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05 - Corrente Resistência e Forca eletromotriz

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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 5 - Corrente, Resisteˆncia e Forc¸a
Eletromotriz
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos a definic¸a˜o de corrente, com descric¸a˜o microsco´pica, as definic¸o˜es
de resisteˆncia ele´trica e introduzimos o resistor, como uma forc¸a eletromotriz possibilita o fluxo
de corrente em um circuito, e por fim, como obter as energia e poteˆncia em circuitos.
1 Corrente Ele´trica
O que acontece ao ligarmos por um fio meta´lico a`s placas de um capacitor carregado?
Como na˜o pode haver equil´ıbrio eletrosta´tico, pois as extremidades do fio condutor esta˜o em
potenciais diferentes, ha´ movimento de cargas, ou seja, uma corrente ele´trica passa atrave´s do
fio quando a conexa˜o e´ feita.
A intensidade da corrente ele´trica i que atravessa uma
dada sec¸a˜o de um fio condutor e´ definida como a quan-
tidade de carga dq que atravessa esta sec¸a˜o num dado
intervalo de tempo dt, de modo que podemos escrever
i ≡ dq
dt
. (1)
A unidade de corrente ele´trica no SI e´ o Ampe`re, que passa a definir a unidade de Coulomb.
Assim, numa corrente de 1A, a secc¸a˜o do fio e´ atravessada a cada segundo por 1C de carga,
equivalente a 6.2× 1018 C.
Por motivos histo´ricos, e´ convencional definir a corrente tendo a mesma direc¸a˜o do fluxo de
cargas positivas. Em condutores ele´trico, tais como cobre e alumı´nio, a corrente e´ devido ao
movimento de ele´trons. Portanto, num metal, a direc¸a˜o da corrente num condutor e´ oposta ao
fluxo de ele´trons. Numa laˆmpada fluorescente, os portadores de cargas sa˜o tanto ele´trons como
ı´ons positivos do ga´s, que se deslocam em sentidos opostos sob a ac¸a˜o do campo de descarga.
Prof. Elvis Soares 1 Corrente Ele´trica
1.1 Modelo Microsco´pico para Corrente
Podemos relacionar a corrente ele´trica com o movimento de cargas atrave´s de um modelo
microsco´pico de conduc¸a˜o num metal.
Num condutor isolado, isto e´, a diferenc¸a de potencial e´ zero nele, os ele´trons se movem num mo-
vimento aleato´rio que e´ ana´logo ao movimento das mole´culas num ga´s. Quando uma diferenc¸a
de potencial e´ aplicada nesse condutor, um campo ele´trico aparece nesse condutor exercendo
uma forc¸a nos ele´trons, produzindo uma corrente. Contudo, os ele´trons na˜o se movem em
linhas retas atrave´s do condutor, pois colidem repeditademnte com os a´tomos do metal, e seu
movimento resultante e´ complicado em zig-zag. Apesar das coliso˜es, os ele´trons se movem va-
garosamente atrave´s do condutor (na direc¸a˜o oposta de ~E) com a velocidade de arrasto ~vD,
conforme figura (a).
–
Agora, consideremos um comprimento ∆x de um condutor de sec¸a˜o transversal A, de modo
que o volume dessa regia˜o e´ A∆x, conforme figura (b). Se n e´ o nu´mero de portadores de carga
por unidade de volume, o nu´mero de portadores nessa regia˜o e´ nA∆x. Assim, a carga total
∆Q nessa regia˜o e´
∆Q = (nA∆x)q
onde Q e´ a carga de cada portador. Se os portadores se movem com velocidade de arrasto vD,
devido a` influeˆncia do campo ele´trico externo, o intervalo de tempo que leva para atravessarem
essa regia˜o e´ dado pela relac¸a˜o ∆x = vD∆t. Esse intervalo de tempo e´ aquele necessa´rio para
todas as cargas no cilindro passarem de uma extremidade a outra. Com isso, podemos escrever
∆Q = (nAvD∆t)q
Se dividirmos ambos os lados da equac¸a˜o por ∆t, a corrente ele´trica me´dia nesse condutor e´
imed =
∆Q
∆t
= nqAvD
E com isso, temos uma densidade de corrente ele´trica ~j percorrendo o fio que e´ dada por
j =
i
A
= nqvd
ou
2
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares
~j = nq~vd (2)
Exemplo: Velocidade de Arrasto no Fio de Cobre
Consideremos um fio de cobre de a´rea de sec¸a˜o transversal A = 3× 10−6 m2, cuja densidade e´
de 8.95 g/cm3 e massa molar igual a 63.5 g/mol, por onde passa uma corrente de 10 A.
