PF 2011.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA II-A - 2011/1 - RESOLUC¸A˜O DA PROVA FINAL - DATA: 11/07/2011
QUESTA˜O 1 [ 2,5 pontos]
[P1] Uma camada de o´leo de densidade ρo = fρa, onde f < 1, e´ despejada em um reservato´rio
cil´ındrico com a´gua (densidade ρa) e que se encontra aberto superiormente (vide figura 1). Sabe-se que
a espessura da camada de o´leo e´ ho e que o n´ıvel da a´gua no reservato´rio e´ H.
(a) (1,2) Determine a velocidade vs de sa´ıda da a´gua por um furo de diaˆmetro muito pequeno em
comparac¸a˜o com o diaˆmetro do reservato´rio que e´ feito na sua lateral a uma profundidade h, sendo
h > ho.
Para determinarmos a pressa˜o P2 na superf´ıcie que delimita superiormente a camada de a´gua tomemos a equac¸a˜o
de Bernoulli para os pontos (1) e (2) nas superf´ıcies que delimitam superiormente e inferiormente a camada de o´leo,
considerando que, para estes pontos, temos que y1 = H + ho e y2 = H . Com isso teremos que
1
2
ρov
2
1 + ρog(H + ho) + Po =
1
2
ρov
2
2 + ρogH + P2 =⇒ P2 = Po + ρogho +
1
2
ρo(v
2
1 − v
2
2) .
Sendo A a a´rea transversa do reservato´rio, enta˜o aplicando a equac¸a˜o de vaza˜o para as sec¸o˜es de a´rea transversas
que conte´m os pontos (1) e (2) encontraremos que
v1A = v2A =⇒ v1 = v2
de modo que, usando esta´ igualdade na expressa˜o anterior tiramos que
P2 = Po + ρogho .
Se agora aplicarmos a equac¸a˜o de Bernoulli para o ponto (2) e o ponto (3) que se encontra na sa´ıda do furo, onde
y3 = H + ho − h e v3 = vs, obteremos a relac¸a˜o
1
2
ρav
2
2 + ρagH + P2 =
1
2
ρav
2
s + ρag(H + ho − h) + Po =⇒
1
2
ρav
2
2 + P2 =
1
2
ρav
2
s + ρag(ho − h) + Po .
Assumindo que a a´rea transversa do furo seja a e aplicando a equac¸a˜o de vaza˜o para as sec¸o˜es de a´rea transversas que
conte´m os pontos (2) e (3) encontraremos que
v2A = vsa =⇒ v2 =
( a
A
)
vs
de modo que, como a � A, enta˜o v2 � vs e, com isso, podemos desprezar o termo quadra´tico em v2 na expressa˜o
anterior que, juntamente com o uso da expressa˜o obtida anteriormente para P2, levara´ a` relac¸a˜o
Po + ρogho =
1
2
ρav
2
s + ρag(ho − h) + Po =⇒ vs =
√
2gh
[
1−
ho
h
(1 − f)
]
onde levamos em conta o fato de que ρo = fρa.
(b) (0,8) Determine a distaˆncia D entre o reservato´rio e o ponto do solo atingido pelo filete de a´gua que
escapa pelo orif´ıcio.
Apo´s sair pelo furo o filete de a´gua ficara´ sob a ac¸a˜o da gravidade e, neste caso, as coordenadas como func¸a˜o do
tempo de um certo elemento de massa dele sera˜o dadas por{
x(t) = vst
y(t) = H + ho − h−
1
2gt
2 =⇒ y(x) = H + ho − h −
gx2
2v2s
.
Usando este resultado e observando que, ao atingir o solo este elemento de massa tera´ xqueda = D e yqueda = y(D) = 0,
enta˜o encontraremos que
H + ho − h−
gD2
2v2s
= 0 =⇒ D =
√
2
g
(H + ho − h) vs .
Deste modo, ao usarmos a expressa˜o para vs na equac¸a˜o acima teremos o resultado final
D = 2
√
h(H + ho − h)
[
1−
ho
h
(1− f)
]
.
1
(c) (0,5) Obtenha os valores nume´ricos para vs e D no caso em que f = 0, 6 , ho = 0, 3m, H = 2, 0m e
h = 1, 8m.
