Desenho geométrico I - Universidade Federal do Paraná

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA 
Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 
 
 
Apostila elaborada por: Profª. Dra. Deise Maria Bertholdi Costa e Profª M.Sc. Elen Andrea Janzen 
Complementada por: Prof M.Sc. Anderson Roges T. Góes 
 
 
 
 
 
 
 
 
CD 031 
 
 
 
 
Desenho 
Geométrico I 
 
 
 
 
Turma B 
2011 
 
 
 
CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 
 
Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 
I 
SUMÁRIO 
1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I.............................................................. 3 
1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................................................ 3 
1.2 PROGRAMA ............................................................................................................................................... 3 
1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 4 
1.4 MATERIAL DIDÁTICO................................................................................................................................. 5 
1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS .......................................................................................................................... 5 
1.6 OBSERVAÇÃO ............................................................................................................................................ 5 
1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................................. 6 
2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO .......................................................................................... 7 
3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA............................................................................................................. 8 
3.1 GEOMETRIA............................................................................................................................................... 8 
3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS .............................................................................................................................. 8 
3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA ......................... 8 
3.4 ÂNGULOS .................................................................................................................................................. 9 
3.5 A RETA NO PLANO....................................................................................................................................14 
3.6 TRIÂNGULOS ............................................................................................................................................21 
3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS ................................................................................................................30 
3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS .................................................................................................................32 
4 LUGARES GEOMÉTRICOS.........................................................................................................................39 
5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA...........................................................................................................................40 
6 LG 2 - MEDIATRIZ .......................................................................................................................................45 
7 LG 3 - PARALELAS.......................................................................................................................................49 
8 LG 4 - BISSETRIZ..........................................................................................................................................51 
9 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................................55 
9.1 ÂNGULO CENTRAL ....................................................................................................................................55 
9.2 ÂNGULO INSCRITO....................................................................................................................................56 
9.3 ÂNGULO DE SEGMENTO ............................................................................................................................58 
10 LG 5 – ARCO CAPAZ....................................................................................................................................61 
11 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS ............................................................66 
11.1 QUARTA PROPORCIONAL ..........................................................................................................................70 
11.2 TERCEIRA PROPORCIONAL ........................................................................................................................70 
11.3 DIVISÃO HARMÔNICA ...............................................................................................................................73 
12 LG 6 CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIO .................................................................................................76 
13 MÉDIA GEOMÉTRICA (OU MÉDIA PROPORCIONAL) .........................................................................79 
14 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS .......................................................................................84 
15 SEGMENTO ÁUREO (DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO) .....................................................87 
15.1 ENCONTRAR O SEGMENTO ÁUREO AP CONHECENDO O SEGMENTO AB ........................................................87 
15.2 DADO O SEGMENTO AB OBTER AQ, DO QUAL AB É ÁUREO ........................................................................89 
16 POTÊNCIA DE PONTO ................................................................................................................................93 
17 TRIÂNGULOS................................................................................................................................................97 
 
CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 
 
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II 
17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO ......................................................................................................97 
17.2 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ...............................................................................................................100 
18 HOMOTETIA...............................................................................................................................................124 
19 QUADRILÁTEROS......................................................................................................................................125 
19.1. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS ...................................................................................................................125 
19.2. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS .........................................................................................................128 
20 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA ...........................................................................................................144 
20.1 PROPRIEDADES DE TANGÊNCIA ...............................................................................................................144 
20.2 PROPRIEDADES DE CONCORDÂNCIA ........................................................................................................144 
20.3 EIXO RADICAL, CENTRO RADICAL E FEIXE DE CIRCUNFERÊNCIAS............................................................153 
21 APLICAÇÕES DE CONCORDÂNCIA: ARCOS, OVAIS E ESPIRAIS....................................................163 
21.1 ARCOS ...................................................................................................................................................163 
21.2 OVAIS ....................................................................................................................................................164 
21.3 ESPIRAIS ................................................................................................................................................165 
22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS .......................................................................167 
22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS.............................................................167 
22.2 PROCESSOS EXATOS ...............................................................................................................................168 
22.3 PROCESSOS APROXIMADOS .....................................................................................................................174 
22.4 PROCESSOS GERAIS.................................................................................................................................181 
23 POLÍGONOS ESTRELADOS......................................................................................................................184 
24 RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA..................................................................................................188 
24.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES ....................................................................................................................188 
24.2 PROCESSO DE KOCHANSKY OU DA TANGENTE DE 30°...............................................................................190 
24.3 RETIFICAÇÃO DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA .........................................................................................191 
25 EQUIVALÊNCIA E DIVISÃO DE ÁREAS.................................................................................................199 
25.1 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS .......................................................................................199 
25.2 EQUIVALÊNCIA.......................................................................................................................................199 
25.3 PROBLEMAS DE QUADRATURA.................................................................................................................201 
25.4 PROBLEMAS GERAIS DE EQUIVALÊNCIA ...................................................................................................204 
 
