P2 2014.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2014/1
SEGUNDA PROVA – 23/05/2014
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um cilindro so´lido rola sem deslizar, com velocidade an-
gular constante, sobre uma superf´ıcie horizontal. Dentre
os diagramas abaixo, I), II), III) e IV), aquele que repre-
senta corretamente os vetores velocidade (indicados por
setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pon-
tos pertencentes a perferia do cilindro (sec¸a˜o reta), em
relac¸a˜o a um referencial fixo na Terra e´
(a) I
(b) II
(c) III
(d) IV
(e) nenhum deles
2. Dois discos de massas m e 3m esta˜o ligados por uma
mola ideal comprimida sobre uma mesa horizontal lisa.
Em um dado instante a forc¸a da mola sobre o primeiro
disco e´ ~Fel e uma forc¸a ~F paralela ao plano da mesa esta´
aplicada sobre o segundo disco, como mostra a figura
(mesa vista de cima). No instante considerado a ace-
lerac¸a˜o do centro de massa do sistema constitu´ıdo pelos
discos e pela mola e´
(a)
~F
4m
;
(b)
~F + ~Fel
4m
;
(c)
~F + 2~Fel
4m
;
(d)
~F − 2~Fel
4m
;
(e)
~F − ~Fel
4m
.
3. Uma esfera oca e r´ıgida de massa M e raio R tem mo-
mento de ine´rcia Icm = (2/3)MR
2 relativo a um eixo
que passa pelo seu centro de massa. Relativamente a
um eixo que tangencia a periferia da esfera e e´ paralelo
ao eixo que passa pelo centro de massa, o momento de
ine´rcia da esfera e´
(a) Icm
(b) (1/3)MR2
(c) (5/3)MR2
(d) (7/10)MR2
(e) 2Icm
1
4. Um sistema e´ constitu´ıdo de treˆs part´ıculas de mesma
massa localizadas nos semi-eixos positivos OX, OY e
OZ a uma mesma distaˆncia a da origem, como indica a
figura. O vetor posic¸a˜o ~rcm do centro de massa do sis-
tema e´
(a)
a
2
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(b)
a
3
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(c) a(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(d)
a
6
(ˆı+ ˆ+ kˆ);
(e)
2a
3
(ˆı+ ˆ+ kˆ).
5. Um carro tem uma roda de massa M e raio R com mo-
mento de ine´rcia Icm = (3/4)MR
2 relativo ao seu eixo
de simetria que passa pelo seu centro de massa. O carro
arranca em movimento retil´ıneo com a roda patinando
na pista de modo que a velocidade ~vcm de seu centro de
massa esteja relacionada com a sua velocidade angular
de rotac¸a˜o ω por meio de vcm = ωR/2. Nesse caso, a
energia cine´tica da roda e´
(a) (1/4)MR2ω2;
(b) (5/4)MR2ω2;
(c) (3/4)MR2ω2
(d) MR2ω2.
(e) (1/2)MR2ω2;
6. Um disco fino e homogeˆneo de raio a encontra-se em re-
pouso sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Num
dado instante aplicam-se na periferia do disco treˆs forc¸as
tangenciais e uma radial, todas de mesma intensidade F
com direc¸o˜es, sentidos e pontos de aplicac¸a˜o conforme
indicados na figura. Nesse instante, o mo´dulo do tor-
que resultante τO em relac¸a˜o ao centro O do disco e´
(a) aF/3;
(b) aF/2;
(c) aF ;
(d) 2aF .
(e) 3aF .
7. Um menino de massa encontra-se parado em uma das
extremidades de um barco que esta´ em um lago tran-
quilo. Inicialmente o conjunto (barco-menino) move-se
com velocidade constante, em relac¸a˜o a um referencial
inercial fixo colocado na margem do lago. Num dado
instante o menino move-se para a outra extremidade do
barco e ao chegar neste lugar ele para. Para o sistema
barco-menino, desprezando-se o atrito entre o barco e a
a´gua, pode-se afirmar que
(a) A sua velocidade antes do menino se movimentar
e´ diferente de depois do menino parar.
(b) A sua velocidade e´ a mesma de antes do in´ıcio do
movimento do menino e depois do menino parar.
(c) A sua velocidade pode ser nula depois do menino
parar.
(d) Na˜o se pode determinar a sua velocidade, pois
na˜o se conhece a velocidade do menino sobre o
barco.
(e) Na˜o se pode determinar a sua velocidade, a me-
nos que sejam conhecidas as massas do menino e
do barco.
8. Um corpo r´ıgido gira em torno de um eixo fixo com velo-
cidade angular constante ω quando, a partir do instante
t = 0, passa a ter uma acelerac¸a˜o angular constante de
mo´dulo α e sentido oposto ao da velocidade angular.
