P2 2011.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III – 2011/2
SEGUNDA PROVA (P2) – 21/11/2011
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno
de resoluc¸a˜o, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv
F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B
B =
∮
C
dB =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
S
B · nˆ dA = 0
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere uma espira circular condutora e um fio
muito longo, coplanares. Uma corrente ele´trica
flui pelo fio. O fio e a espira sa˜o arranjados de
quatro maneiras diferentes, como mostrado na
figura, onde o sentido da corrente e´ indicado pela
seta na extremidade do fio. Marque a opc¸a˜o
que indica o sentido correto da corrente ele´trica
induzida na espira em cada um dos quatro casos.
I aumentando
I diminuindo
I diminuindo
I constante
velocidade
constante
1 2
3 4
(a) 1: hora´rio, 2: anti-hora´rio, 3: anti-
hora´rio, 4: hora´rio.
(b) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti-hora´rio, 4:
na˜o ha´ corrente.
(c) 1: anti-hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti-
hora´rio, 4: hora´rio.
(d) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: hora´rio, 4:
hora´rio.
(e) 1: anti-hora´rio, 2: anti-hora´rio, 3: anti-
hora´rio, 4: anti-hora´rio.
(f) 1: hora´rio, 2: hora´rio, 3: anti-hora´rio, 4:
hora´rio.
2. Em cada um de quatro fios retil´ıneos, muito lon-
gos, perpendiculares aos ve´rtices de um quadrado
de lado L, passa uma corrente estaciona´ria I,
como mostra a figura. Quais sa˜o o mo´dulo, a
direc¸a˜o e o sentido do campo magne´tico B no
centro C do quadrado?
(a) 4µ0I/(πL), da direita para a esquerda.
(b) 2µ0I/(πL), da esquerda para a direita.
(c) µ0I/(πL), da direita para a esquerda.
(d) 4µ0I/(πL), da esquerda para a direita.
(e) 2µ0I/(πL), da direita para a esquerda.
3. Considere as treˆs afirmac¸o˜es seguintes e assinale
a alternativa que indique apenas quais delas sa˜o
corretas: (I) para que a energia armazenada em
um indutor qualquer seja dobrada sem que a in-
dutaˆncia do mesmo seja alterada, a corrente que
passa por ele tambe´m tem de ser dobrada; (II)
o fluxo do campo magne´tico atrave´s de uma su-
perf´ıcie fechada que conte´m somente a metade de
um ı´ma˜ e´ positivo se essa metade contiver apenas
o seu po´lo norte; (III) se em uma dada regia˜o hou-
ver campos ele´tricos, enta˜o, nessa mesma regia˜o,
necessariamente havera´ campos magne´ticos.
(a) Nenhuma.
(b) I.
(c) II.
(d) III.
(e) I e II.
(f) I e III.
(g) II e III.
(h) I, II e III.
2
4. Um fio condutor, pelo qual passa uma corrente
(estaciona´ria) I, e´ enrolado N vezes, de modo a
formar um soleno´ide com auto-indutaˆncia L. Se
dobrarmos o nu´mero de espiras desse soleno´ide,
mantendo o seu comprimento e sua a´rea de sec¸a˜o
reta, e fizermos passar uma corrente equivalente a`
metade da corrente original, quanto valera´ a nova
indutaˆncia?
(a) L.
(b) 2L.
(c) 4L.
(d) L/2.
(e) L/4.
5. Um pa´ssaro pousa numa linha de transmissa˜o
ele´trica que transporta uma corrente de 2800 A.
Se a linha tem uma resisteˆncia por unidade de
comprimento de 2,5 × 10−5 Ω/m e os pe´s do
pa´ssaro esta˜o afastados 4 cm um do outro, qual e´
a diferenc¸a de potencial entre eles?
(a) 2,8× 10−4 V.
(b) 2,8× 10−3 V.
(c) 1,4× 10−3 V.
(d) 1,4× 10−6 V.
(e) 2,8× 103 V.
6. Em uma regia˜o onde ha´ um campo magne´tico B
constante (estaciona´rio e uniforme), um pro´ton
de massa mp e um ele´tron de massa me teˆm a
mesma energia cine´tica (suponha que se movi-
mentam com velocidades relativamente baixas
perpendiculares ao campo magne´tico). Qual e´ a
raza˜o dos raios Re/Rp de suas o´rbitas circulares?
(a) mp/me.
(b) me/mp.
(c)
√
mp/me.
(d)
√
me/mp.
(e) (mp/me)
2.
(f) (me/mp)
2.
7. Quatro fios muito longos sa˜o percorridos por
correntes estaciona´rias de mesma intensidade, I.
