Ensino de funções com auxílio digital

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Ensino de Funções- 
auxílio digital: 
Graphmatica Exponencial
Polinomial
Inversa
Monótona 
Continua
Função Exponencial
As bactérias são seres vivos que possuem a 
capacidade de se duplicar. Nas colônias de 
bactérias, quando o número de componentes 
dobra , a nova colônia mantém as mesmas 
características da anterior, duplicando em 
número no mesmo período de tempo que o 
anterior. 
Sabendo que determinada colônia iniciada por 
uma única bactéria, dobra seu número a cada 
10 minutos, quantas bactérias existirão após 
1hora e 20 minutos?
Após o período de 10 minutos, teremos 2 
(21) bactérias. Após dois períodos de 10 
minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 
(22) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, 
ou seja, 8 períodos de 10 minutos , 
teremos 256(28) bactérias.
Da mesma forma, após x períodos de 10 
minutos, o número n de bactérias será 
dado por n= 2x. Esse é um exemplo de 
função com variável no expoente.
Definição:
Chama-se função exponencial qualquer 
função f de R em R dada por uma lei de 
formação 
f(x) = ax , em que a é um número real 
dado, a > 0 e a diferente de 1.
Neste tipo de função como 
podemos observar em f(x) = ax , 
a variável independente x está 
no expoente, daí a razão da sua 
denominação. É importante 
também observar que a base é 
um valor real constante, isto é, 
um número real.
Representação da função 
exponencial no plano 
cartesianoPara representarmos grafcamente uma 
função exponencial, arbitramos alguns 
valores para x , e montamos uma tabela 
com os respectivos valores de f(x). 
Localizamos os pontos no plano e 
traçamos a curva do gráfco.
Para a representação gráfca de 
f(x)=1,8x , arbitraremos os seguintes 
valores para
 x: -6, -3 ,-1, 0 ,1 ,2.
Note que temos algumas 
restrições, visto que temos 
a > 0 e a diferente de 1:
1) Se a= 1 teríamos uma função constante e 
não exponencial.
2) Se a=0 teríamos f(x) =0x e quando x=0 , 
f(x) seria indeterminado.
3) Se a<0 não devemos nos esquecer de que 
não existe raiz real de um radicando 
negativo e índice par portanto se tivermos 
por exemplo
 a= -3 e x = 1/4 o valor de f(x) não será um 
número real .
Função Exponencial 
CrescenteSe a > 1 temos uma função exponencial crescente 
seja qual for o valor real de x.
Verifquemos f(x) = 2x .
No gráfco desta função podemos observar que à 
medida que x aumenta, f(x) também aumenta. 
Grafcamente vem os que a curva da função é 
crescente.
Portanto dados reais x1 e x2 temos: se x1 < x2, então 
ax1< ax2 .
Função Exponencial 
DecrescenteSe 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em todo domínio da função.
Verifquemos f(x) = (1/2)x .
No gráfco desta função podemos observar 
que quando x aumenta, f(x) diminui.
Grafcamente observamos que a curva é 
uma função decrescente.
Portanto dados x1 e x2 reais, temos: se x1< x2 
então ax1> ax2.
Note também que independente da função ser crescente 
ou decrescente , o gráfco da função sempre cruza o eixo 
das ordenadas no ponto (0,1). Além de nunca cruzar o 
eixo das abscissas. 
 Na função exponencial y= ax, temos : 
x=0 -> y=a0 = 1, ou seja , o par ordenado (0,1) satisfaz a 
lei y= ax para todo a ( a>0 e a diferente de 0) .
 
