RESUMO E LISTA DE EXERCICIO 1-Geometria analitica UFRB MARIA AMELIA

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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Geometria Analítica CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
ATUALIZADA EM 23 DE AGOSTO DE 2016
Vetores
Resumo
Dados os pontos A e B pertencentes a mesma reta r , um segmento de reta AB é um conjunto de
pontos desta reta que está entre A e B. Se atribuirmos a este segmento de reta uma orientação (origem -
extremidade) este passa a ser chamado de segmento de reta orientado. Se A é a origem e B a extremi-
dade, dizemos que AB é orientado no sentido de A para B, e o segmento BA, oposto de AB , é orientado
de B para A.
Um segmento de reta orientado é nulo se sua origem A coincide com a extremidade B (A = B), é
representado por um ponto e denotado por AA ou O.
O módulo de um segmento de reta, é um número real não negativo que podemos associar a cada
segmento de reta orientado. O segmento nulo tem módulo igual a zero.
A direção de um segmento de reta é definida pela reta suporte e dois segmentos de reta orientados
(não nulos) têm a mesma direção se suas retas suporte são paralelas ou coincidentes.
O sentido é definido da origem para a extremidade. Se dois segmentos de reta orientados têm a mesma
direção, podemos comparar seus sentidos.
Dois segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes (AB ∼ CD) se ambos são nulos ou se
têm o mesmo módulo e o mesmo sentido. Observação: A equipolência é uma relação de equivalência
(reflexiva, simétrica e transitiva). Isso nos permite dividir os segmentos de reta orientados em classes (de
equipolência).
Um vetor −→AB, determinado por um segmento de reta orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos
de reta orientados equipolentes a AB, ou seja, a classe de equipolência determinada por AB. Assim, o
vetor
−→
AB representa uma classe de infinitos segmentos equipolentes a AB. Quando nos referimos a um
vetor
−→
AB , estamos nos referindo a todos os segmentos de reta equipolentes a AB, muito embora usemos
um único vetor para representar esta classe. Os segmentos de reta orientados nulos são representados
por um único vetor, vetor nulo, denotado por −→0 . Indicaremos por −−→v = −→BA o vetor oposto a v = −→AB . Dado
um vetor
−→
AB e um ponto P qualquer, existe um único ponto Q tal que −→AB = −→PQ. AB ∼ CD ⇔ −→AB = −−→CD e
se
−→
AB =
−−→
CD, então −→AC = −→BD .
As definições de módulo, direção e sentido para vetores são as mesmas que usamos para segmentos
de reta orientados. A direção de um vetor será dada pela direção do segmento equipolente que o gerou,
assim como o módulo e o sentido.
• Denota-se o módulo do vetor −→v por |−→v |;
• O vetor nulo tem módulo igual a zero e não tem direção nem sentido;
• Se |−→v | = 1, dizemos que −→v é unitário;
• Chamamos o vetor unitário −→v ◦, que tem o mesmo sentido de −→v , de versor de −→v ;
• Dizemos que dois vetores −→u e −→v são ortogonais (−→u ⊥ −→v ) se possuem representantes em retas
ortogonais;
• Convencionaremos que o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores do espaço.
A adição de um ponto A com um vetor −→v é um ponto B tal que −→v = −→AB . Chamamos este ponto B de
soma do ponto A com o vetor −→v . Para entender esta operação podemos ler da seguinte forma: o ponto
B é a extremidade do vetor −→v quando o representamos na origem A. Indicaremos A + (−−→v ) por A − −→v .
Como propriedade desta operação temos (i) A + −→AB = B; (ii) A + −→0 = A; (iii) (A − −→v ) + −→v = A; (iv)
A+−→v = B +−→v ⇔ A = B; (v) A+−→v = A+−→u ⇔ −→v = −→u .
Dados dois vetores −→u e −→v e um ponto A qualquer, sejam A + −→u = B e B + −→v = C . O vetor soma
de −→u e −→v é −→s = −→u + −→v = −→AC . Observe que a adição de vetores satisfaz às propriedades comutativa,
associativa, existência do elemento neutro (vetor nulo) e existência do elemento simétrico (vetor oposto) e
está bem definida, pois, não depende do ponto A escolhido.
Dados α ∈ R∗ e um vetor não nulo −→v , chamamos produto de α por −→v o vetor −→u = α · −→v satisfazendo
a: (i) |−→u | = |α| · |−→v |; (ii) −→u possui a mesma direção de −→v ; (iii) −→u possui o mesmo sentido de −→v , se α é
positivo e sentido contrário de −→v , se α é negativo; (iv) se α = 0 ou −→v = −→0 , então −→u = −→0 .
A multiplicação de um escalar por um vetor goza das seguintes propriedades: comutativa (α·−→v = −→v ·α),
associatividade mista [α(β ·−→v ) = (αβ)·−→v ], existência do elemento neutro e distributiva em relação a adição
de vetores e em relação a adição de escalares.
Dois vetores −→u e −→v são paralelos (−→u ‖ −→v ), se possuem representantes na mesma reta e são copla-
nares, se possuem representantes no mesmo plano. Em particular, vetores paralelos são coplanares.
Se a 6= 0, então 1
a
−→v =
−→v
a
; −→v ◦ =
−→v
|−→v | , se
−→v 6= −→0 . Os módulos que envolvem dois vetores −→u e −→v
satisfazem a desigualdade triangular (|−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v |)
Dados n vetores {−→v 1,−→v 2, . . . ,−→v n} e n escalares {α1,α2, . . . ,αn}, o vetor combinação linear −→v é dado
por −→v = α1−→v 1 + α2−→v 2 + . . . + αn−→v n. Assim, por exemplo, −→a = 2−→u + 3−→v é uma combinação linear dos
vetores −→u e −→v com os escalares 2 e 3, respectivamente, e −→b = −→u − 5−→v + 2−→w é uma combinação linear
dos vetores −→u , −→v e −→w com os escalares 1, −5 e 2, respectivamente.
Os vetores−→u e−→v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear
do outro e −→u , −→v e −→w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação
linear dos outros dois.
Um conjunto de vetores {−→v 1,−→v 2, . . . ,−→v n} é linearmente dependente se pudermos escrever um deles
como uma combinação linear dos demais, caso contrário, é linearmente independente. Em particular,
{−→v 1} é LD se −→v 1 = −→0 ; {−→v 1,−→v 2} é LD se existe α ∈ R∗ tal que −→v 1 = α · −→v 2, ou seja, −→v 1 é paralelo a
−→v 2 (−→v 1 ‖ −→v 2); {−→v 1,−→v 2,−→v 3} é LD se existe {α,β} ⊂ R, com pelo menos uma das constantes não nula,
tal que −→v 3 = α · −→v 1 + β−→v 2, ou seja, −→v 1, −→v 2 e −→v 3 são coplanares. Qualquer conjunto de vetores que
contenha o vetor nulo é LD.
Se V é um conjunto de vetores formado por todas as combinações lineares do conjunto de vetores
em B, dizemos que B gera V . Se um conjunto linearmente independente e ordenado B gera V , diremos
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 2
que B é uma base para V . Em particular, se B = {−→u } é LI, então B é uma base para um ‘sistema’ de
vetores paralelos a −→u ; se {−→u ,−→v } é LI (dois vetores não paralelos), então B é uma base para o ‘sistema’
de vetores coplanares a −→u e −→v ; se {−→u ,−→v ,−→w } é LI (três vetores não coplanares), então B é uma base
para o ‘sistema’ de vetores do espaço.
Uma base é ortogonal quando seus vetores são dois a dois ortogonais e é ortonormal se é ortogonal
e seus vetores são unitários.
Se B é uma base para V , existe somente uma combinação linear para cada vetor de V . O conjunto de
escalares desta combinação linear é chamado de coordenadas do vetor. Em particular, considere a base
B = −→v 1,−→v 2,−→v 3} do espaço e um vetor −→v tal que −→v = a−→v 1 + b−→v 2 + c−→v 3, dizemos, então, que o terno
(unicamente determinado) (a, b, c) são as coordenadas de −→v em relação à base B.
A dimensão de um conjunto de vetores é a quantidade de vetores de uma de suas bases. Assim, por
exemplo, um vetor num conjunto de vetores paralelos tem apenas uma coordenada (reta-dimensão 1); um
vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas (plano - dimensão 2); e um vetor no
espaço tem três coordenadas (espaço - dimensão 3).
Seja {−→u 1,−→u 2,−→u 3} uma base e os vetores−→u = (a1, a2, . . . , an),−→v = (b1, b2, . . . , bn) e−→w = (c1, c2, . . . , cn)
representados por suas coordenadas em relação a esta base, então: −→u = −→v se, e somente se a1 = b1,
a2 = b2, . . . , an = bn; −→u +−→v = (a1+b1, a2+b2, . . . , an+bn); α·−→u = α·(a1,a2, . . . , an) = (α·a1,α·a2, . . . ,α·an),
em que α ∈ R; −→u é paralelo a −→v se, e somente se, existe α ∈ R∗ tal que a1 = α · b1, a2 = α · b2, . . . e
an = α · bn (vetores paralelos são múltiplos); −→u , −→v e −→w são coplanares (LD) se, e somente se, existem α
e β, com α · β 6= 0, tais que −→w = α−→u + β−→v .
Se fizermos coincidir as origens dos vetores de uma base ortonormal {−→i ,−→j ,−→k } com a origem do
sistema cartesiano ortogonal poderemos associar as coordenadas de qualquer vetor ao seu ponto extremo;
Se A(xA, yA, zA) e B(xB , yB , zB) e A + −→u = B, então −→u = B − A = (xB − xA, yB − yA, zB − zA) (vetor
determinado por dois pontos: extremidade menos origem); O ponto médio do segmento de reta AB é
M =
(xA + xB
2
,
yA + yB
2
,
zA + zB
2
)
.
O produto escalar (·) entre dois vetores −→u = (u1, u2, . . . , un) e −→v = (v1, v2, . . . , vn) é definido como o
somatório dos produtos das suas respectivas coordenadas, isto é:
−→u · −→v = u1 · v1 + u2 · v2 + . . .+ un · vn =
n∑
i=1
ui · vi .
No plano, dado dois vetores −→u = (u1, u2) e −→v = (v1, v2) o produto escalar é −→u · −→v = u1 · v1 + u2 · v2. No
espaço, dado dois vetores−→u = (u1, u2, u3) e−→v = (v1, v2, v3) o produto escalar é−→u ·−→v = u1·v1+u2·v2+u3·v3.
Quaisquer que sejam os vetores −→u , −→v e −→w e o escalar α ∈ R, temos
(a) −→u · −→v = −→v · −→u
(b) −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
(c) α(−→u · −→v ) = (α−→u ) · −→v = −→u · (α −→v )
(d) −→u · −→u > 0, se −→u 6= −→0
(e) −→u · −→u = 0⇔ −→u = −→0
(f) −→u · −→u = |−→u |2
(g) |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v | (desigualdade triangular)
(h) |−→u · −→v | ≤ |u| · |v | (desigualdade de Schwarz)
A relação entre dois vetores −→u e −→v e o ângulo θ por eles formado é dado por
−→u · −→v = |−→u | · |−→v | · cos(θ),
ou ainda
cos(θ) =
−→u · −→v
|−→u | · |−→v |
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 3
Observe que o ângulo entre dois vetores deve estar entre 0 e π. Se o produto escalar entre os vetores
for positivo, o ângulo estará entre 0 e π
2
e, se o produto escalar entre eles for negativo, estará entre π
2
e π.