A densidade de portadores de carga (para o cobre, ele´trons) e´ dada por
n =
ρ
µ
NA =
(8.95 g/cm3)
(63.5 g/mol)
(6.22× 1023) = 8.8× 1028 e−/m−3.
Assim, a velocidade de arrasto no fio e´ determinada pela corrente atrave´s de
vd =
i
nqA
=
(10 A)
(8.8× 1028 e−/m−3)(1.6× 10−19 C)(3× 10−6 m2) = 0.2 mm/s.
Desta forma, um ele´tron demoraria aproximadamente 1.5 horas para percorre um trecho de 1 m
nesse fio. O fato e´ que na˜o e´ necessa´rio que o ele´tron chegue ate´ o equipamento para aciona´-lo,
basta que o campo ele´trico se propague pelo fio e fac¸a com que todos os ele´trons se movimentem
na mesma direc¸a˜o. O campo ele´trico se propaga com a velocidade da luz no meio material!
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia
Anteriormente vimos que o campo ele´trico no interior em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ nulo, pore´m
quando as cargas no condutor na˜o esta˜o em equil´ıbrio e´ poss´ıvel que haja um campo ele´trico
em seu interior.
Em alguns materiais, a densidade de corrente ele´trica e´ proporcional ao campo ele´trico
~j = σ ~E (3)
onde a constante de proporcionalidade sigma e´ denominada condutividade do material. Ma-
teriais que obedecem essa relac¸a˜o sa˜o conhecidos como materiais oˆhmicos, em homenagem a
Georg Simon Ohm que descobriu essa relac¸a˜o emp´ırica va´lida somente para certos materiais.
Consideremos agora um pequeno trecho de um fio de comprimento L e sec¸a˜o transversal uni-
forme de a´rea A, conforme figura. Uma diferenc¸a de potencial ∆V = Vb − Va e´ mantida ao
longo do fio, criando no interior do fio um campo ele´trico e portanto uma corrente. Se o campo
puder ser considerado uniforme, a diferenc¸a de potencial esta´ relacionada com o campo atrave´s
da relac¸a˜o
3
Prof. Elvis Soares 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia
∆V = EL
Assim, podemos expressar a intensidade da densidade de corrente no fio como sendo
j = σE = σ
∆V
L
,
como j = i/A, podemos escrever
∆V =
L
σ
j =
(
L
σA
)
i = Ri.
A quantidade R = L/σA e´ denominada resisteˆncia ele´trica do fio, que no SI tem unidades ohm,
equivalente a Volt por Ampe`re, Ω = V/A. Assim, a relac¸a˜o entre a diferenc¸a de potencial sobre
um fio e a corrente ele´trica criada no mesmo e´ dada pela famosa Lei de Ohm, escrita na forma
∆V = Ri (4)
O inverso da condutividade e´ a resistividade ρ
ρ =
1
σ
, (5)
como R = L/σA, podemos expressar a resisteˆncia de um fio condutor de material homogeˆneo
e isotro´pico como
R = ρ
L
A
. (6)
Materiais que sa˜o bom condutores de eletricidade apresentam resistividade baixa, como o co-
bre cuja resistividade e´ da ordem de 10−8 Ω.m, enquanto que materiais isolantes apresentam
alta resistividade, como o quartzo cuja resistividade e´ da ordem de 1016 Ω.m. Ale´m disso, a
resistividade, num certo intervalo de temperatura, varia aproximadamente linearmente com a
temperatura de acordo com a expressa˜o
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (7)
onde ρ e´ a resistividade em alguma temperatura T , ρ0 e´ a resistividade em alguma temepratura
de refereˆncia T0, e α o coeficiente de temperatura da resistividade.
2.1 Modelo Microsco´pico para Condutividade
Podemos pensar num condutor como sendo uma rede regular de a´tomos mais um conjunto
de ele´trons livres, que podemos chamar de ele´trons de conduc¸a˜o. Na˜o ha´ corrente ele´trica no
condutor na auseˆncia de um campo ele´trico externo pois a velocidade de arrasto dos ele´trons e´
zero, isto e´, na me´dia o movimento dos ele´trons e´ zero, conforme figura (a).
4
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares
–
–
––
–
–
–
–
Com a presenc¸a do campo ele´trico externo a situac¸a˜o muda, ale´m do movimento aleato´rio
devido a` agitac¸a˜o te´rmica, o campo ele´trico ~E causa um arrasto dos ele´trons numa direc¸a˜o
oposta a`quele campo ~E, conforme figura (b).
