Artigos cientificos e sugestões de temas para TCC - ENGENHARIA CIVIL

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307
SOBRE A MODELAGEM DO TRANSPORTE DE CONTAMINANTES NO
SOLO
P. I. B. de Queiroz
ITA
RESUMO: São discutidas neste trabalho possíveis causas de insucessos em simulações numéricas
de transporte de contaminantes no solo. Discute-se algumas das hipóteses de cálculo que são
freqüentemente adotadas sem questionamento sobre a aplicabilidade das mesmas aos problemas a
serem modelados. Apresenta-se também algumas limitações de métodos de cálculo bastante
empregados, como as formulações de elementos finitos, e algumas soluções analíticas. Comenta-se
também alguns erros de implementação de métodos de cálculo em compiladores e processadores
numéricos.
1. INTRODUÇÃO
O desenvolvimento recente da computação
tem se voltado à facilidade de uso do
computador por leigos no assunto. Este
procedimento, adotado pelos especialistas em
computação, tem como nobre princípio a idéia
de que o computador é um meio para um fim,
de modo que o usuário não deve se importunar
com problemas técnicos não pertinentes ao
contexto de seu trabalho em si. De fato, Miller
(após Booch, 1994) sugere que o número
máximo de blocos distintos de informação que
um ser humano pode compreender
simultaneamente é de no máximo sete, mais ou
menos dois. Assim sendo, para que se possa
lidar com problemas complexos em
computação, é necessário que o usuário possa
“abstrair” a existência do computador.
Seguindo a filosofia exposta acima,
surgiram também os sistemas especialistas e os
programas numéricos com interface amigável,
que possibilitaram aos leigos em modelagem
científica e numérica tratarem de problemas
práticos. Embora o conhecimento técnico do
problema e da modelagem numérica não sejam
também um fim por si só, a eliminação
completa de especialistas nestes assuntos do
processo de solução de problemas práticos
pode levar a problemas sérios na obtenção de
resultados e na tomada de decisões críticas.
Apresenta-se neste trabalho alguns erros
cometidos com freqüência em modelagens
numéricas, mostrando-se, sempre que possível,
alguma forma de contorná-los.
2. HIPÓTESES DE CÁLCULO
Tomando como modelo uma estratégia para
desenvolvimento de análises numéricas para
túneis (apresentada por Bernat, Cambou e
Santosa, 1997), propõe-se a seguinte estratégia
para desenvolvimento de uma modelagem de
transporte de contaminantes no solo:
Deve-se determinar inicialmente as leis que
melhor representam os fenômenos de
transporte em questão.
Deve-se estabelecer uma metodologia para
identificar as constantes (e variáveis de
estado) do modelo escolhido, através de
ensaios de laboratório e de campo. Para
tanto, deve-se realizar os ensaios em
condições semelhantes às que 
308
supostamente irão acontecer no caso a ser
modelado.
Deve-se escolher um programa de modelagem
numérica adequado para a modelagem
proposta.
Deve-se estudar as condições de contorno que
melhor representem o problema a ser
modelado.
Sempre que possível, deve-se fazer
observações em campo, para que se possa
rever o modelo e fazer previsões cada vez
melhores.
Geralmente, inicia-se uma modelagem
numérica modificando um exemplo extraído
do manual do programa a ser utilizado, ou de
algum artigo sobre o assunto. Deste modo, é
comum que se adote algumas hipóteses da
análise original, sem se fazer questionamentos
sobre a validade das mesmas para o problema a
ser tratado.
Um questionamento pouco realizado diz
respeito justamente ao primeiro ítem da
estratégia proposta acima. Por simplicidade,
utiliza-se geralmente a lei de Darcy para
modelar o fluxo da água subterrânea, e utiliza-
se a lei de Fick para modelar os fenômenos de
difusão e dispersão. O maior desestímulo a se
questionar estas leis parte dos próprios
programas numéricos, que normalmente não
têm outras leis implementadas.
