IME MATEMATICA P S 1999 200

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��Matemática – IME 2000
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01.(IME - 2000) Calcule o determinante:
SOLUÇÃO
Pelo Teorema de Jacobi, multiplicando a 1ª coluna por (-1) e somando-a às colunas paralelas, obtemos:
Portanto: D = 46080
02.(IME - 2000) Considere a, b e c números reais tais que a < b < c. Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes, x1 e x2, que satisfazem a condição a < x1 < b < x2 < c:
SOLUÇÃO
Assim:
(x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) + (x – a)(x – b) = 0 
com x 
a; x 
b; x 
c
x2 –(b + c)x + bc + x2 – (a + c)x + ac + x2 –(a + b)x + ab = 0
3x2 –(2a + 2b + 2c)x + (ab + bc + ac) = 0
Seja f(x) = 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab +bc + ac)
Temos:
f(a) = 3a2 – 2a2 – 2ab – 2ac + ab + bc + ac = a2 – ab – ac + bc
f(a) = (a – b)a – c(a – b) = (a – b)(a – c)
como a < b e a < c 
a – b < 0 e a – c < 0 
3f(a) > 0
f(c) = 3c2 – 2ac – 2bc – 2c2 + ab + bc + ac = c2 – ac – bc + ab
f(c) = (c – a)c – b(c – a) = (c – a)(c – b)
Como c > a e c > b 
c – a > 0 e c – b > 0 
3f(c) > 0
f(b) = 3b2 – 2ab – 2b2 – 2bc + ab + bc + ac = b2 – ab – bc + ac
f(b) = (b – a)b – c(b – a) = (b – a)(b – c)
como b > a r b < c 
(b – a) > 0 e (b – c) < 0 
3f(b) < 0
3f(b) < 0 
> 0 (existem duas raízes reais: sejam x1 a menor e x2 a maior)
e b ( ]x1;x2[
a ( ]x1;x2[
 c ( ]x1;x2[
como a < b < c, então a < x1 < b < x2 < c
03.(IME - 2000) Represente graficamente a função:
SOLUÇÃO
Considerando cos( ( 0 e sen( ( 0, condições de existência das funções sec( e cossec( temos:
Portanto: F(() = 2 qualquer que seja ( diferente de k(/2; k(Z
Representação gráfica:
04.(IME - 2000) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que:
os pontos C e C' são os focos da elipse e os pontos A e A' são os focos da hipérbole;
BB' é o eixo conjugado da hipérbole;
OB = OB' = 3m e OC = OC' = 4m.
SOLUÇÃO
Para a elipse
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b = 3
semi-distância focal: c = 4
Portanto:
	(Equação da elipse)
Para a hipérbole:
semi-eixo real: a
semi-eixo transversal: b = 3
semi-distância focal: c = 5
onde 
Portanto:
	(Equação da hipérbole)
Somando as equações da elipse e da hipérbole temos:
Logo: 
 e 
Portanto:
05.(IME - 2000) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa o somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais 
SOLUÇÃO
Como o que está sendo pedido é um polinômio com no máximo 4 termos, tomemos um polinômio P(x) do 3º grau tal que:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d e P(x) – P(x – 1) ( x2, de onde vem:
ax3 + bx2 + cx + d – [a(x – 1)3 + b(x – 1)2 + c(x – 1) + d] ( x2
3ax2 + (2b – 3a).x + a – b + c ( x2
Da identidade dos polinômios vem que: 
a = 
; b = 
; c = 
;
Então P(x) = 
x3 + 
x2 + 
x + d, (d(R
P(x) – P(x – 1) ( x2
P(1) – P(0) = 12
P(2) – P(1) = 22
P(3) – P(2) = 32
…	…	…
P(n) – P(n – 1) = n2
P(n) – P(0) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = 
Logo:	
06.(IME - 2000) Seja o conjunto:
D = {(k1,k2)|1(k1(13; 1(k2(4; k1,k2 ( N
Determine quantos subconjuntos L = {(x1,x2), (y1,y2), (z1,z2), (t1,t2), (r1,r2)}, L ( D, existem com 5(cinco) elementos distintos, que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:
x1 = y1 = z1;
x1 ( t1, x1 ( r1, t1 ( r1.
SOLUÇÃO
Para a escolha das três abscissas distintas x1 (y1 = z1 = x1), t1 e r1, existem 
 possibilidades, e parar a das ordenadas x2, y2 e z2 (que diferem os pares de mesma abscissa x1), 
 possibilidades. Contando com as 
 possibilidades para a escolha de t2 e com as 
 para a de r2, segue que existem 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 = 18304 maneiras para formação dos subconjuntos de D que satisfazem as condições impostas.
07.(IME - 2000) As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces têm medida l. Determine:
a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de l, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja o máximo.
a expressão desse produto máximo, em função de l e n.