Quando um ele´tron livre de massa m e carga q esta´ sujeito a um campo ele´trico ~E, ele sofre
uma forc¸ca ~F = q ~E. Como essa forc¸a esta´ relacionada com a acelerac¸a˜o doele´tron atrave´s da
segunda lei de Newton, ~F = m~a, conclu´ımos que a acelerac¸a˜o do ele´tron e´
~a =
q ~E
m
Essa acelerac¸a˜o, que ocorre somente em um curto intervalo de tempo entre coliso˜es, permite ao
ele´tron adquirir uma pequena velocidade de arrasto. Se ~vi e´ a velocidade inicial do ele´tron no
instante apo´s a colisa˜o (que ocorre num tempo que definiremos como t = 0), enta˜o a velocidade
do ele´tron num tempo t (no qual ocorre a pro´xima colisa˜o) e´
~vf = ~vi + ~at = ~vi +
q ~E
m
t
Em seguida, tomamos uma me´dia sobre todos os valores poss´ıveis de ~vf e ~vi durante um
intervalo de tempo me´dio entre sucessivas coliso˜es τ . Como a distribuic¸a˜o das velocidades
iniciais e´ aleato´ria, o valor me´dio de ~vi e´ zero. De modo que,
~v
(
fmed) = ~vd =
q ~E
m
τ
Relacionando essa expressa˜o para a velocidade de arrasto com a corrente num condutor, en-
contramos que a densidade de corrente e´
j = nqvd =
nq2E
m
τ.
Comparando essa expressa˜o com a lei de Ohm, j = σE, obtemos as seguintes relac¸o˜es para
condutividade e resistividade do material
σ =
nq2τ
m
(8)
ρ =
1
σ
=
m
nq2τ
(9)
5
Prof. Elvis Soares 3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule
E de acordo com esse modelo cla´ssico, a condutividade e a resistividade do material na˜o depende
da intensidade do campo ele´trico externo. O tempo me´dio entre coliso˜es τ esta´ relacionado com
a distaˆncia me´dia entre coliso˜es l (ou livre caminho me´dio) e a velocidade me´dia v¯ atrave´s da
expressa˜o τ = l/v¯.
3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule
Agora que sabemos que corrente e´ efetivamente o movimento das cargas no interior de um
condutor, quanta energia deve ser gasta para realizar esse movimento?
Para mover uma quantidade de carga dq = idt entre uma diferenc¸a de potencial ∆V , a quan-
tidade de energia necessa´ria e´ igual ao trabalho
dW = (idt)∆V
de modo que a poteˆncia da fonte, ou seja, da bateria deva ser
Pot =
dW
dt
= i∆V (10)
No caso de um material condutor, podemos usar a lei de Ohm para determinar a poteˆncia
dissipada pelo condutor em formas alternativas
Pot = Ri2 =
(∆V )2
R
(11)
Assim, a energia fornecida pela bateria para o movimento das cargas num condutor acaba sendo
dissipada na forma de calor devido a resisteˆncia do objeto, tal fenoˆmeno e´ conhecido como efeito
Joule. Efeitos como esse sa˜o o que permitem utilizar energia ele´trica para gerar calor, como
num chuveito ele´trico.
De fato, podemos pensar nas coliso˜es a´tomos-ele´trons num condutor como uma fricc¸a˜o interna
efetiva similar aquela sentidas pelas mole´culas de um l´ıquido fluindo atrave´s de um duto. A
energia transferida dos ele´trons para os a´tomos do metal durante as coliso˜es causa aumento da
energia de vibrac¸a˜o dos a´tomos e um correspondente aumento na temperatura do condutor.
6
3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule Prof. Elvis Soares
Exemplo: Poteˆncia de um aquecedor ele´trico
Um aquecedor ele´trico e´ constru´ıdo aplicando-se uma diferenc¸a de potencial de 120 V num fio
de nicromo cuja resisteˆncia total e´ de 8.0 Ω.
A corrente ele´trica que passa pelo fio e´ dada pela lei de Ohm como
i =
∆V
R
=
120 V
8.0 Ω
= 15.0 A
A poteˆncia ele´trica dissipada na forma de calor e´ dada por
Pot = Ri2 = (8.0 Ω)(15.0 A)2 = 1.80× 103 W = 1.80 kW
7
	Corrente Elétrica
	Modelo Microscópico para Corrente
	Lei de Ohm e Condutância
	Modelo Microscópico para Condutividade
	Potência Elétrica e Efeito Joule

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