Matematica e Raciocinio Lógico Aula 05

Prévia do material em texto

BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1
 
 
1. Aula 5 – Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, 
proporcionais, real e aparente. Rendas uniformes e variáveis. Planos 
de amortização de empréstimos e financiamentos. Cálculo financeiro: 
custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e 
investimento. Avaliação de alternativas de investimento. Taxas de 
retorno................................................................................................. 2 
1.1 Taxas........................................................................................... 2 
1.2 Rendas Certas ............................................................................. 4 
1.2.1 Fator de Valor Atual............................................................... 4 
1.2.2 Fator de Valor Futuro............................................................. 7 
1.3 Sistemas de Amortização .......................................................... 11 
1.3.1 Sistema Francês (Price)....................................................... 11 
1.3.2 SAC (Sistema de Amortização Constante) ........................... 12 
1.3.3 Sistema Americano.............................................................. 13 
1.4 Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). 14 
1.5 Custo Efetivo Total e Custo Efetivo Real .................................... 15 
2. Exercícios comentados ................................................................... 16 
3. Memorex ........................................................................................ 69 
4. Lista das questões abordadas em aula ........................................... 70 
5. Gabarito ......................................................................................... 88 
Aula 5 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 2
 
1. Aula 5 – Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, 
real e aparente. Rendas uniformes e variáveis. Planos de amortização de 
empréstimos e financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de 
operações de financiamento, empréstimo e investimento. Avaliação de 
alternativas de investimento. Taxas de retorno. 
 
Pessoal, boa tarde. 
 
Hoje teremos a aula mais importante do nosso curso. Por isso ela está um 
pouco maior do que o habitual. 
 
Peço muita atenção, pois tenho certeza que desta aula sairão boa parte das 
questões peso 2 da prova de Matemática do BB. 
 
Vamos à aula. 
 
1.1 Taxas 
 
O assunto Taxas não exige muito raciocínio. Minha intenção aqui é esclarecer 
os termos diferentes que o examinador usa, para que vocês não errem coisas 
bobas na hora da prova. 
 
É um assunto muito cobrado. 
 
Primeiro vou esclarecer o que é a Taxa Efetiva. Bem, taxa efetiva é a taxa 
que a gente quer sempre saber, aquela que iremos chamar de i, colocar na 
equação e utilizar para resolver a questão. Bem, essa é a taxa efetiva. 
 
Acontece que, em algumas questões, o examinador diz assim: “A taxa é de 
24% ao ano com capitalização mensal”. O que é isso? 
 
Essa taxa fornecida pelo examinador (24% ao ano) é o que chamamos de 
Taxa Nominal. Ela é chamada assim porque só tem nome mesmo. O que 
quero dizer é que ela tem nome de taxa anual, mas, como é capitalizada 
mensalmente, sua taxa efetiva é uma taxa mensal. E a taxa efetiva é 
resultante da taxa nominal dividida pelo período compreendido. Por exemplo, 
nesse caso, a taxa efetiva é de 24/12 = 2% ao mês. Ou seja: 
 
Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período. 
 
Existem também as Taxas Equivalentes. Por exemplo, sabemos que a 
maioria dos bancos cobra juros do cheque especial de 10% ao mês. E se 
quisermos saber quanto isso significa em um ano? Será que basta multiplicar 
por 12? 
 
Não. Isso já sabemos... como, nesse caso, estamos falando de juros 
compostos, não adianta multiplicar 10 x 12 e achar que os juros serão de 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 3
120% ao ano. Eles serão maiores, porque os 10% de cada mês incide sobre os 
juros do mês anterior, resultando numa taxa anual maior... 
 
E agora? Se não basta multiplicar, como calculamos? Bem, existe uma equação 
simples para isso: 
 
(1 + I) = (1 + i)K 
 
Explicando o que significa cada incógnita: 
 
I = é a taxa do período maior (por exemplo, ano) 
i = é a taxa do período menor (por exemplo, mês) 
K = é o número de períodos menores incluídos em cada período maior (por 
exemplo, 1 ano possui 12 meses, então, nesse caso, K = 12). 
 
Pessoal, eu citei anos e meses mas essa equação pode ser utilizada com 
qualquer relação entre períodos, ok? 
 
Vamos resolver para o nosso exemplo? Saber de quanto é a taxa de juros do 
cheque especial em 1 ano... 
 
