
−→
MP o momento desse sistema de forc¸as em relac¸a˜o a um ponto P ∈ E3.
Assinale a alternativa correta:
(a) existe um ponto P ∈ E3 tal que −→MP = ~0;
(b) o mo´dulo do vetor
−→
MP e´ independente do ponto P ∈ E3;
(c) para qualquer ponto P ∈ E3, o vetor −→MP e´ uma combinac¸a˜o linear de
~F1 e ~F2;
(d) se P ∈ E3 e´ um ponto que minimiza o mo´dulo de −→MP , enta˜o −→MP na˜o e´
uma combinac¸a˜o linear de ~F1 e ~F2;
(e) se P ∈ E3 e´ um ponto que minimiza o mo´dulo de −→MP , enta˜o −→MP 6= ~0 e−→
MP e´ uma combinac¸a˜o linear de ~F1 e ~F2.
Q2. Seja r a reta que passa pela origem e e´ paralela ao vetor (1, 1, 0). Se
P = (a, b, c) e´ um ponto do plano
pi : x− y − z = 0
tal que a distaˆncia de P a` reta r seja igual a 1, enta˜o:
(a) c2 = 1;
(b) c2 = 13 ;
(c) c2 = 2;
(d) c = 0;
(e) c2 = 23 .
Q3. Considere os pontos P = (1, 0, 0), Q = (3, 0, 0) e a reta
r : X = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 1), λ ∈ R.
Seja pi um plano tal que d(P, pi) = d(Q, pi) = 1, a reta r na˜o intersecte pi e o
ponto
(
0,
√
2, 0
)
na˜o pertenc¸a a pi. Se a, b, c ∈ R sa˜o tais que uma equac¸a˜o
geral para pi e´
ax+ by + cz +
√
2 = 0,
enta˜o a+ b− c e´ igual a:
(a) −1;
(b)
√
2;
(c) 2;
(d) 1;
(e) 3.
Q4. Considere a reta
r : x− 1 = y − 1
2
=
z − 1
3
e os pontos A = (2,−1,−2) e B = (4, 3, 4). Seja C = (x0, y0, z0) o ponto de
r tal que os aˆngulos BÂC e AB̂C sejam congruentes. Temos que x0+y0+z0
e´ igual a:
(a) 277 ;
(b) 177 ;
(c) 79 ;
(d) 167 ;
(e) 67 .
Q5. Considere um tetraedro ABCD no espac¸o E3 cujo volume seja igual a
16. Seja M o ponto me´dio do segmento CD e seja P o ponto do segmento
BD tal que a distaˆncia de B a P seja igual ao triplo da distaˆncia de P a D.
Temos que o volume do tetraedro ABPM e´ igual a:
(a) 12;
(b) 10;
(c) 6;
(d) 4;
(e) 8.
Q6. Considere os vetores ~v = (1, 1, 0), ~w = (−1, 1, 0), o plano
pi : X = (1, 0, 0) + λ~v + µ~w, λ, µ ∈ R
e a base B = {~v, ~w,~v ∧ ~w} de V 3. Uma equac¸a˜o geral para o plano pi no
sistema de coordenadas (O,B) e´:
(a) z = 0;
(b) x+ y + z = 0;
(c) x− y − z +√2 = 0;
(d) x+ y = 0;
(e) x+ y + z − 1 = 0.
Q7. Considere o plano pi : x + y + z = 1 e seja P = (x0, y0, z0) o ponto
sime´trico a` origem O em relac¸a˜o ao plano pi, isto e´, o ponto P tal que o
vetor
−−→
OP seja ortogonal a pi e o ponto me´dio do segmento OP esteja em pi.
Temos que x0 + y0 − z0 e´ igual a:
(a) 2;
(b) 23 ;
(c) 13 ;
(d) −2;
(e) 3.
Q8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3 e quaisquer λ, µ ∈ R, vale que:
[~v, λ~v + ~w, ~z + µ~w ] = [~v, ~w, ~z ];
(II) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3, vale que:
(~v ∧ ~w) ∧ ~z = ~v ∧ (~w ∧ ~z );
(III) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3, vale que:
[~v, ~w, ~z ] = ‖~v‖‖~w‖‖~z ‖.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira.
