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Ler: • Notas de sala de aula (cada aluno devera tomar suas propria notas dado que a materia do curso na˜o se encontra integralmente no livro do Boyce & DiPrima) • Equac¸o˜es Diferencias Elementares e Problemas de Valores de Contorno (Boyce & DiPrima), 9 edic¸a˜o: 1.1 (Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais), 2.5 (Equac¸o˜es autoˆnomas e dinaˆmica populacional). 2.6 (Equac¸o˜es exatas e fatores integrantes) 3.1 (Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes) 3.2 (Soluc¸o˜es de equac¸o˜es Lineares homogeˆneas; o Wornskiano.) 3.3 (Raizes complexas da equaa˜o caracter´ıstica) 3.4 (Raizes repetidas; reduc¸a˜o de ordem) 10.1 (Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com Dois Pontos) ————————————————————————————————— Revisa˜o A´lgebra linear. As noc¸o˜es de : combinac¸a˜o linear, espac¸o vetorial, base, propriedades das operac¸o˜es matriciais, espac¸o soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea Ax = 0 (onde A e´ uma matriz n × n, 0 a matriz nula n × 1 e x o vetor incognito n × 1). O espac¸o soluca˜o da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea Ax = b (onde b e´ uma matriz n × 1 dada e diferente da matriz nula). Autovetores e autovalores de uma matriz quadrada A Calculo 1 & 2. Definic¸a˜o de derivada. Limite. Estudo de uma func¸a˜o. Integrac¸a˜o. Ver, para exemplo, pag. 226-231 e pag 416-417 do livro do H. Anton ”Ca´lculo 1” Definic¸a˜o: Sejam f : Dx ⊂ X → Y e g : Dy ⊂ Y → X duas func¸o˜es (i.e. para todo x ∈ Dx existe um u´nico y ∈ Y tal que y = f(x) e para todo y ∈ Dy existe um u´nico x ∈ X tal que x = g(y)). Se as funo¸˜es f e g satisfazem as duas condic¸o˜es g(f(x)) = x para todo x no dominio de f f(g(y)) = y para todo y no dominio de g enta˜o, dizemos que f e g sa˜o func¸o˜es inversas. Ale´m disso, chamamos f uma inversa e g e g uma inversa de f (e notamos g = f−1). Teorema : Se o dominio de f for um intervalo no qual f ′ > 0 ou no qualf ′ < 0 (i.e. um interval no qual f ′ 6= 0) enta˜o a func¸a˜o f tem uma inversa. ———————————————————— Teorema Fundamental do Ca´lculo: . Se f for continua para toda x ∈ [a, b] e se F for 2 uma antiderivada de f em [a, b], enta˜o∫ b a f(x) dx = F (a)− F (b). (1) ————————————————————————————————– Linearidade : Escreva a equac¸a˜o na forma L[u] = 0, (2) onde L e´ um operador. Isso e´, se v e´ uma qualquer func¸a˜o , Lv e´ uma nova func¸a˜o. Para exemplo, L[ ] = d( )/dx e´ o operador que transforma v na sua derivada L[v] = dv/dx. In du dx + x2u = 0 (3) o operador e´ L[ ] = d( ) dx + x2( ) (4) (i.e., L[u] = du/dx+ x2u). Um operador e´ dito linear se verifica: i) L[u+ v] = L[u] + L[v], ii) L[cu] = cL[u], para ”todas” func¸o˜es u, v e toda constante c. A equac¸a˜o L[u] = 0 (5) e´ dita linear se L e´ um operador linear. A equac¸a˜o (??) e´ dita uma equac¸a˜o linear homogeˆnea . A equac¸a˜o L[u] = g, (6) onde g 6= 0 e´ uma func¸a˜o dada da varia´vel indipendente, e´ dita linear se L e´ um operador linear. A equac¸a˜o (??) e´ dita uma equac¸a˜o linear na˜o-homogeˆnea . Exemplo: Sejam p(t) e q(t) duas func¸o˜es continuas definidas para a < t < b. A equac¸a˜o diferencial dx dt = p(t)x+ g(t) (7) e´ uma geral equac¸a˜o linear da primeira ordem. E´ homogeˆnea se g = 0, e na˜o-homogeˆnea se g 6= 0. Para uma dada equac¸a˜o da forma (??), a equac¸a˜o dx dt = p(t)x (8) e´ dita a sua equac¸a˜o homogeˆnea associada. 