Limites e Derivadas

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Limites e Derivadas
Limites
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma 
função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor.
O limite é uma maneira de estudarmos a função próxima de um determinado ponto.
A notação básica de um limite qualquer é: lim
x→ a
f (x )=b (Lê-se: Limite de “f” de “x” é igual a 
“b” quando “x” tende a “a”).
Quanto mais próximo o ponto estiver do “a” no eixo x, mais ele se aproximará do “b” no 
eixo y.
 Noção intuitiva: lim
x →2
f (x )=x+1
Como podemos ver na tabela acima, quanto mais próximo o valor de X se aproxima de 2, 
como descrito na tendência, o valor de Y (f(x)) se aproxima de 3, até que ambos atinjam o ponto 
específico, mostrado no gráfico. Em outras palavras, o valor limite que Y pode atingir é 3 quando 
X tender a 2.
Com essa noção em mente, vejamos na prática se isso se encaixa para todas as situações.
x y=x+1
Pela esquerda
1 2
1,5 2,5
1,8 2,8
1,9 2,9
1,99 2,99
1,999 2,999
Pela direita
3 4
2,5 3,5
2,3 3,3
2,1 3,1
2,01 3,01
2,001 3,001
Exercícios:
1) Calcule: lim
x →2
(x2+2 x+1) lim
x →2
(x2+2 x+1)= 9
No exemplo acima podemos ver que tudo funciona perfeitamente, fazendo apenas a 
substituição do x pelo valor ao qual ele tende.
f(x)= x²+2x+1
f(2)= 2²+2.2+1
f(2)=4+4+1
f(2)=9
Quando o X tender a 2, o Y tenderá a 9, exatamente.
Continuemos a observar:
2) Calcule: lim
x →2( x
2−4
x−2 )
lim
x →2( x
2−4
x−2 )= 00
lim
x →2( x
2−4
x−2 )= limx →2 ( x+2)(x−2)(x−2) =limx →2 (x+2)= 4
Como podemos ver acima, se apenas fosse substituído o valor de X na função daria 
0
0 o que é
uma indeterminação.
Nesse caso, nós temos que distribuir a função para poder achar um valor aproximado, como 
segue no exemplo acima e que tem como resultado Y=4, totalmente diferente da indeterminação 
antes encontrada.
Vamos ver agora exemplos de indeterminação com outros tipos de funções:
3) Calcule: lim
x →0(√ x+4−2x )
lim
x →0(√ x+4−2x )= 00
lim
x →0(√ x+4−2x )∙(√ x+4+2√ x+4+2) = limx →0( x+4−4x (√ x+4+2))=   limx →0( xx (√ x+4+2)) =   limx → 0( 1√x+4+2)= 14
Este é um exemplo de indeterminação com uma função que contenha raiz. Vamos agora ver
uma função que não encontre um valor específico, mas sim uma ideia direcional para um valor 
infinitamente grande ou infinitamente pequeno:
4) Calcule: lim
x →5( 1x−5)
lim
x→ 5−¿( 1x−5)¿
¿
 = Não existe
lim
x→ 5+¿( 1x−5)¿
¿
 = + ∞
lim
x→ 5−¿( 1x−5)¿
¿
 = - ∞
Como podemos ver no gráfico e na função acimam quando o X tende a 5 pelo lado 
direito(valores acima e próximos), o Y tende a +∞ e quando X tende a 5 pelo lado 
esquerdo(valores abaixo e próximo), Y tende a -∞.
+-
DERIVADAS SOB O PONTO DE VISTA
GEOMÉTRICO
Vários são os fenômenos do mundo real que podem ser descritos analisando-se a taxa que 
uma quantidade varia à medida que outra quantidade varia. A ferramenta matemática que 
utilizamos para o estudo destas interações é a derivada e o objetivo deste trabalho é abordá-la 
do ponto de vista geométrico uma vez que estes fenômenos de variação estão intimamente 
relacionados ao processo de determinar a reta tangente a uma curva através do cálculo 
infinitesimal.
 O PROBLEMA DA RETA TANGENTE:
Inclinação da reta secante a curva:
Seja Q um ponto qualquer pertencente à curva y=f(x). O coeficiente angular da reta secante
a curva passado por P e Q é dado por:
À medida que o ponto Q se aproxima do ponto P ao longo da curva y=f(x), qual o 
comportamento angular das retas secantes?
