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Ler:
• Notas de sala de aula (cada aluno devera tomar suas propria notas dado que a
materia do curso na˜o se encontra integralmente no livro do Boyce & DiPrima)
• Equac¸o˜es Diferencias Elementares e Problemas de Valores de Contorno (Boyce &
DiPrima), 9 edic¸a˜o:
1.1 (Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais),
2.5 (Equac¸o˜es autoˆnomas e dinaˆmica populacional).
2.6 (Equac¸o˜es exatas e fatores integrantes)
3.1 (Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes)
3.2 (Soluc¸o˜es de equac¸o˜es Lineares homogeˆneas; o Wornskiano.)
3.3 (Raizes complexas da equaa˜o caracter´ıstica) 3.4 (Raizes repetidas; reduc¸a˜o de
ordem) 10.1 (Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com Dois Pontos)
—————————————————————————————————
Revisa˜o
A´lgebra linear. As noc¸o˜es de : combinac¸a˜o linear, espac¸o vetorial, base, propriedades
das operac¸o˜es matriciais, espac¸o soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea Ax = 0 (onde A e´ uma
matriz n × n, 0 a matriz nula n × 1 e x o vetor incognito n × 1). O espac¸o soluca˜o da
equac¸a˜o na˜o homogeˆnea Ax = b (onde b e´ uma matriz n × 1 dada e diferente da matriz
nula). Autovetores e autovalores de uma matriz quadrada A
Calculo 1 & 2. Definic¸a˜o de derivada. Limite. Estudo de uma func¸a˜o. Integrac¸a˜o.
Ver, para exemplo, pag. 226-231 e pag 416-417 do livro do H. Anton ”Ca´lculo 1”
Definic¸a˜o: Sejam f : Dx ⊂ X → Y e g : Dy ⊂ Y → X duas func¸o˜es (i.e. para todo
x ∈ Dx existe um u´nico y ∈ Y tal que y = f(x) e para todo y ∈ Dy existe um u´nico
x ∈ X tal que x = g(y)).
Se as funo¸˜es f e g satisfazem as duas condic¸o˜es
g(f(x)) = x para todo x no dominio de f
f(g(y)) = y para todo y no dominio de g
enta˜o, dizemos que f e g sa˜o func¸o˜es inversas. Ale´m disso, chamamos f uma inversa e
g e g uma inversa de f (e notamos g = f−1).
Teorema : Se o dominio de f for um intervalo no qual f
′
> 0 ou no qualf
′
< 0 (i.e. um
interval no qual f
′ 6= 0) enta˜o a func¸a˜o f tem uma inversa.
————————————————————
Teorema Fundamental do Ca´lculo: . Se f for continua para toda x ∈ [a, b] e se F for
2
uma antiderivada de f em [a, b], enta˜o∫ b
a
f(x) dx = F (a)− F (b). (1)
————————————————————————————————–
Linearidade : Escreva a equac¸a˜o na forma
L[u] = 0, (2)
onde L e´ um operador. Isso e´, se v e´ uma qualquer func¸a˜o , Lv e´ uma nova func¸a˜o. Para
exemplo, L[ ] = d( )/dx e´ o operador que transforma v na sua derivada L[v] = dv/dx.
In
du
dx
+ x2u = 0 (3)
o operador e´
L[ ] = d( )
dx
+ x2( ) (4)
(i.e., L[u] = du/dx+ x2u).
Um operador e´ dito linear se verifica:
i) L[u+ v] = L[u] + L[v],
ii) L[cu] = cL[u],
para ”todas” func¸o˜es u, v e toda constante c.
A equac¸a˜o
L[u] = 0 (5)
e´ dita linear se L e´ um operador linear. A equac¸a˜o (??) e´ dita uma equac¸a˜o linear
homogeˆnea .
A equac¸a˜o
L[u] = g, (6)
onde g 6= 0 e´ uma func¸a˜o dada da varia´vel indipendente, e´ dita linear se L e´ um operador
linear. A equac¸a˜o (??) e´ dita uma equac¸a˜o linear na˜o-homogeˆnea .
Exemplo: Sejam p(t) e q(t) duas func¸o˜es continuas definidas para a < t < b. A equac¸a˜o
diferencial
dx
dt
= p(t)x+ g(t) (7)
e´ uma geral equac¸a˜o linear da primeira ordem. E´ homogeˆnea se g = 0, e na˜o-homogeˆnea
se g 6= 0. Para uma dada equac¸a˜o da forma (??), a equac¸a˜o
dx
dt
= p(t)x (8)
e´ dita a sua equac¸a˜o homogeˆnea associada.