Sabe-se nos dias de hoje que a permeação e
a dispersão solos não saturados são fenômenos
difíceis de serem formulados de maneira exata;
entretanto, a influência desta não saturação no
transporte de contaminantes não pode ser
ignorada. Em uma discussão simplificada
sobre este assunto, o transporte advectivo em
um solo não saturado submetido a um regime
de fluxo imposto deve ser mais rápido do que
no caso deste solo estar saturado. Para o caso
de gradiente hidráulico imposto, o oposto deve
ocorrer. A difusão tende a ser atenuada em
solos não saturados, em função do aumento da
tortuosidade nas linhas médias de fluxo. No
entanto, é de se esperar que a dispersão
mecânica aumente, em função do
“afunilamento” dos canais de fluxo. Poucas
são as implementações numéricas que
contemplam estes fenômenos.
Outra hipótese normalmente usada sem
questionamento diz respeito à significância do
efeito de cargas sobre solo no padrão de fluxo
da água subterrânea, e consequentemente, no
transporte de contaminantes. Nenhum dos
programas comerciais mais conhecidos é capaz
de conduzir uma análise com acoplamento
entre deformações, fluxo de água e transporte
de contaminantes. Apesar de relações como a
equação de Konzeny-Carman serem aceitas
universalmente, não se estuda a influência do
peso de aterros sanitários sobre a
permeabilidade do solo de base. Sorek e Adar
(1992) registraram que a influência do peso de
reservatórios de água sobre o regime de fluxo
em aqüíferos em Israel causou afloramento de
água salina junto a tais reservatórios, e a
evaporação desta água aflorante causou o
acúmulo de sal junto a eles.
Outro aspecto pouco questionado nos dias
de hoje diz respeito ao modelo de dispersão a
ser aplicado. Gelhar et al. (1992, em Domenico
e Schwartz, 1998) analisaram criteriosamente
alguns experimentos de campo, e mostram que,
ao contrário da prática normalmente utilizada,
o coeficiente de dispersão longitudinal não
deve ser proporcional à escala do problema a
ser tratado, conforme mostrado na Figura 1.
Além disto, Domenico e Schwartz também
fazem ressalvas à aplicação direta do modelo
de dispersão Fickiana em maciços fraturados.
1E-3
1E-2
1E-1
1E0
1E1
1E2
1E3
1E4
D
is
pe
rs
iv
id
ad
e 
L
on
gi
tu
di
na
l (
m
)
1E-1 1E0 1E1 1E2 1E3 1E4 1E5 1E6
Escala (m)
Baixa
Mediana
Alta
Figura 1 – Dispersividade Longitudinal e
escala em função da confiabilidade de alguns
ensaios (retirado em escala de Domenico e
Schwartz, 1998)
Os fenômenos de sorção são geralmente
modelados como sendo lineares e não
dependentes da saturação do solo. A sorção é
bem discutida por Chiou (1989).
309
3. SENSIBILIDADE DOS MODELOS À
VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DE
CÁLCULO
A sensibilidade dos modelos numéricos à
variação dos parâmetros possui basicamente
três aspectos. O primeiro diz respeito ao campo
de validade das leis a serem utilizadas no
modelo, assunto abordado no ítem anterior
deste trabalho. O segundo diz respeito a uma
sensibilidade real, em um modelo bem
calibrado e convergente. O terceiro aspecto diz
respeito à convergência do processo numérico
utilizado.
O segundo aspecto citado acima é
geralmente o mais delicado deles, estando
relacionado à confiabilidade dos parâmetros de
campo. Sabe-se por exemplo que a degradação
biológica ou química da maioria dos
contaminantes pode ser bem ajustada por uma
curva exponencial, do mesmo modo que o
decaimento radioativo. Isto se deve ao fato de
que, geralmente existe no solo abundância de
microorganismos e de oxigênio, de modo que a
velocidade de degradação depende somente da
concentração do próprio contaminante. A
curva de decaimento da concentração dos
contaminantes é extremamente sensível à
constante de decaimento. Para se ter uma idéia
desta sensibilidade, apresenta-se na Figura 2
medidas de campo e dois cálculos realizados
para previsão da concentração de éter dietílico
no solo, a partir de um vazamento. Observa-se
que uma avaliação inferior em 10% à meia-
vida real do éter dietílico provocou uma
diferença de duas vezes emsua concentração
máxima, após 12 anos. Sabe-se que a constante
de decaimento é extremamente sensível à
temperatura, aos microorganismos existentes
no solo e à presença de outros contaminantes,
entre outros fatores. Por esta razão, mesmo que
esta constante seja obtida através de ensaios
em condições semelhantes às do problema a
ser tratado, ela deve ser retroanalisada nas
leituras de campo, para que se possa prever
com mais exatidão leituras futuras.