Dados os vetores −→u e −→v , as seguintes desigualdades são verificadas
Pode-se verificar que dois vetores −→u e −→v são ortogonais se, e somente se, −→u · −→v = 0.
Considere o vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k não-nulo. Os ângulos diretores do vetor −→v são os ângulos α, β
e γ os quais −→v forma com os vetores da base B = {−→i ,−→j ,−→k }. Logo:
cos(α) =
−→v · −→i
|−→v | · |−→i |
=
x
|−→v | cos(β) =
−→v · −→j
|−→v | · |−→j |
=
y
|−→v | cos(γ) =
−→v · −→k
|−→v | · |−→k |
=
z
|−→v |
Pode-se provar que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1 e que −→v ◦ = (cos(α), cos(β), cos(γ)).
As coordenadas do vetor projeção do vetor −→u sobre o vetor −→v é dada por:
proj−→u
−→v ==
−→v · −→u
|−→u |2
−→u = (−→v · −→u ◦) · −→u ◦
Dados dois vetores −→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3), definimos o produto vetorial −→u × −→v entre estes
vetores como sendo o vetor
−→v 1 ×−→v 2 =
(
u2 u3
v2 v3
,− u1 u3
v1 v3
,
u1 u2
v1 v2
,
)
=
−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
Dispositivo prático:
−→u ×−→v = u2 u3 u1 u2
v2 v3 v1 v2
= (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − v1u2).
O vetor −→w = −→u × −→v é um vetor perpendicular a −→u e a −→v e o seu sentido depende da orientação do
ângulo entre os vetores.
Seja θ o ângulo entre os vetores −→u e −→v , não nulos. Então: |−→u ×−→v | = |−→u | · |−→v | · sen(θ).
O módulo do produto vetorial entre dois vetores não paralelos é a área do paralelogramo formado na
figura, ou seja,
A = |−→v | · h = |−→u | · |−→v | · sen(θ) = |−→u ×−→v |.
Pode-se provar que
1. (−→u ×−→v )×−→w 6= −→u × (−→v ×−→w );
2. (−→u × (−→v +−→w ) = (−→u ×−→v ) + (−→u ×−→w );
3. α(−→u ×−→v ) = (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v );
4. −→u · (−→v × −→w ) = (−→u ×−→v ) · −→w .
A área de um triângulo formado por dois vetores −→u e −→v é dada por:
A△ =
1
2
|−→u ×−→v |.
Dado três vetores −→u = (x1, y1, z1), −→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3), definimos o produto misto como
sendo (−→u ,−→v ,−→w ) = −→u · (−→v ×−→w ). Facilmente verificamos que
(−→u ,−→v ,−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 4
1. A permutação de apenas um vetor muda o sinal do produto misto:
(−→u ,−→v ,−→w ) = −(−→v ,−→u ,−→w ) = −(−→u ,−→w ,−→v ) = −(−→w ,−→v ,−→u );
2. (−→u +−→x ,−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→x ,−→v ,−→w )
(−→u ,−→v ,−→w +−→x ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→u ,−→v ,−→x );
(−→u ,−→v +−→x ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→u ,−→x ,−→w )
3. (α−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u ,α−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,α−→w ) =
α(−→u ,−→v ,−→w );
4. (−→u ,−→v ,−→w ) = 0⇔ são coplanares.
O volume V do paralelepípedo formado por três vetores −→u , −→v e −→w , não coplanares, é dado pelo do
módulo do produto misto, ou seja, V = |(−→u ,−→v ,−→w )|.
O volume do tetraedro VT formado pelos vetores −→u , −→v e −→w é dado por
VT =
1
6
|(−→u ,−→v ,−→w )|.
Atividades
EP 1. Determine o vetor soma dos vetores indicados em cada figura.
EP 2. Na figura, M , N e P são pontos médios de
AB, BC e CA, respectivamente. Exprima −→BP e −−→MN
em função de −→AB e −→AC .
M
NP
A B
C
EP 3. Seja ABC um triângulo qualquer, com medianas AD , BE e CF . Prove que
−→
AD +
−→
BE +
−→
CF =
−→
0 .
EP 4. Sejam B = {−→u ,−→v } uma base para R2 e C = O + (x−→u + y−→v ), com x e y números reais.
(a) Qual é o lugar geométrico dos pontos C quando x e y variam, satisfazendo a condição x + y = 1;
(b) Idem, quando x e y variam independentemente no intervalo [0, 1].
EP 5. São dados um triângulo ABC , os pontos X , Y e Z tais que −→AX = m−→XB , −−→BY = n−−→YC e −→CZ = p−→ZA,
com m, n e p números reais não nulos. Exprima −−→CX , −→AY e −→BZ em função de −→CA e −→CB.
EP 6. Seja OABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC (baricentro).
Exprima −−→OX em termos de −→AO, −−→OB e −−→OC .
EP 7. Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que
−→
AB +
−→
AC +
−→
AD +
−→
AE +
−→
AF = 6 · −→AO.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 5
EP 8. Considere um paralelogramo ABCD no qual P e Q são pontos médios dos lados BC e AD,
respectivamente.
I - Determine geometricamente:
(a) C +−→DA
(b) B −−→DB
(c) −→AB +−→DA
(d) −→BA+−−→DC
(e) −→AD +−→AB
(f) −→AB +−→CA
(g) −→AC +−→DA
(h) −→AB +−→CA+−→BC
(i) D +−→AB +−→CA
(j) −→BC +−→DB +−→AD
(k) −→AC +−→DB +−→AD
(l) −→BC +−→DB +−−→CD
(m) −−→DC −−−→QD
(n) 1
2
−→
CB +
−−→
QD
(o) −→BC −−→QP A B
CD
PQ
II - Escreva os vetores dados a seguir como combinação linear dos vetores −→AB e −→AD .
(a) −→AB (b) −→AC (c) −→DA (d) −→AP (e) −→BP (f) −→PQ
EP 9. Considere o paralelepípedo ABCDEFGH , atribua V ou F, justificando sua resposta.
(a) −−→CD +−→AB é LI
(b) −→FG e −→DA são LI
(c) −→AB , −→AC e −→AD são LI
(d) −→EF e −→FG são LD
(e) −→AD, −−→DH e −−→HG são LD
(f) −−→HG ,−→BF e −→AD são LI
(g) −→FE ,−−→DH e −→AF são LD
(h) −→AC e −→GE são LI
(i) −→AC +−→BE +−→GB e −→AG são LI
(j) −→AF −−→HF e −→AH são LD A B
FE
D
C
GH
EP 10. Escreva o vetor −→u como combinação linear dos demais vetores, em cada caso:
(a) −→u = (−1, 8), −→v = (1, 2) e −→w = (4,−2)
(b) −→u = (1, 0,−3), −→u 1 = (1,−1, 0), −→u 2 = (1, 2, 0) e −→u 3 = (0, 0, 3)
EP 11. Qual é o valor de x para que os vetores −→u = (3,−x ,−2),−→v = (3, 2, x) e −→w = (1,−3, 1) sejam
coplanares?
EP 12. Dados os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2), calcule:
(a) (−→u ×−→v ) · −→w ; (b) (−→u ×−→w ) · (−→u +−→v ).
EP 13. Dados os vetores −→u = (1, a,−2a− 1), −→v = (a, a − 1, 1) e −→w = (a,−1, 1), determinar a de modo
que −→u · −→v = (−→u +−→v ) · −→w .
EP 14. Determinar a e b de modo que os vetores −→u = (4, 1,−3) e −→v = (6, a, b) sejam paralelos.
EP 15. Determinar um vetor que seja simultaneamenteortogonal aos vetores 2−→a − −→b e −→a + −→b para
−→a = (3,−1, 2) e −→b = (1, 0,−3).
EP 16. Determinar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores −→u = (2,−1, 3) e
−→v = (1, 1, 0).
EP 17. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C (1, 2, 1), determine o versor do vetor −→a = 3−→BA−2−→BC .
EP 18. Sabendo-se que ||−→a || = 3, ||−→b || = √2 e que o ângulo θ entre −→a e −→b é 45◦, calcular ||−→a ×−→b ||.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 6
EP 19. Dados os pontos A(3,m − 1,−4) e B(8, 2m − 1,m), encontrar o valor de m de modo que ||−→AB || =√
35.
EP 20. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores −→u = (3, 1, 2) e −→v = (4,−1, 0).
EP 21. Calcule a área do triângulo de vértices A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C (0, 1, 3).
EP 22. Calcule x , sabendo que A(x , 1, 1), B(1,−1, 0) e C (2, 1,−1) são vértices de um triângulo de área√
20
2
.
EP 23. Verifique se são coplanares os vetores −→u = (3, 1, 2), −→v = (4,−1, 0) e −→w = (0,−1, 0).
EP 24. Calcule o valor de m para que seja de 10 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores
−→v 1 = 2−→i −−→j ,−→v 2 = 6−→i +m−→j − 2−→k e −→v 3 = −4−→j +−→k .
EP 25. Sabendo que a distância entre os pontos P(−1, 2, 3) e Q(1,−1,m) é 7 unidades, calcule m.
EP 26. Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D(2, 13) são vértices do paralelogramo
ABCD. Represente-o no espaço através de suas coordenadas.
EP 27. Verifique se os pontos A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C (−1,−1,−1) e D(0, 1,−1) são coplanares.
EP 28. Considere os vetores −→u = (2, 0,−1), −→v = (0, 3, 1) e −→w = (4m, 6, n − 2) e os pontos A(1,−2, 0),
B(−2,−2, 1) e C (3, 0, 2).
(a) Verifique se o conjunto {−→u ,−→v ,−→AB} é LI ou LD;
(b) Determine as coordenadas do ponto D, vértice do paralelogramo ABCD;
(c) Determine um vetor −→a que tenha a mesma direção, o sentido oposto e o dobro do tamanho e −→u ;
(d) Calcule os valores de m e n para que −→w seja paralelo a −→u +−→v .
EP 29. Sejam −→u = (1, 3,−1),−→v = (0,−1, 1) e −→w = (1, 0, 2). Verifique se o conjunto {−→u ,−→v ,−→w } é uma
base do R3. Em caso afirmativo, determine as coordenadas do vetor−→a = 3−→u +2−→v −−→w . Em caso negativo,
escreva −→w como combinação linear de −→u e −→v .
EP 30. Considere o cubo ABCDEFGH e os pontos A(3, 5, 4), D(3, 5, 7) e E (3, 2, 4).
(a) Determine as coordenadas dos outros vértices;
(b) Determine as coordenadas do vetor 2−→AC −−−→DC em relação à base {−→AE ,−→AD ,−→AB};
(c) Determine as coordenadas do vetor −→AF em relação à base {−→AC ,−→AE ,−→AB};
(d) Determine as coordenadas do vetor −→AG em relação à base {−→DA,−→AF ,−→AB}.
EP 31. Assinale V se verdadeiro ou F se falso nos ítens a seguir, justificando devidamente suas respostas.