Denotando por t1 o tempo gasto pelo corpo para sua
velocidade angular atingir o valor nulo e por θ1 o seu
deslocamento angular do instante t = 0 ate´ o instante
t1, podemos afirmar que
(a) t1 =
1
ω
e θ1 =
ω2
α
;
(b) t1 =
ω
α
e θ1 =
ω2
α
;
(c) t1 =
α
ω
e θ1 =
ω2
α
;
(d) t1 =
α
ω
e θ1 =
ω2
2α
;
(e) t1 =
ω
α
e θ1 =
ω2
2α
.
2
9. Duas part´ıculas de mesma massa caem verticalmente e
colidem com uma mesa horizontal lisa com a mesma ve-
locidade. Uma das part´ıculas colide ela´sticamente com
a mesa sem sair da vertical e a outra colide de forma to-
talmente inela´stica com a mesa. Denotando por ∆~Pel a
variac¸a˜o do momento linear da primeira part´ıcula na co-
lisa˜o ela´stica, por ∆~Pin a variac¸a˜o do momento linear da
segunda part´ıcula em sua colisa˜o totalmente inela´stica,
podemos afirmar que
(a) ∆~Pel = ∆~Pin
(b) |∆~Pel| < |∆~Pin|
(c) ∆~Pel 6= ~0 e ∆~Pin = ~0
(d) ∆~Pel = 2∆~Pin
(e) ∆~Pel = −2∆~Pin
10. Duas part´ıculas inicialmente separadas sofrem uma co-
lisa˜o totalmente inela´stica na auseˆncia de forc¸as exter-
nas. Pode-se afirmar, sobre o sistema constitu´ıdo pelas
duas part´ıculas, que
(a) a energia cine´tica do centro de massa do sistema
e´ a mesma antes e depois da colisa˜o;
(b) o mo´dulo da velocidade do centro de massa do
sistema e´ menor antes do que depois da colisa˜o;
(c) a energia cine´tica total do sistema e´ a mesma an-
tes e depois da colisa˜o;
(d) o mo´dulo da velocidade do centro de massa do
sistema e´ maior antes do que depois da colisa˜o;
(e) a energia cine´tica total do sistema e´ menor antes
do que depois da colisa˜o.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Treˆs part´ıculas A, B e C, deslizando sobre uma mesa horizontal sem atrito, se aproximam da origem de um sistema de
eixos OXY no plano da mesa. Todas as treˆs part´ıculas atingem a origem simultaneamente e permanecem unidas apo´s
a colisa˜o, sem perder contato com a mesa, deslocando-se ao longo do eixo OX no sentido positivo com velocidade de
mo´dulo V desconhecida. As part´ıculas A, B e C teˆm massas respectivas mA = m, mB = 3m e mc = 4m, onde m e´ uma
constante conhecida. Antes da colisa˜o as part´ıculas teˆm velocidades de mo´dulos respecticos vA = 3v, vB = v e vC = 2v,
onde v e´ uma constante conhecida. A part´ıcula C tem velocidade na direc¸a˜o e sentido do eixo OX e a part´ıcula B tem
velocidade com direc¸a˜o e sentido indicados na figura por meio do aˆngulo conhecido β (0 < β < π/2). A velocidade da
part´ıcula A tem o sentido indicado na figura mas sua direc¸a˜o e´ desconhecida e indicada pelo aˆngulo α (0 < α < π/2) a
ser determinado. Calcule
a) o aˆngulo α;
b) O mo´dulo V da velocidade apo´s a colisa˜o em func¸a˜o de v;
c) a variac¸a˜o da energia cine´tica do sistema formado pelas treˆs part´ıculas no processo de colisa˜o.
2. Um fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel e´ enrolado diversas
vezes em torno da periferia de um cilindro macic¸o de raio
R2, segue horizontalmente ate´ a periferia de outro cilindro
de raio R1, pela qual passa e segue verticalmente, ate´ sua
extremidade, na qual esta´ supenso um bloco de massa m.
Os cil´ındros, cada um tambe´m de massa m, sa˜o homogeˆneos
e podem girar sem atrito, cada um em torno de seu eixo fixo.
O bloco desce verticalmente puxando o fio que fica tenso e
faz os cilindros girarem, sem deslizar sobre suas periferias.
(O momento de ine´rcia de um cilindro homogeˆneo de massa
M e raio R relativo ao seu eixo e´ MR2/2.)
