EDO EX3 2014

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Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matema´tica
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EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS - MAE127
(Agosto 2014- Dez 2014)
Notas e exerc´ıcios – 3
Professora: Stefanella Boatto
sala: 109 B– ramal: 7410 – email: edo.ufrj@gmail.com
Aulas de teoria: terc¸a e quinta 10h-12h sala B110, Bloco B, CT
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Monitora: Renata Loiola renata.loiola@globo.com
Gladston Duarte gladston.df@gmail.com
Equac¸o˜es de primeira ordem. Equac¸o˜es lineares e equac¸o˜es na˜o-lineares.
Teoremas de existeˆncia e unicidade da soluc¸a˜o. Curvas integrais. Intervalo
de definic¸a˜o de uma soluc¸a˜o versus domı´nio de uma func¸a˜o. Existeˆncia de
soluc¸o˜es via me´todo de Euler. Existeˆncia de soluc¸o˜es via me´todo de Picard
Referencias:
• Notas de aula.
• Equac¸o˜es Diferenciais (D. G. Zill), Cap. 1 :
1.1 : (Definic¸a˜o e Terminologia): ver o Exemplo 2, Pag. 6 e a discussa˜o sobre a
diferencia entre o domı´nio de uma func¸a˜o e o intervalo de definic¸a˜o de uma soluc¸a˜de
um problema de valor inicial. 1.2 (Problemas de Valor Inicial): ver discussa˜o sobre
o teorema de existeˆncia e unicidade da soluc¸a˜o)
• Equac¸o˜es Diferencias Elementares e Problemas de Valores de Contorno (Boyce &
DiPrima):
2.4 (Diferenc¸as entre equac¸o˜es lineares e na˜o-lineares)
2.8 (O Teorema de Existeˆncia e Unicidade)
• Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais (R. Rosa), Cap. 2 :
1 (Existeˆncia de soluc¸o˜es e me´todos de Euler e de Picard),
1.2 (Existeˆncia de soluc¸o˜es via me´todo de Picard),
1
1.3 (Exemplo de aplicac¸a˜o do me´todo de Picard),
2.1 (Exemplo de na˜o-unicidade),
2.2 (Condic¸o˜es suficientes para a unicidade).
• (OPCIONAL!!!) Para uma prova do Teorema 1 ver:
Pag. 73-76, Lawrence Perko ”Differencial Equations and Dynamical Systems”,
Springer
Pag 163-169, M.W. Hirsch and S. Smale ”Differential Equations, Dynamical Sys-
tems, and Linear Algebra”, Academic Press.
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Notas 2 - (segunda semana de aula)
Domı´nio versus Intervalo I de definic¸a˜o de uma soluc¸a˜o
O domı´nio de y = 1/x, considerada simplesmente como uma func¸a˜o, e´ o conjunto de todos
os nu´meros re´ais x exceto o 0, i.e.
Domı´nio = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞)
Entretanto, y = 1/x e´ tambe´m uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial linear de primeira
ordem
x
dy
dx
+ y = 0
(verifique!). Mas quando afirmamos que y = 1/x e´ uma soluc¸a˜o dessa ED, queremos dizer
que e´ uma func¸a˜o definida em um intervalo I no qual e´ diferencia´vel e satisfaz a equac¸a˜o,
portanto i e´ (−∞, 0) ou (0,+∞). Isso e´ mais claro quando consideramos o Problema de
Valor Inicial
x
dy
dx
+ y = 0,
y(xo) = yo
Se xo < 0, i.e. xo ∈ (−∞, 0) enta˜o o intervalo de definic¸a˜o da soluc¸a˜o e´ I = (−∞, 0).
Se xo > 0, i.e. xo ∈ (0,+∞) enta˜o o intervalo de definic¸a˜o da soluc¸a˜o e´ I = (0,∞).
