p2 poli 2001

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Em todas as questo˜es, esta´ fixado um sistema ortogonal
(O,~i,~j,~k) com base (~i,~j,~k) positiva.
a1Q1: Sejam r uma reta, A e B dois pontos distintos na˜o per-
tencentes a r. Seja L o lugar geome´trico dos pontos C ∈ r tais
que o triaˆngulo ABC tem a´rea constante k. Assinale a alternativa
FALSA. O conjunto L pode ser:
a) um segmento de reta.
b) um conjunto vazio.
c) um conjunto unita´rio.
d) uma reta.
e) dois pontos.
a1Q2: A equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r :
{
x+ y = 0
x− z = 0
e que dista
√
2 do ponto P = (1, 1, 1) e´:
a) x+ y = 0 ou y + z = 0.
b) x− y = 0 ou y + z = 0.
c) x+ y = 0 ou y − z = 0.
d) x+ z = 0 ou y + z = 0.
e) x+ y = 0 ou x+ z = 0.
a1Q3: A equac¸a˜o do plano que conte´m a reta r :
{
x− z − 1 = 0
y − z + 1 = 0
e que forma aˆngulo de pi6 rad com a reta s:X = (1, 1, 1)+λ(1, 0, 1) e´:
a) y − z + 1 = 0 ou x− y − 2 = 0.
b) y + z − 1 = 0 ou x+ y − 2 = 0.
c) x+ y + z + 1 = 0 ou x− y + 2 = 0.
d) x+ y + 1 = 0 ou x+ y − z − 2 = 0.
e) x− y − z − 1 = 0 ou x− y − 2 = 0.
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a1Q4: Seja a reta r :
{
x− y + z = 0
x+ y − 2z − 1 = 0 . O plano pi que
conte´m r e passa por P = (1, 1, 1) e´:
a) pi : 2x− z − 1 = 0.
b) pi : x− y + 2z − 2 = 0.
c) pi : 3x− y − 1 = 0.
d) pi : 3x+ y − 3z − 3 = 0.
e) pi : x+ y − 2z = 0.
a1Q5: A equac¸a˜o da reta que passa pela origem, e´ ortogonal a`
reta r : 2x = y = 3z e e´ paralela ao plano pi : x− y − z + 2 = 0 e´
dada por:
a) 45x = −36y = 20z.
b) X = (0, 0, 0) + λ(49 ,
5
9 , 1).
c) s :
{
y = 2x− 5
z = −x+ 2
d) s :

x = 49λ
y = 19λ
z = 59λ
e) X = (0, 0, 0) + λ(4,−5, 1).
a1Q6: O conjunto dos pontos do plano pi : x+ y + z − 2 = 0 que
distam 4 da reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + α(−1,−1, 2) e´:
a) a unia˜o de duas retas paralelas.
b) uma reta.
c) vazio.
d) a unia˜o de duas retas concorrentes.
e) a unia˜o de duas semi-retas de mesma origem.
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a1Q7: Suponha que a reta t encontra as retas r :
{
x− y + 1 = 0
x+ z − 1 = 0
e s :

