prova pf gab calc4 2009 1 eng

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Instituto de Matema´tica - IM/UFRJ
Ca´lculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Prova final unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 02/07/2009
Questa˜o 1: (2.0 pontos)
(a) (1.0 ponto) Obtenha os cinco primeiros termos da se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x) = cos x em
torno de x0 =
pi
4
.
(b) (1.0 ponto) Classifique a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n2 + 2n+ 1
(2)
em absolutamente convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Justifique as suas
afirmac¸o˜es.
Questa˜o 2: (2.0 pontos)
Considere o problema de valor inicial dado abaixo:
(x2 + 1) y′′(x) + 6xy′(x) + 4y(x) = 0
y(0) = 0
y′(0) = 1
Supondo que y(x) =
∞∑
n=0
anx
n resolva o que se pede:
(a) (1.0 ponto) Determine a relac¸a˜o de recorreˆncia ;
(b) (1.0 ponto) Encontre a soluc¸a˜o em se´rie de poteˆncias para o problema de valor inicial dado.
Questa˜o 3: (2.0 pontos)
Resolva o problema da valor inicial dado abaixo utilizando a transformada de Laplace:{
y′′(t)− 4y(t) = f(t)
y(0) = 1; y′(0) = 0
onde f(t) =
{
0, 0 6 t < 1,
t− 1, t > 1.
Questa˜o 4: (4.0 pontos)
Considere o Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF):
utt(x, t)− 9uxx(x, t) = 0, 0 < x < 3, t > 0,
u(0, t) = u(3, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 0 e ut(x, 0) = g(x), 0 < x < 3.
com g(x) =

0, 0 6 x < 1,
3x, 1 6 x < 2
0, 2 6 x < 3.
(a) (1.5 ponto) Ache a extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 6 da func¸a˜o g(x). Fac¸a seu gra´fico
no intervalo [−6, 6] e determine a Se´rie de Fourier desta extensa˜o.
(b) (0.5 ponto) Supondo que a soluc¸a˜o e´ da forma u(x, t) = F (x)G(t) (ou, se desejar, u(x, t) =
X(x)T (t)), determine as duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias associadas;
(c) (1.0 ponto) Obtenha os autovalores e respectivas autofunc¸o˜es do problema de valor de contorno
correspondente a F (x) (ou X(x));
(d) (1.0 ponto) Analisando as condic¸o˜es iniciais do PVIF, obtenha a soluc¸a˜o do problema dado.
Observac¸a˜o: Justifique as respostas de todos os itens
Aviso: A prova de segunda chamada sera´ realizada na pro´xima quinta-feira, dia 09/07/2009, a`s 17
horas. Podera˜o fazeˆ-la apenas os alunos que faltaram alguma prova e alcanc¸arem me´dia 3 ou mais.
INSTRUC¸O˜ES E TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE NO VERSO
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Prova final unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 02/07/2009(continuac¸a˜o)
Regras:
• Durac¸a˜o da prova: 150 minutos
• Na˜o e´ permitido ( nem necessa´rio ) o uso de calculadoras, consulta a qualquer fonte e nem se
ausentar da sala por qualquer motivo.
• Mantenham os celulares e similares desligados e dentro das bolsas/mochilas. As bolsas e mochilas
devera˜o ser guardadas na mesa do professor ou junto ao quadro em local afastado do aluno.
Formula´rio: Tabela resumo para EDO de segunda ordem com coeficientes constantes:
r1, r2 ∈ R e r1 6= r2 =⇒ H(x) = c1er1x + c2er2x
r1, r2 ∈ R e r1 = r2 =⇒ H(x) = c1er1x + c2xer1x
r1 = α + βi, r2 = α− βi =⇒ H(x) = eαx[c1 cos βx+ c2 sen βx].
Tabela Ba´sica de Transformadas de Laplace
• L {1} = 1
s
, s > 0
• L{eat} = 1
s− a , s > a
• L {tn} = n!
sn+1
, s > 0, com n sendo um inteiro
• L {sen at} = a
s2 + a2
, s > 0
• L {cos at)} = s
s2 + a2
, s > 0
• L {senh at} = a
s2 − a2 , s > |a|
• L {cosh at} = s
s2 − a2 , s > |a|
• L{eat sen bt)} = b
(s− a)2 + b2 , s > a
• L{eat cos bt} = s− a
(s− a)2 + b2 , s > a
• L{eattn} = n!
(s− a)n+1 , s > a, com n sendo um inteiro
• L {uc(t).g(t− c)} = e−csG(s), sendo G(s) = L{g(t)} , s > c
• L{ectg(t)} = G(s− c), sendo G(s− c) = L{g(t)} (s− c), s > c
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Gabarito da prova final unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 02/07/2009
Questa˜o 1: (2.0 pontos)
(a) (1.0 ponto) Obtenha os cinco primeiros termos da se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x) = cos x em
torno de x0 =
pi
4
.
