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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica F´ısica III — 2014/2 Cap. 5 - Corrente, Resisteˆncia e Forc¸a Eletromotriz Prof. Elvis Soares Nesse cap´ıtulo, estudaremos a definic¸a˜o de corrente, com descric¸a˜o microsco´pica, as definic¸o˜es de resisteˆncia ele´trica e introduzimos o resistor, como uma forc¸a eletromotriz possibilita o fluxo de corrente em um circuito, e por fim, como obter as energia e poteˆncia em circuitos. 1 Corrente Ele´trica O que acontece ao ligarmos por um fio meta´lico a`s placas de um capacitor carregado? Como na˜o pode haver equil´ıbrio eletrosta´tico, pois as extremidades do fio condutor esta˜o em potenciais diferentes, ha´ movimento de cargas, ou seja, uma corrente ele´trica passa atrave´s do fio quando a conexa˜o e´ feita. A intensidade da corrente ele´trica i que atravessa uma dada sec¸a˜o de um fio condutor e´ definida como a quan- tidade de carga dq que atravessa esta sec¸a˜o num dado intervalo de tempo dt, de modo que podemos escrever i ≡ dq dt . (1) A unidade de corrente ele´trica no SI e´ o Ampe`re, que passa a definir a unidade de Coulomb. Assim, numa corrente de 1A, a secc¸a˜o do fio e´ atravessada a cada segundo por 1C de carga, equivalente a 6.2× 1018 C. Por motivos histo´ricos, e´ convencional definir a corrente tendo a mesma direc¸a˜o do fluxo de cargas positivas. Em condutores ele´trico, tais como cobre e alumı´nio, a corrente e´ devido ao movimento de ele´trons. Portanto, num metal, a direc¸a˜o da corrente num condutor e´ oposta ao fluxo de ele´trons. Numa laˆmpada fluorescente, os portadores de cargas sa˜o tanto ele´trons como ı´ons positivos do ga´s, que se deslocam em sentidos opostos sob a ac¸a˜o do campo de descarga. Prof. Elvis Soares 1 Corrente Ele´trica 1.1 Modelo Microsco´pico para Corrente Podemos relacionar a corrente ele´trica com o movimento de cargas atrave´s de um modelo microsco´pico de conduc¸a˜o num metal. Num condutor isolado, isto e´, a diferenc¸a de potencial e´ zero nele, os ele´trons se movem num mo- vimento aleato´rio que e´ ana´logo ao movimento das mole´culas num ga´s. Quando uma diferenc¸a de potencial e´ aplicada nesse condutor, um campo ele´trico aparece nesse condutor exercendo uma forc¸a nos ele´trons, produzindo uma corrente. Contudo, os ele´trons na˜o se movem em linhas retas atrave´s do condutor, pois colidem repeditademnte com os a´tomos do metal, e seu movimento resultante e´ complicado em zig-zag. Apesar das coliso˜es, os ele´trons se movem va- garosamente atrave´s do condutor (na direc¸a˜o oposta de ~E) com a velocidade de arrasto ~vD, conforme figura (a). – Agora, consideremos um comprimento ∆x de um condutor de sec¸a˜o transversal A, de modo que o volume dessa regia˜o e´ A∆x, conforme figura (b). Se n e´ o nu´mero de portadores de carga por unidade de volume, o nu´mero de portadores nessa regia˜o e´ nA∆x. Assim, a carga total ∆Q nessa regia˜o e´ ∆Q = (nA∆x)q onde Q e´ a carga de cada portador. Se os portadores se movem com velocidade de arrasto vD, devido a` influeˆncia do campo ele´trico externo, o intervalo de tempo que leva para atravessarem essa regia˜o e´ dado pela relac¸a˜o ∆x = vD∆t. Esse intervalo de tempo e´ aquele necessa´rio para todas as cargas no cilindro passarem de uma extremidade a outra. Com isso, podemos escrever ∆Q = (nAvD∆t)q Se dividirmos ambos os lados da equac¸a˜o por ∆t, a corrente ele´trica me´dia nesse condutor e´ imed = ∆Q ∆t = nqAvD E com isso, temos uma densidade de corrente ele´trica ~j percorrendo o fio que e´ dada por j = i A = nqvd ou 2 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares ~j = nq~vd (2) Exemplo: Velocidade de Arrasto no Fio de Cobre Consideremos um fio de cobre de a´rea de sec¸a˜o transversal A = 3× 10−6 m2, cuja densidade