(1 + I) = (1 + 0,1)12 
1 + I = 1,112 = 3,1384 
I = 3,1384 – 1 = 2,1384 = 213,84% 
 
Ou seja, muito maior do que os 120% se o método utilizado fosse o de juros 
simples... 
 
Outras duas taxas que estão “na moda” são as taxas aparente e real. 
 
A taxa aparente e a taxa real são iguais quando não é levada em conta a 
inflação. É o que ocorre na maioria das questões. 
 
A taxa é chamada aparente porque não considera a inflação do período. 
 
Vejamos um exemplo. O salário de um servidor público, que era de R$ 10.000, 
aumentou 15% de um ano para outro. Ou seja, foi para R$ 11.500,00. 
 
Ocorre que a inflação do período foi de 5%. Ou seja, se não houvesse 
aumento, apenas uma correção devido à inflação, o salário ficaria R$ 
10.500,00. 
 
Portanto, o aumento real do salário não foi de R$ 10.000 para R$ 11.500. Foi 
de R$ 10.500 para R$ 11.500, pois houve inflação no período. 
 
Assim, a taxa real de aumento foi (11500 – 10500)/10500 = 
aproximadamente 9,5%. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 4
Percebam que a taxa real NÃO é obtida simplesmente descontando o aumento 
aparente da inflação (nesse caso seria 15 – 5 = 10%). 
 
Há uma equação que relaciona as taxas aparente e real: 
 
1 + ia = (1 + ir).(1 + inf) 
 
Ela pode ser usada ou não. Se não for lembrada na hora da prova, basta usar 
o conceito de taxa aparente x taxa real. 
 
 
1.2 Rendas Certas 
 
1.2.1 Fator de Valor Atual 
 
Pessoal, o assunto que veremos agora é um dos assuntos mais cobrados 
em Matemática Financeira, tenho certeza. 
 
Quando você ouvir sobre esse nome (“Rendas Certas”), lembre logo das 
Casas Bahia. Frequentemente, passamos em frente a alguma loja das Casas 
Bahia e ouvimos promoções como essa: 
 
 
 
 
 
 
 
Vocês percebem que existem juros incluídos no parcelamento proposto 
acima? Sim! Percebam que, à vista, o produto custa 1.199,00 reais. Já o valor 
a prazo é de 12x119,90, ou seja, 1.950,00 reais. 
 
A pergunta é: isso representa juros de quanto? Para que entendamos 
melhor, expressaremos a promoção na série de pagamentos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÓ HOJE!!! TV DE LCD POR R$ 
1.199,00 À VISTA OU 10 x 195,00!!! 
Ao invés de 1 
pagamento de 
1.199,00, à vista... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 5
 
 
 
 
 
 
A Matemática Financeira chama o esquema acima de Rendas Certas, e propõe 
a seguinte equação para resolvê-la. 
 
VP = PMT.A(n,i) 
 
VP é o valor presente que conhecemos. No nosso caso, é o 1.199. 
 
PMT é o valor da prestação. Em inglês, significa Periodic Payment Amount. 
 
A(n,i) é um valor que se chama Fator de Valor Atual. É um valor encontrado 
a partir do número de parcelas (o “n”)e da taxa (o “i”). Este valor, assim 
como a equação acima, são derivados das equações que já vimos, de juros 
compostos (a dedução é longa e não farei, por ser desnecessária para o 
aprendizado de vocês). Este fator é encontrado em tabelas financeiras, como 
abaixo. 
 
 
 
TABELA DO FATOR DE VALOR ATUAL A(n,i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 0,99 0,98 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,893 0,87 0,847 
2 1,97 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,69 1,626 1,566 
3 2,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,402 2,283 2,174 
4 3,092 3,808 3,717 3,63 3,546 3,465 3,387 3,312 3,24 3,17 3,037 2,855 2,69 
5 4,853 4,713 4,58 4,452 4,329 4,212 4,1 3,993 3,89 3,791 3,605 3,352 3,127 
6 5,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,111 3,784 3,498 
7 6,728 6,472 6,23 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,564 4,16 3,812 
8 7,652 7,325 7,02 6,733 6,463 6,21 5,971 5,747 5,535 5,335 4,968 4,487 4,078 
9 8,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,328 4,772 4,303 
10 9,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4,494 
11 10,37 9,787 9,253 8,76 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 5,938 5,234 4,656 
12 11,26 10,58 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,194 5,421 4,793 
13 12,13 11,35 10,64 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,424 5,583 4,91 
14 13 12,11 11,3 10,56 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,628 5,724 5,008 
15 13,87 12,85 11,94 11,12 10,38 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 6,811 5,847 5,092 
16 14,72 13,58 12,56 11,65 10,84 10,11 9,447 8,851 8,313 7,824 6,974 5,954 5,162 
17 15,56 14,29 13,17 12,17 11,27 10,48 9,763 9,122 8,544 8,022 7,12 6,047 5,222 
18 16,4 14,99 13,75 12,66 11,69 10,83 10,06 9,372 8,756 8,201 7,25 6,128 5,273 
 
