Grandezas Incomensuráveis

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Grandezas incomensuráveis e números 
irracionais.
 
Objetivo
 Mostrar que os conceitos de reta e de número 
“não têm uma simplicidade tão inocente como 
parecem revelar a uma visão menos profunda”.
 
A primeira grande crise
 Os gregos comparavam segmentos retilíneos;
 AB / CD = m / n => AB = m*EF e CD = n*EF;
 EF é submúltiplo comum de AB e CD;
 AB e CD são ditos comensuráveis;
 Números racionais são suficientes para comparar 
segmentos de reta;
 EF é, intuitivamente, tão pequeno quanto se queira.
 
A primeira grande crise
 NÃO é verdade que dois segmentos quaisquer 
são sempre comensuráveis. Pode existir AB e 
CD incomensuráveis;
 CRISE NA MATEMÁTICA!;
 Pitagóricos demonstram geometricamente a 
existência de grandezas incomensuráveis e 
encaram isso como uma derrota;
 Números naturais passam a ser insuficientes.
 
Os pensamentos de Zeno (ou Zenão)
 Mais uma crise no desenvolvimento da 
matemática. 
Dedekind cria teoria dos números reais
 
Uma abordagem moderna
 Existência de pontos na 
reta sem abscissa racional;
 OU é lado unitário do 
quadrado;
 Por Pitágoras, OP = √2 
unidades;
 Vamos considerar uma 
semirreta OU, tomando OU 
como unidade de 
comprimento. 
 
Uma abordagem moderna
 Se OU e OP são 
comensuráveis pra 
todo P, então basta os 
racionais positivos;
 Os racionais são 
densos.
 
Uma abordagem moderna
 Suponha que todo 
ponto da semirreta 
possua abscissa 
racional;
 Racionais 
enumeráveis => 
Pontos da semirreta 
enumeráveis.
 
Uma abordagem moderna
 Chegamos a um 
absurdo;
 Números racionais 
não são suficientes 
para marcar todos os 
pontos de uma reta;
 Infinidade não 
enumerável de 
irracionais.
 
Uma abordagem moderna
 √2 é irracional;
 Fizemos as primeiras demonstrações de redução 
ao absurdo da antiguidade;
 Mais uma crise na matemática: Como falar em 
razão entre duas grandezas quando essas forem 
incomensuráveis?
 Eudoxo cria uma teoria de proporções usando 
apenas números inteiros positivos na metade do 4º 
século a.C.
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