O terceiro aspecto diz respeito ao campo de
validade dos modelos numéricos a serem
utilizados. Por exemplo, na mecânica dos
corpos deformáveis, sabe-se que um corpo
elástico incompressível ou quase
incompressível (com o coeficiente de Poisson
igual ou próximo a 0,5) é difícil de ser
modelado pelos métodos convencionais. Na
história do tratamento numérico deste
problema, buscou-se uma solução através de
integração seletiva (vide por exemplo, Reddy,
1993), mas verificou-se que este método
poderia levar a modos de deformação espúrios.
Uma solução razoável foi obtida através de
métodos de formulação mista (vide por
exemplo, Bathe, 1996), nos quais, abandona-se
a convergência monotônica da formulação do
método dos deslocamentos, em troca de uma
formulação convergente de maneira quase
independente dos parâmetros de cálculo
adotados.
Figura 2 – Concentrações de contaminante
calculadas e previstas, após 12 anos da
contaminação do solo (McLymont e Schwartz,
1987)
No transporte de contaminantes, o
transporte puramente advectivo (ou
predominantemente advectivo, com número de
Peclet elevado) com frente de contaminação
brusca constitui-se ainda em um problema em
aberto. Quando se utiliza o método dos
elementos finitos com formulação de Galerkin
no espaço (utilizando-se diferenças finitas ou
elementos finitos no tempo), ocorrem
geralmente oscilações numéricas na frente de
contaminação, podendo resultar em
concentrações negativas de contaminante
310
próximas à frente de contaminação, e
concentrações maiores que as iniciais na
própria frente de contaminação (vide Figura 3).
Figura 3 – Oscilações numéricas no cálculo de
frentes de contaminação brusca (Nishigaki,
1991)
Para contornar este tipo de problema, alguns
autores propuseram que se adotasse a
formulação de Petrov-Galerkin, com um
esquema de ponderação do tipo “upwinding”.
Embora métodos deste tipo sejam muito
utilizados até hoje (vide por exemplo, Helmig,
1997), sabe-se que eles tendem a superestimar
o caráter dispersivo do problema, fenômeno
conhecido como dispersão numérica
(Maliska,1995).
Neuman (1981) fez uma revisão dos
métodos numéricos utilizados para este tipo de
problema, e propôs um método novo de
solução. Ele observou que, enquanto o
transporte puramente advectivo não era bem
resolvido por métodos Eulerianos (métodos
que envolvem uma malha fixa no tempo),
poderia-se resolver este tipo de problema com
bastante precisão através de métodos
lagrangeanos, como o método das
características (método utilizado para solução
de equações hiperbólicas). Já o transporte
puramente dispersivo (que é um problema
parabólico), pode ser resolvido por métodos
Eulerianos. Neuman então criou uma forma
unívoca de dividir estas duas partes no
problema advectivo-dispersivo, e criou assim
um dos primeiros métodos Euleriano-
Lagrangeanos (EL). Os métodos EL
necessitam de muito mais capacidade de
processamento (velocidade e armazenamento)
que os outros métodos, o que torna
impraticável sua aplicação em grandes
domínios. Assim sendo, Neuman propôs um
método adaptativo, em que passa-se do método
EL a um método puramente Euleriano, no
cálculo do transporte, em regiões distantes da
frente de contaminação. A Figura 4 mostra a
solução de um problema advectivo-dispersivo
unidimensional realizada por Nishigaki (1991)
Figura 4 – Cálculo de transporte advectivo-
dispersivo, através de método Euleriano-
Lagrangeano (Nishigaki, 1991)
Celia et al. (1990) também revisaram os
métodos existentes até então, e propuseram um
método Euleriano-Lagrangeano, com
elementos finitos no tempo-espaço, no qual a
função de ponderação da concentração era
solução da equação adjunta da homogênea
associada à equação do transporte advectivo-
dispersivo. Surgiram assim os métodos
Euleriano-Lagrangeanos com Adjuntos
Localizados (ELLAM). O ELLAM proposto
aparentemente superava as deficiências de
todos os métodos anteriores.
