Álgebra Linear I - Poli - P3 - 2013

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GABARITO P3 – 2013 
 
Questão Resposta 
1 C 
2 B 
3 D 
4 E 
5 A 
6 A 
7 B 
8 C 
9 B 
10 A 
11 E 
12 C 
13 B 
14 C 
15 E 
16 D 
 
MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I
Prova 3 - 19/06/2013
Nome: NUSP:
Professor: Turma:
INSTRUÇÕES
(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.
(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.
(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.
(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.
(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.
(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha
óptica).
(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno
(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).
(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.
(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.
Notação: Se v1, . . . , vn são vetores de um espaço vetorial V, o subespaço
vetorial deV gerado por eles será denotado por [v1, . . . , vn]. O vetor nulo
de V será denotado por 0V .
O espaço vetorial de todas as funções f : R → R será denotado por
F (R) e o espaço vetorial formado por todos os polinômios de grau me-
nor ou igual a n (mais o polinômio nulo) será denotado por Pn(R).
A derivada de uma função f no ponto x será denotada por f ′(x).
Questão 1. Considere as seguintes afirmações acerca de um subespaço
vetorial W de um espaço vetorial E de dimensão finita:
(I) Se {u1, . . . , un} é uma base de W e un+1 ∈ E é um vetor tal que
un+1 /∈ W, então a equação λ1u1 + · · · + λnun + λn+1un+1 = 0V ,
com λ1, . . . ,λn+1 ∈ R, só tem a solução trivial λ1 = · · · = λn+1 = 0.
(II) Qualquer base de W pode ser estendida a uma base de E.
(III) Qualquer base de E contém uma base de W.
Está correto o que se afirma em
a. (II) e (III), apenas.
b. (I), apenas.
c. (I) e (II), apenas.
d. (I), (II) e (III).
e. (I) e (III), apenas.
2
Questão2. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorialF (R):
S1 = { f ∈ F (R) : f (
√
2) = 0}
S2 = { f ∈ F (R) : f (x) = 0 para algum x ∈ R}
S3 =
{
f ∈ F (R) : lim
x→+∞ f (x) = 0
}
S4 = { f ∈ F (R) : f é deriválvel em pi/2}
S5 = { f ∈ F (R) : f (0) = 1}
Então, são subespaços vetoriais de F (R) apenas
a. S1 e S4.
b. S1, S3 e S4.
c. S2 e S3.
d. S1, S2 e S5.
e. S3, S4 e S5.
Questão 3. Seja V o subespaço de F (R) definido por
V = [cos2(t), sen2(t), 1, cos(2t), cos(t)].
Então, a dimensão de V é igual a
a. 5
b. 2
c. 4
d. 3
e. 1
3
Questão 4. Considere as seguintes afirmações acerca de um subespaço
vetorial S de um espaço vetorial V de dimensão finita:
(I) Se dimV ≤ dim S, então S = V.
(II) Se existe v ∈ V tal que v /∈ S, então dim S < dimV.
(III) Se existem vetores não nulos v1, v2, . . . , vm ∈ V tais que S contém
[v1, v2, . . . , vm], então dim S ≥ m.
Está correto o que se afirma em
a. (I) e (III), apenas.
b. (II) e (III), apenas.
c. (I), (II) e (III).
d. (I), apenas.
e. (I) e (II), apenas.
Questão 5. A dimensão do subespaço
S = {p ∈ P3(R) : p′′(x) = p′(x), para todo x ∈ R}
do espaço vetorial P3(R) é igual a
a. 1
b. 0
c. 3
d. 2
e. 4
4
Questão 6. Seja A ∈ M3×4(R). Denote por v1, v2, v3, v4 seus vetores-
coluna e por w1,w2,w3 seus vetores-linha. Considere as seguintes afir-
mações:
(I) {v1, v2, v3, v4} é um conjunto linearmente independente.
(II) Se {w1,w2} é linearmente dependente, então o subespaço
S = {x ∈ R4 : Ax = 0} deR4 tem dimensão maior ou igual a 2.
(III) Se dim[w1,w2,w3] = 2, então w3 pode ser escrito de forma única
como combinação linear de w1 e w2.
Está correto o que se afirma em
a. (II), apenas.
b. (II) e (III), apenas.
c. (III), apenas.
d. (I) e (II), apenas.
e. (I), (II) e (III).
Questão 7. Sejam S1 e S2 os subespaços vetoriais de P3(R) dados por
S1 = {p ∈ P3(R) : p′(1) = 0} e
S2 = {p ∈ P3(R) : p(t) = p(−t), para todo t ∈ R}.
Assinale a aternativa correta.
a. dim S2 = 2 e dim(S1 ∩ S2) = 2
b. dim S2 = 2 e dim(S1 ∩ S2) = 1
c. dim S1 = 3 e dim(S1 ∩ S2) = 2
d. dim S2 = 3 e dim(S1 ∩ S2) = 1
e. dim S1 = 2 e dim(S1 ∩ S2) = 1
5
Questão 8. Considere a matriz A =
1 2 0 1 12 4 1 4 1
3 6 3 9 1
. As dimensões
dos subespaços
S1 = {x ∈ R3 : x é combinação linear das colunas de A} ⊂ R3 e
S2 = {x ∈ R5 : Ax = 0} ⊂ R5
são, respectivamente,
a. 2 e 2
b. 1 e 1
c. 3 e 2
d. 2 e 1
e. 3 e 1
Questão 9. Considere a matriz A =

