4 Capacitancia e Dieletrico

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 4 - Capacitaˆncia e Diele´tricos
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos o conceito de capacitaˆncia, aplicac¸o˜es de capacitores e diele´tricos.
1 Capacitaˆncia
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, conforme figura.
Essa combinac¸a˜o de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos condutores al-
gumas vezes chamados de placas. E devido a` presenc¸a das cargas, existe uma diferenc¸a de
potencial ∆V entre os condutores.
O que determina quanta carga esta´ nas placas de um capacitor para uma dada voltagem?
Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitor e´ linearmente proporcional
a diferenc¸a de potencial ∆V entre os condutores. Sendo assim, a capacitaˆncia C de um condutor
e´ definida como a raza˜o entre a intensidade da carga num dos condutores pela intensidade da
diferenc¸a de potencial entre eles
C ≡ Q
∆V
(1)
Note que por definic¸a˜o capacitaˆncia e´ sempre uma quantidade positiva. Ale´m disso, capa-
citaˆncia e´ uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar energia, pois cargas po-
sitivas e negativas esta˜o separadas no sistema dos dois condutores de um capacitore, existindo
uma energia potencial ele´trica armazenada no sistema.
Prof. Elvis Soares 2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
A capacitaˆncia no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida como Farad
F = C/V , em homenagem a Michael Faraday.
Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura.
+
–
Com o capacitor inicialmente descarregado, conectamos
cada placa a um terminal de uma bateria, que age como
uma fonte de diferenc¸a de potencial, estabelecendo um
campo ele´trico nos fios condutores quando essa conexa˜o
e´ feita. Na placa conectada ao terminal negativo da bate-
ria, o campo ele´trico forc¸a os ele´trons a irem em direc¸a˜o a`
placa, o processo continua ate´ a placa, o fio, e o terminal
da bateria terem o mesmo potencial, de modo que na˜o
ha´ mais diferenc¸a de potencial entre o terminal e a placa,
na˜o ha´ mais movimento de ele´trons, e a placa agora esta´
carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com ele´trons saindo da placa para o fio,
deixando a placa carregada positivamente. Nessa configurac¸a˜o final, a diferenc¸a de potencial
entre as placas do capacitor e´ a mesma daquela entre os terminais da bateria.
2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
Para determinar a capacitaˆncia de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte proce-
dimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida calculamos a
diferenc¸a de potencial ∆V entre as placas usando as te´cnicas do cap´ıtulo anterior, e por u´ltimo
usamos a expressa˜o C = Q/∆V para determinar a capacitaˆncia.
Exemplo: Capacitaˆncia de uma Esfera Condutora
Imaginemos um condutor esfe´rico carregado. As linhas de campo ao redor desse condutor sa˜o
exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esfe´rica condutora de raio infinito,
conceˆntrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidade e sinal oposto, de
modo que essa casca esfe´rica imagina´ria pode ser identificada como um segundo condutor de
um capacitor de dois condutores.
Assim, podemos calcular a capacitaˆncia para essa situac¸a˜o usando o fato que o potencial de
uma esfera de raio R e carga Q e´ simplesmente kQ/R na sua superf´ıcie, e V = 0 na casca
infinitamente grande, enta˜o
C =
Q
∆V
=
Q
kQ/R
=
R
k
= 4pi�0R,
mostrando que a capacitaˆncia de uma esfera carregada e´ proporcional ao seu raio e independe
da carga na esfera e da diferenc¸a de potencial.
2
2 Ca´lculo de Capacitaˆncia Prof. Elvis Soares
A capacitaˆncia de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores. Vamos
ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros conceˆntricos.
Exemplo: Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos duas placas meta´licas de a´reas iguais A separadas por uma distaˆncia d, conforme
figura. Uma placa esta´ carregada com carga Q, a a outra carregada com carga −Q.
Se as placas esta˜o muito pro´ximas, de tal forma que
a distaˆncia d e´ muito menor que as dimenso˜es t´ıpicas
das placas, podemos considerar o campo ele´trico uni-
forme na regia˜o entre as placas com valor igual a
E =
σ
�0
=
Q
�0A
,
e nulo na regia˜o fora das placas. Enta˜o, como o campo entre as placas e´ uniforme, a diferenc¸a
de potencial entre as placas e´
∆V = V+ − V− = Ed = Qd
�0A
.
Substituindo esse resultado na definic¸a˜o de capacitaˆncia, temos para o capacitor de placas
paralelas
C =
Q
∆V
=
Q
Qd/�0A
,
portanto
C =
�0A
d
Isto e´, a capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas e´ proporcional a` a´rea das suas placas
e inversamente proporcional a` separac¸a˜o entre as placas.