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as externas que agem sobre o
cilindro de raio R1.b) Calcule o mo´dulo da acelerac¸a˜o com que desce o bloco.
c) Obtenha o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular de cada cilindro.
d) Calcule o mo´dulo da tensa˜o no trecho vertical do fio e o
mo´dulo da tensa˜o no trecho horizontal do fio.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 23/05/2014
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,8 pontos
Pela conservac¸a˜o do momento linear do sistema, ~Pi = ~Pf , segundo os eixos coordenados OX
e OY ,
pa(cosα ıˆ+ sinα ˆ)− pb(cos β ıˆ+ sinβ ˆ) + pc ıˆ = MV ıˆ
ou seja, 

3mv cosα − 3mv cos β + 4m2v = 8mV (i)
3mvsenα− 3mvsenβ = 0 (ii)
Levando-se em conta os dados fornecidos e a relac¸a˜o (ii) obtemos
m 3v sinα = 3mv sinβ =⇒ sinα = sinβ ∴ α = β.
b) valor=1,2 pontos
Se agora levarmos em conta o u´ltimo resultado onde α = β, e a relac¸a˜o obtida na equac¸a˜o
(i) do sistema de equac¸o˜es, obtemos
(
(
(
((
(
m 3v cosα −
�
�
�
�
��
3mv cos β + 4m 2v = 8mV ∴ V = v.
c) valor=0,5 ponto
Nesse caso que Ki = Ka +Kb +Kc =
1
2
mav
2
a +
1
2
mbv
2
b +
1
2
mcv
2
c e Kf =
1
2
MV 2.
A partir dos dados fornecidos, encontramos Ki =
1
2
{
m 9v2 + 3mv2 + 4m 4v2
}
= 14mv2, en-
quanto Kf =
1
2
8mv2 = 4mv2. Com isso,
∆Kif = Kf −Ki = −10mv
2.
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,4 pontos
As forc¸as que agem sobre o cilindro de raio
R1 esta˜o indicadas na figura. As setas in-
dicam o sentido e direc¸a˜o e acima ou ao lado
delas os seus mo´dulos, como no livro texto.
b) valor=1,7 pontos
Considerando o sentido de cima para baixo para o movimento do bloco e aplicando a segunda
lei de Newton,
• o movimento do bloco sera´ dado por
m~a = ~FR = ~Tb + ~Pb =⇒ Mg − T1 = ma (i)
• para o movimento de rotac¸a˜o do primeiro cilindro, considerando como positivo o sentido
anti-hora´rio de rotac¸a˜o e calculando os torques em relac¸a˜o ao seu centro encontramos a relac¸a˜o
I1~α1 = ~τR = ~τF1 + ~τP1 + ~τT1 + ~τT2 ou seja,
I1α1 = R1(T1 − T2) (ii),
• analogamente para o movimento de rotac¸a˜o do segundo cilindro encontramos,
I2~α2 = ~τR = ~τF2 + ~τP2 + ~τT2 o que resulta em ter
I2α2 = R2T2 (iii)
Neste ponto devemos observar que a presenc¸a do fio acarreta a condic¸a˜o de v´ınculo
a = α1R1 = α2R2
Ao utilizarmos as relac¸o˜es acima, (i), (ii) e (iii) e a condic¸a˜o de v´ınculo obtemos o sistema
de equac¸o˜es,


mg − T1 = ma
R1T1 − R1T2 = I1α1
R2T2 = I2α2
→


mg − T1 = ma (iv)
T1 − T2 = a1I1/R
2
1
(v)
T2 = a2I2/R
2
2
(vi)
A resoluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita nos da´ a acelerac¸a˜o a =
g
1 + I1/(mR21) + I2/(mR
2
2
)
.
Como I1 =
1
2
mR2
1
e I2 =
1
2
mR2
2
enta˜o,
a =
g
1 + 1
2
+ 1
2
=⇒ a =
g
2
.
3
c) valor=0,2 pontos
Utilizando o resultado obtido para a acelerac¸a˜o do bloco nas equac¸o˜es de v´ınculo, obtemos
α1 =
g
2R1
e α2 =
g
2R2
.
d) valor=0,2 pontos
Levando em conta o resultado para a acelerac¸a˜o do bloco nas relac¸o˜es obtidas anteriormente,
das linhas (v) e (vi) do sistema de equac¸o˜es encontramos
T1 =
(
I1
R2
1
+
I2
R2
2
)
g
2
=⇒ T1 =
(
1
2
m+
1
2
m
)
g
2
=⇒ T1 =
1
2
mg .
Da mesma forma, encontramos
T2 =
(
I2
R2
2
)
g
2
=⇒ T2 =
(
1
2
m
)
g
2
=⇒ T2 =
1
4
mg .
4