 Definição de reta tangente a uma curva
A reta tangente a curva y=f(x) no ponto P (x0, f(x0)) é:
(i) a reta que passa pelo ponto P e tem inclinação ,se o limite 
existir;
(ii) A reta x= x0, se .
OBS1: este limite define a derivada de f no ponto P (x0, f(x0)) e representa o coeficiente 
angular da reta tangente à curva neste ponto;
OBS2: observe que ao calcularmos este limite obtemos uma nova função que associa cada 
valor de x0 ao coeficiente angular da reta tangente à curva que passa por este ponto.
 Definição de derivada
Dizemos que uma função f(a,b)IR é derivável em um ponto x0 є(a,b) se existir o limite
.
O limite f’(x0) chama-se derivada de f no ponto x0.
Fazendo x= , chegamos a outra definição equivalente
da função derivada , observando que 
quando 0, x x0.
 Atividade 1:
Ao calcularmos limites três situações básicas podem ocorrer: ou o limite existe e é um 
numero real; ou o limite pode não existir; ou a função tende à . A atividade a seguir intenta 
ilustrar qual o comportamento da reta tangente a curva em cada um destes casos. Vamos plotar o
gráfico das seguintes funções no Graphmática:
1. f(x)=x2 
2. f(x)=|x|
3. f(x)=x2+2 se x≤0; 1-x se x≥0
4. f(x)=x1/3 
5. f(x)=1/(x-2)2
 Comentários da atividade 1
Não há que se falar em reta tangente à curvas justo nos valores em que ela é descontínua. 
Vale lembrar que uma função é contínua num ponto a de seu domínio se satisfaz 3 condições: f(a)
existe; o limite de f(x) quando xa existe; o valor deste limite é igual a f(a). Infringir qualquer 
destas três condições implica em descontinuidade;
Como já visto derivada é um limite e quando consideramos os limites laterais definimos o 
que chamamos de derivadas a esquerda e a direita. Assim como existe limite de uma função em 
um ponto se, e somente se, os limites laterais forem iguais, uma função f é derivável em um 
ponto se, e somente se, as derivadas laterais forem iguais;
Note que no exemplo 2 ilustramos uma função contínua, mas que não é derivável em um 
ponto (função com bico). Vejamos o que ocorreu algebricamente:
Para x>0 segue que portanto f(x) 
=|x| é diferenciável para todo x>0.
Para x<0 segue que portanto 
f(x)=|x| é diferenciável para todo x<0.
Para x=0 temos que avaliar a existência de f’(0) calculando os limites laterais...
Como os limites são distintos, concluímos que f’(0) não existe, contudo f é continua em 0, 
pois .
Como f’(0) não existe, a função encontrar derivada do Graphmática não retorna um gráfico 
para derivada de f(x)=|x| cuja fórmula é dada pela expressão f’(x)=1 se x>0; -1 se x<0 ilustrada 
abaixo:
Pelo que investigamos até o momento observamos que se f for diferenciável em a, então f é 
contínua em a, mas a recíproca não é verdadeira como nos mostra o exemplo 2;
O exemplo 4 nos mostra o caso em que a reta x=0 é tangente vertical à curva, pois a função 
é contínua em x=0 e .
A continuidade e a diferenciabilidade desencadeiam 2 tipos distintos de suavidade em 
funções: a primeira nos remete a ideia intuitiva de desenhar o gráfico da função de uma só vez 
sem retirar a caneta do papel; a segunda nos traz a ideia intuitiva de que o que foi desenhado 
não possui pontas ou bicos.
 Teorema de Rolle:
Seja f uma função tal que:
i. f é contínua no intervalo fechado [a,b];
ii. f é diferenciável no intervalo aberto (a,b);
iii. f(a)=f(b);
Então existe ao menos um número cє(a,b) tal que f’(c)=0.
 Atividade 2:
Definição: um número c pertencente ao domínio de uma função f é denominado número ou 
ponto crítico de f se f’(c)=o ou se f’(c) não existir.
Considere as funções listadas abaixo e utilize as ferramentas de desenhar tangente e 
encontrar pontos críticos para explorar as propriedades do teorema de Rolle:
i. f(x)=4x3 -3x
ii. f(x)=x4 -2x2
 Teorema do valor médio(Lagrange):
Seja f uma função tal que :
i. f é contínua no intervalo fechado [a,b];
ii. f é diferenciável no intervalo aberto (a,b);
Então existe pelo menos um número cє(a,b) tal que .