3
Prof. Elvis Soares 2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
Exemplo: Capacitor Cil´ındrico
Consideremos um condutor cil´ındrico so´lido de raio a e carga Q e´ coaxial a uma casca cil´ındrica
de raio b > a e espessura desprez´ıvel, com carga −Q.
Se os condutores tiverem um comprimento L muito
maior que os raio a e b, podemos desprezar os efeitos
de borda sobre as linhas de campo, de tal forma que
nesse caso o campo ele´trico e´ perpendicular ao eixo
dos cilindros e e´ confinado na regia˜o entre eles.
A partir da Lei de Gauss, a intensidade do campo
ele´trico de um cilindro com distribuic¸a˜o de carga uni-
forme λ e´ .
E(r) =
2kλ
r
=
2Q/L
r
,
e como o campo ele´trico da casca cil´ındrica na˜o influencia na regia˜o entre os cilindros, esse
deve ser o campo na regia˜o entre a e b. Enta˜o, como conhecemos o campo entre os cilindros, a
diferenc¸a de potencial entre eles e´
∆V = V+ − V− = −
∫ a
b
E(r)dr = −2k(Q/L)
∫ a
b
dr
r
= 2k(Q/L) ln
(
b
a
)
.
Substituindo esse resultado na definic¸a˜o de capacitaˆncia, temos para o capacitor cil´ındrico
C =
Q
∆V
=
Q
2k(Q/L) ln (b/a)
,
portanto
C =
L
2k ln (b/a)
Isto e´, a capacitaˆncia de um capacitor cil´ındrico e´ proporcional ao comprimento dos cilindros.
4
3 Associac¸a˜o de Capacitores Prof. Elvis Soares
3 Associac¸a˜o de Capacitores
Agora que sabemos determina a capacitaˆncia de capacitares devido a sua geometria, podemos
associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitaˆncia que necessitarmos.
Existem dois de associac¸o˜es: paralela e se´rie.
3.1 Capacitores em Paralelo
Numa associac¸a˜o em paralelo, conforme figura (b), as diferenc¸as de potenciais em cada capacitor
individualmente sa˜o as mesmas e iguais a` diferenc¸a de potencial aplicada sobre a associac¸a˜o
inteira.
+
–
+ –
+ –
+ – + –
Quando os capacitores sa˜o conectados ao circuito conforme a figura (a), ele´trons sa˜o transferidos
entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativamente e as placas
da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando a voltarem sobre os
capacitares e´ igual a`quela dos terminais da bateria, e os capacitares ficam carregados com cargas
Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos capacitores e´
Q = Q1 +Q2
Isso e´, a carga total nos capacitares conectados em paralelo e´ a soma das cargas de cada
capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor e´ a mesma, as cargas que eles
carregam sa˜o
Q1 = C1∆V e Q2 = C2∆V
Suponha que no´s desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma
capacitaˆncia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
5
Prof. Elvis Soares 3 Associac¸a˜o de Capacitores
do conjunto de capacitores anteriores, isto e´, esse capacitor equivalente deve armazenar carga
Q quando conectado a d.d.p de ∆V . Assim, para o capacitor equivalente,
Q = Ceq∆V
Substituindo essas treˆs relac¸o˜es para as carga na equac¸a˜o da carga total do circuito, temos
Ceq∆V = C1∆V + C2∆V
Ceq = C1 + C2
Assim, a capacitaˆncia equivalente de uma associac¸a˜o de capacitores em paralelo e´ a soma
alge´brica das capacitaˆncias individuais e e´ maior que qualquer uma das capacitaˆncia individuais.
Ceq = C1 + C2 + C3 + . . . (em paralelo) (2)
3.2 Capacitores em Se´rie
Numa associac¸a˜o em se´rie, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individualmente
sa˜o as mesmas e iguais a` carga total armazenada na associac¸a˜o inteira.
–+ + –
+
–
Quando os capacitores sa˜o conectados ao circuito conforme a figura (a), ele´trons sa˜o transferidos
para fora da placa da esquerda de C1 e va˜o para a placa da direita de C2. Como essa carga
negativa se acumula na placa direita de C2, uma quantidade equivalente de carga negativa e´
forc¸ada para fora da placa esquerda de C2, e essa placa esquerda adquire enta˜o um excesso de
carga positiva. A carga negativa deixando a placa esquerda de C2 causa um acumulo de carga
negativa na placa direita de C1. Como resultado, todas as placas da direita ficam com carga
negativa −Q, e todas placas da esquerda com carga +Q. Assim, as cargas nos capacitares
conectados em se´rie sa˜o as mesmas.
