Gabarito Prova 2 - Mecânica Estatística 2017

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Universidade Federal do Parana´, Departamento de F´ısica
Mecaˆnica Estat´ıstica, Prof. Felix Sharipov
Segunda Avaliac¸a˜o Escolar, 25 de outubro de 2017
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . .
NA = 6, 022 × 10
23 1/mol; k = 1, 381 × 10−23 J/K; h = 6, 626 × 10−34 J s; me = 9, 109 × 10
−31 kg;
NL = 2, 651 × 10
25 m−3.
1. Os n´ıveis da energia rotacional e as degeneresceˆncias sa˜o dados como
εrj = j(j + 1)kΘr gj = 2j + 1, j = 0, 1, 2...,
Considre um ga´s de hidrogeˆnio (Θr = 85, 4 K, Θv = 6140 K) a temperatura T = 1000 K. (a) Calcule a
frac¸a˜o me´dia nj/N de mole´culas nos n´ıveis j = 0 e j = 2 da energia rotacional. [0.5 ponto].
nj
N
=
gj
Zr
e−εj/kT = (2j + 1)
Θr
T
exp
[
−
j(j + 1)Θr
T
]
j = 0,
n0
N
=
Θr
T
= 0, 0854
j = 0,
nj
N
= 5
Θr
T
exp
[
−
6Θr
T
]
= 0.2558
2. Considere 1 m3 de mistura de he´lio+hidrogeˆnio equimolar a pressa˜o de 1 kPa e a temperatura de T = 10
K. Calcule a variac¸a˜o da energia interna ∆U da mistura da mistura devido a variac¸a˜o da temperatura de
T1 ate´ T2 = 1000 K [1 ponto].
Nu´mero de part´ıculas de cada constituinte:
N =
1
2
P1V1
kT1
Variac¸a˜o de energia interna de he´lio
∆U1 =
3
2
Nk∆T =
3
4
P1V1
T1
(T2 − T1)
Variac¸a˜o de energia interna de hidrogeˆnio
∆U2 =
5
2
NkT2 −
3
2
NkT1 =
3
4
P1V1
T1
(
5
3
T2 − T1
)
Variac¸a˜o de energia interna da mistura
∆U =
3
2
P1V1
T1
(
4
3
T2 − T1
)
=
3
2
103
10
(
4
3
1000 − 10
)
= 198, 5 J
1
3. A densidade de estados de ele´trons e´ dada como: g(ε) = 4piV (2m)3/2ε1/2/h3. Obtenha a expressa˜o de
temperatura de Fermi TF [1,5 pontos].
N =
∫ εF
0
g(ε) dε =
4piV (2m)3/2
h3
∫ εF
0
ε1/2 dε =
4piV (2m)3/2
h3
2
3
ε
3/2
F
ε
3/2
F =
3nh3
8pi(2m)3/2
, εF =
(
3
8pi
)2/3 n2/3h2
(2m)
TF =
(
3
8pi
)2/3 n2/3h2
(2km)
= 0, 121
n2/3h2
km
4. Calcule a temperatura de Fermi de ferro usando os dados: densidade ρ =7874 kg/m3, massa molarM =55,845
g/mol, ele´trons por n´ıvel 2,8,14,2 [2 pontos].
ne = 2na = 2
ρ
ma
= 2
ρNA
M
= 2
7874 × 6, 022 × 1023
55, 845 × 10−3
= 0, 1698 × 1030 1/m3
TF = 0, 121
n
2/3
e h2
kme
= 0, 121
0, 16982/3 × 1020 × 6, 6262 × 10−68
1.381 × 10−23 × 9, 109 × 10−31
= 129, 5 × 103 K
5. Para compor um termopar voceˆ tem a tua disposic¸a˜o os fios de ferro, de alumı´nio (TF = 136 000 K) e de
prata (TF = 64 000 K). Qual combinac¸a˜o desses fios e´ melhor para compor um termopar mais sens´ıvel a
diferenc¸a de temperaturas nas junc¸o˜es? Justifique a resposta [1 ponto].
alumı´nio-prata, pois a diferenc¸a entre TF desse par e´ maior.
6. A temperatura de ga´s de he´lio-4 dobrou a partir de T1. O potencial qu´ımico diminui ou aumentou? (a)
T1 = 0.5TB [0.5 ponto]; (b) T1=TB [0.5 ponto]. Justifique as respostas. Aqui, TB e´ a temperatura de
Bose.
(a) µ = 0 para T < TB . Portanto, µ e´ constante.
(b) µ < 0 para T > TB . Portanto, µ diminui.
7. A densidade de estados de he´lio-4 e´ dada como: g(ε) = 2piV (2m)3/2ε1/2/h3. Obtenha a expressa˜o de
temperatura de Bose TB.
∫
∞
0
x1/2(ex − 1)−1 dx = 2, 315 [2 pontos].
N =
∫
∞
0
g(ε)
exp(ε/kTB)− 1
dε =
2piV (2m)3/2
h3
∫
∞
0
ε1/2
exp(ε/kTB)− 1
dε
x =
ε
kTB
, N =
2piV (2m)3/2
h3
(kTB)
3/2
∫
∞
0
x1/2
ex − 1
dx
(kTB)
3/2 =
nh3
2pi2, 315(2m)3/2
, TB = 0, 0840
n2/3h2
km
8. Calcule a temperatura de Bose de he´lio-4 as condic¸o˜es normais. [1 pontos].
n = NL, m =
4× 10−3
NA
=
4× 10−3
6, 022 × 1023
= 0, 6642 × 10−26 kg
TB = 0, 0840
26, 512/3 × 1016 × 6, 6262 × 10−68
1, 381 × 10−23 × 0, 6642 × 10−26
= 35, 75 mK
2