(a) Os vetores −→a = (1,−2, 0) e −→b = (2, 4, 0) são paralelos;
(b) Os vetores −→a = (1,−2, 0) e −→b = (−2, 4, 0) são paralelos;
(c) Não é possível escrever o vetor −→h = (4, 0,−1) como combinação linear dos vetores −→m = (−2, 1, 1) e
−→n = (0, 2, 1);
(d) Os vetores −→h = (4, 0,−1)−→m = (−2, 3, 1) e −→n = (0, 2, 1) têm representantes num mesmo plano;
(e) Os vetores (4, 0,−1), (−2, 1, 1) e (0, 2, 1) possuem representantes num mesmo plano:
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 7
(f) Os vetores −→w = (3, 2,−1) e −→f = (−3,−2, 1) são coplanares, por isso são LD;
(g) O vetor −→w = (3, 2,−1) tem módulo igual a 14;
(h) O ângulo entre os vetores −→u = (−2, 3, 3) e −→v = (1, 0,−1) é obtuso;
(i) O ângulo entre os vetores −→u = (−2, 3, 3) e −→v = (1, 0, 1) é obtuso;
(j) O triângulo ABC formado pelos pontos A(0, 1, 2), B(4, 2, 1) e C (2, 2, 5) é retângulo em B;
(k) O triângulo ABC formado pelos pontos A(0, 1, 4),B(4, 2, 1) e C (2, 2, 5) é retângulo em C ;
EP 32. Do cubo ao lado sabemos que: A(6, 4, 5),B(8, 4, 5),F (8, 2, 5) e −−→BC0 = (0, 0, 1). Determine, justifi-
cando suas respostas:
(a) As coordenadas dos vértices G e H :
(b) Determine as coordenadas do vetor −→AG em relação à base {−→DA,−→CH,−→EF};
(c) Os ângulos diretores do vetor −→AC ;
(d) As coordenadas de um vetor −→v que tenha a direção da bissetriz do ângulo HAˆE ;
EP 33. Sejam −→u = (1, 0,−2),−→v = (0, 1, 1),−→w = (−1, 1, 1) e −→a = (x
2
, 3y , 6). Faça o que se pede:
(a) Seja A(0, 2, 3), determine as coordenadas do ponto B,tal que −→AB = −2−→w ;
(b) Escreva, se possível, −→b = (−2, 1, 5) como combinação linear de −→u e −→v ;
(c) Verifique se o conjunto {−→u ,−→v ,−→w } é LI;
(d) Calcule os valores de x e y para que os vetores −→a e −−−→u + v sejam LD;
(e) Verifique se Os Vetores −→a = (−3, 0, 6) e −→u são LI ou LD;
(f) Calcule as coordenadas do vetor −→y = 4−→u −−→v + 2−→w ;
(g) Determine um vetor unitário −→x que tenha a mesma direção e o sentido oposto de −→u ;
(h) Determine as coordenadas de um vetor não nulo e ortogonal a −→v ;
(i) Um vetor −→h , onde −→h tenha a direção da bissetriz do ângulo (−→u ,−→w );
(j) Dados os ângulos diretores do vetor −→t : α = 45◦,β− obtuso e γ = 120◦, determine as coordenadas
do versor −→t0 .
Retas e Planos
Resumo
A equação (x , y , z) = (x0, y0, z0) + h(a, b, c), com h ∈ R é denominada equação vetorial da reta r . O
vetor −→v r = (a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r e h é denominado parâmetro. É fácil verificar que a
cada valor de h corresponde um ponto particular P : quando h varia de −∞ a +∞, o ponto P descreve a
reta r .
Considere um sistema de coordenadas cartesianas, P(x , y , z) e P0(x0, y0, z0) um ponto genérico e um
ponto dado, respectivamente, da reta r , e −→v r = (a, b, c) um vetor com a mesma direção de r . As equações
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 8


x = x0 + ah
y = y0 + bh
z = z0 + ch
, com h ∈ R, são denominadas equações paramétricas da reta r , em relação ao
sistema de coordenadas fixado. A reta r é o conjunto de todos os pontos (x , y , z) determinados pelas
equações paramétricas quando h varia de −∞ a +∞.
Suponha que abc 6= 0 nas equações paramétricas anteriores. Isolando o parâmetro h, obteremos
h =
x − x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
,
As equações x − x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
são denominadas equações simétricas, segmentárias ou nor-
mais de uma reta r que passa por um ponto P0(x0, y0, z0) e tem a direção do vetor −→v r = (a, b, c) e pode-
riam ser obtidas se observarmos o paralelismo existente entre os vetores −−→P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) e
−→v r = (a, b, c), abc 6= 0.
As equações reduzidas da reta na variável independente x ou, simplesmente, equações reduzidas da
reta na variável x é dada por
{
y = mx + n
z = px + q
. Além destas, podemos ter as equações reduzidas na
variável y e na variável z .
Podemos verificar que as equações reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N(0, n, q) e
tem a direção do vetor −→v = (1,m, p).
A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem a
direção do vetor −→v r = −→AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
Dada uma das equações da reta, podemos construí-la marcando-se dois dos seus pontos ou um dos
pontos e sua direção dada pelo vetor diretor.
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano π e −→n = (a, b, c) um vetor não nulo normal (orto-
gonal) ao plano. Definimos o plano π como sendo o conjunto de todos os pontos P(x , y , z) do espaço tais
que o vetor −→AP é ortogonal a −→n . O ponto P pertence a π se, e somente se,
−→n · −→AP = 0.
Tendo em vista que −→n = (a, b, c) e −→AP = (x − x1, y − y1, z − z1), então a equação fica:
0 = (a, b, c) · (x − x1, y − y1, z − z1)
= a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1)
= ax + by + cz − ax1 − by1 − cz1
Fazendo −ax1 − by1 − cz1 = d , teremos a equação geral ou cartesiana do plano π que é:
ax + by + cz + d = 0.
Da forma com a qual foi definida o plano π, vimos que ele fica perfeitamente identificado através de um
ponto A e por um vetor normal −→n = (a, b, c) a π, com a, b e c não simultaneamente nulos. Qualquervetor
k−→n , k 6= 0, é também vetor normal ao plano. Os coeficientes a, b e c da equação geral (??) representam
as componentes de um vetor normal ao plano e que este mesmo vetor é também normal a qualquer plano
α paralelo a π. O elemento que diferencia um plano paralelo de outro é o valor de d .
Sendo −→n um vetor ortogonal ao plano π, ele será ortogonal a qualquer vetor representado neste plano.
Em particular, se −→v 1 e −→v 2 estão em π e são linearmente independentes, tem-se:
−→n = −→v 1 ×−→v 2.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 9
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Assim, sempre
que formos determinar a equação de um plano devemos inicialmente nos preocupar em determinar se
estes dois elementos (ponto e vetor normal) estão evidentes.
Um outro modo de se obter a equação geral de um plano que passa por um ponto A e é paralelo aos
vetores linearmente independentes −→u e −→v é tomar P(x , y , z) um representante qualquer do plano e, como
os vetores
−→
AP , −→u e −→v são coplanares, o produto misto deles é nulo, isto é
0 = (
−→
AP ,−→u ,−→v )
Seja A(x0, y0, z0) um ponto de um plano π e −→v 1 = (a1, b1, c1) e −→v 2 = (a2, b2, c2) dois vetores não
paralelos. Um ponto P(x , y , z) pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores −→v 1 e −→v 2 se,
e somente se, existem números reais h e t tais que
−→
AP = h · −→v 1 + t · −→v 2
Escrevendo a equação em coordenadas, obtemos
(x − x0, y − y0, z − z0) = h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)
donde 

x = x0 + a1h + a2t
y = y0 + b1h + b2t
z = z0 + c1h+ c2t
(1)
Estas são as equações paramétricas do plano. Quando h e t, denominados parâmetros, variam de −∞ a
+∞, o ponto P percorre o plano π.
Dada a equação geral do plano, podemos construí-lo determinando os pontos de interseção com os
eixos coordenados da seguinte forma: Seja π : ax + by + cz + d = 0 um plano tal que a, b e c sejam não
nulos, então este plano intersecta os eixos coordenados nos pontosÅ
−d
a
, 0, 0
ã
;
Å
0,−d
b
, 0
ã
;
Å
0, 0,−d
c
ã
.
A equação geral do plano na qual a, b e c não são todos nulos, é a equação de um plano π , sendo
−→n = (a, b, c) um vetor normal a π. Quando uma ou duas das componentes de −→n são nulas, ou quando
d = 0, está-se em presença de casos particulares.
• Se o plano ax + by + cz + d = 0 passa pela origem, então A(0, 0, 0) é um ponto do plano. Logo
a · 0 + b · 0+ c · 0+ d = 0, isto é, d = 0. Assim, a equação ax + by + cz = 0 representa a equação de
um plano que passa pela origem e −→n = (a, b, c) é um vetor normal ao plano.
• Se apenas uma das componentes do vetor −→n = (a, b, c) é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos
coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo:
– se a = 0,−→n = (0, b, c) ⊥ Ox ∴ π//Ox e a equação geral dos planos paralelos ao eixo Ox é:
by + cz + d = 0;
– se b = 0,−→n = (a, 0, c) ⊥ Oy ∴ π//Oy e a equação geral dos planos paralelos ao eixo Oy é:
ax + cz + d = 0;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 10
– se c = 0,−→n = (a, b, 0) ⊥ Oz ∴ π//Oz e a equação geral dos planos paralelos ao eixo Oz é:
ax + by + d = 0.
Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica
que o plano é paralelo ao eixo desta variável.
Cuidado! A equação ax + by + d = 0, representa, no espaço R3 um plano paralelo ao eixo Oz .
Porém, esta mesma equação, interpretada no plano R2, representa uma reta. Se na equação
ax + by + d = 0 tivermos d = 0, a equação ax + by = 0 representa um plano que passa pela
origem e, portanto, contém o eixo Oz .
• Se duas das componentes do vetor normal −→n = (a, b, c) são nulas, é colinear a um dos vetores −→i
ou
−→
j ou
−→
k , e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores.
– se a = b = 0,−→n = (0, 0, c) = c(0, 0, 1) = c−→k ∴ π//xOy e a equação geral dos planos paralelos
ao plano xOy é cz + d = 0. Como c 6= 0, vem z = −d
c
, ou seja, as equações são da forma
z = k .
– se a = c = 0,−→n = (0, b, 0) = b(0, 1, 0) = c−→j ∴ π//xOz e a equação geral dos planos paralelos
ao plano xOz é by + d = 0. Como b 6= 0, vem y = −d
b
, ou seja, as equações são da forma
y = k .
– se b = c = 0,−→n = (a, 0, 0) = a(1, 0, 0) = a−→i ∴ π//yOz e a equação geral dos planos paralelos
ao plano yOz é ax + d = 0. Como a 6= 0, vem x = −d
a
, ou seja, as equações são da forma
x = k .
Os planos coordenados são os planos particulares destes e suas equações são x = 0, y = 0 e
z = 0.
A equação x = k , k ∈ R, pode representar: um ponto se o universo for a reta R; uma reta se o
universo for o plano R2; um plano se o universo for o espaço R3.
Atividades
EP 34. Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir:
(a) r passa pelo ponto P(−2,−1, 3) e tem a direção do vetor −→u = (2, 1, 1);
(b) r passa pelos pontos A(1, 3,−1) e B(0, 2, 3).
EP 35. Verifique, em cada um dos ítens abaixo, se o ponto P pertence à reta r :
(a) P(−2, 1, 1) e r : (x , y , z) = (1, 0, 0) + t(−1, 2, 1), t ∈ R;
(b) P(2,−1,−7) e r : x = 1− t, y = 2 + 3t e z = −5 + 2t, t ∈ R;
(c) P
Å
1,
1
2
, 3
ã
e r : x − 1 = 2y − 4 = z
3
.
EP 36. Escreva uma equação do plano α nos casos a seguir:
(a) α passa pelos pontos A(1, 0, 2) e B(2,−1, 3) e é paralelo ao vetor −→v = (0, 1, 2);
(b) α passa pelos pontos A(3, 1,−1) e B(1, 0, 1) e é paralelo ao vetor −−→CD, sendo C (1, 2, 1) e D(0, 1, 0);
(c) α passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C (2, 1, 3).