 
No caso da TV das Casas Bahia (nosso exemplo), temos: 
 
VP = PMT.A(n,i) 
1199 = 195.A(10,i) 
São feitos 10 
pagamentos de 
195,00, com juros... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 6
A(10,i) = 6,149 
 
Agora, vamos à tabela e procuramos na linha referente ao n = 10 (pois são 10 
parcelas). 
 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
10 9,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4,494 
 
Reparem que o valor encontrado é aproximadamente o valor referente a uma 
taxa de 10% por período (o que, no nosso caso, se refere ao mês). Ou seja, na 
promoção das Casas Bahia que observamos, a taxa é de aproximadamente 
10% ao mês. 
 
1.2.1.1 Fator de Valor Atual - Diferido 
 
Pessoal, pode acontecer de a questão apresentar uma pequena variação do 
que vimos para vocês. Hoje em dia isso acontece muito nos feirões de 
automóveis que existem nas concessionárias. Normalmente, eles dizem o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, compra-se um carro no Natal (digamos, em dezembro de 2011) e 
começa-se a pagar só na Páscoa (que em 2012 ocorrerá só em abril). 
 
Digamos que o carro seja pago em 10x, com a primeira parcela em Abril. A 
série de pagamentos toma a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPRE UM CARRO NO NATAL E SÓ 
COMECE A PAGAR NA PÁSCOA!!! 
Compramos o carro no 
Natal (Dezembro) 
Em Jan, Fev 
e Mar não 
realizamos 
pagamento 
algum 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 7
 
 
 
 
 
 
Matematicamente falando, teremos três períodos sem pagamento (Janeiro, 
Fevereiro e Março). Para calcular, criamos algo que alguns professores 
chamam de “Parcela Fictícia”. 
 
O nome pode parecer difícil, mas a resolução é bem tranquila. Vejam só: no 
nosso exemplo, não houve pagamentos em três períodos. Então, para 
solucionar o problemas, utilizamos o seguinte cálculo: 
 
VP = PMT.[A(10+3,i) – A(3,i)] 
 
No primeiro termo referente ao Fator de Valor Atual, além das 10 parcelas que 
contêm o financiamento, adicionaremos mais 3, que são aquelas em que não 
há pagamentos. Só que, no segundo termo, retiramos estas parcelas. Ou seja, 
incluímos no primeiro termo, o que significa pegar o A(13,i) na tabela. E 
diminuímos este valor encontrado do A(3,i). 
 
Esse conceito de parcelas fictícias é bastante utilizado na resolução de 
problemas de Matemática Financeira. 
 
1.2.2 Fator de Valor Futuro 
 
E se, ao invés de uma promoção das Casas Bahia, tivéssemos uma aplicação, 
que nos renderia um dinheiro no futuro? Imaginem um banco fazendo o 
seguinte anúncio: 
 
 
 
A pergunta, aqui, é: qual a rentabilidade da aplicação? Para que 
entendamos melhor, expressaremos a “poupança” proposta acima na série 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
O pagamento começa na Páscoa, em 
Abril... 
BANCO PARAÍSO: SÓ AQUI VOCÊ APLICA 
100 REAIS POR MÊS DURANTE UM ANO E 
AO FINAL RETIRA 2700 REAIS 
E, ao final, se retira o 
valor total de 2.700 
reais... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, ao invés de anteciparmos os valores de uma série de 
pagamentos, fazemos o contrário: o que ocorre é a capitalização dos 
valores das parcelas, até a data final. 
 
A Matemática Financeira propõe a seguinte equação para a resolução do 
sistema acima: 
 
VF = PMT.S(n,i) 
 
VF é o Valor Futuro, ou seja, o quanto de capital acumulado teremos ao final 
dos depósitos. 
 