e´ de 8.95 g/cm3 e massa molar igual a 63.5 g/mol, por onde passa uma corrente de 10 A. A densidade de portadores de carga (para o cobre, ele´trons) e´ dada por n = ρ µ NA = (8.95 g/cm3) (63.5 g/mol) (6.22× 1023) = 8.8× 1028 e−/m−3. Assim, a velocidade de arrasto no fio e´ determinada pela corrente atrave´s de vd = i nqA = (10 A) (8.8× 1028 e−/m−3)(1.6× 10−19 C)(3× 10−6 m2) = 0.2 mm/s. Desta forma, um ele´tron demoraria aproximadamente 1.5 horas para percorre um trecho de 1 m nesse fio. O fato e´ que na˜o e´ necessa´rio que o ele´tron chegue ate´ o equipamento para aciona´-lo, basta que o campo ele´trico se propague pelo fio e fac¸a com que todos os ele´trons se movimentem na mesma direc¸a˜o. O campo ele´trico se propaga com a velocidade da luz no meio material! 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Anteriormente vimos que o campo ele´trico no interior em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ nulo, pore´m quando as cargas no condutor na˜o esta˜o em equil´ıbrio e´ poss´ıvel que haja um campo ele´trico em seu interior. Em alguns materiais, a densidade de corrente ele´trica e´ proporcional ao campo ele´trico ~j = σ ~E (3) onde a constante de proporcionalidade sigma e´ denominada condutividade do material. Ma- teriais que obedecem essa relac¸a˜o sa˜o conhecidos como materiais oˆhmicos, em homenagem a Georg Simon Ohm que descobriu essa relac¸a˜o emp´ırica va´lida somente para certos materiais. Consideremos agora um pequeno trecho de um fio de comprimento L e sec¸a˜o transversal uni- forme de a´rea A, conforme figura. Uma diferenc¸a de potencial ∆V = Vb − Va e´ mantida ao longo do fio, criando no interior do fio um campo ele´trico e portanto uma corrente. Se o campo puder ser considerado uniforme, a diferenc¸a de potencial esta´ relacionada com o campo atrave´s da relac¸a˜o 3 Prof. Elvis Soares 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia ∆V = EL Assim, podemos expressar a intensidade da densidade de corrente no fio como sendo j = σE = σ ∆V L , como j = i/A, podemos escrever ∆V = L σ j = ( L σA ) i = Ri. A quantidade R = L/σA e´ denominada resisteˆncia ele´trica do fio, que no SI tem unidades ohm, equivalente a Volt por Ampe`re, Ω = V/A. Assim, a relac¸a˜o entre a diferenc¸a de potencial sobre um fio e a corrente ele´trica criada no mesmo e´ dada pela famosa Lei de Ohm, escrita na forma ∆V = Ri (4) O inverso da condutividade e´ a resistividade ρ ρ = 1 σ , (5) como R = L/σA, podemos expressar a resisteˆncia de um fio condutor de material homogeˆneo e isotro´pico como R = ρ L A . (6) Materiais que sa˜o bom condutores de eletricidade apresentam resistividade baixa, como o co- bre cuja resistividade e´ da ordem de 10−8 Ω.m, enquanto que materiais isolantes apresentam alta resistividade, como o quartzo cuja resistividade e´ da ordem de 1016 Ω.m. Ale´m disso, a resistividade, num certo intervalo de temperatura, varia aproximadamente linearmente com a temperatura de acordo com a expressa˜o ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (7) onde ρ e´ a resistividade em alguma temperatura T , ρ0 e´ a resistividade em alguma temepratura de refereˆncia T0, e α o coeficiente de temperatura da resistividade. 2.1 Modelo Microsco´pico para Condutividade Podemos pensar num condutor como sendo uma rede regular de a´tomos mais um conjunto de ele´trons livres, que podemos chamar de ele´trons de conduc¸a˜o. Na˜o ha´ corrente ele´trica no condutor na auseˆncia de um campo ele´trico externo pois a velocidade de arrasto dos ele´trons e´ zero, isto e´, na me´dia o movimento dos ele´trons e´ zero, conforme figura (a). 