 
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1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I 
 
 O Desenho Geométrico tem por finalidade representar de forma precisa as 
figuras planas e resolver, com régua e compasso, os problemas da Geometria Plana. 
 
1.1 OBJETIVOS 
� Desenvolver o raciocínio lógico; 
� Desenvolver a habilidade de representar figuras bidimensionais com o 
auxílio de régua e compasso; 
� Resolver problemas da Geometria Plana; 
� Desenvolver a capacidade de: 
o Visualização mental e representação gráfica, de formas reais ou 
imaginadas; 
o Interpretação e de representações de formas; 
o Comunicar através de representações geométricas; 
o Formular e de resolver problemas relacionados à Geometria Plana; 
o Criativa; 
� Conhecer vocabulário específico do Desenho Geométrico; 
� Utilizar corretamente os materiais e instrumentos de desenho; 
 
 
1.2 PROGRAMA 
� Postulados do desenho geométrico. 
� Congruência e semelhança de triângulos. 
� Lugares Geométricos. 
� Relações métricas nos segmentos. 
� Teorema de Thales. 
� Teorema de Pitágoras. 
� Média Geométrica. 
 
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� Segmento Áureo. 
� Relações métricas na circunferência. 
� Construção de triângulos e de quadriláteros. 
� Pontos notáveis de um triângulo. 
� Retificação e desretificação de circunferência e de arcos de circunferência. 
� Divisão da circunferência por métodos exatos e aproximados. 
� Polígonos estrelados. 
� Ampliação e redução de figuras. 
� Homotetia. 
� Equivalência de Áreas. 
� Divisão de Áreas. 
� Tangência e Concordância. 
� Aplicações computacionais de conceitos geométricos através da Geometria 
Dinâmica. 
 
 
1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO 
 A qualidade do desempenho do aluno será avaliada com base no 
desenvolvimento das seguintes atividades: 
� Participação em sala de aula, evolução do aluno durante o período letivo e 
pasta com todos os exercícios resolviddos (A01); 
� 02 avaliações escritas (no mínimo) em sala de aula (A02, A03); 
� Trabalhos extraclasse (A04). 
 
 Datas de avaliações escritas em sala de aula e entrega de trabalhos serão 
definidas com os alunos dentro do calendário vigente. 
 Valor de A01, A02, A03 e A04 entre 00(zero) e 100 (cem). 
 
Nota semestral: 0,10*A1+0,30*A2+0,40*A3+0,20*A4 
 
 
 
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1.4 MATERIAL DIDÁTICO 
� Lapiseira 0,3 com grafite H ou lápis H; 
� Lapiseira 0,5 com grafite 2B ou lápis 2B; 
� Borracha; 
� Compasso (sugestão: Tridente modelo 9000); 
� Régua em acrílico 30 cm (sugestão Desetec 7130); 
� Papel sulfite tamanho A4; 
� Lixa de unha (para lixar grafite do compasso); 
� Uma folha de acetato tamanho A4 (ou maior); 
� Pasta com plásticos para organizar o material impresso e trabalhos; e 
� Notas de aulas (material de apoio). 
 
 
 
1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS 
 Atendimento extraclasse será realizado no Gabinete de Desenho (3º andar do 
Prédio da Administração – Centro Politécnico) nas quartas-feira e sextas-feira das 18hs 
às 19hs. 
 Outros Horários devem ser agendados diretamente com o professor através 
dos seguintes contatos: 
� Gabinete: 3361-3462; 
� E-mail: artgoes@ufpr.br; 
� MSN: artgoes0@hotmail.com. 
 
 
 
1.6 OBSERVAÇÃO 
 O aluno deverá tomar conhecimento da resolução nº37/97 do Conselho de 
Ensino e Pesquisa da Universidade Federal do Paraná. 
 