Exercícios Propostos
1) ( UF-PI) Utilizando um microscópio, um técnico 
constatou que cada célula de uma bactéria subdivide-
se em duas ao final de 20 minutos. Ao final de dez 
horas, qual será o total de células produzidas a partir 
de uma célula ??
2) A partir dos gráfcos das funções f(x) = 2x, g(x)= 2x 
+ 2 e
 h(x) = 2-x, descreva o que ocorre com g(x) e h(x) em 
relação a f(x).
Tracemos os gráfcos com o auxílio do Graphmatica.
Funções Polinomiais
Função de 1º Grau
Função do 2º Grau
Função de 1º Grau
Defnição: Chama-se função de 1º grau ou função 
afm, toda função defnida de R em R da forma 
y=ax+b, com a e b números reais sendo “a” 
diferente de 0
nesta função o termo “a” é chamado de coefciente 
angular, e “b” é dito constante ou termo 
independente. 
Vamos observar como se comportam os gráfcos de 
funções desse tipo, analisando os seguintes 
exemplos:
y=3x+5
y=8x-2
y=-4x+3
y=-2x-6
Podemos ver que os gráfcos de uma função do 1º 
grau, são retas.
Agora vamos analisar o que está acontecendo com 
“a” e “b”, a medida que aumentamos ou 
diminuímos seus valores.
Para valores de a>0, vejamos os gráfcos:
y=2x+1(verde)
y=3x+1(vermelho)
y=4x+1(preto)
y=5x+1(azul)
Para valores de a<0, vejamos os exemplos:
y=-2x+1(preto)
y=-3x+1(verde)
y=-4x+1(roxo)
y=-5x+1(azul)
Agora faremos a mesma análise para b>0:
y=2x+1(preto)
y=2x+2(vermelho)
y=2x+3(azul)
y=2x+4(verde)
Para b<0:
y=2x-1(preto)
y=2x-2(azul)
y=2x-3(vermelho)
y=2x-4(verde)
Raiz da função de 1º grau
A raiz de uma função de primeiro grau, é 
determinada quando tomamos y=0 na nossa 
função , ou seja, tendo em vista o eixo cartesiano, 
a raiz de uma função é o ponto em que y=0 e o 
gráfco corta o eixo X
iremos determinar as raízes das funções abaixo:
y=2x-1
y=2x-2
y=2x+1
y=-2x-6
Função do 2º Grau
Defnição: Chamamos de função do 2º grau, ou 
função quadrática, qualquer função f: R⟶R, dada 
pela lei de formação f(x)=ax²+bx+c, onde “ a, b e c 
“ são números Reais , e “a” é diferente de 0.
Vejamos alguns exemplos de funções deste tipo e 
como se comportam.
Observem os gráfcos de :
y=x²+x+1 ( preto)
y=2x²+x+3 ( azul )
y=6x²+3x+2( verde )
Foi possível notar através dos gráfcos que as funções 
do tipo ax²+bx+c, são curvas, e chamamos essas 
curvas de parábolas.
Agora como feito para as funções de 1º grau, iremos 
analisar , como se comportam os gráfcos das 
funções de 2º grau, a medida que alteramos os 
valores de “ a, b, e c “ 
Nas funções de 2º grau, o coefciente “a” determina a 
concavidade da função, para cima ou para baixo, e 
também sua abertura ,vejamos alguns exemplos 
para entender melhor.
quando a>0 a concavidade está para cima:
y=2x²+x+1 (preto )
y=3x²+x+1 ( vermelho )
y=4x²+x+1 ( azul )
para a<0 teremos:
y=-2x²+x+1
y=-3x²+x+1
y=-4x²+x+1
agora observamos o coefciente “c”, ele também é 
chamado de termo independente, e é o termo que 
corta o eixo y.
faremos a análise conjunta : 
y=x²+2x+2 ( preto ) y=x²+2x-2 ( azul 
)
y=x²+2x+3 ( Vermelho) y=x²+2x-3 
(verde )
Para poder entender a função do coefciente “b”, 
precisamos ter em mente o conceito de máximo ou 
mínimo de uma função do segundo grau.
Faremos isso observando 2 exemplos já vistos
y=2x²+x+1
y=-2x²+x+1
Agora com este conceito iremos entender o coefciente “b”, o 
coefciente b, determina se após o cruzamento com o eixo y, a 
parábola estará subindo ou descendo.
Para b>0, a parábola sobe, e para b<0 a parabola desce. 
observem nos exemplos:
y=x²+4x+1 (roxo) y=x²-4x+1 (verde)
y=x²+3,5x+1 (preto) y=x²-3,5x+1 (bege)
y=x²+3x+1 (vermelho) y=x²-3x+1 (laranja)
y=x²+2,5x+1 (azul) y=x²-2,5x+1 (marrom)
Raízes das funções de 2º grau
Assim como as funções de 1º grau, as funções de 2° 
grau também possuem raízes, e são obtidas da 
mesma forma que a primeira, porém em alguns 
casos o cálculo se torna mais complicado. Para tal 
utilizamos a fórmula de bhaskara.
 
