IME MATEMATICA 1 1989

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IME MATEMÁTICA 1989 
01) Determine o coeficiente de 9−x no desenvolvimento de: 
5
4
3
2
5
2
x
1
x
x
1
x 


+⋅


+ 
 
02) Esboce o gráfico da função 3
5
3
2
xx3)x(fy −== , 
assinalando os pontos críticos. 
 
03) Um ponto se move de modo que, o quadrado de sua 
distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto 
de suas distâncias aos outros dois lados do triângulo. 
Determine a equação da trajetória deste ponto; identificando 
a curva descrita e respectivos parâmetros. 
 
04) Três números, cuja soma é 126, estão em progressão 
aritmética e outros três em progressão geométrica. 
Somando os termos correspondentes das duas progressões 
obtém-se 85, 76 e 84 respectivamente. 
Encontre os termos destas progressões. 
 
05) Dada a equação: x² + y² - 2mx – 4(m+1)y + 3m + 14 = 0: 
a) determine os valores de m , para que esta equação 
corresponda a um círculo. 
b) Determine o lugar geométrico dos centros destes círculos. 
 
06) Mostre que todas as raízes da equação 
0)4( 55 =++ zz pertencem a uma mesma reta paralela 
ao eixo imaginário. 
 
07) Em cada uma das faces de um cubo constrói-se um 
círculo, em cada círculo, marcam-se pontos. Unindo-se estes 
pontos: 
a) quantas retas, não contidas numa mesma face do cubo, 
podem ser formadas? 
b) Quantos triângulos, não contidos numa mesma face do 
cubo, podem ser formados? 
c) Quantos tetraedros, com base numa das faces do cubo, 
podem ser formados? 
d) Quantos tetraedros com todos os vértices em faces 
diferentes podem ser formados? 
OBS: Suponha que, se 4 pontos não pertencem a uma mesma 
face, então não são coplanares. 
 
08) Resolva o sistema: 


=+
=−
20yx
4xy3xy7 3
 
 
09) Calcule o determinante da matriz: 










+++
+++
+++
+++
2222
2222
2222
2222
)3d()2d()1d(d
)3c()2c()1c(c
)3b()2b()1b(b
)3a()2a()1a(a
 
 
10) Seja uma elipse cujo eixo maior AA’ = 2a e cuja 
excentricidade é 21 . 
Seja F o foco da elipse, correspondente ao vértice A. 
Considere a parábola, cujo vértice é o ponto O, centro da 
elipse, e cujo foco coincide com o foco F da elipse. 
Determine o ângulo entre as duas curvas nos pontos de 
interseção.