P1 2009.2

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QUESTA˜O 1 Uma barra homogeˆnea de comprimento b e massa m esta´ pendurada por uma das suas extremidades em
um eixo horizontal de tal forma que ela pode oscilar livremente no plano vertical. A barra esta´ presa
a uma parede vertical por uma mola com constante ela´stica k que esta´ ligada a sua outra extremidade
(ver figura). O atrito entre a barra e o eixo e´ desprez´ıvel. Resolva o problema no referencial da Terra
como se ele fosse inercial. Sa˜o conhecidos o comprimento e a massa da barra, a constante ela´stica da
mola e a acelerac¸a˜o da gravidade. O momento de ine´rcia da barra em relac¸a˜o ao seu centro de massa e´
ICM = mb2/12. Despreze a resisteˆncia do ar.
a) (0,5) Isole a barra e coloque todas as forc¸as que atuam sobre ela;
b) (1,0) Demonstre que quando a barra oscila com pequenas amplitudes, o deslocamento x da sua
extremidade inferior satisfaz a equac¸a˜o de um oscilador harmoˆnico simples
c) (0,5) Calcule a frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o da barra para pequenas amplitudes.
d) (0,5) Sabendo que para pequenas oscilac¸o˜es o deslocamento da extremidade inferior da barra e´ dado
por x(t) = A cos(ωt+φ), obtenha os valores de A e φ para as condic¸o˜es iniciais x(0) = 0 e vx(0) = v0
(v0 > 0).
Obs: A variac¸a˜o de comprimento da mola pode ser considerada aproximadamente igual a x(t) e o
aˆngulo entre a barra e a mola pode ser considerado aproximadamente igual a 90◦.
SOLUC¸A˜O Q1 a) As forc¸as que atuam na barra sa˜o o seu peso, a forc¸a da mola e a forc¸a que o eixo exerce sobre ela.
b) Pela dinaˆmica de rotac¸a˜o em torno de um eixo fixo temos que:
IA
d2θ
dt2
= −mgsenθ b
2
− kxb (1)
1
O momento de ine´rcia da barra em relac¸a˜o ao ponto A e´
IA =
mb2
12
+m
(
b
2
)2
=
mb2
3
(2)
Para pequenas oscilac¸o˜es temos que senθ ≈ θ ≈ xb .Logo a equac¸a˜o da barra se reduz a:
mb2
3
d2
dt2
(x
b
)
= −mgx
b
b
2
− kxb =⇒ d
2x
dt2
+ 3
(
g
2b
+
k
m
)
x = 0 (3)
c) Pela equac¸a˜o anterior temos que:
ω =
√
3
(
g
2b
+
k
m
)
(4)
d) A velocidade da extremidade inferior da barra e´:
vx(t) = −ωAsen(ωt+ φ) (5)
Logo, temos que
x(0) = A cosφ = 0 =⇒ φ = pi
2
ou − pi
2
(6)
vx(0) = v0 = −Aωsenφ > 0 =⇒ A = v0
ω
, φ = −pi
2
=⇒ x(t) = v0
ω
cos
(
ωt− pi
2
)
(7)
QUESTA˜O 2 Uma corda de viola˜o possui densidade linear de 7,5 g/m e esta´ sob uma tensa˜o F=300 N. Os suportes fixos
esta˜o a uma distaˆncia de L=90 cm. A corda esta´ oscilando de acordo com o padra˜o de onda estaciona´ria
que pode ser visto na figura abaixo. Determine:
a) (0,5) A velocidade escalar das ondas progressivas que, combinadas, geram esta onda estaciona´ria.
b) (0,5) O comprimento de onda da onda estaciona´ria.
c) (0,5) A frequeˆncia das ondas progressivas, que quando combinadas, geram a onda estaciona´ria.
d) (1,0) A func¸a˜o y = f(x, t) que descreve os deslocamentos transversais da corda. Sabe-se que em t=0
a velocidade transversal de todos os pontos da corda era nula e que o seu deslocamento ma´ximo era
de 1 cm, o deslocamento sendo positivo nas proximidades de x = 0. Considere x = 0 e x = L como
os extremos da corda.
SOLUC¸A˜O Q2 a)
v =
√
F
µ
=
√
300N
7, 5× 10−3 kg/m = 200m/s (8)
b)
L =
3
2
λ =⇒ λ = 2L
3
= 60cm = 0, 6m (9)
c)
fλ = v =⇒ f = v
λ
=
200
0, 6
Hz ≈ 333, 3 Hz (10)
2
d)
y(x, t) = ymsen(kx) cos(ωt+ φ)
uy(x, t) = −ωymsen(kx)sen(ωt+ φ)
uy(x, 0) = −ωymsen(kx)sen(φ) = 0 =⇒ φ = 0 ou pi.
Como y(x, 0) deve ser positivo para x pequeno, decorre que φ = 0. Assim
y(x, t) = ymsen
(
2pi
λ
x
)
cos(2pift),
onde λ e f esta˜o dados nos ı´tens anteriores e ym = 1 cm.