PMT é o valor dos depósitos. 
 
O valor S(n,i) funciona da mesma maneira que o A(n,i) que já vimos, e se 
chama Fator de Acumulação de Capital ou Fator de Valor Futuro. 
 
É um valor encontrado a partir do número de parcelas (o “n”) e da taxa (o “i”). 
 
Este valor também é derivado das equações que já vistas, de juros compostos. 
É encontrado em tabelas financeiras, como abaixo. 
 
 
TABELA: FATOR DE VALOR FUTURO S(n,i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 2,12 2,15 2,18 
3 3,0301 3,06 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,31 3,374 3,473 3,572 
4 4,06 4,122 4,184 4,246 4,31 4,375 4,44 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5,215 
5 5,101 5,204 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,353 6,742 7,154 
6 6,152 6,308 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 8,115 8,754 9,442 
7 7,214 7,434 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,2 9,487 10,089 11,067 12,142 
8 8,286 8,583 8,892 9,214 9,549 9,897 10,26 10,637 11,028 11,436 12,3 13,727 15,327 
9 9,369 9,755 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,776 16,786 19,086 
10 10,462 10,95 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 17,549 20,304 23,521 
11 11,567 12,169 12,808 13,486 14,207 14,972 15,784 16,645 17,56 18,531 20,655 24,349 28,755 
12 12,683 13,412 14,192 15,026 15,917 16,87 17,888 18,977 20,141 21,384 24,133 29,002 34,931 
13 13,809 14,68 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42,219 
São feitos 12 
depósitos de 100 
reais... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 9
14 14,947 15,974 17,086 18,292 19,599 21,013 22,55 24,215 26,019 27,975 32,393 40,505 50,818 
15 16,097 17,293 18,599 20,024 21,579 23,276 25,129 27,152 29,361 31,772 37,28 47,58 60,965 
16 17,258 18,639 20,157 21,825 23,657 25,673 27,888 30,324 33,003 35,95 42,753 55,717 72,939 
17 18,43 20,012 21,762 23,698 25,84 28,213 30,84 33,75 36,974 40,545 48,884 65,075 87,068 
18 19,615 21,412 23,414 25,645 28,132 30,906 33,999 37,45 41,301 45,599 55,75 75,836 103,74 
 
 
Mas, aqui, temos uma grande diferença, quanto à maneira de calcular, em 
relação à equação com o Fator de Valor Atual. 
 
É o seguinte: 
 
No sistema de Valor Atual(em que utilizamos o A(n,i)), o primeiro pagamento 
ocorre um período após o Valor Atual (no exemplo que vimos, a primeira 
parcela era paga um mês após a compra). Podemos ver melhor no esquema 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da equação de Valor Futuro (com S(n,i)), temos uma diferença 
fundamental: se usarmos a equação de maneira análoga ao caso do A(n,i), 
teremos a última parcela no dia do Valor Futuro, e não um mês depois. 
Relacionando ao nosso exemplo do Banco Paraíso, é como se fizéssemos o 
último depósito e no mesmo dia retirássemos o dinheiro. O esquema abaixo 
ilustra melhor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VP 
Um mês depois ocorre o primeiro 
pagamento... 
Só que a retirada, 
ao final, ocorre no 
mesmo dia do 
último depósito... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 10
 
 
 
 
 
 
 
E agora? Não queremos que o último depósito ocorra no mesmo dia da 
retirada. Queremos resolver nosso exemplo, em que a retirada ocorre um mês 
após o último pagamento. Temos a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, para usar corretamente a equação do Valor Futuro, temos de 
trazer o VF para a mesma data da última prestação, antecipando um período. 
Como VF = VP(1 + i)n, bastaria dividir o VF por (1 + i)1. E em seguida usar a 
equação com S(n,i), normalmente. 
 
Mas, um “truque” para simplificar esse cálculo na hora da prova é utilizar a 
seguinte equação: 
 
VF = PMT.[S(n+1,i) – 1] 
 
Ou seja, consultamos o período n + 1 na tabela, e, do resultado encontrado, 
diminuímos uma unidade. 
 