Soluc¸a˜o:
Da definic¸a˜o de se´rie de Taylor temos que:
cosx =
∞∑
n=0
f (n)(pi/4)
n!
(
x− pi
4
)n
(1)
Por outro lado segue que:
f(pi/4) =
√
2
2
;
f ′(x) = − senx =⇒ f ′(pi/4) = −
√
2
2
;
f ′′(x) = − cosx =⇒ f ′′(pi/4) = −
√
2
2
;
f (3)(x) = sen x =⇒ f (3)(pi/4) =
√
2
2
;
f (4)(x) = cos x =⇒ f (4)(pi/4) =
√
2
2
; ...
Do resultado acima obtemos que:
cosx =
√
2
2
−
√
2
2
(
x− pi
4
)
−
√
2
4
(
x− pi
4
)2
+
√
2
12
(
x− pi
4
)3
+
√
2
96
(
x− pi
4
)4
+ ...
(b) (1.0 ponto) Classifique a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n2 + 2n+ 1
(2)
em absolutamente convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Justifique as suas
afirmac¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
Vamos verificar se converge absolutamente usando o teste da comparac¸a˜o no limite. Seja a
p-se´rie se ordem 1 (se´rie harmoˆnica)
∞∑
i=1
1
n
. Temos, pelo teste da integral, que esta e´ divergente
e, tambe´m, (
n+ 2
n2 + 2n+ 1
)
/
(
1
n
)
=
n(n+ 2)
n2 + 2n+ 1
=
1 + 2/n2
1 + 2/n+ 1/n2
.
Enta˜o lim
n→∞
(
n+ 2
n2 + 2n+ 1
)
/
(
1
n
)
= 1 e, pelo teste da comparac¸a˜o no limite, temos que a se´rie
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∞∑
i=1
n+ 2
n2 + 2n+ 1
diverge, ja´ que
∞∑
i=1
1
n
tambe´m diverge. Isto mostra que na˜o ha´ convergeˆncia
absoluta da se´rie proposta.
Vamos tentar aplicar o teste de Leibniz para verificar a convergeˆncia condicional da se´rie. Temos
que lim
n→∞
n+ 2
n2 + 2n+ 1
= 0, aplicando a Regra de L’Hopital. Os termos alternam sinal pois
n+ 2
n2 + 2n+ 1
> 0 e, finalmente, e´ decrescente pois
n+ 2
n2 + 2n+ 1
=
1
(n+ 1)
+
1
(n+ 1)2
>
1
(n+ 1) + 1
+
1
((n+ 1) + 1)2
=
(n+ 1) + 2
(n+ 1)2 + 2(n+ 1) + 1
.
Isto mostra que a se´rie e´ alternada, descrescente e com termo geral tendendo a zero. Portanto,
pelo teste de Leibniz ela e´ convergente. Temos, enta˜o, uma se´rie convergente e que na˜o e´
absolutamente convergente, provando que e´ condicionalmente convergente.
Questa˜o 2: (2.0 pontos)
Considere o problema de valor inicial dado abaixo:
(x2 + 1) y′′(x) + 6xy′(x) + 4y(x) = 0
y(0) = 0
y′(0) = 1
Supondo que y(x) =
∞∑
n=0
anx
n resolva o que se pede:
(a) (1.0 ponto) Determine a relac¸a˜o de recorreˆncia ;
Soluc¸a˜o:
Temos que
(x2 + 1)
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn−2 + 6x
∞∑
n=1
nanx
n−1 + 4
∞∑
n=0
anx
n = 0,
ou equivalentemente,
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn +
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn−2 + 6
∞∑
n=1
nanx
n + 4
∞∑
n=0
anx
n = 0,
ou equivalentemente,
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn +
∞∑
n=0
(n+ 1)(n+ 2)an+2x
n + 6
∞∑
n=1
nanx
n + 4
∞∑
n=0
anx
n = 0,
ou equivalentemente,
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn + 2a2 + 6a3x+
∞∑
n=2
(n+ 1)(n+ 2)an+2x
n + 6a1x+ 6
∞∑
n=2
nanx
n
+ 4a0 + 4a1x+ 4
∞∑
n=2
anx
n = 0,
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ou equivalentemente,
4a0 +2a2 +10a1x+6a3x+
∞∑
n=2
{(n+ 1)(n+ 2)an+2 + n(n− 1)an + 6nan + 4an}xn = 0,
ou equivalentemente,
4a0 + 2a2 = 0 =⇒ a2 = −2a0 =⇒ a2 = 0, pois das condic¸o˜es iniciais a0 = 0;
10a1 + 6a3 = 0 =⇒ a3 = −5
3
a1 =⇒ a3 = −5/3 pois das condic¸o˜es iniciais a1 = 1;
relac¸a˜o de recorreˆncia: an+2 = − n
2 + 5n+ 4
(n+ 2)(n+ 1)
an = −n+ 4
n+ 2
an, n = 2, 3, ... ((9))
(b) (1.0 ponto) Encontre a soluc¸a˜o em se´rie de poteˆncias para o problema de valor inicial dado.