Usando as expresso˜es obtidas, encontraremos que
vs =
√
2× 9, 8× 1, 8×
[
1−
0, 3
1, 8
× (1− 0, 6)
]
m/s =⇒ vs = 5, 7m/s
e, por sua vez,
D = 2×
√
1, 8× (2, 0 + 0, 3− 1, 8)×
[
1−
0, 3
1, 8
× (1− 0, 6)
]
m =⇒ D = 1, 8m .
QUESTA˜O 2 [ 2,5 pontos]
[P1/PF] Uma haste de comprimento 2L e massa desprez´ıvel, que possui duas esferas ideˆnticas de
massa M e raio desprez´ıvel presas em suas extremidades, pode girar livremente, em um plano vertical,
em torno de um eixo O que passa ortogonalmente a ela a uma distaˆncia r de seu centro, como mostra
a figura 2.
(a) (0,9) Considerando os torques que atuam no sistema, obtenha a equac¸a˜o de movimento do mesmo e
mostre que a haste oscilara´ harmonicamente quando for deslocada de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio por um
aˆngulo θ muito pequeno.
Pela 2a Lei de Newton para rotac¸o˜es:
∑
τ = I d
2θ
dt2
Mg(L − r)senθ −Mg(L + r)senθ =
[
M(L− r)2 +M(L + r)2
]
d2θ
dt2
−2grsenθ = 2(L2 + r2)d
2θ
dt2
(1)
Para aˆngulos pequenos, senθ ≈ θ, enta˜o:
(L2 + r2)
d2θ
dt2
+ grθ = 0 (2)
Esta e´ a equac¸a˜o de movimento do oscilador harmoˆnico, que tem como soluc¸a˜o θ(t) = θm cos(ωt+φ), com ω =
√
gr
L2+r2 .
(b) (0,9) Determine a expressa˜o para a frequencia f da oscilac¸a˜o e obtenha os seus valores nos casos em
que r = L e r = 0. Justifique fisicamente os resultados obtidos.
A frequeˆncia e´ f = ω2pi =
1
2pi
√
gr
L2+r2 . Se r = L, enta˜o f =
1
2pi
√
g
2L , que e´ a frequeˆncia de um peˆndulo simples de
comprimento 2L. Por outro lado, se r = 0 obtemos f = 0, pois nesta situac¸a˜o na˜o ha´ torque restaurador resultante, de
modo que o sistema gira livremente se colocado em movimento.
(c) (0,7) Supondo que a haste esta´ inicialmente na posic¸a˜o de equil´ıbrio e, no instante t = 0, recebe um
impulso de rotac¸a˜o que a leva a um angulo ma´ximo de mo´dulo θm depois de decorridos
1
4
de per´ıodo,
escreva a expressa˜o para θ(t) em func¸a˜o de θm e f. Considere todas as soluc¸o˜es fisicamente distintas.
A soluc¸a˜o geral e´ θ(t) = θm cos(2pift + φ). A condic¸a˜o inicial descrita no problema corresponde a θ(0) = 0, de
modo que cos φ = 0, ou seja, φ = ±pi/2. Estas duas escolhas correspondem a` velocidade angular inicial ser positiva
ou negativa, o que na˜o e´ especificado no problema, de modo que sa˜o as duas soluc¸o˜es fisicamente distintas compat´ıveis
com o enunciado. Assim, a resposta e´ θ(t) = θm cos(2pift ± pi/2).
QUESTA˜O 3 [ 2,5 pontos]
[P1] As ondas estaciona´rias unidimensionais sa˜o descritas, de uma maneira geral, pela expressa˜o
y(x, t) = (a cos kx + b sen kx) cosωt, onde k e´ o nu´mero de onda e ω e´ a frequeˆncia angular. Usando esta
informac¸a˜o e as condic¸o˜es de contorno, considere os modos normais de oscilac¸a˜o pn(x, t), do ponto de
vista da diferenc¸a de pressa˜o p(x, t) = P (x, t)−Po, associados a`s ondas sonoras estaciona´rias produzidas
em um tubo de comprimento L que possui uma extremidade aberta em x = 0 e a outra fechada em
x = L. Sendo vs a velocidade do som no ar, determine para estes modos normais de vibrac¸a˜o:
(a) (0,6) as frequeˆncias fn;
(b) (0,5) os comprimentos de ondas λn;
2
Do ponto de vista da variac¸a˜o da pressa˜o associada a` onda sonora estaciona´ria, as condic¸o˜es de contoˆrno para o
tubo com uma extremidade aberta em x = 0 e a outra fechada em x = L sa˜o dadas por
p(0, t) = 0 e
∂p(L, t)
∂x
= 0 .