3
Observe que a equac¸a˜o (??) com condic¸a˜o inicial x(to) = xo tem uma soluc¸a˜o
x(t) = xoe
∫ t
to
p(τ)dτ (9)
———————————————————————————————–
Exerc´ıcios:
1) Nos problema a)-b)-c)-d)-e), determinar a ordem da equac¸a˜o diferencial e dizer se
a equac¸a˜o e´ linear ou na˜o-linear.
a) x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ 2y = sinx
b) (1 + y2)
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ y = ex
c)
d4y
dx4
+
d3y
dx3
+
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = 1
d)
d2y
dx2
+ xy2 = 0
e)
d3y
dx3
+ x
dy
dx
+ (cos2 x)y = x3
2) (BONUS) Quais dos seguintes operadores sa˜o lineares?
a) L[u] = ∂u
∂x
+ x
∂u
∂y
b) L[u] = ∂u
∂x
+ u
∂u
∂y
c) L[u] = ∂u
∂x
+
(
∂u
∂y
)2
d) L[u] =
√
1 + x2(cos y)
∂u
∂x
+
∂3u
∂y∂x∂y
− [arctan(x/y)]u
3) Para cada equac¸a˜o, especifique a ordem e se ela e´ na˜o-linear, linear na˜o-homogeˆnea,
ou linear homogeˆnea ; fornec¸a explicac¸o˜es.
a) ut − uxx + 1 = 0
b) ut − uxx + xu = 0
c) ut − uxxt + uux = 0
d) utt − uxx + x2 = 0
e) iut − uxx + u/x = 0
4
f) ux(1 + u
2
x)
−1/2 + uy(1 + u2y)
−1/2 = 0
g) ux + e
yuy = 0
h) ut + uxxxx +
√
1 + u = 0
4) Prove que a diferenc¸a de duas soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea linear
L[u] = g com a mesma g e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea L[u] = 0.
5) Nos Problemas a)-b)-c)-d), verificar se a func¸a˜o, ou as func¸o˜es dadas, constituem
soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
a) y” − y = 0; y1(x) = ex, y2(x) = cosh(x).
b) y” + 2y
′ − 3y = 0; y1(x) = e−3x, y2(x) = ex.
c) xy
′ − y = x2; y(x) = 3x+ x2.
d) 2x2y” + 3xy
′ − y = 0; x > 0, y1(x) = x1/2, y2(x) = x−1.
6) Nos Problemas a) e b), determinar os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial
dada tem soluc¸o˜es da forma y = erx.
a) y
′
+ 2y = 0.
b) y
′′
+ y
′ − 6y = 0.
7) Nos Problemas a) e b), determinar os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial
dada tem soluc¸o˜es da forma y = xr.
a) x2y
′′
+ 4xy
′
+ 2y = 0.
b) x2y
′′ − 4xy′ + 4y = 0.
8) Verifique para substituc¸a˜o direita que
un(x, y) = sin(nx) sinh(ny)
e´ uma soluc¸a˜o de
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 (10)
para cada n > 0.
9) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
dx
dt
= ax
onde a e´ um paraˆmetro. Quais sa˜o os pontos de equil´ıbrio para esta equac¸a˜o? Para
quais valores de a os equil´ıbrios sa˜o poc¸os (i.e. atratores)? Para quais sa˜o fontes
(i.e. repulsores)?
5
10) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
dx
dt
= ax+ 3
onde a e´ um paraˆmetro. Quais sa˜o os pontos de equil´ıbrio para esta equac¸a˜o? Para
quais valores de a os equil´ıbrios sa˜o poc¸os (i.e. atratores)? Para quais sa˜o fontes
(i.e. repulsores)?
11) Do Ca´lculo, determine quais func¸o˜es trigonome´tricas satisfazem a equac¸a˜o diferen-
cial de segunda ordem
d2y
dx2
= −y.
Verifique que combinac¸o˜es lineares dessas func¸o˜es tambe´m satisfazem a equac¸a˜o
diferential, i.e. se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es, enta˜o
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
tambe´m e´ soluc¸a˜o. Ache, tambe´m, a soluc¸a˜o com as condic¸o˜es de contorno
y(0) = 2 e y(pi/2) = 1.
6

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