No nosso exemplo, temos: 
 
VF = 2.700 
 
PMT = 100 
 
São feitos 10 
depósitos de 100 
reais... 
Retirada após 1 
mês. 
São feitos 10 
depósitos de 100 
reais... 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 11
n = 12 
 
Se fôssemos resolver na equação diretamente (ou seja, VF = PMT.S(n,i)), 
teríamos o último depósito junto com a retirada. E não queremos isso. Então, 
vamos adaptar a equação, utilizando-a da seguinte maneira: 
 
VF = PMT.[S(n+1,i) – 1] 
 
2.700 = 100.(S(n+1,i) - 1) 
S(n+1,i) – 1 = 27 
S(n+1,i) = 28 + 1 = 28 
 
Agora vamos à tabela, sem esquecer que temos de procurar na linha referente 
ao n = 13 (12 + 1): 
 
 
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
13 13,809 14,68 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42,219 
 
 
Percebam que o S(n,i) referente ao número encontrado representa uma taxa 
de juros de 12% por período (no nosso caso, por mês). 
 
Bem, agora passemos aos sistemas de amortização da Matemática Financeira. 
Vou me ater aos 3 pedidos no edital: Sistema francês. Sistema de amortização 
constante. Sistema misto. 
 
1.3 Sistemas de Amortização 
 
Vamos tratar agora dos Sistemas de Amortização. Primeiramente, vou explicá-
los. Depois, veremos os três numa tabela, para que saibamos diferenciá-los 
uns dos outros. 
 
1.3.1 Sistema Francês (Price) 
 
O Sistema Price nada mais é do que vimos até agora. Seu fluxo de caixa é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
A 
J 
 
A 
J 
 
A 
 
J 
 
 
PV 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 12
 
 
A equação básica é aquela do Fator de Valor Atual, que já vimos, dada por: 
 
VP = PMT.A(n,i) 
 
As características mais marcantes desse modelo são: 
 
• As prestações são constantes, iguais a PMT; 
• O que muda em cada parcela é a relação juros x amortização. Os juros 
são decrescentes, começam muito altos e vão diminuindo. A amortização 
começa pequena e vai aumentando, até chegar ao ponto que a última 
parcela seja composta apenas de amortização, sem pagamento de juros. 
 
Ou seja, quando uma questão falar, por exemplo, que foi feito um 
financiamento e que ele foi pago pelo Sistema Price... Vocês já sabem que, 
para resolvê-la, basta fazer o que já temos feito: calcular as parcelas 
(constantes) usando o Fator de Valor Atual A(n,i). Além disso, é importante 
saber que, a cada parcela, aumenta a parte paga a título de amortização e 
diminui o valor pago a título de juros (já vi questões teóricas em matemática 
financeira cobrando isso). 
 
 
1.3.2 SAC (Sistema de Amortização Constante) 
 
A grande sacada do Sistema de Amortização Constante é justamente que, 
nesse sistema, a amortização é constante! Ou seja, se eu pegar 1000 reais 
emprestado para pagar em 10 meses, todos os meses pagarei 100 reais a 
título de amortização, mais os juros referentes ao empréstimo. 
 
O SAC é representado pelo seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a amortização é constante, seu valor é dado por: 
 
A = PV/n 
 
 
A 
J 
 
 
 
A 
J 
 
 
A 
 
A 
 
J 
 
 
PV 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 13
Os juros pagos todo mês são dados pela capitalização do saldo devedor do mês 
anterior. Por exemplo, no mês 1, os juros são dados por PV.(1 + i), e são 
pagos junto com a amortização A. O saldo devedor é PV – A. No mês 2, os 
juros são dados por (PV – A).(1 + i), sendo novamente pagos junto com a 
amortização A. O saldo devedor é PV – A – A = PV – 2A. No mês 3, juros de 
(PV – 2A).(1 + i), e assim por diante. 
 
Assim, temos as seguintes considerações a fazer sobre o SAC: 
 
• A amortização é constante, e os juros são decrescentes. Dessa forma, 
as prestações (que são a soma da amortização com os juros) são 
decrescentes; 
• O saldo devedor vai diminuindo em um valor constante (a cada período, 
diminui –A). Por isso, eu já vi questões fazendo a seguinte afirmação: 
“O saldo devedor é decrescente em Progressão Aritmética (PA)”. Tal 
afirmação é verdadeira, pois realmente o saldo devedor vai diminuindo 
numa progressão aritmética (PV – A, PV – 2A, PV – 3A, assim por 
diante); 
• Também já vi numa questão a seguinte afirmação: “No SAC, os juros 
são pagos com a respectiva parcela mensal”. É verdade, como vimos 
acima. Os juros pagos mensalmente são relativos ao saldo devedor 
existente. Por isso eles vão diminuindo a cada mês, porque também vai 
diminuindo o saldo devido. 
 