Sendo assim, ao aplicarmos estas condic¸o˜es na expressa˜o geral para a onda sonora estaciona´ria p(x, t) = (a cos kx +
b sen kx) cosωt encontraremos que{
a cosωt = 0 =⇒ a = 0
k b cos kL cosωt = 0 =⇒ k = kn = (n−
1
2)pi/L
com n = 1, 2, 3, . . .
Ao levarmos em conta este resultado teremos que{
λn = 2pi/kn
fn = vs/λn
=⇒
{
λn = 4L/(2n− 1)
fn = (2n− 1)vs/(4L)
.
(c) (1,0) as expresso˜es para pn(x, t) em func¸a˜o de n, L, vs e a amplitude po da onda estaciona´ria, suposta
conhecida.
Agora, se usarmos o fato de que ωn = 2pifn e que b = po na expressa˜o resultante para a onda estaciona´ria
teremos que
pn(x, t) = po sen
[
(2n− 1)pix
2L
]
cos
[
(2n− 1)vst
2L
]
.
(d) (0,4) Fac¸a um desenho esboc¸ando os dois primeiros modos normais de vibrac¸a˜o.
Vide figura em anexo.
QUESTA˜O 4 [ 2,5 pontos]
[P1/PF] A equac¸a˜o de uma onda progressiva harmoˆnica em uma corda e´ dada pela expressa˜o
y(x, t) = ym cos(kx− ωt + φ), onde k = pi m
−1 e ω = 10pi rad/s.
(a) (0,9) Determine o per´ıodo T , o comprimento de onda λ e a velocidade de fase v desta onda.
Utilizando as relac¸o˜es conhecidas e as informac¸o˜es fornecidas encontraremos que
T =
2pi
ω
=⇒ T =
2pi
10pi
s =⇒ T =
1
5
s = 0, 2 s
λ =
2pi
k
=⇒ λ =
2pi
pi
m =⇒λ = 2m
v =
λ
T
=⇒ v =
2
0, 2
m/s. =⇒ v = 10m/s
(b) (0,3) Se a tensa˜o que estica a corda e´ de 10 N, determine a densidade linear da corda µ.
Levando em conta que a velocidade de propagac¸a˜o da onda na corda e´ dada por v =
√
τ/µ tiramos que
µ =
τ
v2
=⇒ µ =
10N
100m2/s2
= 0, 1 kg/m. (3)
(c) (0,3) Determine a expressa˜o para a velocidade transversal da corda (∂y/∂t).
Neste caso encontraremos que
vy(x, t) =
∂y(x, t)
∂t
=
∂
∂t
{ym cos(kx− ωt + φ)} = −ym sen(kx− ωt+ φ)× (−ω)
ou seja,
vy(x, t) = ωym sen(kx− ωt+ φ)
de modo que, usando as informac¸o˜es ate´ enta˜o conhecidas, teremos
vy(x, t) = [ 10piym sen(pix− 10pit+ φ) ] s
−1 ,
restando determinar os valores para ym e φ e tendo que ym e x devem ser dados em metros e t em segundos.
(d) (1,0) Se no instante t = 0, na posic¸a˜o x = 0 temos que y(0, 0) = 1, 4 cm e ∂y
∂t
(0, 0) = 14, 1pi cm/s,
determine o valor da amplitude e da constante de fase desta onda.
3
Das condic¸o˜es iniciais da onda progressiva no ponto x = 0 obteremos o sistema de equac¸o˜es{
y(0, 0) = ym cos φ
vy(0, 0) = ωym senφ
cuja soluc¸a˜o para ym e φ, obtida ao dividirmos as duas equac¸o˜es (para a determinac¸a˜o de φ) e tomarmos a soma de
seus quadrados (para a determinac¸a˜o de ym), sera´ dada por
tanφ =
vy(0, 0)
ω y(0, 0)
e ym =
√
[y(0, 0)]2 + [vy(0, 0)/ω]2.
