p3 poli 2007A

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MAT2457 - Gabarito da P3
27/06/2007 - Prova Tipo A
Questa˜o 1 Seja S o subespac¸o de M2(R) gerado por
A =
{(
1 2−1 0
)
,
(
2 −1
0 1
)
,
(
0 5−2 −1
)
, ( 1 11 1 )
}
.
(a) Encontre uma base de S contida em A.
(b) Determine m ∈ R para que ( 1 m−m 2 ) ∈ S.
Soluc¸a˜o. (a) Escalonando, temos
1 2 0 1
2 −1 5 1
−1 0 −2 1
0 1 −1 1
 ∼

1 2 0 1
0 1 −1 1
0 0 0 4
0 0 0 0
 ,
logo, B =
{(
1 2−1 0
)
,
(
2 −1
0 1
)
, ( 1 11 1 )
} ⊂ A e´ base de M2(R).
(b) x =
(
1 m−m 2
) ∈ S = [B] se e so´ se B ∪ {x} e´ L.D. Mas
1 2 −1 0
2 1 0 −1
1 1 1 1
1 m −m 2
 ∼

1 2 1 0
0 −1 2 1
0 0 2 1
0 0 0 3+m2
 ,
logo, B ∪ {x} e´ L.D. se e so´ se 3+m2 = 0, ou seja, m = −3.
Questa˜o 2 Em P4(R), considere os subespac¸os:
F1 = {p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 + a4t4 : p(1) = 0 , p(−1) = 0} ,
F2 = {p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 + a4t4 : p(1) = p(−1)}
(a) Encontre a dimensa˜o de F1.
(b) Mostre que se p1(t) = 1− t+ t3− t4, p2(t) = t− t3, p3(t) = t2− t4, enta˜o
B = {p1, p2, p3} ⊂ F1 e´ base de F1.
(c) Seja q(t) = 2 + αt − 2βt2 − 2βt3 − α2t4. Encontre α e β para os quais
q(−2) = −12 e B = {p1, p2, p3, q} e´ base de F2.
1
Soluc¸a˜o. (a) Dado p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 + a4t4 ∈ F1, temos que
a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 e a0 − a1 + a2 − a3 + a4 = 0, logo, a1 + a3 = 0 e
a0 + a2 + a4 = 0. Disso,
p(t) = a0+a1t+a2t2−a1t3−(a0+a2)t4 = a0(1−t4)+a1(t−t3)+a2(t2−t4) .
Como os polinoˆmios que aparecem na decomposic¸a˜o acima sa˜o L.I., con-
clu´ımos que B′ = {r, p2, p3} forma uma base de F1, onde r(t) = 1− t4. Em
particular, dimF1 = 3.
(b) Basta, observar que as coordenadas de p1, p2, p3 na base B′ sa˜o
(1,−1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ,
respectivamente.
(c) Para que B seja base de F2, e´ necessa´rio que q ∈ F2, ou seja α = 2β.
Logo, q(t) = 2+αt−2βt2+αt3−α2t4. Se q(−2) = −12, enta˜o 8α2−α−7 = 0,
i.e., α = 1 ou α = −7/8. Mas se α = 1, enta˜o q ∈ F1, e portanto, B na˜o
pode ser base de F2. Se α = −7/8 e β = α/2 = −7/16, enta˜o q ∈ F2 e
q /∈ F1. Como dimF2 = 4, segue que B e´ base de F2.
Questa˜o 3 Em R5, considere x1 = (1, 1, 0, 1, 2), x2 = (1, 0, 1,−1, 0), x3 =
(0, 0, 1,−2,−1), x4 = (2, 1, 0, 2, 3); F1 = [x1, x2, x3, x4] e
F2 = {(α1, α2, α3, α4, α5) ∈ R5 : α1 − α2 − α3 − α4 − α5 = 0} .
(a) Encontre uma base de F1.
(b) Encontre dim(F1 ∩ F2).
(c) Mostre que F1 + F2 = R5.
Soluc¸a˜o. (a) Vamos obter uma base para F1 a partir dos vetores
x1, x2, x3, x4, x5. Como
1 1 0 1 2
1 0 1 −1 0
0 0 1 −2 −1
2 1 0 2 3
 ∼

1 1 0 1 2
0 1 −1 2 2
0 0 1 −2 −1
0 0 0 0 0

Segue que {(1, 1, 0, 1, 2), (0, 1,−1, 2, 2), (0, 0, 1,−2,−1)} e´ base de F1, que
tem, portanto, dimensa˜o 3.
2
(b) Seja v ∈ F1. Enta˜o, do ı´tem anterior, existem a1, a2, a3 tais que
v = a1(1, 1, 0, 1, 2) + a2(0, 1,−1, 2, 2) + a3(0, 0, 1,−2,−1)
= (a1, a1 + a2,−a2 + a3, a1 + 2a2 − 2a3, 2a1 + 2a2 − a3) .
Logo, v ∈ F1 ∩ F2 se e so´ se
a1 − (a1 + a2)− (−a2 + a3)− (a1 + 2a2 − 2a3)− (2a1 + 2a2 − a3) = 0 ,
ou seja, a3 = (3/2)a1 + 2a2. Logo,
v = a1(1, 1, 0, 1, 2) + a2(0, 1,−1, 2, 2) + ((3/2)a1 + 2a2)(0, 0, 1,−2, 1)
= a1(1, 1, 3/2,−2, 1/2) + a2(0, 1, 1,−2, 0) .
Como os vetores que aparecem na decomposic¸a˜o acima sa˜o L.I., temos que
dim(F1 ∩ F2) = 2.
(c) Precisamos calcular a dimensa˜o de F2. Se v = (α1, α2, α3, α4, α5) ∈ F2,
enta˜o
v = (α2 + α3 + α4 + α5, α2, α3, α4, α5)
= α2(1, 1, 0, 0, 0) + α3(1, 0, 1, 0, 0) + α4(1, 0, 0, 1, 0) + α5(1, 0, 0, 0, 1) .
Ja´ que os vetores da decomposic¸a˜o acima sa˜o L.I., segue que dimF2 = 4.
Como dim(F1 + F2) = dimF1 + dimF2 − dim(F1 ∩ F2) = 3 + 4 − 2 = 5,
conclu´ımos que F1 + F2 = R5.
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