Discriminante (Delta)
Características do Delta:
para delta positivo a função terá duas raízes reais 
distintas
ex: y=x²-5x+6
 para delta menor negativo a função não possui raízes 
reais
ex: y=x²+2x+2
 para delta igual a 0, a função tem apenas uma única 
raiz
ex: y=x²-4x+4
Máximo e Mínimo de um função do 2º 
grau
Aprofundaremos agora o conceito de máximo e 
mínimo, aprenderemos a calcular os valores 
máximos ou mínimosdo gráfco, para tal, 
utilizamos duas fórmulas
Xv= -b/2a , onde Xv é o valor de x em que a função 
atinge seu máximo ou mínimo.
Yv= -(delta)/4a, onde Yv, é o valor da função no seu 
ponto máximo ou mínimo.
Exs:
 y=x²-2x+1 ( para mínimo ) y= -x²+3 
(para máximo)
Exercícios propostos
1) (UNIRIO) Uma função linear f(x)= ax+b é 
representada por uma reta, que contém o ponto 
(2,-1), e que passa pelo vértice da parábola y= 
4x-2x². A função é ?
a) f(x) = -3x + 5 b) f(x) = 3x - 7 c) f(x) = 2x - 5 
 d) f(x) = x - 3 e) f(x) = x/3 - 7/3
 
2) (UFRN) Seja f: R---->R, a função defnida 
por f(x)=3x-5
esboce o gráfco da f no plano cartesiano RxR, e 
marque nele os pontos (1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),
(4,f(4))
Função Inversa
•Dada a função f:A B ,bijetora,A função inversa de 
f é a função f –1 : B A,tal que se o par ordenado 
(a,b) f,então o par (b,a) f ∈ ∈ –1
Questão de vestibular:
Funções Monótonas
Introdução: Faço uma pergunta a turma. Quando eu 
falo a palavra “Monótona”, o que vem a cabeça de 
vocês?
Bato um papo com a turma e tento chegar a um ponto 
que os alunos consigam associar de um jeito mais 
fácil a palavra monótona com a função monótona
 Definição:
Uma função é dita monótona se ela preserva a relação 
de ordem no seu domínio. Se ela é crescente então 
ela permanece crescente no domínio,se ela é não 
decrescente então ela permanece não decrescente no 
domínio. O mesmo para o caso dela ser decrescente 
ou não crescente. 
 Exemplos:
F(x)= x+38 G(x)=5x
Funções de grau 1, multiplicação com termos maiores 
que 1 e com com adição.
 
Exercícios propostos
Colocaremos algumas funções e diríamos para os 
alunos testarem no graphmath e verem quais são 
monótonas ou não..
Funções Contínuas
Definição: Dizemos que uma função é contínua 
no ponto C se esse ponto C pertence ao 
domínio dessa função e se o limite dessa 
função tende a f(C) quando x tende a C. 
exemplos:
a) f(x)= (x²-1) / (x-1)
b) f(x)=(4-x²)^½
c) f(x)=(sen x)/x
 
Limites laterais: Esse conceito é utilizado 
para a verifcação da continuidade de 
uma função em um determinado 
ponto.
Descontinuidade: removível e essencial
exemplos:
a) f(x)= (x²-1) / (x-1) 
b) f(x)= 3x-2, x menor ou igual a 1
 2x+1,x maior que 1
c) f(x)= (sen 4x)/x
d) f(x)= (x²+x-6)/ (x+3) , x diferente 
de -3
 1 , x igual a -3
Referências bibliográficas:
http://www.matematicadidatica.com.br/Fu
ncaoExponencial.aspx
http://www.ajudamatematica.com/viewtop
ic.php?f=107&t=8111
Leithold,Louis - Cálculo com geometria 
analítica 
Iezzi,Gelson -Fundamentos de matemática 
elementar
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