Soluc¸a˜o:
De (8) temos que:
a4 =
6a2
4
=⇒ a4 = 0;
a2n = 0;
a5 = −7a3
5
=⇒ a5 = 7
3;
a7 = −9a5
7
=⇒ a7 = 9
3
;
a9 = −11a7
9
=⇒ a9 = 11
3
;
a2n+1 = (−1)n2n+ 3
3
.
Enta˜o y(x) =
∞∑
n=0
(−1)n2n+ 3
3
x2n+1
Questa˜o 3: (2.0 pontos)
Resolva o problema da valor inicial dado abaixo utilizando a transformada de Laplace:{
y′′(t)− 4y(t) = f(t)
y(0) = 1; y′(0) = 0
onde f(t) =
{
0, 0 6 t < 1,
t− 1, t > 1.
Soluc¸a˜o:
s2£ {y(t)} − 4£ {y(t)} = s+£ {f(t)} ,
ou equivalentemente,
£ {y(t)} = s
s2 − 22 +
£ {f(t)}
(s+ 2)(s− 2) . ((1))
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Temos que:
f (t) = (t− 1)u1(t) =⇒ £ {f (t)} = e
−s
s2
. ((2))
Substituindo (2) em (1) obtemos:
£ {y(t)} = s
s2 − 22 + e
−s
[
1
s2(s− 2)(s+ 2)
]
.
ou equivalentemente,
y(t) = £−1
{
s
s2 − 22
}
+£−1
{
e−s
[
1
s2(s− 2)(s+ 2)
]}
. ((3))
(i) Determinar £−1
{
s
s2 − 22
}
. Pela tabela temos que:
£−1
{
s
s2 − 22
}
= cosh 2t. ((4))
(ii) Determinar £−1
{
1
s2(s− 2)(s+ 2)
}
Temos que:
1
s2(s− 2)(s+ 2) =
A
s2
+
B
s
+
C
s− 2 +
D
s+ 2
,
ou equivalentemente,
1 = A(s2 − 4) +Bs(s2 − 4) + Cs2(s+ 2) +Ds2(s− 2). ((5))
De (5) : A = −1
4
, B = 0, B + C +D = 0 e A+ 2C − 2D = 0.
Enta˜o A = −1
4
, B = 0, C =
1
16
e D = − 1
16
. Logo:
1
s2(s− 2)(s+ 2) = −
1/4
s2
+
1/16
s− 2 −
1/16
s+ 2
=⇒
=⇒ £−1
{
1
s2(s− 2)(s+ 2)
}
= −1
4
t+
1
16
e2t − 1
16
e−2t. ((6))
(iii) Determinar £−1
{
e−s
[
1
s2(s− 2)(s+ 2)
]}
. De (6) segue que:
£−1
{
e−s
[
1
s2(s− 2)(s+ 2)
]}
= u1(t)
[
−1
4
(t− 1) + 1
16
e2(t−1) − 1
16
e−2(t−1)
]
((7))
Substituindo (4) e (7) em (3) resulta que:
y(t) = cosh 2t+
1
16
u1(t)
[−4(t− 1) + e2(t−1) − e−2(t−1)] .
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Questa˜o 4: (4.0 pontos)
Considere o Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF):
utt(x, t)− 9uxx(x, t) = 0, 0 < x < 3, t > 0,
u(0, t) = u(3, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 0 e ut(x, 0) = g(x), 0 < x < 3.
com g(x) =

0, 0 6 x < 1,
3x, 1 6 x < 2
0, 2 6 x < 3.
(a) (1.5 ponto) Ache a extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 6 da func¸a˜o g(x). Fac¸a seu gra´fico
no intervalo [−6, 6] e determine a Se´rie de Fourier desta extensa˜o.
Soluc¸a˜o:
A expressa˜o para a extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 6, que denotaremos g˜ e´ dada por
g˜(x) =

3x, x ∈ (−2,−1] ∪ [1, 2),
0, x ∈ [−3,−2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, 3],
g˜(x+ 6), x ∈ R
A se´rie de Fourier e´ dada por
∞∑
n=1
bn sen
npix
3
, com bn =
2
3
∫ 2
1
3x sen
npix
3
dx.
Realizando a integrac¸a˜o obtemos:
bn =
6
npi
(
cos
npi
3
− 2 cos 2npi
3
+
3
npi
sen
2npi
3
− 3
npi
sen
npi
3
)
Isto implica que a se´rie de Fourier e´ dada por
∞∑
n=1
6
npi
(
cos
npi
3
− 2 cos 2npi
3
+
3
npi
sen
2npi
3
− 3
npi
sen
npi
3
)
sen
npix
3
.
