Lista Schroedinger

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Lista Extra - Equação de Schrödinger
October 28, 2014
1 O Degrau de Potencial
Considere uma partícula não relativística, de massa M e energia E, se movendo
na direção horizontal paralela ao eixo x, inicialmente para a direita. Em x = 0
ela encontra uma barreira de altura constante U0, onde sofre reflexão. Desta
forma o potencial que entra na equação de Schrödinger pode ser escrito como:
U(x) = 0, para x < 0 e U(x) = U0, para x ≥ 0, onde U0 > E.
• Mostre que a equação de Schrödinger para a região I é
ψ′′I + κ
2
IψI = 0, κI =
√
2mE
~
. (1)
• Mostre que a função de onda completa para a região I é
ψI(x) = Ae
iκIx +Be−iκIx. (2)
OBS: Aqui teremos A 6= 0 e B 6= 0 pois para x < 0 há onda incidente
(com vetor de onda +κI) e refletida (com vetor de onda −κI).
• Mostre que a equação de Schrödinger para a região II é
ψ′′II − κ2IIψII = 0, κII =
√
2m(U0 − E)
~
. (3)
• Mostre que a função de onda completa para a região II é
ψII(x) = Ce
κIIx +De−κIIx, com C = 0. (4)
OBS: C = 0 é necessário para garantir uma probabilidade decrescente
dentro do degrau.
• Imponha as condições de continuidade da função de onda, e de sua primeira
derivada, ψI(x = 0) = ψII(x = 0) e ψ′I(x = 0) = ψ
′
II(x = 0), para obter
A =
(
κI + iκII
2κI
)
D e B =
(
κI − iκII
2κI
)
D. (5)
1
• Calcule a probabilidade PII(x, t) ≡ |ΨII(x, t)|2 = |D|2e−2κIIx de a partícula
ser encontrada no lado positivo do eixo x.
• Para o caso de um grão de poeira com M = 1 × 10−14kg e velocidade
v = 1 mm/s típico de agitação térmica, e com um degrau com altura
U0 = 2Ecin, qual a distância de penetração de barreira em que PII(x, t)
cai a 1% de seu valor em x = 0? (Resp: ∆x = 2, 4× 10−17m)
2 Tunelamento Quântico
Considere uma partícula não relativística, de massa M e energia E, se movendo
na direção horizontal paralela ao eixo x, inicialmente para a direita. Em x = 0
ela encontra uma barreira de altura constante U0 e largura L, onde sofre reflexão.
Desta forma o potencial que entra na equação de Schrödinger pode ser escrito
como: U(x) = 0, para x < 0 e x > L, enquanto que U(x) = U0, para 0 ≤ x ≤ L,
onde U0 > E.
• Mostre que a equação de Schrödinger para as regiões I e III é
ψ′′ + κ2ψ = 0, κ =
√
2mE
~
. (6)
• Mostre que a função de onda completa para a regiões I e III é
ψI(x < 0) = Ae
iκx +Be−iκx,
ψIII(x > L) = Ce
iκx +De−iκx, com D = 0. (7)
OBS: Aqui teremos A 6= 0 e B 6= 0 pois para x < 0 há onda incidente
(com vetor de onda +κ) e refletida (com vetor de onda −κ). Porém, para
x > L só há onda propagando para a direita, na direção e sentido de +κ,
logo precisamos fazer D = 0.
• Mostre que a equação de Schrödinger para a região II é
ψ′′ −K2ψ = 0, K =
√
2m(U0 − E)
~
. (8)
• Mostre que a função de onda pode ser escrita como
ψII(0 ≤ x ≤ L) = FeKx +Ge−Kx, x ≥ 0. (9)
OBS: Por simplicidade, considere o caso F = 0 de modo a garantir uma
probabilidade decrescente dentro da barreira.
2
• Escreva as condições de continuidade da função de onda, e de sua primeira
derivada, ψI(x = 0) = ψII(x = 0), ψ′I(x = 0) = ψ
′
II(x = 0), ψII(x = L) =
ψIII(x = L), ψ′II(x = L) = ψ
′
III(x = L),
A+B = G,
iκ(A−B) = −KG,
CeiκL = Ge−KL,
iκCeiκL = −KGe−KL. (10)
• Calcule a probabilidade PIII(x, t) ≡ |ΨIII(x, t)|2 = |C|2 6= 0 de a partícula
ser encontrada no lado direito da barreira de potencial, demonstrando o
tunelamento.
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