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 0
. Então, subespaço
S = {x ∈ R4 : Ax = 0} deR4 tem dimensão igual a
a. 3
b. 2
c. 4
d. 0
e. 1
6
Questão 10. Sejam S1 e S2 subconjuntos de um espaço vetorial V. Con-
sidere as seguintes afirmações:
(I) Se S1 e S2 são subespaços de V, então S1 ∪ S2 é subespaço de V.
(II) Se S1 é subespaço de V e S2 ⊂ S1, então S2 é subespaço de V.
(III) Se S1 e S2 são subespaços de V, então S1 ∩ S2 é subespaço de V.
Está correto o que se afirma em
a. (III), apenas.
b. (I) e (III), apenas.
c. (I) e (II), apenas.
d. (II) e (III), apenas.
e. (II), apenas.
Questão 11. Assinale a alternativa correta a respeito do seguinte sub-
conjunto do espaço vetorial P3(R):
V =
{
p ∈ P3(R) : p(0) = p(1)2
}
a. V é subespaço vetorial de P3(R) e uma base de V é {1, t− t2}.
b. V não é subespaço vetorial de P3(R), pois não contém o vetor nulo
de P3(R).
c. V é subespaço vetorial de P3(R) e uma base de V é {1, t− t3, t− t2}.
d. V é subespaço vetorial de P3(R) e uma base de V é {t− t2, t2 − t3, t− t3}.
e. Existem dois elementos de V cuja soma não pertence a V.
7
Questão 12. Suponha E3 munido de um sistema de coordenadas com
base ortonormal. Seja r a reta de equação
x = 2λ, y = 2+ λ, z = −1 (λ ∈ R)
e seja s a reta de equação
x = 1− λ, y = 2+ λ, z = λ (λ ∈ R).
Então, a distância de r a s é igual a
a.
2√
14
b.
1√
14
c.
4√
14
d.
2√
7
e.
1√
7
Questão 13. Suponha E3 munido de um sistema de coordenadas com
base ortonormal e seja α ∈ R. Considere em E3 a reta r que passa pelo
ponto (2, α − 1, α + 1) com direção (α,−2, 1) e o plano pi de equação
αx+ y+ αz = 1. Assinale a alternativa FALSA.
a. Existem infinitos valores de α para os quais pi intersepta r.
b. d(r,pi) = 3 se, e somente se, α = 1.
c. Existem pelo menos dois valores de α para os quais d(r,pi) 6= 0.
d. Se α = −2, então d(r,pi) = 2.
e. Se α = −1, então d(r,pi) = 0.
8
Questão 14. Assinale a afirmação FALSA a respeito do seguinte subcon-
junto do espaço vetorial M2(R):
A =
{[
1 0
2 0
]
,
[
2 1
1 1
]
,
[
1 1
−1 1
]
,
[
1 1
1 0
]}
.
a. A é linearmente dependente.
b. Existe uma base de M2(R) que contém os três últimos elementos deA.
c. Existe uma base de M2(R) que contém os três primeiros elementos deA.
d. A gera um subespaço de dimensão 3 em M2(R).
e. Existe uma base de M2(R) que não contém nenhum elemento deA.
Questão 15. Seja B a base {1, 1+ x, (1+ x)2} de P2(R). Se (a, b, c) são as
coordenadas do polinômio x2 com respeito à base B, então a− b+ c é
igual a
a. −4
b. −2
c. 2
d. 0
e. 4
Questão 16. Suponha E3 munido de um sistema de coordenadas com
base ortonormal. Seja A o ponto (2,−1, 1) de E3 e seja r a reta de equa-
ção (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(−1, 1, 0), t ∈ R. Então, distância de A a r é
igual a
a. 3
b. 2
c. 3/2
d. 1
e. 5/2
9
Gabarito do Aluno
Nome: NUSP:
Tipo de prova:
a b c d e
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16