QUESTA˜O 3 Dois alto-falantes esta˜o localizados a distaˆncias s1 = 22 m e a s2 = 20 m de um ouvinte O, situado
na junc¸a˜o dos dois tubos, conforme a figura abaixo. Um gerador de sinais coloca os dois alto-falantes
em fase (∆P (t) = ∆Pmsen(−2pift)) com as mesmas amplitudes de pressa˜o (∆Pm = ∆Pm1 = ∆Pm2) e
frequeˆncias (f = f1 = f2) e o som de cada um deles e´ transmitido ao ouvinte, sem perdas e em forma de
onda progressiva unidimensional, atrave´s de dois tubos. A frequeˆncia das ondas sonoras esta´ dentro do
intervalo aud´ıvel de 20 Hz a 20 kHz.
a) (0,6) Obtenha as func¸o˜es ∆P1(s1, t) e ∆P2(s2, t) para os sinais de pressa˜o observados pelo ouvinte
provenientes de cada uma das fontes em func¸a˜o de suas distaˆncias s1 e s2, da frequeˆncia f e do tempo
t.
b) (0,7) Qual e´ a pressa˜o resultante da soma das duas ondas observada pelo ouvinte?
c) (0,6) Qual e´ a frequeˆncia mais baixa para a qual o ouvinte ira´ ouvir um sinal de mı´nimo, devido a`
interfereˆncia destrutiva?
d) (0,6) Qual e´ a frequeˆncia mais baixa para a qual o ouvinte percebera´ um sinal ma´ximo?
SOLUC¸A˜O Q3 a) Uma onda progressiva se deslocando ao longo de um eixo s tem como equac¸a˜o:
∆P (s, t) = ∆Pmsen(ks− 2pift)
onde k = 2piλ =
2pif
vs
. Logo:
∆P (s, t) = ∆Pmsen
[
2pif
(
s
vs
− t
)]
e portanto:
∆P1(s1, t) = ∆Pmsen
[
2pif
(
s1
vs
− t
)]
e ∆P2(s2, t) = ∆Pmsen
[
2pif
(
s2
vs
− t
)]
3
b)
∆PT (t) = ∆P1(s1, t) + ∆P2(s2, t)
= ∆Pmsen
[
2pif
(
s1
vs
− t
)]
+∆Pmsen
[
2pif
(
s2
vs
− t
)]
c) A interfereˆncia das duas ondas produzira´ um sinal de mı´nimo sempre que:
cos
[
2pif
(
s1 − s2
2vs
)]
= 0 (11)
ou seja, 2pif
(
s1−s2
2vs
)
= 2(m− 1)pi2 , onde m = 1, 2, 3.... Logo:
f =
2m− 1
2(s1 − s2)vs = (2m− 1)
340 m/s
2× 2, 0 m = (2m− 1)× 85 Hz, (12)
A menor frequeˆncia (que esta´ na faixa aud´ıvel) e´, portanto f = (2× 1− 1)× (85 Hz) = 85 Hz
d) No caso de ma´ximo
cos
[
2pif
(
s1 − s2
2vs
)]
= 1 (13)
ou seja, 2pif
(
s1−s2
2vs
)
= mpi, onde m = 1, 2, 3 .... Logo:
f =
m
s1 − s2 vs =
m
2, 0 m
× 340 m/s = m× 170 Hz (14)
Portanto f = 1× 170 Hz = 170 Hz.
QUESTA˜O 4 Uma das formas de estimar a variac¸a˜o de pressa˜o no interior da Terra e´ considera´-la como uma esfera
composta por um fluido homogeˆneo com densidade constante e ρ = 13 × 103 kg/m3. A acelerac¸a˜o da
gravidade no interior desse fluido aumenta linearmente com a distaˆncia r do ponto ao centro da Terra e o
seu mo´dulo e´ dado por g(r) = gSR r, onde gS e´ a acelerac¸a˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra (gS = 9, 8
m/s2) e R e´ o raio da Terra (6, 4× 106 m). Considere a pressa˜o na superf´ıcie da Terra como sendo 1 atm
(1 atm ≈ 105 Pa):
a) (1,0) Obtenha a pressa˜o p no interior da Terra como func¸a˜o de r;
b) (1,0) Calcule a pressa˜o no centro da Terra (r = 0);
c) (0,5) Esboce o gra´fico da pressa˜o como func¸a˜o de r.
4
SOLUC¸A˜O Q4 a) Partimos da equac¸a˜o
dp
dr
= −ρg(r)
que da´ a variac¸a˜o de pressa˜o com a altura a partir do centro da Terra (quanto mais subimos, menor
a pressa˜o). Uma simples integrac¸a˜o de r = 0 ate´ um ponto r qualquer no fluido∫ p(r)
p(0)
dp = −
∫ r
0
ρg(r)dr = −ρgS
R
∫ r
0
rdr (15)
nos leva a` expressa˜o para p(r) dada por
p(r) = p(0)− ρgS
2R
r2 (16)
onde p(0) e´ a pressa˜o no centro da Terra. Assim, vemos que a pressa˜o diminui quadraticamente
quando subimos desde o centro para a superf´ıcie terrestre, ate´ atingir o valor de 1 atm (ou 105 Pa).
b) A pressa˜o no interior da Terra pode ser obtida a partir do valor de p na super´ıcie
p(R) = patm = p(0)−
ρgSR
2
=⇒ (17)
p(0) = patm+
ρgSR
2
= 105 Pa+
(13× 103 kg/m3)× (9, 8 m/s2)× (6, 4× 106 m)
2
≈ 4×1011 Pa (18)
c) Como p(r) e´ uma func¸a˜o quadra´tica de r com p(0) no centro da Terra e p(R) = patm na superf´ıcie,
temos
5