Deste modo, ao usarmos os dados nume´ricos conhecidos tiramos que
tanφ =
14, 1pim/s
10pi × 1, 4m/s
=⇒ tanφ = 1, 007 =⇒ φ = 0, 789 rad = 45, 2o ≈
pi
4
rad
ym =
√
[1, 4]2+ [14, 1pi/(10pi)]2 cm =⇒ ym = 1, 99 cm.
QUESTA˜O 5 [ 2,5 pontos]
[P2] Coloca-se uma mistura dos gases he´lio (He), monoatoˆmico, e hidrogeˆnio (H2), diatoˆmico, num
recipiente de 10 litros a` temperatura de 27oC. Sabendo que a massa de cada ga´s e´ 1 g, determine:
(a) (0,8) as presso˜es parciais P
H2
e P
He
, devido a cada ga´s e a pressa˜o total P
T
da mistura;
O nu´mero de moles de cada um dos gases misturados sera´ nx = Mx/M
(x)
mol, sendo x = H2 ou He. Desse modo
teremos que
n
H2
=
1 g
2 g
=
1
2
enquanto n
He
=
1 g
4 g
=
1
4
.
Por sua vez, pela equac¸a˜o de estado teremos que a pressa˜o parcial devido a cada ga´s e´ fornecida por Px = nxRT/V ,
de modo que utilizando os dados conhecidos encontraremos que
P
H2
=
[
0, 5× 8, 31× 300
10× 10−3
]
Pa = 1, 25× 105Pa
enquanto que
P
He
=
[
0, 25× 8, 31× 300
10× 10−3
]
Pa = 6, 23× 104Pa
e com isso a pressa˜o total para a mistura dos gases sera´ dada por
P
T
= P
H2
+ P
He
= 1, 87× 105Pa.
(b) (0,8) as energias internas totais E
H2
e E
He
, associadas a cada componente da mistura considerando
os graus de liberdade de translac¸a˜o e rotac¸a˜o e utilizando o teorema da equipartic¸a˜o da energia.
Pela lei da equipartic¸a˜o da energia temos que a energia interna de cada componente da mistura e´ fornecida por
Ex =
1
2
qxnxRT , onde qx fornece o nu´mero de graus de liberdade para cada ga´s. Sendo assim, ao levarmos em conta
que q
H2
= 5 (ga´s diatoˆmico) e q
He
= 3 (ga´s monoatoˆmico), encontraremos que
E
H2
= [0, 5× 5× 0, 5× 8, 31× 300] J = 3, 12× 103 J
enquanto que
E
He
= [0, 5× 3× 0, 25× 8, 31× 300] J = 9, 35× 102 J
e com isso a energia interna total para a mistura dos gases sera´ dada por
E
T
= E
H2
+E
He
= 4, 06× 103 J.
(c) (0,9) Obtenha os calores espec´ıficos molares a volume constante c
(H2)
v e c
(He)
v de cada ga´s e determine
os calores espec´ıficos molares a volume cv e a pressa˜o constante cp da mistura, bem como a sua constante
adiaba´tica γ.
Pela lei da equipartic¸a˜o da energia sabemos que os calores espec´ıficos molares a volume constante e a pressa˜o
constante de cada componente da mistura sa˜o fornecidos por c
(x)
v =
1
2qxR e c
(x)
p = c
(x)
v +R = (
1
2qx+1)R. Com isso,
ao levarmos em conta que q
H2
= 5 (ga´s diatoˆmico) e q
He
= 3 (ga´s monoatoˆmico), encontraremos que
c(H2)v =
5
2
R = 20, 8 J/molK e c(H2)p =
7
2
R = 29, 1 J/molK
4
enquanto que
c(He)v =
3
2
R = 12, 5 J/molK e c(He)p =
5
2
R = 20, 8 J/molK.