(b) (0.5 ponto) Supondo que a soluc¸a˜o e´ da forma u(x, t) = F (x)G(t) (ou, se desejar, u(x, t) =
X(x)T (t)), determine as duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias associadas;
Soluc¸a˜o:
Suponhamos que u(x, t) = F (x)G(t). Para que u(x, t) satisfac¸a a EDP deveremos ter que
F (x)G′′(t)− 9F ′′(x)G(t) = 0. Isto implica que
F ′′(x)
F (x)
=
G′′(t)
9G(t)
= σ. (3)
Enta˜o temos as seguintes EDOs:{
F ′′(x)− σF (x) = 0, x ∈ (0.3)
G′′(t)− 9σG(t) = 0, t > 0 (4)
(c) (1.0 ponto) Obtenha os autovalores e respectivas autofunc¸o˜es do problema de valor de contorno
correspondente a F (x) (ou X(x));
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Soluc¸a˜o:
Das condic¸o˜es de fronteira temos que u(0, t) = 0. Portanto ou F (0) = 0 ou G(t) ≡ 0. A
u´ltima opc¸a˜o na˜o nos interessa pois implica que u(x, t) ≡ 0. Analogamente obtemos que
F (3) = 0. Vamos resolver o Problema de Valores de Contorno dado por{
F ′′(x)− σF (x) = 0, x ∈ (0.3)
F (0) = 0, F (3) = 0
A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ dada por r2−σ = 0 com ra´ızes dadas por r = ±√σ. Analisando
a EDO obtida:
i Se σ > 0 temos que F (x) = Ce−
√
σ x + De
√
σ x. Como F (0) = F (3) = 0 obtemos que
C = −D e C senh(3√σ ) = 0. Enta˜o, C = D = 0 ou 3√σ = 0, o que na˜o e´ poss´ıvel
pois, por hipo´tese, σ > 0. Conclu´ımos que C = D = 0 e, portanto, so´ temos a soluc¸a˜o
trivial.
ii Se σ = 0 temos que F (x) = Cx + D. Como F (0) = F (3) = 0 obtemos que D = 0 e
C = 0. Conclu´ımos, portanto, que so´ temos a soluc¸a˜o trivial.
iii Se σ < 0 temos que a soluc¸a˜o e´ da forma F (x) = C sen
√−σ x+D cos√−σ x. Usando
as condic¸o˜es de fronteira obtemos que D = 0 e sen 3
√−σ = 0. Para que tenhamos
soluc¸a˜o na˜o nula segue que 3
√−σ = npi e, da´ı. temos que os autovalores sa˜o dados por
σn = −n
2pi2
9
e as autofunc¸o˜es Fn(x) = sen
npix
3
, com n ∈ N∗, ja´ que σ < 0.
(d) (1.0 ponto) Analisando as condic¸o˜es iniciais do PVIF, obtenha a soluc¸a˜o do problema dado.
Soluc¸a˜o:
Das condic¸o˜es iniciais temos que u(x, 0) = 0. Portanto ou G(0) = 0 ou F (x) ≡ 0. A u´ltima
opc¸a˜o na˜o nos interessa pois implica que u(x, t) ≡ 0. Enta˜o, como temos que σn = −n
2pi2
9
,
resolvendo a EDO e usando que Gn(0) = 0, obtemos que Gn(t) = Cn sennpit. Isto implica
que un(x, t) = Cn sennpit sen
npix
3
. Enta˜o, a expressa˜o geral da soluc¸a˜o sera´ dada por
u(x, t) =
∞∑
n=1
Cn sennpit sen
npix
3
.
Derivando termo a termo em relac¸a˜o a t e aplicando em t = 0 obtemos
ut(x, 0) =
∞∑
n=1
npiCn sen
npix
3
.
Desejamos encontrar coeficientes Cn tais que a expressa˜o acima corresponda a` func¸a˜o g(x).
Comparando com a se´rie de Fourier da extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 6 da func¸a˜o
g(x) obtida anteriormente no item (a), temos que Cn =
bn
npi
, isto e´,
Cn =
6
n2pi2
(
cos
npi
3
− 2 cos 2npi
3
+
3
npi
sen
2npi
3
− 3
npi
sen
npi
3
)
.
Pa´gina 6 de 7
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Temos, enta˜o, que a soluc¸a˜o do problema e´ dada por
u(x, t) =
∞∑
n=1
6
n2pi2
(
cos
npi
3
− 2 cos 2npi
3
+
3
npi
sen
2npi
3
− 3
npi
sen
npi
3
)
sennpit sen
npix
3
.
Pa´gina 7 de 7 Boa prova!