Soluc¸a˜o Impl´ıcita de uma ED
Definic¸a˜o : Dizemos que uma relac¸a˜o
F (t, y) = 0
e´ uma soluc¸a˜o impl´ıcita de uma equac¸a˜o diferencial ordinaria, em um intervalo I, quando
existe pelo menos uma func¸a˜o φ(t) que satisfac¸a a relac¸a˜o, bem como a equac¸a˜o diferencial
2
em I.
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Exemplo : A relac¸a˜o t2 + y2 − 1 = 0 e´ uma soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial
dy
dt
= − t
y
no intervalo −1 ≤ t ≤ 1. De fato, por diferenciac¸a˜o implicita obtemos
d
dt
t2 +
d
t
y(t)2 =
d
dt
1 =⇒ 2t+ 2ydy
dy
= 0 =⇒ dy
dt
= − t
y
.
Ale´m disso, resolvendo para t2 + y2 = 1 para y em termos de t obtemos
y = ±
√
1− t2
As duas func¸o˜es
y = φ1(t) =
√
1− t2 e y = φ2(t) = −
√
1− t2
satisfazem a relac¸a˜o, isto e´
t2 + φ21 − 1 = 0 e t2 + φ22 − 1 = 0.
φ1(t) e φ2(t) sa˜o duas soluc¸o˜es explicitas definidas no intervalo 1 ≤ t ≤ 1.
Observac¸a˜o: Considere o sistema de equac¸o˜es diferencias
dx
dt
= f(x) (1)
onde f : R −→ R. Uma soluc¸a˜o deste sistema e´ a func¸a˜o
x : J −→ R
definida em J ⊂ R tal que para todo t ∈ J,
dx
dt
= f(x(t)).
Vamos denotar x
′
= dx/dt. Geometricamente, x(t) e´ a curva em R cujo vetor tangente
x
′
(t) existe para todo t ∈ J e e´ igual a f(x(t)).
Uma condic¸a˜o inicial ou valor inicial para a soluc¸a˜o x : J −→ R e´ o dado x(to) = xo,
onde to ∈ J e xo ∈ R. Para simplificar a notac¸a˜o, escolhemos to = 0. O problema principal
das equac¸o˜es diferencias e´ de encontrar a soluc¸a˜o de qualquer problema de valor inicial;
i.e., de encontrar a soluc¸a˜o do sistema que verifica a condic¸a˜o inicial x(0) = xo para todo
xo ∈ R.
Infelizmente, equac¸o˜es na˜o-lineares podem na˜o ter uma soluc¸a˜o que verifique uma dada
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condic¸a˜o inicial.
Existeˆncia de uma soluc¸a˜o : A equac¸a˜o diferencial
dy
dt
= f(t, y)
com dado inicial
y(to) = yo
tem soluc¸a˜o ?
Em outras palavras : alguma curva integral passa pelo ponto (to, yo) do plano ty ?
Unicidade de uma soluc¸a˜o : Quando podemos estar certos de que existe precisamente
uma curva integral passando pelo ponto (to, yo).
Em outras palavras : quando existe exatamente uma func¸a˜o φ(t) que verifica a equac¸a˜o
dφ(t)
dt
= f(t, φ(t))
e a condic¸a˜o inicial
φ(to) = yo ?
Teorema 1: (Existeˆncia e Unicidade)
Considere o Problema de Valor Inicial (PVI)
dy
dt
= f(t, y),
y(to) = yo.
Hipo´teses:
Suponha que D seja uma regia˜o no plano ty tal que :
1) f(t, y) e ∂f
∂y
(t, y) sa˜o ambas cont´ınuas;
2) o dado inicial (to, yo) ∈ D.
Tese : entexiste uma u´nica soluc¸a˜o y = φ(t) do PVI, isto e´
dφ(t)
dt
= f(t, φ(t)),
φ(to) = yo
e existe h > 0 tal que φ(t) esta´ definida ∀t ∈ (to − h, to + h).
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Observac¸o˜es:
1) As condic¸o˜es do Teorema 1 sa˜o suficientes, mas na˜o necessa´rias.
Quando f e ∂f
∂y
sa˜o cont´ınuas em um intervalo, deve-se sempre concluir que ha´ uma
u´nica soluc¸a˜o. Mas o contrario na˜o e´ verdade. Ou seja se as hipo´teses do teorema
na˜o sa˜o verificadas, na˜o se pode concluir que uma u´nica soluc¸a˜o nao pode existir.
Como exemplo disso considere
dy
dt
= |y − 1|, y(0) = 1
As hipo´teses do Teorema 1 na˜o sa˜o satisfeitas pois f e´ cont´ınua ∀t ∈ R mas ∂f
∂y
esta´
definida em D = (−∞, 1) ∪ (1,+∞) e portanto a condic¸a˜o inicial
(to, yo) = (0, 1) /∈ D.
Na˜o obstante, pode ser provad que y = φ(t) = 1, ∀t ∈ R e´ a u´nica soluc¸a˜o do PVI
2) O Teorema 1 se generaliza ao caso de mais de uma variavel desconhecida, i.e. para
Y ∈ Rn. Nesse caso Y ′ = F (t, Y ) onde F : R× Rn −→ Rn.
3) No caso autoˆnomo, o Teorema torna-se
dy
dt
= f(y), y(to) = yo.
Nesse caso a regia˜o D e´ uma faixa retangular
D = R× J2
onde J2 e´ o intervalo em y onde f(y) e df/dy sa˜o cont´ınuas.
4) Se a func¸a˜o f em (1) e´ linear na varia´vel dependente (nesse caso t) temos um
resultado bem mais forte:
Teorema 2: (Caso Linear)
Se as func¸o˜es p(t) e g(t) sa˜o cont´ınuas em um intervalo aberto I : α < t < β
contendo o ponto t = to enta˜o existe uma u´nica func¸a˜o y = φ(t) que satisfaz a
equac¸a˜o diferencial
dy
dt
+ p(t)y = g(t)
para cada t em I e que tambe´m satisfaz a condic¸a˜o inicial
y(to) = yo
onde yo e´ um valor inicial arbitra´rio prescrito.
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=⇒ O intervalo de definic¸a˜o da soluc¸a˜o coincide com o intervalo de con-
tinuidade das func¸o˜es p e g !!!!!!
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Exerc´ıcios:
1) Considere a equac¸a˜o diferencial
x
′
= f(x, t)
para
1) f(x, t) =
{
1 if x < 0
−1 if x ≥ 0. , 2) f(x) = 3x
2/3, 3) f(x, t) = t x1/2.
(a) Discuta a regularidade da func¸a˜o f respeito a variavel dependente x.
(b) Discuta a existeˆncia da soluc¸a˜o e do intervalo de definic¸a˜o da soluc¸a˜o em func¸a˜o
do dado inicial x(0) = xo. Em particular, existe uma soluc¸a˜o para x(0) = 0 ?
E para x(0) = xo > 0 ?
2) Para as seguintes equac¸o˜es, determine uma regia˜o do plano xy na qual a equac¸a˜o
diferencial dada tenha uma u´nica soluc¸a˜o cujo gra´ficopasse pelo ponto (xo, yo) nessa
regia˜o.
(a) x
dy
dx
= y, (b)
dy
dx
=
√
xy
(c)
dy
dx
− y = x, (d) (4− y2)y′ = x2.
3) Use o Teorema 1 para encontrar um intervalo ao qual o problema de valor inicial{
ty
′
+ 2y = 4t2
y(1) = 2
com uma u´nica soluc¸a˜o.
4) Aplique o Teorema 1 para determinar uma regia˜o no plano xy na qual o problema
de valor inicial
dy
dx
=
3x2 + 4x+ 2
2(y − 1) , y(0) = −1
tenha uma u´nica soluc¸a˜o.
5) Considere a equac¸a˜o diferencial
x
′
= x
(a) Integre a equac¸a˜o para separac¸a˜o de variaveis
(b) Utilize o me´todo de Picard e verifique que a soluc¸a˜do me´todo iterativo converge
a` soluc¸a˜o exata.
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6) (Ver Boyce Sec. 2.8) Resolva o problema de valor inicial
dy
dt
= 2t(1 + y), y(0) = 0,
pelo me´todo de aproximac¸o˜es sucessivas.
7) Escreva os primeiros termos do me´todo iterativo de Picard dos seguintes problemas
de valor inicial. Quando possivel, encontre as soluc¸o˜es e descreva os seus domı´nios.
(a) x
′
= x+ 2; x(0) = 2.
(b) x
′
= x4/3; x(0) = 0.
(c) x
′
= x4/3; x(0) = 1.
(d) x
′
= cosx; x(0) = 0.
(e) x
′
= 1/(2x); x(1) = 1.
8) Resolver a equac¸a˜o
dy
dx
+
1
2
y =
3
2
e determinar como as soluc¸o˜es se comportam para grandes valores de x. Determinar
tambe´m a soluc¸a˜o cuja curva passa pelo ponto (0, 2).
9) Achar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′
+ 2y = e−x,
y(0) = 0, 75.
10) Achar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′ − 2xy = x,
y(0) = 0.
11) Em cada problema achar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial.
a) y
′
+ 3y = x+ e−2x, b) y
′ − 2y = x2e2x,
c) y
′ − y = 2ex, d) xy′ + 2y = sinx, x > 0,
e) y
′
+ 2Xy = 2xe−x
2
, f) (1− x2)y′ + 4xy = (1 + x2)−2.
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12) Em cada problema achar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial proposto.
a) y
′ − y = 2xe2x, y(0) = 1 b) y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0,
c) xy
′
+ 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1/2, x > 0, d) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2,
e) xy
′
+ 2y = sinx, y(pi/2) = 1, f) x3y
′
+ 4x2y = ex, y(−1) = 0.
13) a) Mostrar que ϕ(x) = e2x e´ soluc¸a˜o de y
′ − 2y = 0 e que y = cϕ(x)
tambe´m e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o para qualquer valor da constante c.
b) Mostrar que ϕ(x) = 1/x e´ soluc¸a˜o de y
′
+ y2 = 0 para x > 0, mas que
y = cϕ(x) na˜o e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o a menos que c = 0 ou c = 1. Observe que a
equac¸a˜o da parte b) e´ na˜o- linear, enquanto a da parte a) e´ linear.
14) Resolver o problema de valor inicial{
x
′
= x1/3
x(0) = 0
por separac¸a˜o de varia´veis e para t ≥ 0.
15) Resolver o problema de valor inicial{
xy
′
+ 2y = 4x2,
y(1) = 2,
e determinar o intervalo no qual a soluc¸a˜o e´ valida.
16) (Ex. 2.1 Pag 44, Rosa): Em cada equac¸a˜o do tipo x
′
= f(t, x) abaixo, determine as
regio˜es no plano tx onde a func¸a˜o correspondente f(t, x) esta´ definida e tem derivada
parcial em relac¸a˜o a x cont´ınua por partes em t e x e, portanto, a unicidade pode
ser garantida no interior da regia˜o.
a) x
′
= x sin t, b) x
′
= lnx1/2, c) x
′
=
√
tx, d) x
′
= x− t1/3
e) x
′
= |x− 1|, f) x′ = |tx|, h) x′ = [x− t|,
i) x
′
= (x− t)1/3, j) x′ = x√x− 2.
17) (Ex. 2.2 Pag 44, Rosa): Considere a equac¸a˜o x
′
= x1/2− 1, em x ≥ 0. Mostre que a
func¸a˜o constante x(t) = 1, t ∈ R, e´ soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o. Podemos garantir que
ela seja a u´nica soluc¸a˜o com a condic¸a˜o inicial x(0) = 1 ?
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