Para obtermos os calores espec´ıficos molares a volume constante c
(T)
v e a pressa˜o constante c
(T)
p da mistura dos gases
devemos tomar a me´dia ponderada em nx dos respectivos calores espec´ıficos molares de cada componente. Ou seja,
c(T)v =
n
H2
c
(H2)
v + nHec
(He)
v
n
H2
+ n
He
=
[ 1
2 ×
5
2 +
1
4 ×
3
2
1
2 +
1
4
]
R =
13
6
R = 18, 0 J/molK
e da mesma forma
c(T)p =
n
H2
c
(H2)
p + nHec
(He)
p
n
H2
+ n
He
=
[ 1
2 ×
7
2 +
1
4 ×
5
2
1
2 +
1
4
]
R =
19
6
R = 26, 3 J/molK.
Com isso a constante adiaba´tica da mistura dos gases sera´ dada por
γ
T
= c(T)p /c
(T)
v =
19
13
= 1, 46 .
QUESTA˜O 6 [ 2,5 pontos]
[P2/PF] Uma massa de 100 g de gelo, inicialmente a 0oC, e´ totalmente fundida em contato com um
reservato´rio te´rmico a` temperatura de 27oC. Considere o calor latente de fusa˜o do gelo L = 80 cal/g e o
calor espec´ıfico da a´gua c = 1, 0 cal/goC. Determine:
(a) (0,6) a variac¸a˜o da entropia da massa de gelo ao se transformar em a´gua a 0oC;
Como o processo de fusa˜o do gelo ocorre a` temperatura constante, temos que
∆Sgelo =
Qgelo
T1
=
ml
T1
=
8000
273
cal/K ≈ 29, 3 cal/K = 122, 6 J/K. (4)
(b) (0,6) a variac¸a˜o da entropia da massa de a´gua ao ser aquecida de 0oC a 27oC;
No caso do aquecimento da a´gua temos que
∆Sa´gua =
∫ T2
T1
dQa´gua
T
=
∫ T2
T1
mcdT
T
= mc lnT2/T1 = 100 ln300/273 cal/K ≈ 9, 43 cal/K = 39, 5 J/K. (5)
(c) (0,6) a variac¸a˜o da entropia do reservato´rio te´rmico.
No caso do reservato´rio, o processo ocorre a` temperatura constante, logo teremos que
∆Sreservato´rio =
Qreservato´rio
T2
= −
ml +mc∆T
T2
= −
8000 + 2700
300
cal/K ≈ −35, 7 cal/K = −149, 4 J/K. (6)
(d) (0,7) Considere o universo, formado pela massa de gelo e o reservato´rio, isolado da vizinhanc¸a. A
partir da variac¸a˜o de entropia do universo, diga se o processo de derretimento do gelo e aquecimento
da massa equivalente de a´gua e´ um processo revers´ıvel.
∆Suniverso = ∆Sgelo +∆Sa´gua + ∆Sreservato´rio ≈ 3, 03 cal/K = 12, 7 J/K. (7)
Como ∆Suniverso > 0, o processo e´ irrevers´ıvel.
QUESTA˜O 7 [ 2,5 pontos]
[P2] O estado inicial para 4 g de ga´s he´lio (He) e´ dado por: V1 = 22, 4 litros, P1 = 1 atm e T1 = 0
oC.
Este ga´s e´ submetido aos seguintes processos: (i) uma expansa˜o isote´rmica do estado inicial [1] ate´ o
estado [2], que possui o dobro do volume inicial; (ii) em seguida ele sofre um aquecimento isovolume´trico
do estado [2] ate´ o estado [3], absorvendo 300J; (iii) por fim ele sofre uma compressa˜o isote´rmica do
estado [3] ate´ o estado [4], cujo volume e´ o mesmo do estado inicial.
(a) (0,5) Represente os treˆs processos em um diagrama de P × V .
(b) (2,0) Obtenha os valores para a pressa˜o P (em atm), volume V (em litros) e temperatura T (em K)
para os estados extremos [1], [2], [3] e [4].
5
No ponto [1]: dados do problema V1= 22,4 l, P1=1 atm e T1=0
0C=273,16 K
No ponto [2]: sendo o processo [1] → [2] isote´rmico (temperatura T1) ⇒ P1V1=P2V2.
Como V2=2V1 ⇒ P2=P1/2.
Assim V2=44,8l, P2=0,5 atm e T2=0
0C=273,16K.