Da figura (a), vemos que a voltagem ∆V entre os terminais da bateria e´ dividida entre os
capacitores
∆V = ∆V1 + ∆V2
6
3 Associac¸a˜o de Capacitores Prof. Elvis Soares
Em geral, a diferenc¸a de potencial entre qualquer nu´mero de capacitores conectados em se´rie e´
a soma da diferenc¸a de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como as cargas nos
capacitores sa˜o as mesmas, as voltagens sobre eles sa˜o
∆V1 =
Q
C1
∆V e ∆V2 =
Q
C2
Suponha que no´s desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma
capacitaˆncia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
do conjunto de capacitores anteriores, isto e´, esse capacitor equivalente deve armazenar carga
−Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de ∆V dos
terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente,
∆V =
Q
Ceq
Substituindo essas treˆs relac¸o˜es para as voltagens na equac¸a˜o da voltarem total do circuito,
temos
Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Assim, o inverso da capacitaˆncia equivalente de uma associac¸a˜o de capacitores em se´rie e´ a
soma alge´brica dos inversos das capacitaˆncias individuais e e´ menor que qualquer uma das
capacitaˆncia individuais.
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ . . . (em se´rie) (3)
Exemplo: Capacitaˆncia Equivalente
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitaˆncia equivalente
entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associac¸o˜es de capacitores como indicadas nas
partes (b), (c), e (d), usando as regras de associac¸o˜es em se´rie e paralelo.
ba
(b)
ba
( c)
ba
(d)
ba
(a)
7
Prof. Elvis Soares 4 Energia Armazenada num Capacitor
4 Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num capacitor
durante o processo de carregamento, imaginemos
que a carga e´ transferida mecanicamente para o ca-
pacitor, de modo que o trabalho necessa´rio para adi-
cionar uma carga dq ao capacitor e´
dW = ∆V dq
e sabendo que a diferenc¸a de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele,
podemos escrever
dW =
q
C
dq,
ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga q = 0 ate´ a
carga final q = Q e´
W =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
C
∫ Q
0
q dq =
Q2
2C
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial ele´trica U armazenada
no capacitor. Usando a capacitaˆncia, podemos expressar a energia potencial armazenada num
capacitor carregado nas seguintes formas
U =
Q2
2C
=
1
2
Q∆V =
1
2
C(∆V )2 (4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada no campo
ele´trico criado entre as placas quando o capacitor esta´ carregado, pois o campo ele´trico e´
proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferenc¸a de
potencial esta´ relacionada com o campo ele´trico atrave´s da relac¸a˜o ∆V = Ed, e sua capacitaˆncia
e´ C = �0A/d. Substituindo essas expresso˜es na energia, obtemos
U =
1
2
�0A
d
(Ed)2 =
1
2
(�0Ad)E
2.
Como o volume ocupado pelo campo ele´trico e´ Ad, a energia por unidade de volume uE =
U/(Ad), conhecida como densidade de energia, e´
uE =
1
2
�0E
2 (5)
Assim, a densidade de energia em qualquer campo ele´trico e´ proporcional ao quadrado da
intensidade do campo ele´trico num dado ponto.
8
5 Materiais Diele´tricos Prof. Elvis Soares
Para uma dada capacitaˆncia, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga e com
o aumento da diferenc¸a de potencial. Na pra´tica, entretanto, ha´ um limite de energia ma´xima
(ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de voltarem, ocorre descarga
ele´trica entre as placas.
5 Materiais Diele´tricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presenc¸a de um campo ele´trico
externo?
Consideremos um diele´trico feito de mole´culas polares localizadas num campo ele´trico entre as
placas de um capacitor. Os dipolos (isso e´, as mole´culas polares que formam o diele´trico) esta˜o
orientados aleatoriamente na auseˆncia de um campo ele´trico, conforme figura (a). Quando um
campo ele´trico externo ~E0 devido ao capacitor e´ aplicado, conforme figura (b), um torque e´
exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau
de alinhamento das mole´culas com o campo ele´trico depende da temperatura e da intensidade
do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as mole´culas
do diele´trico sa˜o apolares, enta˜o o campo ele´trico externo produz alguma separac¸a˜o de cargas
e num momento de dipolo induzido.