Já Heally e Russel (1998) implementaram
uma variante do método em duas dimensões,
na qual se utiliza o método dos volumes finitos
como base (Finite Volume Eulerian-
Lagrangean Localized Adjoint Method -
FVELLAM). Este método foi proposto como
sendo uma versão menos “voraz” dos métodos
Euleriano-Lagrangeanos. O FVELLAM sofre
do problema de não garantir conservação de
massa, mesmo no caso de transporte de
contaminantes sem degradação.
311
Ainda não foi proposto um método Euleriano-
Lagrageano com adjuntos localizados bi ou tri-
dimensional, com conservação local e global
de massa. Ainda assim, o método original de
Neuman, apesar de ser superior aos métodos de
Galerkin ou Petrov-Galerkin em alguns
aspectos, ainda não foi implementado em
nenhum programa comercial para cálculo
numérico de transporte de contaminantes.
4. SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO DOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
A implementação de métodos numéricos em
rotinas de cálculos passa por uma série de
detalhes que, embora aparentemente não sejam
do interesse direto do usuário final, certamente
influenciarão na velocidade em que os
programas fornecem os resultados, bem como
na estabilidade do método de cálculo e na
confiabilidade dos mesmos.
A confiabilidade de um programa está
intimamente relacionada com o nível da
linguagem de programação utilizada em sua
implementação, entre outros fatores (Sebesta,
1993). Segundo Booch (1994), um sistema
estruturado com mais de 10000 linhas deverá
estar no limite de sua confiabilidade para que
sua implementação deva ser realizada através
de uma linguagem simplesmente estruturada,
ou numa linguagem orientada para objetos.A
linguagem orientada para objetos mais
indicada para a programação numérica seria o
C++. No entanto, seu uso em programação
numérica ainda é restrito, e ainda se escreve
mais programas para engenharia em
FORTRAN do que em qualquer outra
linguagem (Smith, 1995). Isto se deve
aparentemente ao fato de que, além de existir
uma quantidade muito grande de bibliotecas, a
otimização de “loops” em soma de vetores
tornava a velocidade de execução de
programas em FORTRAN maior do que a
implementação do mesmo algoritmo em C++.
Porém, recentemente, Veldhuizen e
Ponnambalam (1996) criaram uma biblioteca
de vetores e matrizes que iguala ou supera o
desempenho de programas em FORTRAN.
Embora esta biblioteca utilize recursos de
programação orientada para objetos que não
estão disponíveis em todos os compiladores
comerciais, a possibilidade de se obter alto
desempenho numérico em C++ pode ser
considerada bastante promissora para a
programação de métodos numéricos em
transporte de contaminantes, uma vez que a
complexidade dos fenômenos a serem
modelados tende a crescer cada vez mais.
Até meados da década de ’80, as operações
em ponto flutuante eram bastante
problemáticas, e cada computador (e cada
compilador) tinha seu padrão de manipulação
numérica. Este fato tornava o transporte de
programas entre uma máquina e outra um
processo muito pouco confiável. Em 1984, foi
criada a especificação IEEE 754, que
padronizava as operações de ponto flutuante,
bem como a precisão que cada tipo numérico
deveria suportar. Desde então, William Kahan
(um dos criadores desta especificação) tem
tornado disponível em sua página na
universidade da Califórnia (em
http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/) fontes de
programas em FORTRAN e assembler (além
dos próprios executáveis) para testar
microprocessadores quanto à concordância a
esta especificação. O professorKahan também
disponibiliza cópias de vários de seus artigos
onde apresenta métodos de cálculo, bem como
aponta vários casos de processadores e
compiladores que não estão em acordo com o
IEEE 754, bem como as conseqüências de cada
discordância. Entre os erros (ou não
concordâncias) ao IEEE 754 mais sérios, pode-
se citar:
O erro na instrução de divisão de ponto
flutuante (FDIV) no Pentium. (Coe et al.,
1995)
O erro na conversão de ponto flutuante para
inteiro no Pentium Pro e no Pentium II.