Q9. Considere o plano pi : x+ y − z + 1 = 0 e as retas concorrentes
r : x = y = z + 1 e s :
{
x− y = 0,
z + 1 = 0.
Se P e´ o ponto na intersec¸a˜o de r e s, enta˜o a distaˆncia de P ao plano pi e´
igual a:
(a) 3√
3
;
(b) 2√
3
;
(c) 1√
6
;
(d) 1√
3
;
(e) 2√
6
.
Q10. Sejam ~v, ~w ∈ V 3 vetores na˜o nulos e P e Q pontos do espac¸o E3.
Considere o sistema de equac¸o˜es{−−→
PX ∧ ~v = ~0,
−−→
QX · ~w = 0
na inco´gnita X ∈ E3 e as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se P 6= Q e ~v · ~w = 0, enta˜o o sistema na˜o tem soluc¸a˜o;
(II) se P = Q e ~v · ~w = 0, enta˜o o sistema tem infinitas soluc¸o˜es;
(III) se ~v · ~w 6= 0, enta˜o o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(e) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q11. Considere o ponto P = (2, 4, 8), o plano
pi : x+ y + z + 2 = 0
e a reta
r : X = P + λ(2, 1, 1), λ ∈ R.
Se Q 6= P e´ o ponto de r tal que d(P, pi) = d(Q, pi), enta˜o a soma das
coordenadas de Q e´ igual a:
(a) 15;
(b) −18;
(c) 22;
(d) −2;
(e) 14.
Q12. Considere as retas reversas
r :
{
x− z = −1,
y − 2z = −2 e s :
{
x− z = −2,
y + z = 1.
Se P = (x1, y1, z1) ∈ r e Q = (x2, y2, z2) ∈ s sa˜o os pontos tais que a
distaˆncia de P a Q seja mı´nima, enta˜o x1 + x2 e´ igual a:
(a) −56 ;
(b) 15 ;
(c) 16 ;
(d) −13 ;
(e) 14 .
Q13. Seja m ∈ R e considere as retas:
r : X = (1, 1, 1) + λ(1,m, 0), λ ∈ R,
s : X = (1, 0, 2) + λ(2,m, 1), λ ∈ R.
Temos que r e s sa˜o reversas se, e somente se:
(a) m 6= 1;
(b) m = 1;
(c) m 6= −1;
(d) m 6= 2;
(e) m 6= 0.
Q14. Considere no espac¸o E3 um cubo cujos ve´rtices sa˜o A, B, C, D, E,
F , G, H, em que ABCD, ADHE e ABFE sa˜o faces desse cubo, como
ilustrado na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
FE
D C
GH
Sejam B e C as bases de V 3 dadas por:
B = {−−→DA,−−→DC,−−→DH} e C = {−−→DE,−−→BD,−−→DG}.
Se MBC e´ a matriz real 3× 3 tal que
MBC [~v ]C = [~v ]B,
para todo ~v ∈ V 3, enta˜o o determinante de MBC e´ igual a:
(a) 1;
(b) −1;
(c) 3;
(d) 2;
(e) −2.
Q15. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V 3, se ~v e ~w sa˜o linearmente independentes,
~z ∧ ~v = ~0 e ~z ∧ ~w = ~0, enta˜o ~z = ~0;
(II) para quaisquer ~v, ~w ∈ V 3, vale que (~v + ~w) ∧ (~v − ~w) = −2 ~w ∧ ~v;
(III) para quaisquer ~v, ~w ∈ V 3, se ~v · ~w = 0 e ~v ∧ ~w = ~0, enta˜o ~v = ~0 ou
~w = ~0.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q16. Seja pi o plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e conte´m a reta
r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 0), λ ∈ R.
Se s e´ a reta dada pela intersec¸a˜o de pi com o plano y = 0, enta˜o um vetor
diretor para s e´:
(a) (1, 1, 0);
(b) (0, 0, 1);
(c) (1, 0, 0);
(d) (−1, 0, 1);
(e) (1, 0, 1).
Henrique Hokama
Carimbo