E0
–
+ –
+
–
+
–
+
–+–+–
+
–
+
–+
–+
– + –
+
– + –
+ – +
– +– +
– +
– + –
+ – +
– +
– + – +
– +
E0
Eind
– indσ indσ
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
Em ambos materiais feitos de mole´culas polares ou apolares, os campos ele´tricos induzidos
pelos momentos de dipolos ele´tricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo externo
original, figura (c). Assim, o campo ele´trico resultante ~ET dentro do diele´trico e´ o campo
original ~E0 mais o campo induzido ~Eind
~ET = ~E0 + ~Eind,
ou
ET = E0 − Eind.
Notamos que o campo resultante dentro do diele´trico aponta na direc¸a˜o do campo externo
original. O campo induzido depende do campo externo original na forma Eind = αE0, sendo α
a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever
ET = (1− α)E0,
e denominando κ = 1/(1 − α) a constante diele´trica do meio material, vemos que o campo
resultante no interior do meio diele´trico e´ reduzido de um fator κ
9
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diele´tricos
~ET =
~E0
κ
(6)
Ale´m disso, o campo ele´trico externo E0 esta´ relacionado com a densidade de carga σ nas placas
atrave´s da relac¸a˜o E0 = σ/�0, e o campo ele´trico induzido Eind no diele´trico esta´ relacionado
com a densidade de carga induzida σind, conforme figura (b), atrave´s da relac¸a˜o Eind = σind/�0.
Como ET = E0/κ = σ/(κ�0), temos
σ
κ�0
=
σ
�0
− σind
�0
e
σind =
(
κ− 1
κ
)
σ (7)
Como κ > 1, essas expresso˜es mostram que o campo ele´trico no interior do diele´trico ET e´
reduzido, e a densidade de carga induzida σind no diele´trico e´ menor que a densidade
de cargas
nas placas.
Existe, pore´m, um valor cr´ıtico para o campo externo, consequentemente para a diferenc¸a de
potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga ele´trica ou
uma ruptura do isolamento. Esse campo ele´trico cr´ıtico fornece a rigidez diele´trica do material,
que e´ medida pelo mo´dulo do campo ele´trico mı´nimo acima do qual se produz a ruptura do
diele´trico.
6 Capacitores com Diele´tricos
Quando inserimos um diele´trico no interior de um capacitor o que acontece com a capacitaˆncia?
Aumenta, diminui, ou na˜o se modifica? Podemos analisar o seguinte experimento para ilustrar
o efeito de um diele´trico num capacitor.
+
–
+
–
Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o diele´trico, conforme figura
(a), tem uma carga Q0 e uma capacitaˆncia C0, de modo que a diferenc¸a de potencial entre as
10
6 Capacitores com Diele´tricos Prof. Elvis Soares
placas e´ ∆V0. Se um diele´trico e´ agora inserido entre as placas, conforme figura (b), a diferenc¸a
de potencial ∆V entre as placas deve ser reduzida de um fator κ pois o campo no interior do
capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma
∆V =
∆V0
κ
.
Como a carga Q0 no capacitor na˜o mudou, conclu´ımos que a capacitaˆncia deve mudar para o
valor
C =
Q0
∆V
=
Q0
∆V0κ
= κ
Q0
∆V0
enta˜o
C = κC0 (8)
Isso e´, a capacitaˆncia aumenta de um fato κ quando um diele´trico preenche completamente a
regia˜o entre as placas.
11
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diele´tricos
Exemplo: Capacitor parcialmente preenchido
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separac¸a˜o entre as placas d, que tem capa-
citaˆncia C0 na auseˆncia de um diele´trico, preenchido com diele´trico de constante κ e espessura
d/3 conforme figura (a).
Podemos imaginar o conjunto da figura (a) como
sendo dois capacitores C1 e C2 associados em se´rie,
conforme figura (b). Usando o resultado da capa-
citaˆncia de um capacitor de placas paralelas, temos
C1 =
κ�0A
d/3
e C2 =
�0A
2d/3
.
Como associamos em se´rie, a capacitaˆncia equiva-
lente e´ dada por
1
C
=
1
C1
+
1
C2
=
d/3
κ�0A
+
2d/3
�0A
enta˜o
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
�0A
d
e como a capacitaˆncia sem o diele´trico e´ C0 = �0A/d,
podemos escrever
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
C0
12
	Capacitância
	Cálculo de Capacitância
	Associação de Capacitores
	Capacitores em Paralelo
	Capacitores em Série
	Energia Armazenada num Capacitor
	Materiais Dielétricos
	Capacitores com Dielétricos