P3 POLI 2007

Prévia do material em texto

FEP2195 - F´ısica Geral e Experimental para Engenharia I
Prova P3 - Gabarito
d
d
d
d
g
M
R
m
m
m
'
1. A figura mostra um rotor de ine´rcia varia´vel, de eixo
horizontal fixo, formado por um cilindro macic¸o e ho-
mogeˆneo de massa M e raio R (ICM =
1
2
MR2), ao qual
esta´ rigidamente ligada uma haste de massa desprez´ıvel
sobre a qual podemos deslocar dois corpos puntiformes
iguais de massa m = M
8
. O sistema gira sem atrito em
torno do eixo. Se inicialmente os dois corpos forem tra-
vados como mostra a figura, com d = 2R e o rotor sofrer
a ac¸a˜o de um corpo de massa m′ = 1
2
M atrave´s de um
fio ideal enrolado na periferia do cilindro, partindo do repouso, determine em func¸a˜o de M ,
R, h e g:
(a) (0,5) O momento de ine´rcia do rotor.
(b) (1,0) A acelerac¸a˜o linear de m′ e a tensa˜o no fio.
(c) (1,0) A variac¸a˜o da energia cine´tica do rotor apo´s a massa m′ ter descido uma distaˆncia
h.
SOLUC¸A˜O:
(a) Momento de ine´rcia do rotor
I = ICM + 2md
2 =
1
2
MR2 + 2
M
8
(2R)2
I =
3
2
MR2
(b) Resultante de forc¸as sobre o bloco de massa m′
m′g − T = m′a
Torque devido a` trac¸a˜o T sobre o rotor
TR = Iα =
3
2
MR2
a
R
1
Trac¸a˜o no fio
T =
3
2
Ma
Substituindo na primeira equac¸a˜o
m′g − 3
2
Ma = m′a
1
2
Mg =
(
1
2
M +
3
2
M
)
a
Acelerac¸a˜o linear de m′
a =
1
4
g
Trac¸a˜o no fio
T =
3
8
Mg
(c) Conservac¸a˜o da energia mecaˆnica
∆U = ∆K
m′gh =
1
2
Iω2 +
1
2
m′v2
1
2
Mgh =
1
2
3
2
MR2
v2
R2
+
1
2
1
2
Mv2
Velocidade linear do sistema
v2 =
1
2
gh
Variac¸a˜o da energia cine´tica do rotor
∆Kr =
1
2
Iω2 =
3
4
Mv2 =
3
4
M
1
2
gh
∆Kr =
3
8
Mgh
2
x
y
z
v 02. Um jogador atira uma bola de boliche de massa
M = 1 kg e raio R = 10 cm (ICM =
2
5
MR2) com uma
velocidade inicial ~v0 = 5 ıˆ (m/s) e ~ω0 = −10 kˆ (rad/s).
O coeficiente de atrito cine´tico entre a bola e o cha˜o e´
µ = 0, 2.
(a) (0,25) Qual e´ a velocidade inicial do ponto de contato
da bola com a superf´ıcie? Descreva o movimento.
(b) (1,0) Encontre a expressa˜o vetorial da velocidade de translac¸a˜o do centro de massa e da
velocidade angular da bola no in´ıcio do movimento.
(c) (1,0) Quanto tempo, apo´s o lanc¸amento, a bola precisa para comec¸ar a rolar sem deslizar?
(d) (0,25) Determine o deslocamento angular da bola do instante inicial ate´ o momento em
que ela para de deslizar e passa a ter um rolamento puro.
SOLUC¸A˜O:
(a) Velocidade inicial de deslocamento do ponto de contato da bola com a superf´ıcie ~vp0
~vp0 = ~vCM0 + ~vr0
onde ~vCM0 = ~v0 e
~vr0 = −ω0R ıˆ
~vp0 = ~v0 − ω0R ıˆ
~vp0 = 4 ıˆ m/s
No in´ıcio do movimento o centro de massa da bola se desloca com velocidade ~v0, a
bola rola com velocidade angular ~ω0 e o ponto de contato desliza com velocidade ~vp0 .
(b) Movimento de translac¸a˜o da bola ao longo do eixo x∑
~Fext = M~a
A u´nica forc¸a externa agindo sobre a bola ao longo do eixo x e´ a forc¸a de atrito
entre a bola e a superf´ıcie
−µMg ıˆ = M~a
3
Acelerac¸a˜o do centro de massa da bola
~a = −µg ıˆ
Velocidade do centro de massa da bola enquanto ela desliza
~vCM = ~vCM0 + ~at = ~v0 + ~at
~vCM = (5− 2t) ıˆ m/s
Movimento de rotac¸a˜o da bola em torno do seu centro de massa∑
~τext = ICM~α
A u´nica forc¸a que produz torque externo e´ a forc¸a de atrito entre a bola e a superf´ıcie
~τext = ~r × ~fa = −µMgR kˆ
Acelerac¸a˜o angular
~α = −µMgR
ICM
kˆ = −5
2
µg
R
kˆ
Velocidade angular de rotac¸a˜o em torno do centro de massa, enquanto a bola desliza
~ω = ~ω0 + ~αt
~ω = −(10 + 50t) kˆ rad/s
(c) Velocidade de deslocamento do ponto de contato da bola com a superf´ıcie ~vp
~vp = ~vCM + ~vr
onde
~vr = −ωR ıˆ = −(1 + 5t) ıˆ
~vp = (5− 2t) ıˆ− (1 + 5t) ıˆ = (4− 7t) ıˆ
A bola para de deslizar quando vp = 0, ou seja
4
td =
4
7
s
(d) Deslocamento angular da bola ate´ parar de deslizar
∆θ = ω0td +
1
2
αt2d = 10 ·
4
7
+
1
2
· 50 · 16
49
∆θ =
680
49
rad
θ0L
3. Considere uma barra delgada homogeˆnea de comprimento L com massa
M (ICM =
1
12
ML2) presa a um pivoˆ no seu topo, podendo rodar sem
atrito, como mostrado na figura.