3 Observe que a equac¸a˜o (??) com condic¸a˜o inicial x(to) = xo tem uma soluc¸a˜o x(t) = xoe ∫ t to p(τ)dτ (9) ———————————————————————————————– Exerc´ıcios: 1) Nos problema a)-b)-c)-d)-e), determinar a ordem da equac¸a˜o diferencial e dizer se a equac¸a˜o e´ linear ou na˜o-linear. a) x2 d2y dx2 + x dy dx + 2y = sinx b) (1 + y2) d2y dx2 + x dy dx + y = ex c) d4y dx4 + d3y dx3 + d2y dx2 + dy dx + y = 1 d) d2y dx2 + xy2 = 0 e) d3y dx3 + x dy dx + (cos2 x)y = x3 2) (BONUS) Quais dos seguintes operadores sa˜o lineares? a) L[u] = ∂u ∂x + x ∂u ∂y b) L[u] = ∂u ∂x + u ∂u ∂y c) L[u] = ∂u ∂x + ( ∂u ∂y )2 d) L[u] = √ 1 + x2(cos y) ∂u ∂x + ∂3u ∂y∂x∂y − [arctan(x/y)]u 3) Para cada equac¸a˜o, especifique a ordem e se ela e´ na˜o-linear, linear na˜o-homogeˆnea, ou linear homogeˆnea ; fornec¸a explicac¸o˜es. a) ut − uxx + 1 = 0 b) ut − uxx + xu = 0 c) ut − uxxt + uux = 0 d) utt − uxx + x2 = 0 e) iut − uxx + u/x = 0 4 f) ux(1 + u 2 x) −1/2 + uy(1 + u2y) −1/2 = 0 g) ux + e yuy = 0 h) ut + uxxxx + √ 1 + u = 0 4) Prove que a diferenc¸a de duas soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea linear L[u] = g com a mesma g e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea L[u] = 0. 5) Nos Problemas a)-b)-c)-d), verificar se a func¸a˜o, ou as func¸o˜es dadas, constituem soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial. a) y” − y = 0; y1(x) = ex, y2(x) = cosh(x). b) y” + 2y ′ − 3y = 0; y1(x) = e−3x, y2(x) = ex. c) xy ′ − y = x2; y(x) = 3x+ x2. d) 2x2y” + 3xy ′ − y = 0; x > 0, y1(x) = x1/2, y2(x) = x−1. 6) Nos Problemas a) e b), determinar os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial dada tem soluc¸o˜es da forma y = erx. a) y ′ + 2y = 0. b) y ′′ + y ′ − 6y = 0. 7) Nos Problemas a) e b), determinar os valores de r para os quais a equac¸a˜o diferencial dada tem soluc¸o˜es da forma y = xr. a) x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0. b) x2y ′′ − 4xy′ + 4y = 0. 8) Verifique para substituc¸a˜o direita que un(x, y) = sin(nx) sinh(ny) e´ uma soluc¸a˜o de ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 (10) para cada n > 0. 9) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dx dt = ax onde a e´ um paraˆmetro. Quais sa˜o os pontos de equil´ıbrio para esta equac¸a˜o? Para quais valores de a os equil´ıbrios sa˜o poc¸os (i.e. atratores)? Para quais sa˜o fontes (i.e. repulsores)? 5 10) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dx dt = ax+ 3 onde a e´ um paraˆmetro. Quais sa˜o os pontos de equil´ıbrio para esta equac¸a˜o? Para quais valores de a os equil´ıbrios sa˜o poc¸os (i.e. atratores)? Para quais sa˜o fontes (i.e. repulsores)? 11) Do Ca´lculo, determine quais func¸o˜es trigonome´tricas satisfazem a equac¸a˜o diferen- cial de segunda ordem d2y dx2 = −y. Verifique que combinac¸o˜es lineares dessas func¸o˜es tambe´m satisfazem a equac¸a˜o diferential, i.e. se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es, enta˜o y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) tambe´m e´ soluc¸a˜o. Ache, tambe´m, a soluc¸a˜o com as condic¸o˜es de contorno y(0) = 2 e y(pi/2) = 1. 6
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