 
 
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1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: SBM, 1985. 
BRAGA, T. Desenho linear Métrico. São Paulo. Editora Ícone. 
CARVALHO, Benjamin A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar – 
Geometria Plana. São Paulo: Atual, v. 9. 
GIONGO, Affonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo: Nobel. 
GONÇALVES JR, Oscar. Matemática por Assunto – Geometria Plana e Espacial. São 
Paulo: Scipione, v.9. 
JANUÁRIO, Antônio Jaime. Desenho Geométrico. Florianópolis: Editora da UFSC. 
MARMO, Carlos. Curso de Desenho. São Paulo: Scipione. 
PUTNOKI, José Carlos. “JOTA”. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São 
Paulo: Scipione, v. 1, 2 e 3. 
REZENDE, E. Q. F. QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções 
geométricas Campinas: UNICAMP, 2000. 
 
 
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2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO 
 
 Assim como no estudo da Geometria se aceitam, sem definir e sem demonstrarcertas proposições primitivas (ou postulados, ou axiomas), no estudo do Desenho é 
necessário aceitar certos postulados que tornam a matéria objetiva. 
 
1º Postulado: Os únicos instrumentos permitidos no Desenho Geométrico, além do 
lápis, papel, borracha e prancheta, são: a régua não graduada e o 
compasso. 
A graduação da régua ou "escala" só pode ser usada para colocar no 
papel os dados de um problema ou eventualmente para medir a 
resposta, a fim de conferí-la. 
 
2º Postulado: É proibido em Desenho Geométrico fazer contas com as medidas dos 
dados; todavia, considerações algébricas são permitidas na dedução (ou 
justificativa) de um problema, desde que a resposta seja depois obtida 
graficamente obedecendo aos outros postulados. 
 
3º Postulado: Em Desenho Geométrico é proibido obter respostas "à mão livre", bem 
como "por tentativas". 
 Admite-se, no entanto, o traçado de uma cônica à mão livre ou com o 
uso de curvas francesas, desde que a resposta de um problema não seja 
obtida através desse traçado. 
 
 
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3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 
 
3.1 GEOMETRIA 
 A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da Geometria. 
O filósofo grego Eudemo de Rodes, séc. IV a.C., um dos primeiros historiadores das 
ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de 
inundações anuais do rio Nilo. O termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron 
(medida). 
 Atualmente, define-se a Geometria como sendo a disciplina matemática que 
tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas. 
 
3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS 
 Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia 
simplesmente num conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se 
Euclides, séc. III a.C., sistematizaram os conhecimentos existentes sobre o tema e 
estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas (ou postulados ou 
proposições primitivas) dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais 
resultados (proposições ou teoremas). 
 A discussão dos princípios da Geometria Euclidiana levou à construção, no 
séc. XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e 
desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez 
mais abstratos. (Enciclopédia Barsa) 
 
3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA 
EUCLIDIANA 
 Adotaremos, sem definição, as noções de ponto, reta e plano. 
 
 Notação: 
 O ponto é representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C,..., P, 
Q, R, S,...); a reta é representada por letras minúscula (a, b, c, ... , r, s, t, u,...); e o plano é 
representado por letras gregas ( ,,,, δγβα ...). 
 
 
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 Axiomas: 
 A1. Num plano existem infinitos pontos. 
 A2. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. 
 A3. Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. 
 A4. Por um ponto fora de uma reta passa somente uma reta paralela à ela. 
 
 Definições: 
 D1. Chama-se ponto médio de um segmento de reta AB o ponto desse 
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. 
 D2. Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que tem sua origem no vértice 
desse ângulo e divide-o em dois ângulos adjacentes e congruentes. 
 
 Teoremas: 
 T1. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de 
ângulos que são ou suplementares ou congruentes. 
 T2. Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual 
a 180º. 
 
3.4 ÂNGULOS 
 
 Definição: Chamamos de ângulo a figura formada por duas semi-retas com a 
mesma origem. 
 Elementos: lados, vértice, espaço angular. 
 Notação: AÔB, ∠AOB, Ô, ∠O, α . β ... 
 