EP 37. Verifique em cada um dos ítens abaixo se o ponto P dado pertence ao plano π.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 11
(a) P(1,−1, 0), π : (x , y , z) = (2, 1, 3) + h(1, 0, 1) + t(0, 1, 0), t, h ∈ R;
(b) P(2, 1, 3), π : x + y − 2z + 3 = 0;
(c) P(3, 2, 2), π : x = 1− h − t, y = 2− h − t, z = 1− h, t, h ∈ R.
EP 38. Determine uma equação do plano π sabendo que o ponto P(2, 2, 1) deste plano é o pé da
perpendicular traçada do ponto Q(5, 4,−5).
EP 39. Determine um vetor normal ao plano:
(a) determinado pelos pontos P(−1, 0, 0), Q(0, 1, 0) e R(0, 0, 1);
(b) α : 2x − y + 1 = 0;
(c) que passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(2, 2, 1) e é paralelo ao vetor −→v = (1,−1, 3);
(d) α : x = 1 + t + h, y = 1− t + 2h, z = h, h, t ∈ R.
EP 40. Determine as equações dos planos coordenados na forma geral.
EP 41.
(a) Verifique se P(2, 3, 1) pertence a r :
®
2x + y + 2z = 1
−x + y + 3z + 4 = 0
(b) Escreva uma equação da reta r que passa pelo ponto P(1, 1, 1) e tem a direção de um vetor normal
ao plano α : x = 1 + 2t, y = 2− t + 3h, z = t + h, com h, t ∈ R.
EP 42. Determine a equação geral do plano β paralelo ao plano α : x = 1+ h+2t, y = 2+ 2h+ t, z = 3t,
com h, t ∈ R e que
(a) passa pelo ponto P(3, 2, 0);
(b) passa pela origem do sistema de coordenadas.
EP 43. Determine uma equação do plano π
(a) que contém o eixo OX e passa pelo ponto P(5,−2, 1);
(b) que passa pelo ponto P(3, 1, 2) e é perpendicular à reta r : (x , y , z) = (1, 0, 1) + h(1,−3, 2).
EP 44. Verifique se as retas r e s nos casos a seguir são coplanares:
(a) r :
®
x − 2y + z = 0
3x + y − z = −1 e (x , y , z) = (1, 0, 1) + h(3,−1, 1), h ∈ R;
(b) r : x − 1
2
= y + 2 =
z − 2
3
e s : (x , y , z) = (1,−2, 2) + h(0, 1, 3), h ∈ R;
(c) r : x = 1 + h, y = 2− 3h, z = h; h ∈ R e s : x − 4
2
=
2− y
6
=
z − 2
2
.
EP 45. Determine o valor de a para que as retas r e s sejam concorrentes e ache o ponto de interseção,
sendo:
r :
x
2
= −y
3
=
z
a
e s :


x = 3h− 1
y = 2h− 5, h ∈ R
z = h
EP 46. Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a
seguir:
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 12
(a) r : (x , y , z) = (1, 2, 0) + h(−1, 2, 3), h ∈ R, e s : x − 1
2
=
y − 2
3
= −z
(b) r : (x , y , z) = (−1, 2, 1) + h(1, 2,−1), h ∈ R, e s : (x , y , z) = (2, 5,−2) + t(−2, 4,−2), t ∈ R(c) (x , y , z) = (−1, 2, 1) + h(1, 2,−1), h ∈ R, e s : x = 2t, y = 3, z = 1 + 4t, t ∈ R.
EP 47. Sejam α : 2x + By + z + 1 = 0, β : x + y + z
2
+D = 0, r : x − 1 = −y + 2
3
=
z
4
e s : x = 1+ h, y =
h, z = A. Determine, se possível:
(a) B, tal que α e β sejam paralelos.
(b) B, tal que α e β sejam perpendiculares.
(c) D, tal que β ⊃ r .
(d) A, tal que r e s sejam coplanares.
EP 48. Considere os pontos P(4, a, 4) e Q(0, 3b + 8, b), as retas r : x − 1 = 2− y
3
= z e s : (x , y , z) =
Q+t(1, 0, 2), t ∈ R e os planos π1 : mx−2y+(m+3)z−1 = 0 e π2 : (x , y , z) = t(1,−3, 1)+h(2,−3, 1), h, t ∈ R.
Determine, se possível:
(a) a, de modo que a reta paralela à reta s que passa pelo ponto P seja reversa com a reta r .
(b) b e m, de modo que a reta s seja paralela ao plano π1.
(c) m, de modo que os planos π1 e π2 sejam concorrentes segundo a reta r .
EP 49.
(a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao
plano π : 3x − 2y + z − 2 = 0 e intercepta a reta r : x − 1 = y + 2
3
= z .
(b) Ache uma equação do plano α que passa pelo ponto P(2, 1, 3), é paralelo à reta r : (x , y , z) =
(1, 2, 3) + h(1, 2,−1), h ∈ R, e é perpendicular ao plano π : x − y + 2z − 4 = 0.
EP 50. Considere as retas r e t, tais que:
(i) r passa pelo ponto P(3, 1,−1) e é paralela à reta s :
®
x − y + 3z − 5 = 0
3x + 2y − z + 2 = 0 ;
(ii) t passa pela origem do sistema de coordenadas e seu vetor diretor tem ângulos diretores iguais.
Determine:
(a) as equações simétricas de r ;
(b) as equações paramétricas de t.
EP 51. Dado o plano π : (x , y , z) = (0, 0, 1) + h(1,−1,−1) + t(−1,−2,−4), h, t ∈ R e a reta AB, sendo
A(0, 0, 0) e B(1, 1, 1), determine uma equação do plano α que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano
π e é paralelo ao plano β : x − 3 = 0.
EP 52.
(a) Determine o simétrico de P(2, 1, 3) em relação:
(i) ao ponto Q(3,−1, 1).
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 13
(ii) à reta x = 1− 2t, y = t, z = 2 + t, t ∈ R;
(iii) ao plano 2x − 2y + 3z = 2.
(b) Encontre uma equação da reta s simétrica da reta s ′ : x − 2 = y − 1 = z − 3, em relação ao plano do
item a(iii).
EP 53. Determine o ângulo entre as retas r : x − 1
2
= y = −z e s : (x , y , z) = (1, 0, 0) + h(2, 1,−1), h ∈ R.
EP 54. Determine o ângulo da reta r : x = −y = z com o plano α nos casos a seguir:
(a) α : 2x − y − z − 1 = 0; (b) α : x = 1+ 2h − t, y = h + t, z = 4− 2t, t, h ∈ R;
EP 55. Determine o ângulo dos planos:
(a) α : x + y − 2z = 0 e β : −2x + y + 3z − 2 = 0;
(b) α : x = 2− h, y = 1 + 2t, z = 2h− 3t, h, t ∈ R e β : −2x + y + 3z − 2 = 0;
EP 56. Determine uma equação da reta s que passa por P(1, 0, 1) e intercepta a reta r : x = y = z + 1,
formando um ângulo de π
3
rd .
EP 57. Determine uma equação do plano α que passa pelo ponto P(2, 1, 1), é perpendicular ao plano
coordenado yz e (α,β) = arccos
Å
2
3
ã
rd , sendo o plano β : 2x − y + 2z + 3 = 0.
EP 58. Considere o plano α determinado pelo ponto P(1, 2, 0) e pela reta r : x − 1
2
= y =
z − 4
3
. Calcule
o ângulo que α forma com a reta s :
®
x − 2y = 1
x + 4z = 0
EP 59. Calcule a distância entre:
(a) o ponto P(0, 0, 2) e a reta r :
®
x = z + 1
y = 2z − 2
(b) o plano π : (x , y , z) = (1, 2,−1) + h(3, 2,−1) + t(1, 1, 0), h, t ∈ R e o ponto P(2, 1,−3).
(c) as retas r : x − 1
2
= 2− y = z − 3 e s : x − 2 = 5z , y = z − 1.
(d) as retas r : (x , y , z) = (1, 0, 0) + h(−2, 4, 2), h ∈ R e s : 4− 4x = y − 1 = z − 2.
(e) a reta r : x = −y = z e o plano π : 2x − y − z − 1 = 0.
EP 60.
(a) Escreva as equações dos planos β e γ paralelos ao plano α : 2x−2y−z = 3 distando dele 5 unidades.
(b) Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de:
(i) A(1,−4, 2) e B(7, 1,−5)
(ii) A(1, 2, 1), B(1, 4, 3) e C (3, 2, 1).
(c) Dados os pontos A(2, 1, 3), B(4,−1, 1) e o plano α : 2x − y + 2z − 3 = 0, determine uma equação da
reta r contida em α, tal que todo ponto de r é eqüidistante dos pontos A e B.
EP 61. De um triângulo ABC temos as seguintes informações:
(i) A(1, 2,−3);
(ii) B e C são pontos da reta r : x = 1 + t, y = t, z = 1− t,T ∈ R;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 14
Determine a altura do triângulo ABC relativa à base BC .
EP 62. Considere α : 2x + 3y − z + 1 = 0, P(1,−4, 5) e s : x = y + 1, z = 3. Determine, justificando:
(a) d(P , s);
(b) d(P ,α);
(c) uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P ,m) = 0 (ii) d(m, s) = 0 (iii) d(m,α) = d(P ,α).
EP 63. Da figura sabemos que:
1. os planos α e π : x − z = 0 são perpendiculares.
2. A(0, 2,−1) e B(−1, 3− 1).
3. C e D são pontos de π.
Determine:
D
A
B
C
π
α
E
r
(a) Uma equação do plano α.
(b) As equações paramétricas da reta r interseção dos planos α e π.
(c) Uma equação do plano β que passa por A e é paralelo a π.
(d) A altura do tetraedro ABCD relativa à base BCD.
(e) As coordenadas do ponto E , sabendo que o triângulo ABE é equilátero e r contém a altura deste
triângulo relativa ao vértice B.
EP 64. Do paralelepípedo dado a seguir sabe-se que:
(i) O plano ABC : x + y − z + 6 = 0 e a reta DG : (x , y , z) = t(1, 2,−3), t ∈ R.
(ii) O plano ABF é perpendicular ao plano ABC e F (0, 2, 0).
Determine:
(a) As equações simétricas da reta AF .
(b) As equações paramétricas do plano ABF .
(c) As coordenadas do ponto D.
(d) Uma equação geral do plano EFG .
A B
C
D
E F
GH
EP 65. Ache o volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 5x − 2y + 4z = 20.
EP 66. Escreva as equações de uma reta t paralela aos planos α : 2x+y−z+1 = 0 e β : x+3y+2z−2 = 0
e concorrente com as retas r : (x , y , z) = (1, 2, 1)+h(1, 0, 2), h ∈ R e s : (x , y , z) = (2, 3,−2)+λ(1,−2, 3),λ ∈
R.
EP 67. Seja r a reta interseção dos planos α : ax + by + cz + d = 0 e β : a1x + b1y + c1z + d1 = 0. Mostre
que a equação ax + by + cz + d + t(a1x + b1y + c1z + d1) = 0, t ∈ R, representa a família dos planos que
contém a reta r , com exceção do plano β. Esta família é chamada de feixe de planos de eixo r .
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 15
EP 68. Seja r a reta interseção dos planos α : x + y + z − 11 = 0 e β : x − 4y + 5z − 10 = 0. Determine a
equação do plano que contém a reta r e:
(a) passa pelo ponto A(3, 1, 4).