4 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares – – –– – – – – Com a presenc¸a do campo ele´trico externo a situac¸a˜o muda, ale´m do movimento aleato´rio devido a` agitac¸a˜o te´rmica, o campo ele´trico ~E causa um arrasto dos ele´trons numa direc¸a˜o oposta a`quele campo ~E, conforme figura (b). Quando um ele´tron livre de massa m e carga q esta´ sujeito a um campo ele´trico ~E, ele sofre uma forc¸ca ~F = q ~E. Como essa forc¸a esta´ relacionada com a acelerac¸a˜o doele´tron atrave´s da segunda lei de Newton, ~F = m~a, conclu´ımos que a acelerac¸a˜o do ele´tron e´ ~a = q ~E m Essa acelerac¸a˜o, que ocorre somente em um curto intervalo de tempo entre coliso˜es, permite ao ele´tron adquirir uma pequena velocidade de arrasto. Se ~vi e´ a velocidade inicial do ele´tron no instante apo´s a colisa˜o (que ocorre num tempo que definiremos como t = 0), enta˜o a velocidade do ele´tron num tempo t (no qual ocorre a pro´xima colisa˜o) e´ ~vf = ~vi + ~at = ~vi + q ~E m t Em seguida, tomamos uma me´dia sobre todos os valores poss´ıveis de ~vf e ~vi durante um intervalo de tempo me´dio entre sucessivas coliso˜es τ . Como a distribuic¸a˜o das velocidades iniciais e´ aleato´ria, o valor me´dio de ~vi e´ zero. De modo que, ~v ( fmed) = ~vd = q ~E m τ Relacionando essa expressa˜o para a velocidade de arrasto com a corrente num condutor, en- contramos que a densidade de corrente e´ j = nqvd = nq2E m τ. Comparando essa expressa˜o com a lei de Ohm, j = σE, obtemos as seguintes relac¸o˜es para condutividade e resistividade do material σ = nq2τ m (8) ρ = 1 σ = m nq2τ (9) 5 Prof. Elvis Soares 3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule E de acordo com esse modelo cla´ssico, a condutividade e a resistividade do material na˜o depende da intensidade do campo ele´trico externo. O tempo me´dio entre coliso˜es τ esta´ relacionado com a distaˆncia me´dia entre coliso˜es l (ou livre caminho me´dio) e a velocidade me´dia v¯ atrave´s da expressa˜o τ = l/v¯. 3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule Agora que sabemos que corrente e´ efetivamente o movimento das cargas no interior de um condutor, quanta energia deve ser gasta para realizar esse movimento? Para mover uma quantidade de carga dq = idt entre uma diferenc¸a de potencial ∆V , a quan- tidade de energia necessa´ria e´ igual ao trabalho dW = (idt)∆V de modo que a poteˆncia da fonte, ou seja, da bateria deva ser Pot = dW dt = i∆V (10) No caso de um material condutor, podemos usar a lei de Ohm para determinar a poteˆncia dissipada pelo condutor em formas alternativas Pot = Ri2 = (∆V )2 R (11) Assim, a energia fornecida pela bateria para o movimento das cargas num condutor acaba sendo dissipada na forma de calor devido a resisteˆncia do objeto, tal fenoˆmeno e´ conhecido como efeito Joule. Efeitos como esse sa˜o o que permitem utilizar energia ele´trica para gerar calor, como num chuveito ele´trico. De fato, podemos pensar nas coliso˜es a´tomos-ele´trons num condutor como uma fricc¸a˜o interna efetiva similar aquela sentidas pelas mole´culas de um l´ıquido fluindo atrave´s de um duto. A energia transferida dos ele´trons para os a´tomos do metal durante as coliso˜es causa aumento da energia de vibrac¸a˜o dos a´tomos e um correspondente aumento na temperatura do condutor. 6 3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule Prof. Elvis Soares Exemplo: Poteˆncia de um aquecedor ele´trico Um aquecedor ele´trico e´ constru´ıdo aplicando-se uma diferenc¸a de potencial de 120 V num fio de nicromo cuja resisteˆncia total e´ de 8.0 Ω. A corrente ele´trica que passa pelo fio e´ dada pela lei de Ohm como i = ∆V R = 120 V 8.0 Ω = 15.0 A A poteˆncia ele´trica dissipada na forma de calor e´ dada por Pot = Ri2 = (8.0 Ω)(15.0 A)2 = 1.80× 103 W = 1.80 kW 7 Corrente Elétrica Modelo Microscópico para Corrente Lei de Ohm e Condutância Modelo Microscópico para Condutividade Potência Elétrica e Efeito Joule
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