No ponto [3]: sendo o processo [2] → [3] isovolume´trico ⇒ V2=V3=2V1
Para determinar a temperatura T3 usamos o fato que a variac¸a˜o de energia interna do ga´s ∆E=ncV (T3-T2) onde
cV=3/2R. Como na˜o ha´ realizac¸a˜o de trabalho ]⇒ ∆E=Q. Logo T3=T2+Q/(ncV ), o nu´mero de moles n=1 (pode ser
obtido por n=P1V1/RT1 ou pelo fato da massa dada ser igual a` massa de um mol).
A pressa˜o P3=RT3/V3.
Assim V3=44,8 l, T3=273,16K+200/8,314= 297,22K, e P3= (8,314 x 297,22/(44,8 x 10
−3 1,013 x 105))= 0,54 atm
No ponto [4]: comoo processo [3] → [4] e´ isote´rmico (temperatura T3) e que o ga´s volta ao seu volume inicial (V4=V1)
⇒ P4=RT3/V1.
Assim V4= 22,4 l, P4=(8,314 x 297,22/(22,4 x 10
−3 1,013 x 105))=1,09 atm e T4=297,22K.
QUESTA˜O 8 [ 2,5 pontos]
[P2/PF] Um mol de um ga´s ideal monoatoˆmico descreve o ciclo composto de um processo: (i)
[1] → [2] de expansa˜o isote´rmica; (ii) [2] → [3] de esfriamento isovolume´trico; (iii) [3] → [1] de
compressa˜o adiaba´tica. Sabendo que V2 = 3V1, determine em termos de P1, V1 e R:
(a) (0,6) P2, P3 e T3;
Sendo o processo [1]→ [2] isote´rmico enta˜o teremos que
P1V1 = P2V2 =⇒ P2 =
(
V1
V2
)
P1 =
1
3
P1 .
No caso do processo adiaba´tico [3]→ [1], como V3 = V2 e γ = 5/3, tiramos que
P1V
γ
1 = P3V
γ
3 =⇒ P3 =
(
V1
V2
)γ
P1 =
1
35/3
P1 = 0, 16P1 .
Por fim, pela equac¸a˜o de estado teremos que
T3 = P3V3/R = 0, 16P1(3V1)/R = 0, 48P1V1/R .
(b) (1,2) W , Q e ∆Eint para os treˆs processos e para o ciclo, como um todo.
Usando a primeira lei da termodinaˆmica e as propriedades de cada processo, tiramos que:
• no processo de [1]→ [2]: ∆Eint = 0 e Q = W = RT1 ln (V2/V1) = P1V1 ln 3 = 1, 1P1V1 ;
• no processo de [2]→ [3]: W = 0 e ∆Eint = Q = Cv(T3 − T2) =
3
2R(0, 48− 1)P1V1/R = −0, 78P1V1 ;
• no processo de [3]→ [1]: Q = 0 e ∆Eint = W = Cv(T1 − T3) =
3
2R(1− 0, 48)P1V1/R = 0, 78P1V1 ;
• no processo c´ıclico como um todo: ∆Eint = 0 e Qo = Wo = (1, 1− 0, 78)P1V1 = 0, 32P1V1 .
(c) (0,7) Obtenha o rendimento η de uma ma´quina te´rmica que opere com este ciclo e compare com o
rendimento ηc de uma ma´quina de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas.
O rendimento da ma´quina te´rmica sera´ fornecido por
η =
Wo
Qabs
=
0, 32P1V1
1, 1P1V1
=⇒ η = 0, 29
No caso de uma ma´quina de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas teremos que
ηc = 1− T3/T1 = 1− 0, 48T1/T1 =⇒ ηc = 0, 52
portanto
η/ηc = 0, 29/0, 52 = 0, 56 .
Informac¸o˜es Fornecidas
A) g = 9, 8m/s2 R = 8, 314 J/molK 1 atm= 1, 013× 105N/m2 1 litro = 10−3m3 1 cal= 4, 186 J
B) M
(mol)
H2
= 2 g M
(mol)
He = 4 g
6
1( , )p x t
2( , )p x t
0x  x L
V(l) 
P 
(atm)) 
1 
2
3
4 
Os valores das coordenadas encontram-se no 
texto