(b) é paralelo ao plano 9x − 21y + 33z + 1 = 0.
(c) dista 3 unidades da origem do sistema de coordenadas.
(d) é perpendicular a α.
(e) é paralelo à reta x = −y
2
= −z .
(f) é paralelo ao eixo Ox .
Translação
Resumo
Transladar um eixo é deslocá-lo ou movimentá-lo paralelamente à posição inicial. Observa-se-á que
ao transladarmos os eixos coordenados de um plano cartesiano, com origem em O, estamos criando um
novo sistema de coordenadas, com origem em O ′.
Se os eixos coordenados são transladados para uma nova origem O ′(h, k) e se as coordenadas de
qualquer ponto P do plano, antes e depois da translação de eixos são (x , y) e (x ′, y ′), respectivamente,
então as equações de translação de coordenadas são dadas por:{
x = x ′ + h
y = y ′ + k .
O complemento de quadrado consiste em obter, a partir do binômio x2+bx , o trinômio quadrado perfeitoÅ
x +
b
2
ã2
ao se adicionar o termo
Å
b
2
ã2
ao binômio.
x2 + bx +
Å
b
2
ã2
= x2 + 2
b
2
x +
Å
b
2
ã2
=
Å
x +
b
2
ã2
.
Observe que este método é empregado em um binômio ax2 + bx , onde a = 1. Se a 6= 1 devemos isolar o
coeficiente a antes de utilizar o método.
Atividades
EP 69. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova
origem indicada.
(a) x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0, O ′(−1; 3);
(b) xy − 3x + 4y − 13 = 0, O ′(−4; 3);
(c) x2 − 4x + y2 − 6y − 12 = 0, O ′(1; 1);
(d) 4x2 − y2 − 24x + 4y + 28 = 0, O ′(3; 2);
(e) x3 − 3x2 − y2 + 3x + 4y = 5, O ′(1; 2).
EP 70. Usando uma translaçãode eixos coordenados,
(a) simplifique a equação x2+y2+6x−2y+6 = 0 indicando qual a nova origem e quais são as equações
de transformação;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 16
(b) utilizando a translação do ítem anterior, determine as coordenadas do ponto Pxy (1;−2) em relação
ao sistema x ′O ′y ′ e as coordenadas de Qx′y ′(2; 1) no sistema xOy .
EP 71. Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que
levam à forma reduzida as seguintes equações:
(a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0; (b) x2 + y2 + 6x − 8y = 0; (c) x2 + y2 + 2x − 8y + 16 = 0.
EP 72. Para cada item, converta os pontos como se pede, usando a translação indicada pela nova origem
O ′.
(a) P(2; 3) xy para x ′y ′, com O ′(−1; 5);
(b) Q(4;−2) x ′y ′ para xy , com O ′(2;−3);
(c) R(1; 0) xy para x ′y ′, com O ′(0; 4);
(d) S(0;−4) x ′y ′ para xy , com O ′(−2; 0).
EP 73. Em cada um dos ítens, por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação dada
em outra desprovida de termos do 1◦ grau, se possível:
(a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0;
(b) x2 + y2 + 6x − 8y = 0;
(c) 3x2 + 2y2 + 18x − 8y + 29 = 0;
(d) y2 − 4x + 2y + 1 = 0;
(e) x2 − 4y2 − 4x − 24y − 36 = 0.
EP 74. Complete os quadrados das seguintes expressões:
(a) y2 + 8y − x2 − 2x = −11; (b) 4y2 + 18y + 9x2 − 24x = −9; (c) −3x2 − y2 + 3x + 4y = 5.
Rotação
Resumo
Rotacionar um eixo consiste em girar o eixo tomando como base para esse deslocamento radial um
ponto fixo. O sentido anti-horário da rotação é convencionado como o positivo. Ao se rotacionar os eixos
coordenados xOy , fixando-se a origem O, estamos criando um novo sistema de coordenadas x ′Oy ′, com
origem em O.
Se girarmos os eixos coordenados de um ângulo θ, fixando-se a origem O, e se as coordenadas de
qualquer ponto P do plano antes e depois da rotação de eixos são (x , y) e (x ′, y ′), respectivamente, então
as equações de rotação são dadas por:{
x = x ′ cos θ − y ′ sen θ
y = x ′ sen θ + y ′ cos θ.
Na forma matricial, temos: [
x
y
]
=
[
cos(θ) − sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
·
[
x ′
y ′
]
.
Com estas equações podemos obter, a partir de uma equação geral de grau dois ax2 + bxy + cy2 +
dx + ey + f = 0, o ângulo de rotação dos eixos coordenados de modo a obter uma equação desprovida do
termo xy , ou seja, a′x ′2 + c ′y ′2 + d ′x ′ + e ′y ′ + f ′ = 0, onde a inexistência do termo de segundo grau x ′y ′
se deve as equações de rotação dos eixos coordenados por um ângulo agudo θ, positivo, tal que
tg(2θ) =
b
a − c , se a 6= c , e θ =
π
4
, se a = c .
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 17
Atividades
EP 75. Por uma rotação dos eixos, seguida do ângulo indicado, transforme cada uma das equações.
(a) xy2 − 18 = 0, θ = π
4
rad; (b) 2x + 5y = 3, θ = arctg
Å
5
2
ã
;
EP 76. Por uma rotação dos eixos coordenados transforme cada uma das equações dadas em outra
desprovida do termo indicado.
(a) x2 − 2xy + y2 = 4, x ′y ′; (b) x + 2y = 2, y ′;
EP 77. Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação.
(a) 4x2 + y2 + 8x − 10y + 13 = 0
(b) 3x2 − 2xy + 3y2 + 2√2x − 6√2y + 2 = 0
(c) 4x2 − 5y2 + 12x + 40y + 29 = 0
(d) 13x2 + 6xy + 21y2 + 34x − 114y + 73 = 0
(e) x2 − 6x − 5y + 14 = 0
(f) 4x2 − 12xy + 9y2 − 8√13x = 14√13y − 117
(g) 4x2 − 3y2 + 24x − 12y + 17 = 0
(h) 6x2 − 4xy + 9y2 − 20x − 10y − 5 = 0
(i) 12x2 + 8xy − 3y2 + 64x + 30y = 0
(j) 2x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y + 14 = 0
(k) y2 − 4x + 10y + 13 = 0
(l) 2x2 − 12xy + 7y2 − 4x − 8y + 14 = 0
(m) 7x2 + 6xy − y2 − 2x − 10y − 9 = 0
(n) 25x2 + 20xy + 4y2 + 30x + 12y − 20 = 0
Parábola
Resumo
O lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo (F ) e de uma reta fixa (ℓ)
ambos no referido plano.
Os elementos são: o foco F (ponto fixo); a diretriz ℓ (reta fixa); o eixo focal EF (reta perpendicular à
diretriz que passa pelo foco); o vértice V (intersecção da parábola com o eixo focal); a corda: Segmento
que liga dois pontos quaisquer da parábola; a corda focal (corda que passa pelo foco); o latus rectum LR
(corda focal perpendicular ao eixo focal); o raio focal de um ponto P sobre a parábola (segmento PF ).
Os raios emitidos a partir do foco atingem a parábola e são refletidos paralelamente ao eixo focal e os
que incidem paralelamente ao eixo focal refletem no foco.
Seja P(x , y) um ponto arbitrário de uma parábola com vértice V (0, 0) e F (p, 0) (observe aqui que o
comprimento do segmento VF é p, a distância do vértice à diretriz ℓ : x = −p é p e o eixo focal coincide
com o eixo das abscissas). Pela definição, d(P ,F ) = d(P , ℓ). Assim, (x − p)2 + (y − 0)2 = |x + p|√
02 + 12
,
cuja forma mais simples é x2 = 4py . Da mesma forma podemos encontrar as equações das parábola com
vértice V (0, 0) e F (−p, 0), com vértice V (0, 0) e F (0, p) e com vértice V (0, 0) e F (0,−p), cujas respectivas
equações são x2 = −4py , y2 = 4px e y2 = 4px .
A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características da parábola quando o eixo de
simetria é paralelo a um dos eixos coordenados.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 18
x
y
F (−p,0) V
P
Ä
− y24p ,y
ä ℓ:x=p
y2 = −4px
x
y
F (p,0)V
P
Ä
y2
4p ,y
äℓ:x=−p
y2 = 4px
x
y
F (0,−p)
V
P
(
x,− x24p
)
ℓ:y=p
x2 = −4py
x
y
F (0,p)
V
P
(
x, x
2
4p
)
ℓ:y=−p
x2 = 4py
Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da parábola com vértice V (h, k) fora da origem do
sistema xOy e cujo eixo de simetria é paralelo a um dos eixos coordenados. Para isso, basta transladarmos
o sistema xOy para uma nova origem coincidindo com o vértice V , obtendo-se um novo sistema x ′O ′y ′.
Assim, as equações destas parábolas se restringirão a um dos casos a seguir:
x ′2 = ±4py ′ ou y ′2 = ±4px ′ .
Porém, pelas equações de translação (??) temos que{
x ′ = x − h
y ′ = y − k .
Logo,
(x − h)2 = ±4p(y − k) ou (y − k)2 = ±4p(x − h) . (2)
Quando o eixo de simetria da parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a equação se
enquadrará na forma geral da equação do 2◦ grau a duas incógnitas
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
e, por uma rotação dos eixos coordenados, podemos reduzi-la a
a′x2 + c ′y2 + d ′x + e ′y + f ′ = 0
que pode facilmente ser identificada se transformada na forma padrão.
Atividades
EP 78. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
P(−2; 3) é igual à sua distância à reta r : x + 6 = 0. Em seguida a equação desse lugar geométrico.
EP 79. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da parábola a partir dos elementos
dados:
(a) um ponto da diretriz (4; 7), vértice na origem e o eixo de simetria Ox ;
(b) vértice V (3; 2), eixo focal paralelo a Oy e o ponto L(7; 0) é uma das extremidades do latus rectum;
(c) diretriz ℓ : x − 1 = 0, eixo focal EF : y + 2 = 0 e o ponto L(−3; 2) uma das extremidades do seu latus
rectum;
(d) diretriz ℓ : y = 4 e os pontos L(−8;−2) e R(4;−2) são as extremidades do latus rectum;
(e) vértice V (1; 2), eixo focal paralelo a Ox e P(−7;−6) é ponto do seu gráfico;
(f) vértice V (−1; 3), eixo focal paralelo a Oy e P(3;−1) é um ponto da parábola;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 19
(g) eixo focal EF : y − 5 = 0, diretriz ℓ : x − 3 = 0 e vértice sobre a reta r : y = 2x + 3;
(h) eixo focal EF : x = −4, diretriz ℓ : y = 3 e foco sobre a reta r : y = −x − 5;
EP 80. Determine as coordenadas do vértice, do foco, as equações da diretriz e do eixo focal de cada
uma das seguintes parábolas:
(a) (x − 2)2 = −4(y + 1);
(b) y2 − 2x − 6y + 1 = 0;
(c) 4x2 + 4x − 32y + 33 = 0;
(d) y2 + x − 4y + 5 = 0;
(e) y2 − 8x − 2y − 23 = 0;
(f) 4x2 − 48y − 20x − 71 = 0.
EP 81. Determinar as coordenadas dos pontos que são as extremidades do Latus Rectum da parábola
que tem como diretriz a reta y − 3 = 0 e foco no ponto F(1; 1).