(a) (0,5) Calcule o momento de ine´rcia da barra em relac¸a˜o ao pivoˆ.
(b) (0,5) A barra e´ deslocada inicialmente de um aˆngulo θ0 em relac¸a˜o
a` vertical e e´ solta a partir do repouso. Qual e´ a velocidade angular da
barra no ponto mais baixo do seu movimento?
(c) (0,5) Qual e´ a velocidade (linear) do centro de massa da barra quando
essa passa pela parte mais baixa do seu movimento?
(d) (0,5) Determine a acelerac¸a˜o angular da barra para um aˆngulo θ qualquer (θ < θ0).
(e) (0,5) Determine as componentes do vetor acelerac¸a˜o linear do centro de massa da barra
para um aˆngulo θ qualquer (θ < θ0).
SOLUC¸A˜O:
(a) Usando o teorema dos eixos paralelos
I = ICM +M
(
L
2
)2
=
1
12
ML2 +
1
4
ML2
I =
1
3
ML2
(b) Usando conservac¸a˜o da energia mecaˆnica e tomando a energia potencial U = 0 no ponto
mais baixo da trajeto´ria temos
Mg
L
2
[1− cos(θ0)] = 1
2
Iω2B =
1
2
1
3
ML2ω2B
5
Velocidade angular da barra no ponto mais baixo do movimento
ωB =
√
3g
L
[1− cos(θ0)]
(c) Velocidade linear do centro de massa da barra quando essa passa pela parte mais baixa
do seu movimento
v = ωB
L
2
v =
√
3Lg
4
[1− cos(θ0)]
(d) A acelerac¸a˜o da barra e´ produzida pelo torque da forc¸a peso
Mg sen(θ)
L
2
= Iα =
1
3
ML2α
α =
3
2
g
L
sen(θ)
(e) Acelerac¸a˜o tangencial
atCM = α
L
2
=
3
2
g
L
sen(θ) · L
2
atCM =
3
4
g sen(θ)
Acelerac¸a˜o radial
arCM = ω
2L
2
Velocidade angular para um angulo θ < θ0
Mg
L
2
[cos(θ)− cos(θ0)] = 1
2
Iω2 =
1
2
1
3
ML2ω2
ω2 =
3g
L
[cos(θ)− cos(θ0)]
6
arCM =
3
2
g[cos(θ)− cos(θ0)]
m
m
v0
v0
L
L
4. Duas barras ideˆnticas de massa m e comprimento L (ICM =
1
12
mL2)
deslizam sem atrito sobre um plano horizontal. Inicialmente as duas bar-
ras se deslocam com velocidades de mesmo mo´dulo (v0) que possuem a
mesma direc¸a˜o, mas sentidos opostos, como mostrado na figura. As ex-
tremidades das barras colidem ela´sticamente. Apo´s a colisa˜o o centro de
massa de cada barra continua a se mover na mesma direc¸a˜o e sentido em
que se movia antes do choque, mas agora com velocidade de mo´dulo v.
Ale´m disso, cada barra adquire um movimento de rotac¸a˜o em torno do seu centro de massa
com velocidade angular de mo´dulo ω. Em func¸a˜o de m, L, v0, v e ω determine:
(a) (0,5) a energia cine´tica total do sistema antes da colisa˜o,
(b) (0,5) o momento angular total do sistema com relac¸a˜o ao seu centro de massa antes da
colisa˜o,
(c) (0,5) a energia cine´tica total do sistema apo´s a colisa˜o,
(d) (0,5) o momento angular total do sistema em relac¸a˜o ao seu centro de massa, apo´s a
colisa˜o,
(e) (0,5) a velocidade v de translac¸a˜o do centro de massa de cada barra em termos de v0.
SOLUC¸A˜O:
(a) Energia cine´tica total antes da colisa˜o
KA =
1
2
mv20 +
1
2
mv20
KA = mv
2
0
(b) Momento angular total do sistema com relac¸a˜o ao seu centro de massa antes da colisa˜o
lA = 2|~r × ~p| = 2 · L
2
·mv0
lA = Lmv0
(c) Energia cine´tica total do sistema apo´s a colisa˜o
KD =
1
2
mv2 +
1
2
ICMω
2 +
1
2
mv2 +
1
2
ICMω
2
7
KD = mv
2 +
1
12
mL2ω2
(d) Momento angular total do sistema em relac¸a˜o ao seu centro de massa, apo´s a colisa˜o
lD = ltrans + lrot = 2 · L
2
mv + 2ICMω
lD = Lmv +
16
mL2ω
(e) Velocidade v de translac¸a˜o de cada barra em termos de v0
Conservac¸a˜o da energia cine´tica
mv20 = mv
2 +
1
12
mL2ω2
Conservac¸a˜o do momento angular
Lmv0 = Lmv +
1
6
mL2ω
Juntando as duas equac¸o˜es obtemos o seguinte sistema
v20 = v
2 +
1
12
L2ω2
v0 = v +
1
6
Lω
Resolvendo o sistema obtemos 2 valores para a velocidade
v = v0
que e´ a velocidade inicial e
v =
1
2
v0
8