(Collins, 1997)
A relutância dos fabricantes de computadores
CDC e Cray em adotar os padrões IEEE
754, alegando redução de velocidade de
processamento. (vide artigos na página do
prof. Kahan)
A demora dos fabricantes de compiladores a
implementar fornecer facilidades de
tratamento de exceção que já existem há
décadas em hardware. (vide artigos na
página do prof. Kahan)
( )
( )
ú
ú
û
ù
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
××
×+××
+
ê
ê
ë
é
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
××
×-÷
ø
ö
ç
è
æ=
÷
ø
öç
è
æ
÷
ø
öç
è
æ
2/12
exp
2/122
1,
0
tD
tvxerfc
D
xv
tD
tvxerfc
C
txC
 (1)
onde C é a concentração do contaminante a
uma distância x da fonte, no tempo t após o
início da contaminação; v é a velocidade de
advecção da água subterrânea, D é o
coeficiente de dispersão hidrodinâmica, e C0 é
a concentração do contaminante na fonte.
A Figura 5 apresenta o perfil de
concentração calculada pela equação (1) para
os seguintes valores arbitrários: t=7.0, v=100,
D=0.2, C0=1. O gráfico apresentado foi
elaborado em uma planilha, onde o a função
complementar de erro é fornecida pela própria
planilha. Observa-se que o segundo termo da
equação apresentada acima não foi calculado
com a exatidão necessária para que a solução
se apresente monotônica, como seria de se
esperar do problema físico em questão. Uma
tentativa de se implementar a função
complementar de erro através de séries de
potência não produziria um resultado de maior
precisão, mesmo utilizando-se o maior número
possível de termos na série, com a seguinte
fórmula otimizada (Gradshteyn e Ryzhik,
1965), em precisão dupla:
( )å
¥
=
+×
-
+×
-=
0
12
!!12
22
1)(
2
k
kk
x
k
x
exerfc (2)
onde (2×k+1)!! = (2×k+1)×(2×k-1)×(2×k-3)...1.
Figura 5 - Cálculo de concentração de
contaminantes em transporte advectivo-
dispersivo unidimensional.
Para valores de x maiores que 7, onde a
equação (2) não fornece a precisão necessária,
pode-se utilizar a técnica das frações contínuas
para determinar erfc(x), através da seguinte
equação (Abramowitz e Segun, 1968)
ò
¥
-
+
+
+
+
+
=×××
x
tx
x
x
x
x
x
dtee
2/5
2
2/3
1
2/1
1
2
22
 (3)
Embora a perda de precisão mostrada neste
exemplo dificilmente vá mudar decisões
práticas a respeito de um problema hipotético
de contaminação do solo, a existência de
problemas como este coloca em xeque a
confiabilidade do uso de funções
transcedentais não especificadas pelo IEEE
754, que tenham sido implementadas por
terceiros, especialmente quando a precisão é
um fator de grande preocupação. Deve-se
portanto tomar bastante cautela ao fazer
implementações deste tipo. Finalmente, deve-
se lembrar que, devido à complexidade das
equações de transporte de contaminantes,
existem fórmulas fechadas que não são
necessariamente soluções exatas. Por exemplo,
a fórmula é apenas uma aproximação da
313
solução apresentada na Equação (1), onde
despreza-se o segundo termo da solução
analítica, e despreza-se também a componente
de difusão na dispersão hidrodinâmica,
tomando-se apenas a dispersividade
longitudinal ax.
( )
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
×××
×-×÷
ø
ö
ç
è
æ=
÷
ø
öç
è
æ 2/122
1,
0 tv
tvxerfc
C
txC
xa (4)
5. CONCLUSÕES
Procurou-se apresentar neste trabalho
algumas das principais causas de inexatidão
dos resultados das análises numéricas,
particularmente em geotecnia ambiental.
Buscou-se também mostrar um panorama
atual, mostrando-se também algumas
tendências, perspectivas e sugestões sobre o
assunto, para futuras pesquisas.
6. AGRADECIMENTOS
O autor agradece ao colega de trabalho e
amigo Makoto Namba, por ter traduzido o
artigo de Nishigaki (1991), um trabalho de
valor inestimável, (a ser publicado em
português, em alguma oportunidade futura),
além de haver estudado em conjunto uma série
de outros assuntos pertinentes a este trabalho.
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