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Universidade Federal do Parana´, Departamento de F´ısica Mecaˆnica Estat´ıstica, Prof. Felix Sharipov Segunda Avaliac¸a˜o Escolar, 25 de outubro de 2017 Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . NA = 6, 022 × 10 23 1/mol; k = 1, 381 × 10−23 J/K; h = 6, 626 × 10−34 J s; me = 9, 109 × 10 −31 kg; NL = 2, 651 × 10 25 m−3. 1. Os n´ıveis da energia rotacional e as degeneresceˆncias sa˜o dados como εrj = j(j + 1)kΘr gj = 2j + 1, j = 0, 1, 2..., Considre um ga´s de hidrogeˆnio (Θr = 85, 4 K, Θv = 6140 K) a temperatura T = 1000 K. (a) Calcule a frac¸a˜o me´dia nj/N de mole´culas nos n´ıveis j = 0 e j = 2 da energia rotacional. [0.5 ponto]. nj N = gj Zr e−εj/kT = (2j + 1) Θr T exp [ − j(j + 1)Θr T ] j = 0, n0 N = Θr T = 0, 0854 j = 0, nj N = 5 Θr T exp [ − 6Θr T ] = 0.2558 2. Considere 1 m3 de mistura de he´lio+hidrogeˆnio equimolar a pressa˜o de 1 kPa e a temperatura de T = 10 K. Calcule a variac¸a˜o da energia interna ∆U da mistura da mistura devido a variac¸a˜o da temperatura de T1 ate´ T2 = 1000 K [1 ponto]. Nu´mero de part´ıculas de cada constituinte: N = 1 2 P1V1 kT1 Variac¸a˜o de energia interna de he´lio ∆U1 = 3 2 Nk∆T = 3 4 P1V1 T1 (T2 − T1) Variac¸a˜o de energia interna de hidrogeˆnio ∆U2 = 5 2 NkT2 − 3 2 NkT1 = 3 4 P1V1 T1 ( 5 3 T2 − T1 ) Variac¸a˜o de energia interna da mistura ∆U = 3 2 P1V1 T1 ( 4 3 T2 − T1 ) = 3 2 103 10 ( 4 3 1000 − 10 ) = 198, 5 J 1 3. A densidade de estados de ele´trons e´ dada como: g(ε) = 4piV (2m)3/2ε1/2/h3. Obtenha a expressa˜o de temperatura de Fermi TF [1,5 pontos]. N = ∫ εF 0 g(ε) dε = 4piV (2m)3/2 h3 ∫ εF 0 ε1/2 dε = 4piV (2m)3/2 h3 2 3 ε 3/2 F ε 3/2 F = 3nh3 8pi(2m)3/2 , εF = ( 3 8pi )2/3 n2/3h2 (2m) TF = ( 3 8pi )2/3 n2/3h2 (2km) = 0, 121 n2/3h2 km 4. Calcule a temperatura de Fermi de ferro usando os dados: densidade ρ =7874 kg/m3, massa molarM =55,845 g/mol, ele´trons por n´ıvel 2,8,14,2 [2 pontos]. ne = 2na = 2 ρ ma = 2 ρNA M = 2 7874 × 6, 022 × 1023 55, 845 × 10−3 = 0, 1698 × 1030 1/m3 TF = 0, 121 n 2/3 e h2 kme = 0, 121 0, 16982/3 × 1020 × 6, 6262 × 10−68 1.381 × 10−23 × 9, 109 × 10−31 = 129, 5 × 103 K 5. Para compor um termopar voceˆ tem a tua disposic¸a˜o os fios de ferro, de alumı´nio (TF = 136 000 K) e de prata (TF = 64 000 K). Qual combinac¸a˜o desses fios e´ melhor para compor um termopar mais sens´ıvel a diferenc¸a de temperaturas nas junc¸o˜es? Justifique a resposta [1 ponto]. alumı´nio-prata, pois a diferenc¸a entre TF desse par e´ maior. 6. A temperatura de ga´s de he´lio-4 dobrou a partir de T1. O potencial qu´ımico diminui ou aumentou? (a) T1 = 0.5TB [0.5 ponto]; (b) T1=TB [0.5 ponto]. Justifique as respostas. Aqui, TB e´ a temperatura de Bose. (a) µ = 0 para T < TB . Portanto, µ e´ constante. (b) µ < 0 para T > TB . Portanto, µ diminui. 7. A densidade de estados de he´lio-4 e´ dada como: g(ε) = 2piV (2m)3/2ε1/2/h3. Obtenha a expressa˜o de temperatura de Bose TB. ∫ ∞ 0 x1/2(ex − 1)−1 dx = 2, 315 [2 pontos]. N = ∫ ∞ 0 g(ε) exp(ε/kTB)− 1 dε = 2piV (2m)3/2 h3 ∫ ∞ 0 ε1/2 exp(ε/kTB)− 1 dε x = ε kTB , N = 2piV (2m)3/2 h3 (kTB) 3/2 ∫ ∞ 0 x1/2 ex − 1 dx (kTB) 3/2 = nh3 2pi2, 315(2m)3/2 , TB = 0, 0840 n2/3h2 km 8. Calcule a temperatura de Bose de he´lio-4 as condic¸o˜es normais. [1 pontos]. n = NL, m = 4× 10−3 NA = 4× 10−3 6, 022 × 1023 = 0, 6642 × 10−26 kg TB = 0, 0840 26, 512/3 × 1016 × 6, 6262 × 10−68 1, 381 × 10−23 × 0, 6642 × 10−26 = 35, 75 mK 2
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