SOLUÇÃO
Pirâmide regular de n faces: 1 ( base e n – 1 ( faces laterais
Se a pirâmide é regular, então o polígono da base é regular com (n – 1) lados.
Logo o ângulo central é dado por 
A área da base (Sbase) e o volume da pirâmide (Vpirâmide) são dados por:
Sbase = (n – 1) S(OAB onde S(OAB = 
 R R sen 
Sbase =
R2(n – 1) sen
Vpirâmide = 
 Sbase h = 
R2h(n – 1) sen
Chamando P o produto do volume da pirâmide pela sua altura, temos:
P = Vpirâmide h = 
R2h(n – 1) sen
Mas 
			( I2 = h2 + R2 ( h2 = I2 – R2
Assim:
P = 
(n – 1) sen
.R2(I2 – R2)
Para maximizar este produto, devemos maximizar f(R) = R2(I2 – R2), o que é equivalente a maximizar g(() = -( + I2(.
g(() é máximo para ( = 
Portanto:
Logo:
Vpirâmide . h = 
 =
.sen
Portanto:
Vpirâmide . h =
.sen
08.(IME - 2000) As medianas BE e CF de um triângulo ABC se cortam em G. Demonstre que 
, onde S é a área do triângulo ABC; 
; 
e 
.
SOLUÇÃO
Denominaremos por ( o ângulo 
.
Aplicando o Teorema dos cossenos ao (BGC:
a2 = (2x) + (2y)2 – 2 . (2x) . (2y) . cos(
a2 = 4x2 + 4y2 – 8xy cos(	(I)
Calculando a área do (BGC:
Mas, como BE e CF são medianas, então:
	(II)
Substituindo (II) em (I):
Tomando as figuras:
Aplicando o teorema de Stewart:
�� EMBED Equation.3 
Multiplicando a equação (III) por 9:
Substituindo (IV) e (V) em (VI), temos:
Logo: 
Portanto: 
09.(IME - 2000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes:
em 28 saiu uma face preta para o jogador I;
em 25 saiu uma face branca para o jogador II;
em 27 saiu uma face branca para o jogador III;
em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II;
em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I;
em 4 saíram faces pretas para os três jogadores;
em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III.
Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.
SOLUÇÃO
Montaremos o diagrama de Venn-Euler para representar a distribuição das faces pretas dos dados aos três jogadores
Pela afirmação (f), sabemos que temos 4 faces pretas para os três jogadores. Com base nessa informação e nos itens (e), (d) e (g), completamos as intersecções dos conjuntos.
Sabendo que o jogador I teve 28 faces pretas, o jogador II 25 faces e o III 23 faces, finalizamos o preenchimento do diagrama.
Somando os valore 7 + 8 + 4 + 9 + 7 + 5 + 4 teremos 44, que é o total de vezes que saiu a face preta para pelo menos um jogador.
10.(IME - 2000) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:
(a - b)(c - a)(d - a)(d - c)(d - b)(c - b) é divisível por 12.
SOLUÇÃO
Vamos provar que o produto P dado é m(4) e m(3), onde m(4) significa múltiplo de 4 e m(3) significa múltiplo de 3
m(4)
Se a, b, c e d forem todos pares ou todos ímpares: Então todas as diferenças entre 2 deles é m(2). Logo: P é m(4)
Se 3 forem pares e 1 ímpar: Então uma diferença entre 2 pares é m(2) e uma outra diferença entre 2 pares também é m(2). Logo: P é m(4).
Se forem ímpares e 1 par: Então uma diferença entre 2 ímpares é m(2) e uma outra diferença entre 2 ímpares também é m(2). Logo: P é m(4)
Se 2 forem pares e 2 ímpares, a diferença entre os 2 pares é m(2) e a diferença entre os ímpares também é m(2). Logo: P é m(4).
m(3)
Os números podem ser escritos como 3K; 3K + 1 ou 3K – 1.
Como existem 4 números, dois deles assumirão a mesma forma e a diferença entre eles é m(3). Logo: P é m(3).
Portanto:
Como o produto é múltiplo de 3 e múltiplo de 4 separadamente então também é múltiplo de 3.4 = 12.
PROVA DE MATEMÁTICA
� EMBED Equation.3 ���
R
B
A
R
0
+
+
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f(x)
x
x2
c
b
x1
a
(
I
R
h
JI
JII
JIII
7
9
4
8
7
4
5
A
B
C
E
F
G
(
(
2x
c/2
2y
x
y
a/2
b/2
b/2
c/2
b
c
a
b/2
b/2
a
3x
c
B
A
C
E
b
A
B
C
3y
F
b
c/2
c/2
c
a
FIGURA 1
FIGURA 2
(
3(/2
(
(/2
-(/2
-(
-3(/2
F(()
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