2 Axiomas de Hilbert

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Prof. Gelfert, IM UFRJ Geometria na˜o Euclidiana
Lista 2 – Axiomas de Incideˆncia e de Ordem de Hilbert
Assumimos os axiomas I-I–III e B-I–IV.
Exerc´ıcio 1 (*). Dado pontos A,B,C,D tais que A ∗B ∗ C e A ∗ C ∗D, mostrar que:
• A,B,C,D sa˜o pontos distintos.
A ∗B ∗ C ⇒ A 6= B,A 6= C,B 6= C (B-I)
A ∗ C ∗D ⇒ A 6= C,A 6= D,C 6= D (B-I)
basta mostrar B 6= D: por contradic¸a˜o, supondo que B = D.
seguiria A ∗D ∗ C e A ∗ C ∗D em contradic¸a˜o com B-III.
portanto B 6= D e todos os quatro pontos sa˜o 2 a 2 distintos
• A,B,C,D sa˜o colinear.
A ∗B ∗ C ⇒ A,B,C ∈ ` =←→AC =←→AB =←→BC (B-I & I-I)
A ∗ C ∗D ⇒ A,C,D ∈ m =←→AD =←→AC =←→CD (B-I & I-I)
segue ` = m e em particular A,B,C,D ∈ `
Exerc´ıcio 2 (*). Mostrar que para qualquer ponto existem pelo menos duas retas que o conte´m.
Exerc´ıcio 3 (*). Mostrar que para quaisquer pontos A e B distintos tem-se
−→
AB ∪ −→BA =←→AB.
Exerc´ıcio 4 (*). Mostrar que se A e B esta˜o em lados diferentes de ` e B e C esta˜o no mesmo lado
de `, enta˜o A e C esta˜o em lados diferentes de `.
Exerc´ıcio 5 (*). Mostrar que se A ∗B ∗ C e B ∗ C ∗D, enta˜o A ∗B ∗D e A ∗ C ∗D.
Mostrar que se A ∗B ∗ C e B ∗D ∗ C, enta˜o A ∗B ∗D.
Exerc´ıcio 6. Mostrar que se A ∗B ∗ C tem-se −→BA ∩ −−→BC = {B}.
Exerc´ıcio 7. Mostrar que, dado A ∗B ∗ C, enta˜o tem-se AC = AB ∪BC.
Exerc´ıcio 8. Mostrar que, dado um aˆngulo ∠CAB e um ponto D na reta ←→BC, enta˜o D esta´ no
interior de ∠CAB se e somente se B ∗D ∗ C.
Axiomas de Congrueˆncia e de Continuidade de Hilbert
Assumimos os axiomas I-I–III, B-I–IV e C-I–V.
Exerc´ıcio 9. Mostrar que
• Vale somente uma das seguintes relac¸o˜es: AB < CD ou AB ∼= CD ou AB > CD.
• Se AB < CD e CD ∼= EF , enta˜o AB < EF .
• Se AB > CD e CD ∼= EF , enta˜o AB > EF .
• Se AB < CD e CD < EF enta˜o AB < EF .
Exerc´ıcio 10 (*). Mostrar que se em 4ABC tem-se ∠B ∼= ∠C, enta˜o AB ∼= AC.
Exerc´ıcio 11 (*). Mostrar que se A ∗B ∗ C, D ∗ E ∗ F , AB ∼= DE, AC ∼= DF , enta˜o BC ∼= EF .
Exerc´ıcio 12. Mostrar que aˆngulos suplementares de aˆngulos congruentes sa˜o congruentes.
Exerc´ıcio 13. Mostrar que qualquer aˆngulo congruente com um aˆngulo reto e´ reto.
Exerc´ıcio 14. Mostrar que quaisquer par de aˆngulos retos sa˜o congruentes.