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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III – 2012/2 Primeira Prova: 10/12/2012 Versa˜o: A Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( onde k0 = 1 4πǫ0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ǫ0 ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , ~E = ~E0 K , C = Q/V Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos) 1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ (E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica U? (a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0. (b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE. (c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE. (d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0. (e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE. (f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0. (g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE. (h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE. 2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre- senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten- cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia r ao centro? (a) (b) (c) (d) (e) 1 3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re- til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re- sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere o potencial ele´trico nulo no infinito. (a) ~E = Exˆ e V = 0. (b) ~E = −Exˆ e V = 0. (c) ~E = Eyˆ e V = 0. (d) ~E = −Eyˆ e V = 0. (e) ~E = Exˆ e V = λ+ 2πǫ0 . (f) ~E = −Exˆ e V = λ+ 2πǫ0 . 4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos um plano infinito com densidade superficial de carga σ in- teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera (3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to- tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci- das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera (F3)? (a) F1 > F2 > F3. (b) F1 = F2 = F3. (c) F1 > F2 = F3. (d) F1 = F2 > F3. (e) F1 = F2 < F3. (f) F3 > F1 > F2. (g) F1 < F2 < F3. 5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con- dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu- tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi- dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero. Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes) correta(s)? (a) Somente a I e a II. (b) Somente a I e a III. (c) Somente a II e a III. (d) Somente a I. (e) Somente a II. (f) Somente a III. (g) Todas sa˜o corretas. (h) Nenhuma e´ correta. 6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´ preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan- tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade, pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor- reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua capacitaˆncia no va´cuo C0? (a) 2 (K1 +K2) C0. (b) K1K2 K1 +K2 C0. (c) 2K1K2 K1 +K2 C0. (d) (K1 +K2) C0/2. (e) K1K2 2 (K1 +K2) C0. (f) (K1 +K2) C0. 2 7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir, qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou- tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui. (a) Todas sa˜o verdadeiras. (b) Somente a I e a II. (c) Somente a I e a III. (d) Somente a II e a III. (e) Somente a I. (f) Somente a II. (g) Somente a III. (h) Nenhuma e´ verdadeira. 8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo, posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L}, com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje- tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S. Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico atrave´s da superf´ıcie S? (a) Φ = 1 ε0 ( aL2 2 + bL3 2 + cL4 2 ) . (b) Φ = 1 ε0 ( aL2 + bL3 + cL4 ) . (c) Φ = 1 ε0 ( aL+ bL2 + cL3 ) . (d) Φ = 1 ε0 ( aL2 + 2bL3 + 3cL4 ) . (e) Φ = 1 ε ( abcL9 )1/3 9 . 9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme- mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu- los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre as placas? (a) −(10000 V/m) xˆ. (b) −(1000 V/m) xˆ. (c) (1 V/m) xˆ. (d) −(1 V/m) xˆ. (e) (100 V/m) xˆ. (f) −(100 V/m) xˆ. 10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga: i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ), em coordenadas esfe´ricas; ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den- sidade linear de carga na˜o uniforme; iii anel circular com densidade linear de carga constante (estaciona´ria e uniforme); iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi- dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas cil´ındricas; v disco circular com densidade superficial de carga constante (estaciona´ria e uniforme). Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple- mentada por argumentos de simetria, para determinar o campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o? (a) Em todos os casos. (b) Nos casos (i), (ii) e (iv). (c) Somente no caso (iv). (d) Nos casos (ii), (iv) e (v). (e) Somente no caso (i). (f) Em todos casos exceto o (ii). (g) Somente no caso (iii). (h) Somente nos casos (i) e (iv). 3 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos) 1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0, no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular. Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel. Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0. (a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto] (b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto] (c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia- tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto] (d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual a part´ıcula cruza o centro doanel. [0,7 ponto] 2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in- finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r, onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro. Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro, tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura. (a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno. [0,5 ponto] (b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es: 0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos] 4 Gabarito para Versa˜o A Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos) 1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ (E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica U? (a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0. (b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE. (c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE. (d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0. (e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE. (f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0. (g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE. (h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE. 2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre- senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten- cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia r ao centro? (a) (b) (c) (d) (e) 1 3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re- til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re- sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere o potencial ele´trico nulo no infinito. (a) ~E = Exˆ e V = 0. (b) ~E = −Exˆ e V = 0. (c) ~E = Eyˆ e V = 0. (d) ~E = −Eyˆ e V = 0. (e) ~E = Exˆ e V = λ+ 2πǫ0 . (f) ~E = −Exˆ e V = λ+ 2πǫ0 . 4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos um plano infinito com densidade superficial de carga σ in- teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera (3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to- tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci- das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera (F3)? (a) F1 > F2 > F3. (b) F1 = F2 = F3. (c) F1 > F2 = F3. (d) F1 = F2 > F3. (e) F1 = F2 < F3. (f) F3 > F1 > F2. (g) F1 < F2 < F3. 5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con- dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu- tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi- dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero. Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes) correta(s)? (a) Somente a I e a II. (b) Somente a I e a III. (c) Somente a II e a III. (d) Somente a I. (e) Somente a II. (f) Somente a III. (g) Todas sa˜o corretas. (h) Nenhuma e´ correta. 6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´ preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan- tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade, pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor- reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua capacitaˆncia no va´cuo C0? (a) 2 (K1 +K2) C0. (b) K1K2 K1 +K2 C0. (c) 2K1K2 K1 +K2 C0. (d) (K1 +K2) C0/2. (e) K1K2 2 (K1 +K2) C0. (f) (K1 +K2) C0. 2 7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir, qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou- tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui. (a) Todas sa˜o verdadeiras. (b) Somente a I e a II. (c) Somente a I e a III. (d) Somente a II e a III. (e) Somente a I. (f) Somente a II. (g) Somente a III. (h) Nenhuma e´ verdadeira. 8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo, posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L}, com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje- tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S. Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico atrave´s da superf´ıcie S? (a) Φ = 1 ε0 ( aL2 2 + bL3 2 + cL4 2 ) . (b) Φ = 1 ε0 ( aL2 + bL3 + cL4 ) . (c) Φ = 1 ε0 ( aL+ bL2 + cL3 ) . (d) Φ = 1 ε0 ( aL2 + 2bL3 + 3cL4 ) . (e) Φ = 1 ε ( abcL9 )1/3 9 . 9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme- mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu- los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre as placas? (a) −(10000 V/m) xˆ. (b) −(1000 V/m) xˆ. (c) (1 V/m) xˆ. (d) −(1 V/m) xˆ. (e) (100 V/m) xˆ. (f) −(100 V/m) xˆ. 10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga: i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ), em coordenadas esfe´ricas; ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den- sidade linear de carga na˜o uniforme; iii anel circular com densidade linear de carga constante (estaciona´ria e uniforme); iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi- dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas cil´ındricas; v disco circular com densidade superficial de carga constante (estaciona´ria e uniforme). Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple- mentada por argumentos de simetria, para determinar o campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o? (a) Em todos os casos. (b) Nos casos (i), (ii) e (iv). (c) Somente no caso (iv). (d) Nos casos (ii), (iv) e (v). (e) Somente no caso (i). (f) Em todos casos exceto o (ii). (g) Somente no caso (iii). (h) Somente nos casos (i) e (iv). 3 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos) 1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0, no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular. Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel. Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0. (a) Determine o potencial ele´trico devidoao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto] (b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto] (c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia- tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto] (d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto] Resoluc¸a˜o: (a) Ja´ supondo que o zero do potencial esta´ no infinito, podemos dizer que uma contribuic¸a˜o infinitesimal dV para o potencial eletrosta´tico em um ponto (de observac¸a˜o) a uma distaˆncia r de um elemento infinitesimal da distribuic¸a˜o com carga infinitesimal dq, e´ dV = 1 4πǫ0 dq r . [0,2 ponto] Logo, para a distribuic¸a˜o completa de carga, no domı´nio curvil´ıneo C, por superposic¸a˜o, temos V = 1 4πǫ0 ∫ C dq r . No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, e´ o´bvio que todos os pontos do anel carregado esta˜o a` mesma distaˆncia do ponto P . Logo, V = 1 4πǫ0r ∫ C dq = 1 4πǫ0 Q r , [0,2 ponto] onde, claro, Q e´ a carga total do anel, ou seja, Q = λ02πR , e r = √ R2 + z2 . Finalmente, enta˜o, V (x = y = 0, z) = λ0R 2ǫ0 √ R2 + z2 . [0,2 ponto] � (b) Genericamente, o campo eletrosta´tico se relaciona com o potencial eletrosta´tico por ~E = − ~∇V. 4 Por simetria, no eixo Z, sabemos que na˜o existem componentes do campo nas direc¸o˜es x e y. Portanto, ~E(x = y = 0, z) = −∂V (x = y = 0, z) ∂z [0,3 ponto] = −λ0R 2ǫ0 ∂ ∂z [( R2 + z2 )−1/2] . Logo, ~E(x = y = 0, z) = λ0 2ǫ0 Rz (R2 + z2)3/2 zˆ . [0,3 ponto] � (c) A energia mecaˆnica Em da part´ıcula e´ igual a sua energia cine´tica Ec mais a sua energia potencial Ep. Logo apo´s o lanc¸amento, a part´ıcula possui velocidade −vzˆ, donde conclu´ımos que sua energia cine´tica se escreve Ec = 1 2 mv2 . [0,2 ponto] Ja´ a energia potencial, logo apo´s o lanc¸amento, e´ U = qV , ou seja, U = qλ0R 2ǫ0 √ R2 + z2 . [0,2 ponto] Temos enta˜o, Em = Ec + U = 1 2 [ mv2 + qλ0R ǫ0 √ R2 + z2 ] . [0,2 ponto] � (d) A forc¸a eletrosta´tica entre o anel e a part´ıcula (sempre repulsiva), na parte da trajeto´ria dessa u´ltima com z > 0, freara´ o movimento. Destarte, a situac¸a˜o limite em que a part´ıcula podera´ atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma energia cine´tica nula. Logo, por conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, devemos ter Em(z = 0) = Em(z) 0 + qλ0R 2ǫ0R = 1 2 mv2c + qΛ0R 2ǫ0 √ R2 + z2 . [0,4 ponto] Resolvendo para vc, obtemos vc = √ qλ0 ǫ0m [ 1− R√ R2 + z2 ]1/2 . [0,3 ponto] � 2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in- finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r, onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro. Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro, tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura. (a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno. [0,5 ponto] (b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es: 0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos] 5 Resoluc¸a˜o: (a) Em uma casca cil´ındrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos, h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal a´ı existente e´ dq = ρ(r)dV = k r 2πrhdr . [0,2 ponto] Logo, por integrac¸a˜o de r = 0 ate´ r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, e´ Q(h) = 2πkah , [0,2 ponto] ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno e´ λ = Q(h) h = 2πka . [0,1 ponto] � (b) Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de carga, sabemos que o campo ele´trico, em coordenadas cil´ındricas (r, ϕ, z), com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuic¸a˜o, so´ tera´ componente r, e essa so´ dependente da coordenada radial r: ~E(r, ϕ, z) = Er(r) rˆ(ϕ) . Destarte, em qualquer uma das quatro regio˜es distintas para determinar o campo ele´trico, e´ conveniente utilizar a lei de Gauss, com uma superf´ıcie gaussiana sendo sempre uma superf´ıcie cil´ındrica coaxial com o eixo da distribuic¸a˜o, de raio r e altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre tera´, genericamente, a expressa˜o Φ~E = ∮ S ~E ·nˆ dA = ∫ Slat ~E ·nˆ dA = Er(r)2πrh . [0,6 ponto] O que diferira´, nas quatro regio˜es sera´ a expressa˜o para a carga encerrada pela superf´ıcie gaussiana. Assim, • 0 ≤ r ≤ a: A carga encerrada e´, neste caso, Qint = ∫ ρ(r′)dV ′ = ∫ r r′=0 k r′ 2πr′hdr′ = 2πkrh . Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos ~E = k ǫ0 rˆ . [0,3 ponto] • a ≤ r < b: A carga encerrada agora e´ Qint = ∫ ρ(r′)dV ′ = ∫ a r′=0 k r′ 2πr′hdr′ = 2πkah . Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos ~E = ka ǫ0r rˆ . [0,3 ponto] 6 • b < r < c: Nesta regia˜o, por ser constitu´ıda de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ obviamente nulo: ~E = ~0 . [0,5 ponto] • c < r <∞: A carga encerrada e´ a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado e´ neutro, ou seja, Qint = 2πkah . Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos ~E = ka ǫ0r rˆ . [0,3 ponto] � 7