EP 82. Usando a definição, determine a equação geral da
parábola da figura, sabendo-se que:
⋄ F (2, 2) é o seu foco;
⋄ V (1, 1) é o seu vértice;
⋄ A reta de equação d : y = −x é a sua diretriz.
Observação: A fórmula da distância entre um ponto P(x0, y0) e
uma reta r : ax + by + c = 0 é
d(P , r) =
|ax0 + by0 + c |√
a2 + b2
F
V
x
y
EF
d
Elipse
Resumo
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é
constante e maior que a distância entre esses pontos fixos.
Segue desta definição que dados dois pontos fixos F1 e F2 pertencentes a um plano π, um ponto P
deste plano pertence a elipse E se, e somente se, E = {P ∈ π; d(P ,F1) + d(P ,F2) = K ,K > d(F1,F2)}.
Como elementos de uma elipse temos:
† Os focos F1 e F2: os pontos fixos;
† O eixo focal EF : reta que passa pelos focos;
† O centro O: Ponto médio de F1F2;
† O eixo normal EN : Reta perpendicular ao eixo focal
passando pelo centro;
EF ≡ x
EN ≡ y
F1F2 A1A2
B1
B2
O
P(x,y)
ℓ1ℓ2
A
B
C
† Os vértices A1 e A2: pontos de intersecção da elipse com o eixo focal;
† Os vértices B1 e B2: pontos de intersecção da elipse com o eixo normal;
† Eixo maior EM : segmento de reta que une os vértices A1 e A2 (A1A2);
† Eixo menor Em: segmento de reta que une os vértices B1 e B2 (B1B2);
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 20
† A corda: segmento de reta arbitrário cujas extremidades são dois pontos distintos da elipse, por exemplo
AC ;
† A corda focal: uma corda que passa pelo foco;
† O lactus rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal (ℓ1 e ℓ2);
† O raio focal: segmento de reta de extremos em um dos focos e num ponto da elipse.
Seja E uma elipse cujo comprimento do eixo maior A1A2, do eixo menor B1B2 e do segmento de
extremos em cada um de seus focos F1 e F2 são, respectivamente, 2a, 2b e 2c . Então{
|PF1|+ |PF2| = 2a
a2 = b2 + c2.
,P ∈ E .
Sejam P(x , y) um ponto qualquer da elipse de centro na origem dos eixos coordenados e cujo eixo
focal coincide com o eixo das abscissas. Uma vez que o centro é o ponto médio de F1F2, então F1(c , 0) e
F2(−c , 0), c > 0, de acordo com a figura anterior. Por definição, temos que |F1P | + |F2P | = 2a, a > c > 0.
Desenvolvendo-se esta igualdade, obtemos:
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
a equação reduzida da elipse para este caso.
De forma análoga, podemos obter
x2
b2
+
y2
a2
= 1,
a equação reduzida da elipse com centro na origem e focos sobre o eixo das ordenadas.
Da análise destas deduções, temos os comprimentos do
• eixo maior: |EM | = 2a; • eixo menor: |Em| = 2b; • latus rectum: |LR | = 2b
2
a
.
A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características da elipse quando o eixo focal é
paralelo a um dos eixos coordenados.
x
y
O
a
b
c
x2
a2
+
y2
b2
= 1
x
y
O
a
b
c
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Chamamos de excentricidade (e) da elipse a razão entre os comprimentos do segmento F1F2 e do
segmento A1A2. Neste caso, temos que e =
c
a
< 1.
Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da elipse com centro O ′(h, k) fora da origem do
sistema Oxy e cujo eixo focal é paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso basta transladarmos o
sistema Oxy para uma nova origem coincidindo com o centro O ′, obtendo-se um novo sistema O ′x ′y ′.
Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir:
x ′2
a2
+
y ′2
b2
= 1 ou
x ′2
b2
+
y ′2
a2
= 1
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 21
Pelas equações de translação, temos que{
x ′ = x − h
y ′ = y − k .
Logo,
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1 ou
(x − h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos P(x , y) de um plano π que equidistam de um ponto
fixo O(x0, y0) deste plano, ou seja, d(P ,O) = r ,P ,O ∈ π. Segue que,
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r . Portanto,
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2,
a equação reduzida da circunferência.
Como elementos de uma circunferência temos:
x
y
O
A
A′
B
x2 + y2 = r2
• O centro O(x0, y0);
• O raio r : Segmento de reta cujos extremos são o centro O e um ponto
arbitrário da circunferência;
• A corda: Segmento de reta obtido pela união de dois pontos quais-
quer da circunferência;
• O diâmetro (2r ): Corda que passa pelo centro.
Ao desenvolvermos a equação reduzida em (??) obtemos a equação geral da circunferência
x2 + y2 − 2x0x − 2y0y + x20 + y20 − r2 = 0.
Atividades
EP 83. Um ponto P(x ; y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos A(3; 1) e
B(−5; 1) é 10. Diga a natureza da curva descrita por P e em seguida determine sua equação padrão.
EP 84. Um ponto P(x ; y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos A(3; 2) e B(3; 6)
é 8. Diga a natureza da curva descrita pelo ponto P e em seguida determine a sua equação padrão.
EP 85. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da elipse, a partir dos elementos
dados:
(a) focos F1(3; 8) e F2(3; 2), e comprimento do eixo maior 10;
(b) vértices A1(5;−1) e A2(−3;−1) extremidades do eixo maior, e excentricidade e = 3
4
;
(c) centro C (1; 2), um dos focos em F (6; 2) e P(4; 6) é ponto do seu gráfico;
(d) eixo focal paralelo ao eixo Ox , um dos focos no ponto F (−4; 3) e uma das extremidades do eixo
menor no ponto B(0; 0).
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 22
EP 86. De acordo com os conhecimentos sobre elipse, deter-
mine as coordenadas dos focos e a equação padrão da cônica
da figura ao lado. Obtenha também as equações de transforma-
ção e a nova origem da translação que levam a equação desta
curva à forma reduzida. x
y
x
y ′
4
4
−2
EP 87. Sabendo que P(7, 5) é um ponto da elipse cujo os extremos do eixo maior coincidem com os
extremos do latus rectum da parábola y2 + 10x − 10y − 30 = 0, determine sua equação geral.
EP 88. Usando a definição, determine a equação geral da
elipse da figura, sabendo-se que:
⋄ F1(9, 9) e F2(2, 2) são focos;
⋄ A1(10, 10) e A2(1, 1) são vértices sobre o eixo maior;
F1
F2
A1
A2
10
10
x
y
Hipérbole
Resumo
Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferença das distâncias
a dois pontos fixos é constante e menor que a distância entre esses pontos fixos. Observa-se que a
hipérbole é uma curva constituída de dois ramos distintos.
Segue da definição que dados dois pontos fixos F1 e F2 pertencentes a um plano π, um ponto P deste
plano pertence a uma hipérbole H se, e somente se,
H = {P ∈ π; |d(P ,F1)− d(P ,F2)| = K ,K < d(F1,F2)}.
Como elementos da hipérbole temos:
† Os focos F1 e F2: os pontos fixos;
† O eixo focal EF : reta que passa pelos focos;
† O centro C : Ponto médio de F1F2;
† O eixo normal EN : Reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro;
† Os vértices A1 e A2: pontos de intersecção da hipérbole com o eixo focal;
† Eixo real ou transverso ET : segmento de reta que une os vértices A1 e A2 (A1A2);
† Os vértices B1 e B2: ;
† Eixo imaginário ou conjugado EC : segmento de reta que une os vértices B1 e B2 (B1B2) e tendo o
centro como ponto médio;
† A corda: segmento de reta arbitrário cujas extremidades são dois pontos distintos da hipérbole que
podem estar no mesmo ramo ou em ramos distintos, por exemplo ST ;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 23
† A corda focal: uma corda que passa pelo foco, por exemplo QT ;
† O lactus rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal (ℓ1 e ℓ2);
† O raio focal: segmento de reta de extremos em um dos focos e num ponto da hipérbole, por exemplo
(F2T ).
Seja H uma hipérbole cujo os comprimentos do eixo transverso A1A2, do eixo conjugado B1B2 e do
segmento de extremos em cada um de seus focos F1 e F2 são, respectivamente, 2a, 2b e 2c. Então,
c2 = a2 + b2.
Considere a hipérbole H da definição. Então ||PF1| − |PF2|| = 2a.
Seja P(x , y) um ponto qualquer da hipérbole de centro na origem dos eixos coordenados e cujo eixo
focal coincide com o eixo das abscissas. Uma vez que o centro é o ponto médio de F1F2, então F1(c , 0) e
F2(−c , 0), c > 0. Por definição, temos que:
||F1P | − |F2P || = 2a, c > a > 0.
Desenvolvendo a igualdade acima obtemos
x2
a2
− y
2
b2
= 1, (3)
a equação reduzida da hipérbole para este caso.
De forma análoga, podemos obter a equação reduzida da hipérbole
y2
a2
− x
2
b2
= 1. (4)
com centro na origem e focos sobre o eixo das ordenadas.
Da análise destas deduções, temos
1. Comprimento do eixo transverso: |ET | = 2a;
2. Comprimento do eixo conjugado: |EC | = 2b;
3. Comprimento do latus rectum: |LR | = 2b
2
a
.
A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características da hipérbole quando o eixo focal
é paralelo a um dos eixos coordenados.
EF
EN
a
b
c
x2
a2
− y
2
b2
= 1
EN
EF
b
a
c
y2
a2
− x
2
b2
= 1
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 24
Definimos a excentricidade ‘e ′ da hipérbole a razão entre os comprimentos dos segmentos F1F2 e A1A2.
Neste caso, temos e = c
a
> 1.
Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da hipérbole com centro O ′(h, k) fora da origem do
sistema Oxy e cujo eixo focal é paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso basta transladarmos o
sistema Oxy para uma nova origem coincidindo com o centro O ′, obtendo-se um novo sistema O ′x ′y ′.
Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir:
x ′2
a2
− y
′2
b2
= 1 ou
y ′2
a2
+
x ′2
b2
= 1.
Porém, pelas equações de translação, temos que{
x ′ = x − h
y ′ = y − k .
Logo,
(x − h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1 ou
(y − k)2
a2
− (x − h)
2
b2
= 1.
Atividades
EP 89. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a
diferença de suas distâncias aos pontos P1(−6,−4) e P2(2,−4) é igual a 6. Verifique se esta curva admite
assíntota(s) e, em caso afirmativo, determine sua(s) equação(ões).
EP 90. Em cada um dos ítens, determine a equação padrão da hipérbole, a partir dos elementos dados.
(a) focos F1(−1; 3) e F2(−7; 3) e comprimento do eixo transverso igual a 4;
(b) vértices A1(5; 4) e A2(1; 4) e comprimento do latus rectum igual a 5;
(c) focos F1(2; 13) e F2(2;−13) e comprimento do eixo não transverso igual a 24;
(d) assíntotas r : 4x + y − 11 = 0 e s : 4x − y − 13 = 0 e um dos vértices A(3; 1);
(e) eixo normal y = −3, um dos focos no ponto F (−3; 0) e excentricidade e = 1, 5;
(f) focos F1(−4; 5) e F2(−4;−5) e comprimento do eixo transverso igual a 6;
(g) assíntotas r : 2y = 3x e s : 2y = −3x , comprimento do eixo imaginário 6 e focos no eixo Ox .
EP 91. Reduza as equações das cônicas a seguir, através de uma translação, para a forma padrão,
identificando os seguintes elementos:
I. As coordenadas do(s) vértice(s) e foco(s);
II. As equações do eixo focal, e eixo normal (elipse e hipérbole) ou diretriz (parábola);
III. Comprimento do latus rectum e excentricidade;
IV. Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso e conjugado (hipérbole).