 
 Definições: Dois ângulos são: 
 a) consecutivos: quando possuem o mesmo vértice e têm um lado comum; 
 b) adjacentes: quando são também consecutivos e não têm pontos internos 
comuns; 
Duas regiões angulares 
 
 
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O | 
A 
C _ 
 | 
B 
 D _ 
 c) complementares: quando a soma de suas medidas é 90º; 
 d) suplementares: quando a soma de suas medidas é 180º; 
 e) congruentes: quando possuem medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A semi-reta com origem no vértice de um ângulo e que divide-o em dois outros 
ângulos congruentes é chamada de Bissetriz. (A bissetriz é um lugar geométrico, e será 
estudado com mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a 
construção). 
 
 Determine a bissetriz do ângulo α 
 
 
 
 
 
α
 
 
 
 
β=30° α=60° 
α e β são complementares 
60° 
 30° 
 O complento de 60° é 30° 
 
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Ângulos Fundamentais 
 Construir com régua e compasso os ângulos de 60º, 30º, 90º e 45º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Transportar o ângulo de medida α dado, sabendo-se que O será o seu vértice e 
a semi-reta OA dada um de seus lados. 
 
α
O A
 
 
 
 
Exercício 
 
1) Repoduzir a figura em escla 2:1 utilizando régua e compasso. 
 
 
 
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3.5 A RETA NO PLANO 
 Quanto à posição relativa entre duas retas no plano, elas podem ser: paralelas 
(caso especial: coincidentes), concorrentes ou secantes (caso especial: perpendiculares). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como medir a distância entre duas retas paralelas? 
 
 
 
 
 
 
 Construir, utilizando régua e compasso, reta paralela a reta r, tal que a 
distância entre elas seja 30mm 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade de soluções obtidas: 
Procedimento: 
 
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 Definições: 
 1) Duas retas são perpendiculares quando formam entre si ângulos de 90º. 
 2) Mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB passando pelo 
ponto médio desse segmento. (A Mediatriz é um lugar geométrico, e será estudado com 
mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a construção). 
 
 Construir a mediatriz do semegmento AB. 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 Construir a reta perpendicular à reta r e que contenha o ponto P, 
utilizando régua e compasso. 
 
 P 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 P r 
 
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 Quando duas retas (não necessariamente paralelas) são cortadas por uma 
transversal formam-se oito ângulos. 
 
 
 Chamam-se ângulos: 
� correspondentes:1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. 
� opostos pelo vértice: 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8. 
� internos - entre as retas n1 e n2: 3, 4, 5, 6. 
� externos - fora das retas n1 e n2: 1, 2, 7, 8. 
� colaterais - aqueles que estão de um mesmo lado da transversal: 
o colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5. 
o colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7. 
� alternos - aqueles que estão em semi-planos opostos em relação a 
transversal: 
o alternos internos: 4 e 6, 3 e 5. 
o alternos externos: 1 e 7, 2 e 8. 
 
 Definição: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são 
as semi-retas opostas dos lados do outro. 
 
 Propriedades: 
 1) Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 2) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de 
ângulos que são ou suplementares ou congruentes. 
 
n1 
n2 
t 
 1 2 
4 3 
 5 6 
8 7 
 1 2 
4 3 
 5 6 
8 7 
n1 
n2 
t 
 
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Exercícios 
 
1) Traçar a mediatriz de cada segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dada uma reta r e um ponto A, traçar a perpendicular à r que contém o ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dada uma reta r e um ponto A, traçar a paralela à r que contém o ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 B 
C D 
E F G 
H 
A 
r 
A 
r 
A 
r 
r 
A 
r 
A 
 
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4) Dividir o segmento AB=65 em 4 partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Construir um retângulo dados os lados: AB= 50 (fixo) BC=30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade de soluções obtidas: 
Procedimento: 
Quantidade de soluções obtidas: 
Procedimento: 
 
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6) Dados AÔB e BÔC adjacentes, com AÔC = 120o, calcule a medida do ângulo formado 
pelas bissetrizes de AÔB e BÔC. 
 
 
 
 
 
 
 
7) Construir a bissetriz dos ângulos formados pelas retas dadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Na escada abaixo esta faltando um degrau. Construa-o. 
 Há, no mínimo, três procedimentos para tal construção. Descreva-os. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
s 
s 
r 
 
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9) Dados os pontos A e B e duas retas concorrentes r e s, que não os contêm. Determinar 
um ponto equidistante dos pontos A e B e equidistante das retas r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
s 
r 
Quantidade de soluções obtidas: 
Procedimento: