Matematica e Raciocinio Lógico Aula 02 (2)

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BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
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1. Aula 2 - Equações e inequações de 1.º e 2.º graus; sistemas 
lineares. Funções; gráficos. Sequências numéricas. Funções 
exponenciais e logarítmicas. ................................................................ 2 
2. Memorex ........................................................................................ 34 
3. Lista das questões abordadas em aula ........................................... 35 
4. Gabarito ......................................................................................... 41 
AULA 2 
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1. Aula 2 - Equações e inequações de 1.º e 2.º graus; sistemas lineares. 
Funções; gráficos. Sequências numéricas. Funções exponenciais e 
logarítmicas. 
 
 
 
Começamos com uma questão de gráfico de função do primeiro grau, tipo de 
questão que a CESGRANRIO gosta (veremos outra a seguir). 
 
As equações do primeiro grau com uma incógnita são da forma: 
 
ax + b = 0, em que a≠0 
 
O termo a é chamado de coeficiente angular. Ele fornece a inclinação da curva 
da reta. Assim, duas retas diferentes, mas com o mesmo coeficiente a 
possuem a mesma inclinação, sendo paralelas. 
 
Um exemplo de equação da reta: 
 
4x + 12 = 0 
 
Para resolver, basta isolar a incógnita, descobrindo a raiz da equação 
(ponto em que a reta cruza o eixo x): 
 
Questão 1 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
 
A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n 
 
 
 
Então, o valor de m3 + n é 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 8 
(E) 13 
 
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4x + 12 = 0 
 
4x = -12 
 
x = 
12
3
4
−
= − 
 
Agora, vamos ter uma noção sobre o plano cartesiano, para, na sequência, ver 
como é o gráfico da função de primeiro grau. 
O plano cartesiano é também chamado de sistema de coordenadas 
cartesianas. Ele se resume à figura abaixo: 
 
 
O eixo horizontal indica as coordenadas x e o eixo vertical indica as 
coordenadas y. 
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). 
Por exemplo, o ponto (3 ; 4) indica que ele é formado por um x = 3 e um y = 
4: 
 
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O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções. 
 
Os valores relacionados a x constituem o domínio e os valores de y a 
imagem da função. 
 
Por exemplo, temos a função y = f(x) abaixo: 
 
 
O Domínio da função acima é dado pelo intervalo [a ; b]. 
Já a Imagem é dada pelo intervalo [c ; d]. 
O gráfico das equações de primeiro grau são uma reta. Por exemplo, abaixo 
temos o gráfico da equação acima. Percebam que a reta cruza o eixo x em x = 
-3: 
 
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y = 4x + 12
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-6 -4 -2 0 2 4 6
 
 
Para resolver esse tipo de questão, devemos utilizar os pontos dados no 
gráfico para substituir as incógnitas x e y na equação da reta. 
 
Desta forma, como são duas incógnitas, com dois pontos descobrimos os 
valores de a e b (no caso da questão, de m e n). 
 
Assim, temos: 
 
Ponto 1: 
 
x = 3 
y = 1 
 
y = mx + n 
 
1 = m(3) + n 
n = - 3m + 1 
 
Ponto 2: 
 
x = -2 
y = -9 
 
y = mx + n 
-9 = m(-2) + n 
n = 2m –9 
 
Agora temos duas equações de n em função de m, vamos igualar as duas: 
 
n = n 
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-3m +1 = 2m – 9 
5m = 10 
m = 2 
 
Colocamos esse valor de m em quaisquer das equações de n: 
 
n = -3(2) + 1 = -6 + 1 = -5 
 
Portanto, m3 + n = 23 – 5 = 8 – 5 = 3 
Resposta: Letra B. 
 
 
Novamente, aqui, temos um gráfico de uma reta, regido pela equação y = ax 
+ b. 
 
São dados os seguintes pontos: 
 
Ponto 1: 
 
x = 1 
y = 120 
 
Ponto 2: 
Questão 2 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Adm./2010 
 
O gráfico abaixo apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas 
de uma máquina extratora de óleos vegetais, em função do tempo t. 
 
 
 
Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas? 
(A) 6 horas e 20 minutos 
(B) 6 horas e 30 minutos 
(C) 6 horas e 40 minutos 
(D) 7 horas e 20 minutos 
(E) 7 horas e 40 minutos 
 
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x = 3 
y = 360 
 
Alem disso, temos o ponto x = 0 e y = 0. Dessa forma, já sabemos que b = 0. 
 
Vamos usar o ponto 1 para descobrir o valor de a: 
 
y = ax 
120 = a.1 
a = 120 
 
A equação é: y = 120x. 
 
Pede-se em quanto tempo são processados 800kg de oleaginosas. Portanto, é 
dado o valor de y, e pede-se x: 
 
800 = 120x 
x = 800/120 = 6,67h. 
 
São 6 horas e mais 2/3 de 1 hora (lembre-se sempre que 1/3 = 0,33, 2/3 = 
0,67). 2/3 de 1 hora são 40 minutos. Assim, leva-se 6 horas e 40 minutos para 
processar tal quantidade. 
 
Resposta: Letra C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Essa é uma questão conceitual sobre a equação de 2º grau e a radiciação. 
 
As equações de 2º grau são da forma: 
 
ax2 + bx + c = 0, em que a≠0 
 
Para resolver, seguem-se os seguintes passos: 
 
1) achar o ∆ (lê-se delta): 
 
∆ = b2 – 4ac 
 
Se: 
 
∆ < 0 --> a equação não possui solução real. 
Questão 3 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Um aluno do 9o ano do Ensino Fundamental escreveu a seguinte 
argumentação na resolução de um exercício. 
 
Exercício: 
Quais são as soluções da equação do segundo grau x2 − 9 = 0? 
 
Resolução formulada pelo aluno: 
Como x2 = 9, então, extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da 
equação, obtemos 
2 9x = . Daí, podemos concluir que a resposta do 
exercício é x = 3± , pois 
2x x= e 9 3= ± . 
 
No âmbito do conjunto dos números reais, universo de trabalho de um 
aluno do 9o ano do Ensino Fundamental, e considerando os procedimentos 
realizados pelo aluno na resolução do exercício, verifica-se que 
(A) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , mas as afirmações 
2x x= 
e 9 3= ± são ambas incorretas. 
(B) tanto a resposta do exercício, x = 3± , quanto as afirmações 
2x x= e 
9 3= ± são corretas. 
(C) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , e a afirmação 
2x x= está 
correta, mas não é verdade que 9 3= ± . 
(D) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , e a afirmação 
2x x= é 
incorreta, mas é verdade que 9 3= ± . 
(E) tanto a resposta do exercício, x = 3± , quanto as afirmações 
2x x= e 
9 3= ± são incorretas. 
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∆ = 0 --> a equação possui apenas uma solução real. 
 
∆ > 0 --> a equação possui duas soluções reais. 
 
2) utilizar o ∆ na equação: 
 
x = 
2
b
a
− ± ∆
 
 
A partir desta equação, são obtidas duas raízes, ou seja, dois “x” que 
satisfazem a equação: x’ e x’’ (no caso de ∆ = 0, será apenas 1 raiz). 
 
Por exemplo: 
 
x2 + 3x + 2 = 0∆ = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1 
 
x = 
2
b
a
− ± ∆
 = 
3 1
2(1)
− ±
 
 
x’ = -1 
 
x’’ = -2 
 
 
Voltando à questão, vou explicar baseando-me na explicação do aluno. 
 
Como x2 = 9, extraindo a raiz quadrada de ambos os lados realmente temos 
2 9x = . 
 
A resposta do exercício também é x = 3± , de fato. 
 
No entanto, 9 3= ± está incorreto, assim como 
2x x= . 
 
A raiz de qualquer número é sempre o módulo daquele número. Ou seja, o 
correto é 2x x= , e 9 3= . 
 
O que se faz é considerar a opção negativa para a resolução da equação de 2º 
grau. Mas, matematicamente, 2x x= , ou seja, é o número na forma 
absoluta, sem consideração sobre o sinal. 
 
Portanto, o aluno errou em afirmar que 
2x x= e 9 3= ± . A resposta é a 
letra A. 
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Resposta: Letra A. 
 
 
 
 
Essa é uma questão de sistemas lineares. 
 
O edital cobra sistemas lineares, mas não cobra matrizes. Portanto, acho que 
não serão cobrados sistemas com três incógnitas, só com duas (resolvemos da 
mesma forma que nas questões 1 e 2). 
 
Vou resolver apenas essa questão, para que vocês tenham uma ideia. 
 
Essas equações são também chamadas de Sistemas Lineares. E são 
resolvidas através da Regra de Cramer. 
 
SISTEMA PADRÃO: 
 
ax + by = z1 
cx + dy = z2 
 
Vamos chamar de D (“DEZÃO”) o determinante da matriz formada pelos 
coeficientes de “x” e “y”: 
 
DEZÃO = D = 
a b
c d
 
 
 
Vamos chamar de Dx o determinante da matriz formada pela substituição dos 
“zêzinhos” (z1 e z2) nos coeficientes de x. E vamos chamar de Dy o 
Questão 4 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Para que o sistema linear 
 
2 5 7
2 2 8
3 7
x y z
x y z
x y z A
+ − = −

− + − =
− + − = 
 
seja possível e indeterminado, devemos ter A igual a 
(A) − 56 
(B) − 15 
(C) − 1 
(D) 1 
(E) 23 
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determinante da matriz formada pela substituição dos “zêzinhos” nos 
coeficientes de y: 
 
Dx = 
1
2
z b
z d
 
 
 
 e Dy = 
1
2
a z
c z
 
 
 
Dito isso, temos que um sistema poderá ter uma, de três soluções possíveis: 
 
 
 
Sigla Definição Como saber? 
SPD 
 
(SISTEMA 
POSSÍVEL E 
DETERMINADO) 
O sistema possui apenas uma 
solução, que pode ser encontrada. 
DEZÃO ≠ 0 
 
PS: neste caso: 
 
x = e x = 
SPI 
 
(SISTEMA 
POSSÍVEL E 
INDETERMINADO) 
Várias soluções são possíveis para 
resolver o sistema (não apenas 
uma, como no caso SPD). 
DEZÃO = Dx = Dy = 0 
SI 
 
(SISTEMA 
IMPOSSÍVEL) 
O sistema não possui solução. 
DEZÃO = 0, MAS 
Dx ≠ 0 ou Dy ≠ 0 
 
 
Para um sistema ser possível e indeterminado, temos que a matriz dos 
coeficientes dela deve possuir determinante igual a zero, bem como as 
matrizes Dx, Dy e Dz (com a coluna do resultado no lugar de x, y e z, 
respectivamente). 
 
Portanto, vamos fazer a matriz dos coeficientes: 
 
D = 
1 2 5
2 1 2
1 3 7
−
− −
− −
 
 
 Como, através dela, não conseguimos encontrar o valor de A, calcularemos Dx 
(com a coluna dos resultados no lugar da coluna com os coeficientes de x): 
 
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Dx = 
1 2 7
2 1 8
1 3 A
−
−
−
 
 
 
 
Cálculo do determinante: O determinante de uma matriz 3 x 3 (com 3 
linhas e 3 colunas) é calculado da seguinte forma (azul = soma; vermelho = 
subtrai): 
 
 
 
Ou seja, temos: 
 
aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Para não se perder nas contas, repita as duas últimas colunas ao lado da 
matriz: 
 
 
 
 
12.3.1 + 1.2.4 + 2.1.5 – 4.3.2 – 5.2.12 – 1.1.1 = 
 
36 + 8 + 10 – 24 – 120 – 1 = 54 – 145 = -91 
 
Assim, na matriz Dx, temos: 
 
Dx = 
1 2 7
2 1 8
1 3 A
−
−
−
 
Dx = A –16 + 42 –7 – 24 + 4A = 0 
 
5A – 5 = 0 
 
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5A = 5 
 
A = 1 
 
Dessa forma, para o sistema ser possível e indeterminado, A deve ser igual a 
1. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
 
Nessa questão, pede-se o ponto de máximo (a própria questão já diz que é um 
ponto de máximo). 
 
Primeiramente, vamos falar do gráfico da equação de segundo grau, que é: 
 
 
 
Os pontos em que a função cruza o eixo x são as raízes da equação. 
 
O ponto mais inferior é chamado vértice da função. No caso, temos um ponto 
de mínimo. O ponto de mínimo ocorre quando a > 0. 
 
Já o ponto de máximo ocorre quando a < 0, e a parábola acima fica invertida 
(seu vértice é o maior y da função). 
 
O vértice é encontrado por x = –b/2a. Para obter o valor de y correspondente 
basta substituir esse valor na equação da função. 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Administrativo/2010 
 
O valor máximo da função de variável real f(x) = 4(1 + x)(6 − x) é 
 
(A) 44 
(B) 46 
(C) 48 
(D) 49 
(E) 50 
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Para resolver essa questão, vamos montar a equação de 2o grau 
correspondente, fazendo a multiplicação entre os parênteses. Depois, 
calculamos o valor da coordenada x (-b/2a), e de f(x) correspondente. 
 
4(1 + x)(6 − x) 
 
4[1.6 +1.(-x) + 6x + x.(-x)] = 4[6 – x + 6x – x2] = 4[-x2 + 5x + 6] 
 
Assim, a função é: 
 
f(x) = -4x2 + 20x + 24 
 
A coordenada x do vértice é –b/2a = -(20)/2(-4) = -20/-8 = 2,5. 
 
A coordenada f(x) = y correspondente é: 
 
f(2,5) = -4(2,5)2 + 20(2,5) + 24 = -4(6,25) + 50 + 24 = -25 + 50 + 24 = 49. 
 
Portanto, o valor máximo da função é y = 49. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
 
Agora, veremos como funcionam as inequações, suas semelhanças e 
diferenças em relação à equação correspondente. 
 
As inequações do primeiro grau com uma incógnita são da forma: 
 
ax + b < 0, em que a≠0 ou 
 
ax + b < 0, em que a≠0 ou 
 
Um exemplo: 
 
4x + 12 < 0 
 
Questão 6 – CESGRANRIO/BNDES/Técnico Arquivo/2009 
O conjunto-solução da inequação 9 - x2 > 0 é 
(A) - 3 > x > 3 
(B) - 3 < x < 3 
(C) x ? 3 
(D) x < 3 
(E) x > 3 
 
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Para resolver, basta isolar a incógnita, descobrindo a raiz da equação 
(ponto em que a reta cruza o eixo x): 
 
4x + 12 < 0 
 
4x < -12 
 
x <
12
4
−
 
 
x < -3 
 
Nas inequações, cada vez que a inequação é multiplicada por –1 (ou seja, 
quando se troca o sinal da inequação), o símbolo do meio se inverte. Por 
exemplo: 
 
x < -3 (-1) 
x > -3 
 
Já as inequações de 2º grau são da forma: 
 
ax2 + bx + c < 0, em que a≠0 ou 
 
ax2 + bx + c > 0, em que a≠0 ou 
 
Elas são resolvidas da mesma forma que as equações de 2o grau. No entanto, 
ao final, deve-se fazer uma análise dos sinais. Vamos resolver uma como 
exemplo: 
 
x2 + 3x + 2 > 0 (é a mesma equação que vimos antes, agora na forma de 
inequação). 
 
Para resolver, igualamos a inequação a zero: 
 
x2 + 3x + 2 = 0 
 
∆ = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1 
 
x = 
2
b
a
− ± ∆
 = 
3 1
2(1)
− ±
 
 
x’ = -1 
 
x’’ = -2 
 
Com o valor das raízes, fazemos o estudo do sinal, para ver em que 
condições a inequação é satisfeita. 
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Lembrando, precisamos que x2 + 3x + 2 > 0 
 
Como as raízes são –1 e –2, encontramos a seguinte situação: 
 
 
 
Os valores de x menores do que –2 fazem com que a equação seja positiva. 
Portanto, satisfaz a inequação. 
 
Os valores de x entre –2 e –1 fazem com que a equação seja negativa, 
portanto, a inequação não é satisfeita. 
 
Os valores de x maiores do que –1 fazem com que a equação seja positiva e, 
portanto, satisfazem a inequação. 
 
Assim, para a inequação, temos a seguinte solução: 
 
Solução = { | 2 ; 1}x x x∈ < − > −� 
 
Agora que já sabemos, vamos resolver a inequação da questão, 9 - x2 > 0: 
 
Primeiramente, igualamos a função a zero: 
 
9 - x2 = 0 
 
x2 = 9 
 
(já vimos a resposta da equação acima da questão 3, inclusive) 
 
x = 3± 
 
Vamos fazer a análise do sinal. Precisamos de 9 - x2 > 0. 
 
Sabemos que a equação toca o eixo x nos pontos x = 3 e x = -3. Coloquem na 
equação algum valor menor que –3 para saber o que acontece. 
 
Por exemplo, se x = -4 -----> y = -7. 
 
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Assim, para qualquer valor x menor do que –3, a função é negativa. O mesmo 
ocorre para qualquer valor maior do que 3. Temos o gráfico abaixo: 
 
 
Como são pedidos os valores de x que satisfazem a inequação 9 - x2 > 0, 
queremos apenas a região do gráfico acima que fornece valores positivos (ou 
seja, em que f(x) >0): 
 
 
 
Assim, x deve estar entre –3 e 3, –3<x<3. 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
 
 
Questão sobre a função logarítmica. 
 
A função logarítmica é da forma: 
 
Questão 7 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Adm./2010 
 
Quando os alunos perguntaram ao professor qual era a sua idade, ele 
respondeu: "Se considerarmos as funções f(x) = 1 + e g(x) = , 
e a igualdade g(i) = f(243), i corresponderá à minha idade, em anos." 
Quantos anos tem o professor? 
 
(A) 32 
(B) 48 
(C) 56 
(D) 60 
(E) 64 
 
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f: R→ � tal que y = logax, sendo que a > 0 e a ≠ 1. 
Seu gráfico é: 
 
 
 
 
Quando dizemos logax = y, isso quer dizer: 
 
ay = x 
 
Por isso, dizemos que a função logarítmica é o oposto da função exponencial 
(que é da forma y = ax). Vejam o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
Portanto, também se usa a função logarítmica para resolver problemas com a 
função exponencial. 
 
Há um logaritmo especial, o logaritmo neperiano: 
 
ln x = loge x 
 
Assim, se ln x = y, x = ey, em que e = número de Euler = 2,718281... 
 
Os logaritmos possuem as seguintes propriedades. 
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• Propriedade do produto do logaritmo: 
 
loga (x * y) = loga x + loga y 
 
• Propriedade do quociente do logaritmo: 
 
logax/y = logax – logay 
 
• Propriedade da potência do logaritmo: 
 
logaxm = m*logax 
 
• Propriedade da raiz do logaritmo: 
 
Quando estudamos radiciação, vimos que: 
 
m
n m nx x= 
 
Se combinarmos a equação acima com a propriedade da potência do 
logarítmo, temos: 
 
loga
m
nx = 
m
n
*logax 
 
 
• Propriedade da mudança de base: 
 
logba = 
log
log
c
c
a
b
 
 
Vamos à resolução da questão. 
 
A idade do professor é i. 
 
Colocando i no lugar de x na função g(x), temos g(i) = log2 i. 
 
f(243) é obtida colocando o número 243 no lugar de x na função f(x). 
Portanto, f(243) = 1 + log3 234. 
 
Assim, fazendo a igualdade: 
 
g(i) = f(243) 
 
log2 i = 1 + log3 234 
 
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Agora, precisamos simplificar os logaritmos. Devemos utilizar as propriedades. 
 
Reparem que 243 = 35. Portanto: 
 
log2 i = 1 + log3 35 
 
Pela propriedade da potência de logaritmo, temos: 
 
log2 i = 1 + 5.log3 3 
 
Vimos que o logaritmo expressa qual o número que, quando a base é elevada 
a ele, retorna o valor do logaritmo. Portanto, log3 3 é igual a 1, pois 31 = 3. 
 
log2 i = 1 + 5.1 
 
log2 i = 6 
 
Finalmente, pela definição de logaritmo, temos que 26 = i. i = 64. 
 
Resposta: letra E. 
 
Questão 8 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Considere a função f: D IR -> IR definida pela expressão analítica f(x) = 
ln (e2x), onde D representa o maior subconjunto real sobre o qual a mesma 
pode ser definida. A representação gráfica da função f é 
 
 
 
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Primeiramente, vamos analisar a função. Temos: 
 
f(x) = y = ln e2x. 
 
Pelas propriedades dos logaritmos, sabemos que: 
 
ln e2x = 2x.ln e 
 
Vimos que ln x = loge x. Portanto, ln e = loge e = 1 ---> (pois e1 = e) 
 
Portanto, a função f(x) = y = ln e2x é igual a f(x) = y = 2x.ln e = 2x 
 
Basta marcar a alternativa que representa o gráfico de y = 2x. Sabemos que é 
uma reta, em que b = 0 (a reta cruza o ponto x = 0 e y = 0). 
 
As alternativas que trazem esse tipo de gráfico estão nas letras a e b. A letra b 
define a função apenas para x>0, o que não é verdade, pois x pode ser 
qualquer valor. 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Começamos com as questões de PA (essa, do concurso do BB de 2010). 
 
Primeiramente, vamos ver o que é PA. Observe a seguinte sequência: 
 
4, 7, 10, 13, 16, 19... 
 
Poderia ser feita a seguinte pergunta: qual o 43º termo? 
 
Diante dessa pergunta, é importante perceber qual foi o padrão utilizado para 
a montagem da sequência. 
 
Questão 9 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de 
Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo 
nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 
606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual 
venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, 
qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 
2010? 
(A) 612,5 
(B) 621,3 
(C) 632,3 
(D) 658,5 
(E) 684,1 
 
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Vejam que a sequência começa em 4 e aumenta 3 a cada termo. 
 
Portanto, o 1º termo é 4, o 2º é 4 + 3 = 7, o 3º é 4 + 3 + 3 = 10... Ou seja, o 
2º termo aumenta “1” 3, o 3º termo aumenta “2” 3, o 4º termo aumenta “3” 
3... 
 
Assim, é fácil perceber que o 43º termo aumentará “42” 3, ou seja, o 43º 
termo será 4 + 42.3 = 130. Assim, o 43º termo é o 1º termo + (termo – 
1)*taxa de aumento. 
 
Pois bem, a sequência acima é chamada de Progressão Aritmética. 
Progressão porque cada termo relaciona-se ao anterior na sequência. 
Aritmética pois é uma relação de soma (cada termo é o anterior somado a 
algum outro número). 
 
Existe uma equação para a PA (é assim que ela é chamada). A equação é um 
resultado do raciocínio que tivemos acima: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
an é o termo na n posição. Por exemplo, a43 é o 43º termo. 
 
a1 é o termo na primeira posição. No nosso exemplo, a1 é 4. 
 
r é a taxa de aumento. Na nossa PA, a cada termo aumenta-se 3 unidades. Por 
isso, r = 3. 
 
Vamos aplicar a equação acima para descobrir o 43º termo: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
a43 = 4 + (43 – 1).3 
 
a43 = 130 
 
Vamos à resolução da questão. Sabemos, pelo enunciado, que a1 = 528,7. 
 
Em 2009,3 anos depois de 2006, temos a4 = 606,4. 
 
Vamos colocar esses dois valores na equação da PA, para descobrir qual a taxa 
anual de aumento: 
 
an = a1 + (n – 1)r 
 
a4 = a1 + (4 – 1)r 
 
606,4 = 528,7 + 3r 
 
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3r = 77,7 
 
r = 25,9 
 
Portanto, o aumento anual é de 25,9. Para 2010 (ano 5 da nossa PA), temos: 
 
an = a1 + (n – 1).25,9 
 
a5 = 528,7 + (5 – 1). 25,9 
 
a4 = 632,3 
 
Resposta: Letra C. 
 
 
 
Questão sobre PG, que utiliza logaritmo também. 
 
A lógica da Progressão Geométrica é a mesma da Progressão Aritmética. 
 
A diferença é o tipo de aumento. Enquanto lá tínhamos uma soma (exemplo, 
termo 1 = 4, termo 2 = 4 + 3, termo 3 = 4 + 3 + 3, termo 4 = 4 + 3 + 3 + 
3...), aqui temos um produto. 
 
Ou seja, numa PG, as sequências têm a forma 4, 12, 36, 108... Veja: 
 
a1 = 4 
 
a2 = 4.3 = 12 
 
a3 = 4.3.3 = 36 
 
a4 = 4.3.3.3 = 108... 
 
Assim, a equação da PG é: 
Questão 10 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Se ( )n na ∈� é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 125 
e cuja razão é igual a 1/25, então, a sequência definida por bn = log5 an é 
uma progressão 
 
(A) aritmética, cujo primeiro termo é igual a 3, e cuja razão é igual a −2 
(B) aritmética, cujo primeiro termo é 25, e cuja razão é igual a −5 
(C) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 25, e cuja razão é igual a 
1/2 
(D) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 3, e cuja razão é igual a −2 
(E) geométrica, cujo primeiro termo é 25, e cuja razão é igual a −5 
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an = a1.qn-1 
 
Se na PA temos o r, que é a taxa de aumento, na PG temos o q, que funciona 
da mesma maneira. 
 
Vamos descobrir o 43º termo da PG que vimos acima: 
 
a43 = 4.343-1 = 4.342 
 
Podemos perceber que na PG os termos aumentam muito rapidamente, 
justamente porque o termo é sempre resultado do termo anterior 
multiplicado, e não somado a uma constante. 
 
A questão diz que há uma PG = an. Esta PG possui a1 = 125 e q = 1/25. 
 
Assim, colocando estes valores na equação da PG, temos: 
 
an = a1.qn-1 
 
an = 125.(1/25)n-1. 
 
Há outra sequência, definida por bn = log5 an. Vamos colocar a equação de an 
na equação de bn: 
 
bn = log5 an 
 
bn = log5 125.(1/25)n-1 
 
Pelas propriedades loga (x * y) = loga x + loga y, sabemos que: 
 
bn = log5 125.(1/25)n-1 = log5 125 + log5 (1/25)n-1 
 
bn = log5 53 + log5 (1/25)n-1 
 
Já, pela propriedade logaxm = m*logax: 
 
bn = 3. log5 5 + (n – 1).log5 (1/52) 
 
log5 5 = 1. Pela propriedade logax/y = logax – logay: 
 
bn = 3.(1) + (n – 1).[log5 1 - log5 52] 
 
O log 1, não importa a base, é zero, pois qualquer número elevado a zero é 
igual a 1: 
 
bn = 3 + (n – 1).[0 - log5 52] 
 
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Novamente usamos a propriedade logaxm = m*logax: 
 
bn = 3 + (n – 1).(-2.log5 5) 
 
Finalmente: 
 
bn = 3 + (n – 1).(-2) 
 
Portanto, temos uma PA, cujo a1 = 3 e a razão é –2. 
 
Resposta: Letra A. 
 
Mais uma questão sobre a PA. 
O cometa foi descoberto em 1760, e, depois, foi visto em 1773 (13 anos 
depois que 1760), 1786 (13 anos depois que 1773...). 
 
Portanto, a1 = 1760 e a razão é 13. 
 
an = a1 + (n – 1).r 
an = 1760 + (n – 1).13 
 
A questão quer saber em qual dos próximos anos acontecerá uma nova 
aparição. 
 
Como não sabemos o valor de n, vamos testar cada alternativa, colocando o 
ano no lugar de an. A alternativa que retornar um valor de n inteiro é a 
resposta que procuramos. 
 
A) 2016: 
 
2016 = 1760 + (n – 1).13 
256 = 13n – 13 
13n = 269 
n = 29,69 ---> Falso. 
Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Administrativo/2010 
 
Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por 
poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre 
essa regularidade. Esse cometa será novamente visível no ano de 
(A) 2016 
(B) 2017 
(C) 2018 
(D) 2019 
(E) 2020 
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B) 2017: 
 
2017 = 1760 + (n – 1).13 
257 = 13n – 13 
13n = 270 
n = 20,77 ---> Falso. 
 
C) 2018: 
 
2018 = 1760 + (n – 1).13 
258 = 13n – 13 
13n = 271 
n = 20,84 ---> Falso. 
 
D) 2019: 
 
2019 = 1760 + (n – 1).13 
259 = 13n – 13 
13n = 272 
n = 20,92 ---> Falso. 
 
E) 2020: 
 
2020 = 1760 + (n – 1).13 
260 = 13n – 13 
13n = 273 
n = 21 ---> Verdadeiro. 
 
Resposta: Letra E. 
 
 
 
Questão sobre a soma dos termos de uma PG. 
 
PG existe uma equação que fornece a soma de seus termos. 
Questão 12 – CESGRANRIO/BNDES/Técnico de Arquivo/2011 
 
A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão 
tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos 
dessa progressão é igual a 12. 
Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica? 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 6 
(D) 9 
(E) 12 
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É importante saber se ela é finita ou não, ou seja, se ela possuir um último 
termo ela é finita, do contrário é infinita. 
 
A soma dos termos de uma PG finita é: 
 
Sn = 1
( 1)
1
na q
q
−
−
 
 
E a soma dos termos de uma PG infinita é: 
 
Sn = 1
1
a
q−
 
 
O enunciado diz que a soma infinita da PG é 6: 
 
6 = 1
1
a
q−
 
 
6(1 – q) = a1 
 
Agora, vamos fazer o que a questão mandou: Soma dos quadrados da PG. 
Temos: 
 
(a1)2 + (a2)2 + (a3)2 + (a4)2... + (an)2 
 
Vamos substituir cada termo pelo termo da PG: an = a1.qn-1: 
 
(a1)2 + (a1.q)2 + (a1.q2)2 + (a1.q3)2... + (a1.qn-1)2 
 
a12 + a12.q2 + a12.q4 + a12.q6... + a12.q2n-2 
 
Temos a formação de outra PG, cujo a1 = a12, e a razão é igual a q2. Vamos 
fazer a soma infinita dos termos dessa PG, que deve dar 12: 
 
Sn = 1
1
a
q−
 
 
Sn = 
2
1
21
a
q−
= 12 
 
Vimos, durante a aula, que existe um produto notável da forma: 
 
(a + b).(a - b) = a2 - b2 
 
Então, podemos expressar 1 – q2 como (1 + q)(1 – q): 
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2
1 12
(1 )(1 )
a
q q
=
+ −
 
 
Pela primeira equação que chegamos, temos: 6(1 – q) = a1. 
 
Substituindo: 
 
2
2
(6(1 ))
12
(1 )(1 )
6 (1 )
12
(1 )
36 36 12 12
48 24
1
2
q
q q
q
q
q q
q
q
−
=
+ −
−
=
+
− = +
=
=
 
 
Com o valor de q, voltamos à equação com a1: 
 
6(1 – q) = a1 
 
6(1 – 1/2) = a1 
 
a1 = 6.1/2 = 3 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
 
 
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A questão propõe que haja um número n que, se somado à 1, 5, 7, forme uma 
PG. 
 
Assim, temos: 
 
a1 = 1 + n 
 
a2 = 5 + n 
 
a3 = 7 + n 
 
Vamos colocar na equação da PG: 
 
an = a1.qn-1 
 
a2 = a1.q 
 
(5 + n) = (1 + n).q 
 
q = 
5
1
n
n
+
+
 
 
a3 = a1.q2 
 
(7 + n) = (1 + n).q2 
 
Substituindo a equação que encontramos antes: 
 
Questão 13 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
 
Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os 
resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma 
progressão geométrica? 
(A)– 9 
(B) – 5 
(C) – 1 
(D) 1 
(E) 9 
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Questão 14 – CESGRANRIO/EPE/Assistente Administrativo/2010 
Na "Projeção da demanda de energia elétrica no Sistema Interligado 
Nacional (SIN) para o Plano Anual da Operação Energética (PEN 2010)", 
prevê-se um consumo de energia elétrica nas residências brasileiras de 
103.272 GWh, em 2010, e de 126.425 GWh, em 2014. Considerando- se 
que essas projeções se confirmem e que o aumento anual no consumo de 
energia elétrica nas residências brasileiras, de 2010 a 2014, ocorra 
linearmente, formando uma progressão aritmética (PA), qual será, em 
GWh, a razão dessa PA? 
(A) 2.315,30 
(B) 4.630,60 
(C) 5.788,25 
(D) 7.717,67 
(E) 8.691,65 
2
2
2
2
2 2
(7 ) (1 ).
5
(7 ) (1 ).
1
(5 )
(7 )
1
(5 ) (1 )(7 )
25 10 7 7
2 18
9
n n q
n
n n
n
n
n
n
n n n
n n n n n
n
n
+ = +
+ 
+ = +  + 
+
+ =
+
+ = + +
+ + = + + +
= −
= −
 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Mais uma questão de PA. 
 
O enunciado fornece o termo a1 = 103272, e o termo a5 = 126425. 
 
Vamos colocar na equação da PA para descobrir a razão n: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
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a5 = a1 + (5 – 1).r 
 
126425 = 103272 + 4r 
 
23153 = 4r 
 
r = 5788,25 
 
Resposta: Letra C. 
 
 
Os múltiplos de 11 são: 11*1 = 11, 11*2 = 22, 11*3 = 33... 
 
A questão quer saber a soma desses múltiplos, mas só aqueles com 4 
algarismos. 
 
É uma PA finita. A razão já sabemos, 11. 
 
Precisamos saber como é a Soma dos Termos de uma PA Finita. Vamos voltar 
ao nosso exemplo: 
 
4, 7, 10, 13, 16, 19... 
 
Vamos supor que ela acabe no 43º termo (aquele que encontramos acima): 
 
4, 7, 10, 13, 16, 19... 130. 
 
Se quisermos saber qual a soma de todos esses elementos (4 + 7 + 10 + ... + 
130), podemos utilizar a seguinte equação: 
 
Sn = 1 .
2
n
a a
n
+ 
 
 
 
 
Por exemplo, nesse caso: 
 
Questão 15 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? 
(A) 4.504.500 
(B) 4.505.000 
(C) 4.505.500 
(D) 4.506.000 
(E) 4.506.500 
 
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S43 = 1 43 .43
2
a a+ 
 
 
 
 
S43 = 
4 130 134
.43 .43 2881
2 2
+   
= =   
   
 
 
Assim, a soma 4 + 7 + 10 + ... + 130 = 2881. 
 
Para resolver a questão, precisamos encontrar a1 e an para colocar na equação 
da Soma acima. 
 
Vamos pensar, indo pelo fácil: 11*100 = 1100. E 11*10 = 110. Portanto, 
(100-10)*11 = 1100 – 110 = 990, que não queremos. Se diminuirmos 1, 
temos 100 – 9 = 91. 
 
91*11 = 1001. Pronto, encontramos o primeiro termo da PA. 
 
Precisamos encontrar o último termo. 
 
Ele é dado por: an = 1001 + (n – 1).11 
 
 
1001
1
11
n
a
n
−
= − 
 
O último termo da PA deve ser algo em torno de 9999 (o último número com 4 
algarismos). 
 
Vamos diminuir 1001 de 9999 e dividir por 11, para ver se achamos o n - 1: 
 
9999 – 1001 = 8998 
 
8998/11 = 818. 
 
Tivemos sorte. Exatamente 9999 é o último termo da nossa PA. 
 
Assim: 
 
818 1
819
n
n
= −
=
 
 
Vamos fazer a soma da PA: 
 
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Sn = 
1001 9999
.819
2
11000
.819
2
5500.819 4504500
+ 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
Resposta: Letra A. 
 
Finalizamos por aqui. Aguardo as dúvidas no fórum. 
 
Abraços, 
 
Karine 
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2. Memorex 
 
 
∆ = b2 – 4ac 
 
x = 
2
b
a
− ± ∆
 
 
Vértice: x = –b/2a 
 
PA: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
Sn = 1 .
2
n
a a
n
+ 
 
 
 
 
PG: 
 
an = a1.qn-1 
 
Sn = 1
( 1)
1
na q
q
−
−
 (PG finita) 
 
Sn = 1
1
a
q−
 (PG infinita) 
 
 
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3. Lista das questões abordadas em aula 
 
Questão 1 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
 
A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n 
 
 
 
Então, o valor de m3 + n é 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 8 
(E) 13 
 
Questão 2 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Adm./2010 
 
O gráfico abaixo apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de 
uma máquina extratora de óleos vegetais, em função do tempo t. 
 
 
 
Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas? 
(A) 6 horas e 20 minutos 
(B) 6 horas e 30 minutos 
(C) 6 horas e 40 minutos 
(D) 7 horas e 20 minutos 
(E) 7 horas e 40 minutos 
 
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Questão 3 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Um aluno do 9o ano do Ensino Fundamental escreveu a seguinte 
argumentação na resolução de um exercício. 
 