(a) 9(x − 1)2 + 25y2 + 50y − 200 = 0;
(b) 9x2 + 25(y − 2)2 − 54x − 144 = 0;
(c) x2 − 4y2 + 2x + 24y − 39 = 0;
(d) 4x2 − 9y2 − 36x − 18y + 63 = 0.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 25
EP 92. Usando a definição, determine a equação geral da
hipérbole da figura, sabendo-se que:
⋄ F1(
√
2,
√
2) e F2(−
√
2,−√2) são focos;
⋄ A1(1, 1) e A2(−1,−1) são vértices.
F1
F2
A1
A2 x
y
EP 93. Dizemos que duas hipérboles são conjugadas quando o eixo transverso de cada uma delas
coincide com o eixo conjugado da outra. Dada a hipérbole H : (y − 1)
2
9
− (x + 3)
2
16
= 1, determine as
coordenadas dos focos da hipérbole H conjugada de H e sua equação geral.
EP 94. Uma hipérbole é dita equilátera quando o comprimento do seu eixo transverso é igual ao
comprimento do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hipérbole equilátera coincidem com
as extremidades do eixo menor da elipse (x + 1)
2
36
+
(y − 2)2
16
= 1. Determine a equação padrão desta
hipérbole.
EP 95. O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole
H : 2x2 − 7y2 − 4x + 14y − 19 = 0
e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse
E :
(x − 1)2
4
+ (y + 2)2 = 1.
Determine a equação padrão dessa parábola.
EP 96. Os focos de uma elipse coincidem com os vértices da hipérbole
H : 16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0.
Sabendo-se que a excentricidade da elipse é igual a 1
3
, escreva sua equação padrão.
Superfícies
Resumo
O conjunto S de todos os pontos cujas coordenadas retangulares satisfazem a uma equação da forma
f (x , y , z) = 0 é denominado superfície, ou seja,
S = {(x , y , z) ∈ R3; f (x , y , z) = 0}.
Sejam S1 e S2 duas superfícies de equações f (x , y , z) = 0 e g(x , y , z) = 0, respectivamente. O conjunto
C de todos os pontos cujas coordenadas satisfazem, simultaneamente, às duas equações é denominada
curva no espaço, isto é,
C = S1 ∩ S2 = {(x , y , z) ∈ R3; f (x , y , z) = 0 e g(x , y , z) = 0)}.
Assim, a equação dos pontos satisfazem ao sistema
{
f (x , y , z) = 0
g(x , y , z) = 0
.
O traço de uma superfície é a curva obtida ao interceptarmos uma superfície com um plano.
Numa discussão do gráfico de uma superfície devemos considerar os seguintes ítens:
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 26
1. Interseções com os eixos coordenados;
Seja S : f (x , y , z) = 0 uma superfície. Então:


S ∩ Ox : y = z = 0 ⇒ f (x , 0, 0) = 0
S ∩ Oy : x = z = 0 ⇒ f (0, y , 0) = 0
S ∩ Oz : x = y = 0 ⇒ f (0, 0, z) = 0
.
2. Traços sobre os planos coordenados;
Seja S : f (x , y , z) = 0 uma superfície. Então:


S ∩ xy : z = 0 ⇒ f (x , y , 0) = 0
S ∩ xz : y = 0 ⇒ f (x , 0, z) = 0
S ∩ yz : x = 0 ⇒ f (0, y , z) = 0
.
3. Simetria em relação à origem, eixos ou planos coordenados;
⋄ um ponto Q se a relação é P ′ = Q +−→PQ é satisfeita.
Um ponto P ′ é simétrico a P em relação a: ⋄ uma reta r se a relação é P ′ = Q +−→PQ,Q ∈ R, é satisfeita.
⋄ um plano pi se a relação P ′ = Q +−→PQ,Q ∈ pi é satisfeita.
Dizemos que uma superfície S é simétrica em relação a um ponto, reta ou plano, se cada ponto de S
possui um simétrico em S em relação a um ponto, reta ou plano.
Seja S : f (x , y , z) = 0 uma superfície. Então, S é simétrica em relação
• à origem se f (x , y , z) = f (−x ,−y ,−z).
• ao eixo das abscissas se f (x , y , z) = f (x ,−y ,−z);
• ao eixo das ordenadas se f (x , y , z) = f (−x , y ,−z)
• ao eixo das cotas se f (x , y , z) = f (−x ,−y , z).
• ao plano xy se f (x , y , z) = f (x , y ,−z);
• ao plano xz se f (x , y , z) = f (x ,−y , z)
• ao plano yz se f (x , y , z) = f (−x , y , z).
4. Seções planas paralelas aos planos coordenados;
Uma boa idéia do aspecto desta superfície é obtida a partir da natureza de suas seções planas.
Tais seções podem ser convenientemente determinadas por uma série de planos secantes paralelos
a um plano coordenado.
Por exemplo, planos paralelos ao plano xy pertencem à família cuja equação é z = k , onde k é
uma constante arbitrária ou parâmetro. Então a partir da equação da superfície temos f (x , y , z) = 0,
z = k , como as equações da curva de interseção para cada valor atribuído a k correspondente
a um definido plano secante, e essa curva encontra-se no plano z = k e sua natureza pode ser
determinada pelos métodos da geometria analítica plana.
5. Extensão.
Se a equação de uma superfície é dada na forma f (x , y , z) = 0 podemos escrevê-la com uma
das variáveis em função das outras. Assim, para z em função de x e y temos a forma explícita
z = F (x , y). Essa última equação nos possibilitaobter intervalos de valores reais que as variáveis
podem assumir. Esta informação é útil na determinação da locação geral da superfície no espaço
coordenado; também indica se a superfície é fechada ou de extensão indefinida.
Consideremos os sistemas coordenados Oxyz e O ′x ′y ′z ′, onde o segundo é obtido através de uma
translação do primeiro, de modo que as coordenadas de O ′, em relação ao sistema Oxyz é (x0, y0, z0).
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 27
x
y
z
b
b
x
y
z
O
x ′
y ′
z ′
b
x ′
y ′
z ′
O ′
P
Então, as equações de transformação entre os dois sistemas
são: 

x ′ = x − x0
y ′ = y − y0
z ′ = z − z0
As equações de translação são muito úteis, principalmente, para o esboço de curvas e de superfícies.
Uma superfície quádrica ou simplesmente quádrica é um conjunto de pontos do espaço tridimensional,
cujas coordenadas cartesianas satisfazem a equação
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + f yz + gx + hy + iz + j = 0,
de grau dois, no máximo, a três variáveis, em que pelo menos um dos coeficientes do termo de grau dois
é diferente de zero, ou seja, a, b, c , d , e ou f é diferente de zero.
Se o termo independente j da equação da quádrica for igual a zero, a quádrica passa pela origem.
A interseção de uma quádrica com os planos coordenados ou planos paralelos a eles, resulta em uma
cônica. Por exemplo, o traço obtido pela quádrica ax2+by2+cz2+dxy+exz+f yz+gx+hy+iz+j = 0 e pelo
plano z = 0 é uma cônica contida neste plano (ver equação geral das cônicas) ax2+by2+dxy+gx+hy+j =
0.
Por uma transformação de coordenadas podemos reduzir a equação da superfície quádrica em:
Ax2 + By2 + Cz2 = D (5)
Ax2 + By2 + Cz = 0 (6)
Ax2 + By + Cz2 = 0 (7)
Ax + By2 + Cz2 = 0 (8)
As quádricas das em (5) são as quádricas com centro, e as dadas em (6), (7) e (8) são as quádricas
sem centro.
Constituem as superfícies quádricas mais conhecidas: as Esferas, os Parabolóides, as Elipsóides, os
Hiperbolóides, os Cilindros e os Cones. São exemplos de quádricas, também, pares de planos, pontos ou
o conjunto vazio.
A quádrica dada por (5) com A · B · C · D 6= 0 pode ter sua equação transformada em:
±x
2
a2
± y
2
b2
± z
2
c2
= 1 (9)
e é denominada forma canônica da quádrica com centro.
A depender do número de coeficientes positivos e negativos na equação (9) temos que:
1. se os três coeficientes são negativos então não existe lugar geométrico;
2. se os três coeficientes são positivos então o lugar geométrico é um elipsóide;
3. se dois coeficientes são positivos e um negativo então o lugar geométrico é um hiperbolóide de uma
folha;
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 28
4. se dois coeficientes são negativos e um positivo então o lugar geométrico é um hiperbolóide de duas
folhas;
Dados um ponto C ∈ R3 e um número real r positivo e não nulo, a superfície esférica S de centro
em C e raio r é o lugar geométrico dos pontos do espaço que distam r de C . Assim, pondo P(x , y , z) e
C (x0, y0, z0) temos que P ∈ S se, e somente se, d(P ,C ) = r , ou seja,
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2, (10)
a equação reduzida da esfera.
Desenvolvendo-se os quadrados na equação (10), temos:
x2 + y2 + z2 − 2x0x − 2y0y − 2z0z + x20 + y20 + z20 − r2 = 0
que podemos escrever
x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0, {a, b, c , d} ∈ R.
a equação geral da esfera.
Observe que as equações gerais de duas esferas concêntricas diferem apenas no termo independente
e que os coeficientes na equação (10) são todos iguais a 1.
Seja S uma superfície esférica e π um plano tal que S ∩ π = {T}, onde T é um ponto de tangência.
Devemos notar que CT é normal a π e que d(C ,T ) = r = |−−→CT |.
Seja S : x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 uma superfície esférica de centro em C e raio r e
π : mx + ny + pz + q = 0 um plano tal que S ∩ π = {ξ}, onde ξ é uma circunferência de centro em C ′ e raio
r ′. Devemos notar que
1. ξ :
{
x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0
mx + ny + pz + q = 0
2. a reta s, que passa pelos pontos C e C ′,
é uma reta normal ao plano π;
3. C ′ = s ∩ π;
4. r ′2 = r2− (d(C ,C ′))2 ou r ′2 = r2− (d(C ,π))2;
Uma elipsóide é um conjunto de pontos cujas coordenadas em algum sistema satisfaz a equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1. (11)
nos quais a, b e c representam números reais positivos e não nulos.
A elipsóide de equação (11) é simétrica em relação à origem, aos eixos coordenados x , y e z e aos
planos coordenados xy , xz e yz do sistema cartesiano tridimensional. Este fato se deve a que os pontos
(x , y , z), (x ,−y ,−z), (−x , y ,−z), (−x ,−y , z), (x , y ,−z), (x ,−y , z) e (−x , y , z) satisfazem, respectivamente,
esta equação.
As interseções da elipsóide de equação (11) com o plano
• ⋄ z = k , tal que |k | < c , é uma elipse de equação
x2
a2
Å
1− k
2
c2
ã + y2
b2
Å
1− k
2
c2
ã = 1, z = k .
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 29
• ⋄ y = k , tal que |k | < b, é uma elipse de equação
x2
a2
Å
1− k
2
b2
ã + z2
c2
Å
1− k
2
b2
ã = 1, y = k .
• ⋄ x = k , tal que |k | < a, é uma elipse de equação
y2
b2
Å
1− k
2
a2
ã + z2
c2
Å
1− k
2
a2
ã = 1, x = k .
Observe que os comprimentos dos eixos da Elipse diminuem à medida que os valores de |k | aumentam
e que, se a = b = c , o elipsóide é uma esfera de raio r = a.
Classificamos os hiperbolóides em hiperbolóide de uma folha e de duas folhas.