x = 1 + α
y = 2 + 2α
z = −α
em pontos distintos. Nessas condic¸o˜es pode-
mos afirmar que:
a) t e´ ortogonal ao vetor ((1,−1, 0) ∧ (1, 0, 1)) ∧ (1, 2,−1).
b) t e´ ortogonal ao vetor (1,−1, 0) ∧ ((1, 0, 1) ∧ (1, 2,−1)).
c) t e´ perpendicular ao plano x− y + 1 = 0.
d) t e´ perpendicular ao plano x+ z − 1 = 0.
e) t e´ ortogonal a` toda reta de vetor diretor (1,−1, 0) ∧ (1, 0, 1).
a1Q8: Duas part´ıculas movimentam-se de acordo com as seguintes
equac¸o˜es: X = (1, 1, 0) + t(1, 1,−1) e X = (−1, 1,−4) + t(2, 1, 1).
Podemos afirmar que:
a) havera´ colisa˜o.
b) na˜o havera´ colisa˜o.
c) as trajeto´rias se cruzam, mas na˜o havera´ colisa˜o.
d) as trajeto´rias na˜o se cruzam.
e) as trajeto´rias sa˜o as mesmas, mas na˜o havera´ colisa˜o.
a1Q9: Sejam os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 1), C = (1, 2, 1)
e D = (0, 1, 0). O ponto sime´trico de A com relac¸a˜o ao plano
determinado por B,C e D e´:
a) E = (−1, 2, 0).
b) E = (1,−3, 0).
c) E = (2,−2, 0).
d) E = (0, 2,−1).
e) E = (−3, 2, 1).
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a1Q10: Consideremos as seguintes afirmac¸o˜es:
I - Sejam ~n1, ~n2, ~n3 vetores normais aos planos pi1, pi2, pi3, respec-
tivamente. Se (~n1, ~n2, ~n3) e´ L.D., enta˜o pi1 ∩ pi2 ∩ pi3 e´ um ponto.
II - Sejam ~u e ~v vetores e P um ponto. Enta˜o existe um u´nico
plano pi onde ~u e ~v sa˜o paralelos a pi e P ∈ pi.
III - Seja uma r uma reta. Enta˜o existem planos pi1 e pi2 tais que
r = pi1 ∩ pi2.
a) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira.
b) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
c) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
d) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
e) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
a1Q11: Para que o aˆngulo entre as retas r :
x− 2
4
=
y
5
=
z
3
e
s :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 2 seja
pi
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devemos ter:
a) n = 1 ou n = 7.
b) n = 2 ou n = 5.
c) n = −1 ou n = 5.
d) n = −1 ou n = −7.
e) n = −2 ou n = −5.
a1Q12: Seja pi o plano que passa pelo ponto A = (1,−3, 4) e que
intercepta os treˆs semi-eixos de mesmo sinal a igual distaˆncia da
origem do sistema. A distaˆncia da origem ate´ o plano pi e´:
a)
2
√
3
3
.
b)
√
3
3
.
c)
3
√
2
2
.
d)
4
√
3
3
.
e)
√
3
2
.
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a1Q13: Considere os planos pi1 : ax + by + cz + d = 0 e
pi2 : ax+ by + cz + d− 1 = 0. Podemos afirmar que:
a) a distaˆncia entre os planos e´ igual a 1.
b) esses planos na˜o sa˜o coincidentes.
c) a distaˆncia entre os planos e´ menor do que 1.
d) a distaˆncia entre os planos e´ maior do que 1.
e) os planos podem ser coincidentes.
a1Q14: O conjunto dos pontos de E3 que satisfazem a equac¸a˜o
(x+ y+ z−1) ((x+ y + z−1)2 + (x− y + 2)2) = 0 e´ formado por:
a) uma reta e um plano paralelos.
b) uma reta e um plano perpendiculares.
c) duas retas perpendiculares.
d) uma reta e uma circunfereˆncia.
e) duas retas paralelas.
a1Q15: SejamA = (0, 0, 0) e a reta r : X = (−5, 6, 8)+λ(5,−3,−4).
Sabemos que existe um quadrado onde A e´ um ve´rtice e dois
pontos de uma diagonal esta˜o em r. Os outros treˆs ve´rtices do
quadrado esta˜o contidos no seguinte conjunto:
a) {(0, 3, 4), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
b) {(−15, 12, 16), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−5, 6, 8)}.
c) {(0, 3, 4), (−5, 6, 8), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
d) {(0, 3, 4), (5, 3, 4), (10,−3,−4), (15,−6,−8)}.
e) {(15,−6,−8), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
a1Q16: A medida do aˆngulo entre a reta r :
{
x− y − 1 = 0
x+ z − 2 = 0 e
a reta s : X = (1, 1, 1) + λ(1,−1, 1) e´:
a) arc cos(13).
b) arc sen(13).
c) arc cos(23).
d) arc sen(23).
e) arc sen(−13 ).
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a1Q17: Dados A = (1, 1, 1) e r : X = (1, 1, 0)+λ(1,−1, 2). Sejam
B e C os pontos de r que distam
√
11 de A. O vetor −−→BC pode ser
dado por:
a)
(
8
3 ,−83 , 163
)
.
b)
(
7
3 ,−73 , 143
)
.
c)
(
−53 , 53 ,−103
)
.
d)
(
10
3 ,−103 , 203
)
.
e)
(
−43 , 43 ,−83
)
.
a1Q18: Para que as retas r : x−5 = y
m
= z+1 e s :
{
y = 2x− 5
z = −x+ 2
sejam concorrentes devemos ter:
a) m = −3.
b) m = 3.
c) m = −8.
d) m = 8.
e) m = 5.
a1Q19: Considere as retas r :

x = a1 + αu1
y = a2 + αu2
z = a3 + αu3
, s :

x = b1 + βv1
y = b2 + βv2
z = b3 + βv3
e a matriz A =
 u1 u2 u3v1 v2 v3
b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3
. Lembrando que o
posto de uma matriz e´ o nu´mero de linhas L.I.; se posto (A) > 1
e det(A) = 0 podemos afirmar que as retas r e s sa˜o:
a) coplanares.
b) reversas.
c) concorrentes.
d) paralelas.
e) coincidentes.
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a1Q20: Considere os planos pi1 : z = 0, pi2 : x − z = 0 e o ponto
P = (1, 1, 1). O nu´mero de retas que passam pelo ponto P , sa˜o
paralelas a pi2 e formam um aˆngulo de pi6 rad com o plano pi1 e´:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) 4.
e) infinito.