Apresentação Trigonometria e Coordenadas Polares

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TRIGONOMETRIA
E
COORDENADAS POLARES
TRIGONOMETRIA
Tema da aula: Gráfico das principais funções 
trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e 
identidades trigonométricas.
Conteúdo: Estudo dos gráficos das funções seno, 
cosseno e tangente. Em particular, estudo das 
funções do tipo y = a + b*sen(cx) (o mesmo 
para cosseno e tangente), para valores reais 
a,b,c. Observação gráfica de algumas 
identidades trigonométricas.
TRIGONOMETRIA
Objetivo: O aluno visualizar e entender o 
comportamento das funções trigonométricas e 
os conceitos de domínio, imagem (amplitude) e 
período das mesmas, com o auxílio do software 
Graphmatica.
Obs: Assumimos que o aluno já teve alguma (s) 
aula (s) sobre trigonometria e funções 
trigonométricas.
Função Seno
● Plote y = sin(x)
● Domínio: lR
● Imagem: [-1,1]
● Período: 2π
FUNÇÃO SENO
● O que acontece quando multiplicamos a função 
seno por um escalar, ou seja, y = a*sin(x)? 
Plote y = 2*sin(x). O que se observa? Dica: 
olhe para os elementos citados anteriormente: 
domínio, imagem e período.
● E se ao invés de multiplicarmos a função seno 
multiplicarmos o arco por um escalar, ou seja, 
usarmos a função y = sin(a*x)? Refaça o 
procedimento anterior.
FUNÇÃO SENO
● O que será que acontece quando somamos 
um escalar à função y = sin(x), ou seja, 
quando tomamos a função y = sin(x) + a? E 
quando somamos um escalar ao arco, ou seja, 
usamos a função y = sin(x+a)?
● Obs: Essas atividades podem e devem ser 
repetidas para a função cosseno também. 
FUNÇÃO TANGENTE
● Plote a função y = tan(x)
● Domínio: lR \ { π/2 + k*π, k inteiro}
● Imagem: lR
● Período: π
FUNÇÃO TANGENTE
Vamos analisar os seguintes casos:
i. y = a*tan(x)
ii. y = tan(a*x)
iii. y = tan(x) + a
iv. y = tan(x+a), para a real.
ALGUMAS RELAÇÕES
 
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● Plote y = sin(x)²
● Plote y = cos(x)²
● Sem plotar, responda: qual o resultado da 
operação sin(x)² + cos(x)² ?
● Por quê? O que se observa?
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● Agora sim: plote y = sin(x)² + cos(x)². 
Aconteceu o esperado?
● Temos assim uma relação fundamental de 
trigonometria: sin(x)² + cos(x)² = 1.
● Plote y = tan(x)².
● Plote y = sec(x)².
● Sem plotar, responda: o que acontece quando 
fazemos tan(x)² – sec(x)²?
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● Obtemos assim uma outra relação importante, 
que vem da primeira estudada:
tan(x)² – sec(x)² = 1, ou como é mais conhecida, 
tan(x)² + 1 = sec(x)². 
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● sin(2x) = 2*sin(x)?
● Plote y = sin(2x) e y = 2*sin(x)
● Será que podemos fazer algo com 2*sin(x) de 
modo a obter sin(2x)?
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● Plote y = 2*sin(x)cos(x) e veja o que acontece.
● E para cos(2x)?
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
● Plote y = cos(2x)
● Plote y = 2*cos(x)²
● Plote y = 2*cos(x)² – 1
● Pronto: cos(2x) = 2*cos(x)² – 1.
COORDENADAS
POLARES
Introdução
Existem diferentes tipos de sistemas de coordenadas. O mais utilizado é o sistema de 
coordenadas cartesiano, mas às vezes as coordenadas cartesianas não são as melhores a 
serem utilizadas ao descreverem curvas.
Uma opção para substituir o sistema cartesiano é o Sistema de Coordenadas Polares. Esse 
sistema não é usado como o sistema cartesiano: Dado um ponto P(a,b), P tem a localização 
no Plano cartesiano dada por a projeção de P no eixo x, e b a projeção no eixo y. 
E sim desse modo:
Dado o ponto P ele será localizado por (r,θ) sendo r= Distância do ponto P até a origem e θ= o 
ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP.
Para representar pontos em coordenadas polares só são necessários um ponto O e uma 
semi-reta de origem em O. Na Imagem é mostrada o ponto P em coordenadas polares:
Em coordenadas polares, podemos ter representações diferentes para um mesmo ponto, isto é, 
podemos ter P = (r,θ) e P = (s,α) sem que r = s e θ =α , ou seja (r,θ) = (s,α) não implica em r 
= s e θ=α . Assim, (r,θ) não representa um par ordenado, mas sim uma classe de pares 
ordenados, representando um mesmo ponto.
Mudança de coordenadas
Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por 
(x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação 
entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do 
sistema cartesiano e, a semi-reta, a parte do não negativa do eixo x.
a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas 
cartesianas
Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ).
Se 0 <θ < /2 e r > 0. No triângulo retângulo OPx a seguir, obtemos as seguintes 
relações:
Se θ= 0 e r > 0, temos P no eixo das abscissas. Logo, P tem coordenadas 
cartesianas (x,0) e coordenadas polares (x,0) (r = x e θ = 0). Assim, x = x.1 = 
r.cosθ e y = 0 = r.0 = r.senθ .
Se r = 0, P = (0,θ) para qualquer . Aqui também, x = r.cosθ e y = r.senθ .
Para os casos onde θ≥ π/2, também vale a relação.
b) Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas 
polares 
Seja P um ponto com coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima, 
considerando P com coordenadas (r,θ), temos as relações x = r.cosθ e y = 
r.senθ
Como:
temos que:
Se r = 0, isto é, x = y = 0 então podemos tomar qualquer. Se r≠ 0 , é tal que 
cosθ= x/r e senθ=y/r.
Podemos também transformar equações 
cartesianas em polares e vice-versa. 
Ex:
A circunferência de centro na origem e raio 3 tem equação cartesiana:
Como x = r cosθ e y = r senθ então r² = 9, ou seja, r = 3 é a equação polar 
dessa circunferência.
Graficos em coordenadas polares:
Assim como nas equações cartesianas um ponto P está no gráfico da curva de 
equação:
 r = f(θ) se, e somente se, P = (r, f(θ)).
O uso de coordenadas polares pode simplificar, em alguns casos, equações de 
curvas.
Traçar Graficos - Sem utilizar programas: 
 1) Verificar se existem simetrias, isto é, se a equação se altera ao trocar:
a) θ por –θ: simetria em relação à reta θ = 0 (eixo x)
b) θ por –θ: simetria em relação à reta θ =/2 (eixo y)
c) θ por +θ: simetria em relação ao polo. É equivalente a trocar r por -r, pois (-r,θ) 
= (r,θ+). Logo (r,θ)=(-r,θ) (r,θ) = (r,θ+)
2) Verificar se a curva passa pelo polo (r = 0)
3) Determinar os pontos da curva variando θ a partir de θ= 0
4) Verificar a existência de pontos críticos (Máximos e Mínimos)
5) Verificar se r não se altera ao trocar θ por θ+2. Caso não haja alteração, basta 
variar θ entre 0 e 2. 
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Circunferências
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Circunferências
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Circunferências
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Retas
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Espirais
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Espirais
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Rosáceas
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Limaçons
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas 
polares:
Lemniscatas
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