Qual e´ o campo magne´tico resultante no centro de
simetria P da distribuic¸a˜o? A distaˆncia do ponto
P aos ve´rtices dos fios e´, claro, a mesma, igual a ℓ.
(a)
µ0I
2πℓ
zˆ.
(b) −µ0I
πℓ
zˆ.
(c) 0.
(d)
µ0I
2
√
2πℓ
zˆ.
(e) − 4µ0I√
2πℓ
zˆ.
3
8. Uma espira circular condutora em repouso esta´
em uma regia˜o onde existe um campo magne´tico
uniforme, dependente do tempo B = B(t)zˆ, cuja
direc¸a˜o coincide com a do eixo perpendicular ao
plano da espira. A func¸a˜o B(t) e´ dada pela fi-
gura. Marque a opc¸a˜o que melhor representa a
forc¸a eletromotriz induzida na espira.
(a)
(b)
(c)
(d)
9. Uma part´ıcula com carga Q = 1 C movimenta-
se com velocidade v = (1 m/s) xˆ + (1 m/s) yˆ em
uma regia˜o de campo magne´tico B = (1 T) zˆ.
Qual dos campos ele´tricos abaixo permite que
a part´ıcula mova-se ao longo de uma linha
reta?
(a) E = (2 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ.
(b) E = (1 V/m) xˆ+ (2 V/m) yˆ.
(c) E = (1 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ.
(d) E = (−1 V/m) xˆ+ (1 V/m) yˆ.
(e) E = (1 V/m) xˆ− (1 V/m) yˆ.
10. Condutores retil´ıneos (muito longos), cada um
deles conduzindo uma corrente estaciona´ria I,
sa˜o colocados um ao lado do outro formando uma
placa plana, fina, que se estende indefinidamente,
no plano xy. O nu´mero de condutores por
unidade de comprimento ao longo da direc¸a˜o x
vale n. Qual e´ o mo´dulo B do campo magne´tico
em um ponto P , a uma distaˆncia a da placa?
(a) µ0I/a.
(b) µ0nI/2.
(c) 2µ0I/a.
(d) µ0nI.
(e) µ0I/(2πa).
(f) µ0nI/π.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Em uma casca cil´ındrica circular, espessa, condu-
tora, muito longa, de raios interno a e externo b (b > a), esta´
definida uma densidade de corrente
J = Cr2zˆ ,
onde C e´ uma constante, r e´ a distaˆncia ate´ o eixo da casca e zˆ
e´ um vetor unita´rio (versor) na direc¸a˜o desse eixo.
(a) Determine a intensidade de corrente total, Itot, que passa
atrave´s de cada sec¸a˜o reta da casca [0,5 ponto].
Nos pro´ximos treˆs itens, deduza uma expressa˜o para o vetor
campo magne´tico B (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) em um ponto
gene´rico, a uma distaˆncia r do eixo tal que
(b) 0 ≤ r ≤ a [0,5 ponto].
(c) b ≤ r <∞ [0,5 ponto].
(d) a ≤ r ≤ b [1,0 ponto].
2. [2,5 pontos] Considere uma espira quadrada ABCD, com
arestas de comprimento a, feita de material condutor cuja
resisteˆncia total e´ R, movendo-se com velocidade v = vxˆ. Essa
espira passa por uma regia˜o cu´bica, com arestas de comprimento
L > a, onde ha´ um campo magne´tico constante (estaciona´rio e
uniforme) B = −Bzˆ. Considere que, em t = 0, o segmento BC
da espira se encontra na posic¸a˜o x = 0.
(a) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou
anti-hora´rio) e a forc¸a externa (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido)
necessa´ria para puxa´-la para dentro do campo, a velocidade
constante, quando a espira estiver entrando no campomagne´tico
[1,5 ponto].
(b) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou
anti-hora´rio) quando a espira estiver totalmente imersa no
campo magne´tico [0,5 ponto].
(c) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente (hora´rio ou
anti-hora´rio) quando a espira estiver saindo do campo magne´tico
[0,5 ponto].
5
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (f)
2. (e)
3. (a)
4. (c)
5. (b)
6. (d)
7. (c)
8. (a)
9. (d)
10. (b)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Por definic¸a˜o, a (intensidade de) corrente I[S] que passa atrave´s de uma superf´ıcie orientada S, relaciona-
se com a densidade de corrente J por
I[S] =
∫
S
J ·nˆdA ,
onde nˆ e´ o versor normal a` superf´ıcie. Destarte,
Itot =
∫
sec¸a˜o
reta
Cr2 zˆ ·zˆ dA
=
∫
sec¸a˜o
reta
Cr2 2πr dr
=
∫ b
r=a
2πCr3 dr , (1)
ou seja,
Itot =
1
2
πC
(
b4 − a4) . (2)
�
(b) 0 ≤ r ≤ a:
Devido a` simetria cil´ındrica, o campo magne´tico so´ tem componente azimutal (“circular”), dependente
somente de r:
B(r, ϕ) = Bϕ(r)ϕˆ(ϕ) .
Logo, impo˜e-se a escolha de uma curva ampe`riana C que e´ uma circunfereˆncia de c´ırculo, de raio arbitra´rio
r, no caso menor que a. Isso feito, obtemos, para a circulac¸a˜o de B ao longo de C, a seguinte expressa˜o
Γ
B
[C] :=
∮
C
B ·dℓ
=
∮
C
Bϕϕˆ·dℓϕ
=
∮
C
Bϕ dℓ
= Bϕ
∮
C
dℓ
= 2πrBϕ(r) . (3)
Por outro lado, a correspondente corrente encerrada e´, nesse caso, obviamente, igual a zero:
Ienc = 0 . (4)
Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (3) e (4), obtemos
B = 0 .
�
(c) b ≤ r <∞:
2
Pelos mesmos argumentos dos itens (a) e (b), escolhemos como curva ampe`riana ainda uma circunfereˆncia
de c´ırculo, desta feita com raio, claro, entre b e ∞. Assim, a circulac¸a˜o na lei de Ampe`re tem a mesma
expressa˜o que (3):
Γ
B
[C] = 2πrBϕ(r) . (5)
Por outro lado, agora a corrente encerrada e´ diretamente toda a corrente na casca (2), ou seja,
Ienc = Itot =
1
2
πC
(
b4 − a4) . (6)
Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (5) e (6), obtemos
B =
µ0Itot
2πr
ϕˆ ,
ou
B =
µ0
4r
C
(
b4 − a4) ϕˆ .
Esse, como esperado, e´ igual ao campo de um fio retil´ıneo (infinito), coincidente com o eixo da casca,
percorrido pela corrente total Itot.
�
(d) a ≤ r ≤ b:
Pelos mesmos argumentos dos itens (a), (b) e (c), escolhemos como curva ampe`riana ainda uma circun-
fereˆncia de c´ırculo, desta feita com raio, claro, entre a e b. Assim, a circulac¸a˜o na lei de Ampe`re tem a
mesma expressa˜o que (3) ou (5):
Γ
B
[C] = 2πrBϕ(r) . (7)
Por outro lado, agora a corrente encerrada pode ser obtida pela mesma integral em (1), contanto que
substituamos o limite superior por r (em vez de b), ou seja,
Ienc =
1
2
πC
(
r4 − a4) . (8)
Logo, combinando, via a lei de Ampe`re, (7) e (8), obtemos
B =
µ0
4r
C
(
r4 − a4) ϕˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Quando a espira entra na regia˜o de campo magne´tico ha´ uma variac¸a˜o do fluxo magne´tico na espira e
pela lei de Faraday uma forc¸a eletromotriz induzida. Vamos orientar a superf´ıcie da espira no sentido −zˆ
(entrando na pa´gina). O sentido positivo de percurso da curva e´ o sentido hora´rio (o mesmo, pois, de uma
eventual corrente induzida de intensidade positiva). Seja x′ a porc¸a˜o horizontal da espira no interior do
campo magne´tico. Portanto,
ΦB = Bax
′
e pela lei de Faraday:
E = −dΦB
dt
= −Bav .
Como a espira tem uma resisteˆncia R
I = −Bav
R
3
e, portanto, a corrente circula no sentido anti-hora´rio.
A parte da espira mergulhada na regia˜o do campo magne´tico sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a magne´tica dada
por:
dF = Idl ×B
onde I e´ o mo´dulo da corrente. Nas partes horizontais da espira as forc¸as se anulam. Na parte vertical da
espira:
F = Iayˆ × (−Bzˆ) = −IaBxˆ
e portanto a forc¸a externa necessa´ria e´
F = IaBxˆ =
B2a2v
R
xˆ .
�
(b) Quando a espira estiver totalmente mergulhada na regia˜o de campo magne´tico, o fluxo sera´ constante,
na˜o havera´ forc¸a eletromotriz induzida, a corrente sera´ nula.
�
(c) Quando a espira estiver saindo da regia˜o de campo magne´tico, mantendo-se a mesma convenc¸a˜o que no
item (a), dx′/dt = −v
ΦB = Bax
′
E = −dΦB
dt
= Bav
I = Bav/R .
e, portanto, a corrente esta´ circulando no sentido hora´rio. O mesmo resultado pode ser obtido rapidamente
com o uso da lei de Lenz. Como o fluxo esta´ diminuindo na espira, a corrente gerada deve ser hora´ria e
assim tentar manter o fluxo do campo magne´tico.
�
4