Exercício: 
Quais são as soluções da equação do segundo grau x2 − 9 = 0? 
 
Resolução formulada pelo aluno: 
Como x2 = 9, então, extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, 
obtemos 
2 9x = . Daí, podemos concluir que a resposta do exercício é x = 
3± , pois 
2x x= e 9 3= ± . 
 
No âmbito do conjunto dos números reais, universo de trabalho de um aluno 
do 9o ano do Ensino Fundamental, e considerando os procedimentos 
realizados pelo aluno na resolução do exercício, verifica-se que 
(A) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , mas as afirmações 
2x x= e 
9 3= ± são ambas incorretas. 
(B) tanto a resposta do exercício, x = 3± , quanto as afirmações 
2x x= e 
9 3= ± são corretas. 
(C) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , e a afirmação 
2x x= está 
correta, mas não é verdade que 9 3= ± . 
(D) a resposta do exercício é, de fato, x = 3± , e a afirmação 
2x x= é 
incorreta, mas é verdade que 9 3= ± . 
(E) tanto a resposta do exercício, x = 3± , quanto as afirmações 
2x x= e 
9 3= ± são incorretas. 
 
Questão 4 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Para que o sistema linear 
 
2 5 7
2 2 8
3 7
x y z
x y z
x y z A
+ − = −

− + − =
− + − = 
 
seja possível e indeterminado, devemos ter A igual a 
(A) − 56 
(B) − 15 
(C) − 1 
(D) 1 
(E) 23 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Administrativo/2010 
 
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O valor máximo da função de variável real f(x) = 4(1 + x)(6 − x) é 
 
(A) 44 
(B) 46 
(C) 48 
(D) 49 
(E) 50 
 
Questão 6 – CESGRANRIO/BNDES/Técnico Arquivo/2009 
O conjunto-solução da inequação 9 - x2 > 0 é 
(A) - 3 > x > 3 
(B) - 3 < x < 3 
(C) x ? 3 
(D) x < 3 
(E) x > 3 
Questão 7 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Adm./2010 
 
Quando os alunos perguntaram ao professor qual era a sua idade, ele 
respondeu: "Se considerarmos as funções f(x) = 1 + e g(x) = , e a 
igualdade g(i) = f(243), i corresponderá à minha idade, em anos." Quantos 
anos tem o professor? 
 
(A) 32 
(B) 48 
(C) 56 
(D) 60 
(E) 64 
 
Questão 8 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Considere a função f: D IR -> IR definidapela expressão analítica f(x) = ln 
(e2x), onde D representa o maior subconjunto real sobre o qual a mesma 
pode ser definida. A representação gráfica da função f é 
 
 
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 Questão 9 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo 
(Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos 
anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de 
dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo 
de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões 
de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010? 
(A) 612,5 
(B) 621,3 
(C) 632,3 
(D) 658,5 
(E) 684,1 
Questão 10 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor/2011 
 
Se ( )n na ∈� é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 125 e 
cuja razão é igual a 1/25, então, a sequência definida por bn = log5 an é uma 
progressão 
 
(A) aritmética, cujo primeiro termo é igual a 3, e cuja razão é igual a −2 
(B) aritmética, cujo primeiro termo é 25, e cuja razão é igual a −5 
(C) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 25, e cuja razão é igual a 1/2 
(D) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 3, e cuja razão é igual a −2 
(E) geométrica, cujo primeiro termo é 25, e cuja razão é igual a −5 
Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico Administrativo/2010 
 
Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por 
poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre essa 
regularidade. Esse cometa será novamente visível no ano de 
(A) 2016 
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(B) 2017 
(C) 2018 
(D) 2019 
(F) 2020 
 
Questão 12 – CESGRANRIO/BNDES/Técnico de Arquivo/2011 
 
A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão tem 
módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa 
progressão é igual a 12. 
Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica? 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 6 
(D) 9 
(E) 12 
Questão 13 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
 
Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os 
resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma 
progressão geométrica? 
(A) – 9 
(B) – 5 
(C) – 1 
(D) 1 
(E) 9 
Questão 14 – CESGRANRIO/EPE/Assistente Administrativo/2010 
Na "Projeção da demanda de energia elétrica no Sistema Interligado 
Nacional (SIN) para o Plano Anual da Operação Energética (PEN 2010)", 
prevê-se um consumo de energia elétrica nas residências brasileiras de 
103.272 GWh, em 2010, e de 126.425 GWh, em 2014. Considerando- se que 
essas projeções se confirmem e que o aumento anual no consumo de energia 
elétrica nas residências brasileiras, de 2010 a 2014, ocorra linearmente, 
formando uma progressão aritmética (PA), qual será, em GWh, a razão dessa 
PA? 
(A) 2.315,30 
(B) 4.630,60 
(C) 5.788,25 
(D) 7.717,67 
(E) 8.691,65 
Questão 15 – CESGRANRIO/Petrobrás/Administrador/2010 
Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? 
(A) 4.504.500 
(B) 4.505.000 
(C) 4.505.500 
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(D) 4.506.000 
(E) 4.506.500 
 
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4. Gabarito 
 
 1 – B 
 2 – C 
 3 – A 
 4 – D 
 5 – D 
 6 – B 
 7 – E 
 8 – A 
 9 – C 
 10 – A 
 11 – E 
 12 – B 
 13 – A 
 14 – C 
 15 – A