O hiperbolóide de uma folha é um conjunto de pontos que satisfaz a uma das seguintes equações
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, (12)
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1, (13)
−x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, (14)
em que a, b e c são números reais positivos.
O hiperbolóide de uma folha de equação (13) é simétrico em relação aos eixos e aos planos coordena-
dos e à origem.
O plano z = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação (13) segundo a elipse de equação
x2
a2
Å
1 +
k2
c2
ã + y2
b2
Å
1 +
k2
c2
ã = 1, z = k .
Observe que os eixos da elipse crescem à medida que o valor absoluto |k | aumenta.
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação (13) segundo a elipse de equação
x2
a2
− z
2
c2
= 1−
Å
1 +
k2
b2
ã
, y = k .
Se
∣∣∣∣kb
∣∣∣∣ 6= 1, então a interseção é uma Hipérbole, caso contrário, a interseção é um par de retas concorren-
tes
O plano x = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação (13) segundo a elipse de equação
y2
b2
− z
2
c2
= 1−
Å
1 +
k2
a2
ã
, x = k .
O hiperbolóide de duas folhas é um conjunto de pontos que satisfaz a uma das seguintes equações
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1, (15)
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1, (16)
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, (17)
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 30
em que a, b e c são números reais positivos.
O hiperbolóide de duas folhas de equação (16) é simétrico em relação aos eixos e aos planos coorde-
nados e à origem.
O plano z = k , para |k | > c , intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação (16) segundo a elipse
de equação
x2
a2
Å
k2
c2
− 1
ã + y2
b2
Å
k2
c2
− 1
ã = 1, z = k .
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação (16) segundo uma hipérbole de
equação
− x
2
a2
Å
k2
b2
+ 1
ã + z2
c2
Å
k2
b2
+ 1
ã = 1, y = k .
Se
∣∣∣∣kb
∣∣∣∣ 6= 1, então a interseção é uma Hipérbole, caso contrário, a interseção é um par de retas concorren-
tes
O plano x = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação (16) segundo uma elipse de equação
− y
2
b2
Å
k2
a2
+ 1
ã + z2
c2
Å
k2
a2
+ 1
ã = 1, y = k .
Já as equações em (6), (7) e (8), com ABC 6= 0, podem ser transformadas em
±x
2
a2
± y2
b2
= cz (18)
±x
2
a2
± z
2
c2
= by (19)
±y
2
b2
± z
2
c2
= ax (20)
e são denominadas de formas canônicas de quádricas sem centro.
Conforme os termos de 2◦ grau apresentem coeficientes com o mesmo sinal ou sinais contrários, temos
os parabolóides elípticos e os parabolóides hiperbólicos, respectivamente.
Observe que em todas as deduções consideramos os coeficientes das equações em (5 - 8) não nulos.
Quando um ou mais coeficientes nestas equações é zero, a superfície correspondente, caso exista, pode
ser cilíndrica, cônica ou uma superfície degenerada (ex: planos, retas, ponto).
x
y
z
Um parabolóide elíptico é um conjunto de pontos que satisfaz a uma das
seguintes equações
cz =
x2
a2
+
y2
b2
, (21)
by =
x2
a2
+
z2
c2
, (22)
ax =
y2
b2
+
z2
c2
. (23)
em que a, b e c são números reais, sendo a e b positivos em (22), a e c
positivos em (23) e b e c positivos em (23).
O parabolóide elíptico de equação (22) é simétrico em relação ao eixo z e aos planos xz e yz .
As interseções do parabolóide elíptico de equação (22) com o plano:
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 31
• z = k , tal que ck > 0, é uma Elipse de equação x
2
cka2
+
y2
ckb2
= 1, z = k .
• y = k é uma parábola de equação x2 = a2c
Å
z − k
2
cb2
ã
, y = k .
• x = k é uma parábola de equação y2 = b2c
Å
z − k
2
ca2
ã
, x = k .
Um parabolóide hiperbólico é um conjunto de pontos que satisfaz a uma das seguintes equações
cz =
x2
a2
− y
2
b2
, (24)
by =
x2
a2
− z
2
c2
, (25)
ax =
y2
b2
− z
2
c2
. (26)
em que a, b e c são números reais, sendo a e b, a e c e b e c , estritamente positivos em, respectivamente,
(24), (25) e (26).
Observe que o Parabolóide Hiperbólico de equação (24) é simétrico em relação ao eixo z e aos planos
xz e yz .
As interseções do Parabolóide Hiperbólico de equação (24) com o plano:
• z = k , k 6= 0, é uma hipérbole de equação x
2
cka2
− y
2
ckb2
= 1, z = k . Quando z = 0 temos um par de
retas cujas equações são y = ±b
a
x .
• y = k é uma parábola de equação x2 = a2c
Å
z +
k2
cb2
ã
, y = k .
• x = k é uma parábola de equação y2 = −b2c
Å
z − k
2
ca2
ã
, x = k .
Devido ao formato do seu gráfico, o parabolóide hiperbólico também é conhecido como sela.
O estudo das interseções e das simetrias para as equações (25) e (26) deve ser feito pelo leitor.
Uma superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta (geratriz) que se move de maneira que é
sempre paralela a uma reta r fixa e passe sempre por uma curva C (diretriz) fixa dada.
Para encontrarmos uma equação de uma superfície cilíndrica devemos estabelecer uma relação entre
os pontos arbitrários P(x , y , z) da superfície e Q(a, b, c), projeção de P na diretriz. Esta relação é obtida
pelo paralelismo entre os vetores −→QP e o diretor da reta fixa dada.
Consideremos a geratriz C : f (x , y) = 0; z = 0 de uma superfície cilíndrica S , −→v = (m, n, p) o vetor
diretor de uma geratriz de S , P(x , y , z) um ponto arbitrário de S e Q(a, b, c) ∈ C a projeção de P sobre a
diretriz C . Portanto,
−→
QP = λ−→v ,λ ∈ R.
Segue que as equações das geratrizes são: (x − a, y − b, z − c) = λ(m, n, p). Assim

a = x − λm
b = y − λn
c = z − λp
.
Como Q ∈ C , f (a, b) = 0; c = 0. Isto resulta em uma equação da superfície cilíndrica procurada.
Considere uma superfície cilíndrica.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 32
(a) Se a sua curva diretriz está no plano xy com equação f (x , y) = 0 e as retas geratrizes são paralelas
ao vetor −→v = (a, b, 1), então a sua equação é:
f (x − az , y − bz) = 0.
(b) Se a sua curva diretriz está no plano xz com equação f (x , z) = 0 e as retas geratrizes são paralelas
ao vetor −→v = (a, 1, c), então a sua equação é:
f (x − ay , z − cy) = 0.
(c) Se a sua curva diretriz está no plano yz com equação f (y , z) = 0 e as retas geratrizes são paralelas
ao vetor −→v = (1, b, c), então a sua equação é:
f (y − bx , z − cx) = 0.
Uma superfície cilíndrica reta S , cuja geratriz é perpendicular ao plano coordenado que contém a diretriz
se, e somente se, a sua equação é desprovida da variável não medida no referido plano. Além disso, a
equação de S é a equação da sua diretriz.
Uma superfície cilíndrica é quádrica quando sua equação cartesiana f (x , y) = 0 (f (x , z) = 0 ou f (y , z) =
0) é a mesma equação de uma cônica no plano xy (xz ou yz). O Cilindro pode ainda ser batizado de
Elíptico, Hiperbólico ou Parabólico, conforme a cônica mencionada.
Uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana (geratriz) em torno de uma reta fixa dada (eixo
de revolução) é chamada de superfície de revolução.
Qualquer posição da geratriz é chamada seção meridiana e cada circunferência descrita por um ponto
sobre a geratriz é denominada paralelo da superfície.
Seja S uma superfície obtida ao girarmos uma curva
G :
{
f (x , y , z) = 0
h(x , y , z) = 0
(geratriz)
em torno da reta r : (x , y , z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c), t ∈ R. Se consideramos G como sendo uma curva
em um dos planos coordenados e r como sendo um dos eixos coordenados contido no mesmo plano que
contém S , teremos 6 casos a analisar:
Sejam G = {(x , y , z) ∈ R3; f (y , z) = 0 e x = 0} a geratriz da superfície de revolução S1 contida no plano
yz , P(x , y , z) ∈ S1 um ponto qualquer e Oz o eixo de revolução.
O paralelo passando por P intercepta G num ponto P ′(x ′, y ′, z ′). É claro que z = z ′ (I ). O centro desse
paralelo é C (0, 0, z) e P ′(0, y ′, z). Como P e P ′ estão numa mesma circunferência temos que d(P ,C ) =
d(P ′,C ), ou seja, »
(x − 0)2 + (y − 0)2 + (z − z)2 =
»
(0− 0)2 + (y ′ − 0)2 + (z − z)2.
Segue que y ′ = ±
√
x2 + y2 (I I ).
Como P ′ ∈ G , {
f (y ′, z ′) = 0
x ′ = 0
(I I I )
Usando as equações (I ), (I I ) e (I I I ), obtemos:
S1 : f (±
√
x2 + y2, z) = 0.
LISTA DE EXERCÍCIOS # GEOMETRIA ANALÍTICA 33
Sejam G = {(x , y , z) ∈ R3; f (y , z) = 0 e x = 0} a geratriz da superfície de revolução S1 contida no plano
yz , P(x , y , z) ∈ S1 um ponto qualquer e Oy o eixo de revolução. Mostra-se, de maneira análoga, ao que foi
feito no item anterior que
S2 : f (y ,±
√
x2 + z2) = 0.
Podemos resumir todos os seis casos na seguinte tabela:
Planos das geratrizes
xy xz yz
G
{
f (x , y) = 0
z = 0
{
f (x , z) = 0
y = 0
{
f (y , z) = 0
x = 0
ER Ox Oy Ox Oz Oy Oz
Subst
y
↓
±
√
y2 + z2
x
↓
±√x2 + z2
z
↓
±
√
y2 + z2
x
↓
±
√
x2 + y2
z
↓
±√x2 + z2
y
↓
±
√
x2 + y2
Assim, para determinarmos uma equação da superfície de revolução devemos:
1. Determinar o plano e o tipo da equação da diretriz;
2. Determinar o eixo de revolução;
3. Observar qual a variável que não está sendo utilizada na equação da geratriz;
4. Observar qual variável do eixo que não pode ser o eixo de rotação;
5. substituir na 1a equação da geratriz a variável do item 4 por± a raiz quadrada da soma dos quadrados
da própria e da variável do 3◦ item.
Atividades
EP 97. Determine as equações das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:
(a) centro no ponto C (−4, 2, 3) e é tangente ao plano π : 2x − y − 2z + 7 = 0;
(b) o segmento que une A(6, 2,−5) e B(−4, 0, 7) é o diâmetro;
(c) centro na interseção de S : x2 = 4(z − 1) com o eixo Oz e é tangente à reta r : x = 2y = z − 2;
(d) centro na reta r :
®
x = −2
y = 0
e é tangente aos planos α : x − 2z − 8 = 0 e β : 2x − z + 5 = 0;
(e) centro na reta s :
®
y − 2 = 0
z = 0
e é tangente ao plano α : x + y − √3z + 3 = 0 e à reta r : x =
(0, 1,−3) + h(0, 2, 1), h ∈ R.
EP 98. Seja S uma superfície esférica de equação x2+ y2+ z2+3x− 7y +4z− 3 = 0. Verifique a posição
relativa dos pontos dados a seguir em relação a S (interior, exterior ou sobre