 
1.3.3 Sistema Americano 
 
O sistema americano é bem diferente. Ele segue o seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No Sistema Americano, os juros são pagos durante o período. Ao final, é paga 
a última parcela de juros, e o próprio PV. 
 
J 
 
J 
 
J 
 
PV 
PV + J 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 14
 
Normalmente, as questões sobre Sistema Americano falam que uma empresa 
quer levantar um empréstimo, e que por isso vai lançar um “bônus” no 
mercado, em que haverá o pagamento de um valor mensal e a devolução do 
dinheiro ao final. 
 
Esse bônus possui um valor de face, que é o valor que será devolvido ao final, 
mas normalmente ele é vendido com ágio ou com deságio. 
 
Veremos questão sobre isso nos exercícios comentados. 
 
Agora passamos ao estudo da Taxa Interna de Retorno (TIR): 
 
 
1.4 Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
Quando ouvirem falar da TIR, lembrem disso: é a taxa que eu preciso ter para 
um investimento valer a pena. 
 
Explicando: 
 
Imaginem que vocês queiram abrir um negócio. Uma sorveteria. O 
investimento inicial é de 100.000 reais. E o lucro, por mês, é de 10.000 reais. 
 
Se não existissem taxas, em 10 meses (100.000/10.000) vocês recuperariam 
o investimento.Ocorre que estamos no mundo da Matemática Financeira. Um mundo em que 
os juros são, na maioria das vezes, compostos. 
 
Então, vocês vão pegar os 100.000 emprestados para abrir a sorveteria, e 
desejam que no máximo em 1 ano o investimento inicial seja recuperado. Ou 
seja, o fluxo de caixa é o seguinte: 
 
Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Valor -
100.000 
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 
 
 
A TIR é a taxa máxima a que vocês podem se submeter para que recuperem 
esse investimento nesse período. Por exemplo, se a TIR for de 8%, vocês só 
podem pegar um empréstimo dos 100.000 se a taxa de juros compostos do 
empréstimo for de até 8%. Se for menor, melhor ainda, o investimento será 
recuperado num prazo maior. Se for maior, o investimento será recuperado 
num prazo maior. Se for exatamente igual à TIR, então será recuperado no 
prazo estipulado. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 15
Falando em termos de Matemática Financeira, a definição da TIR – Taxa 
Interna de Retorno, é ser a taxa que faz com que o VPL – Valor Presente 
Líquido de um projeto seja igual a zero. 
 
O Valor Presente Líquido é o somatório de todas as entradas e saídas de 
um fluxo de caixa na data zero. 
 
Quando esse VPL = 0, significa que o projeto nem auferiu lucro, nem obteve 
prejuízo. Ele empatou. 
 
Já a TIR é a Taxa que torna o VPL = 0. Ou seja, com a TIR, o projeto não dá 
nem lucro, nem prejuízo, ele empata. 
 
Para um projeto dar lucro, portanto, a taxa a ser obtida no mercado deve ser 
sempre MENOR do que a TIR. Se for maior, o projeto dará prejuízo. 
 
1.5 Custo Efetivo Total e Custo Efetivo Real 
 
Se você possui conta-corrente, já deve ter reparado que, no extrato da conta, 
muitas vezes há a sigla CET. 
 
O Custo Efetivo Total (CET) é a taxa percentual que engloba todos os 
custos pagos na contratação de empréstimos e financiamentos. 
 
O CET entrou em evidência desde 6 de dezembro de 2007, quando as 
instituições financeiras foram obrigadas, pela resolução CMN 3.517, a 
demonstrar aos seus clientes os juros reais cobrados nas operações antes de 
sua contratação. 
 
A taxa do CET deve ser demonstrada em forma de percentagem anual, e deve 
ser calculada com base não apenas na taxa de juros cobrada pelo 
serviço, mas também deve englobar tarifas, tributos, seguros e outras 
despesas cobradas na contratação. 
 
Já o Custo Efetivo Real é este mesmo CET, só que com o desconto da inflação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 16
2. Exercícios comentados 
 
Além de questões dessa aula, vamos fazer algumas questões a mais 
referentes aos assuntos da aula 0. 
 
Questão 1 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para 
pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um 
mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de 
juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, 
(A) 0,5%. 
(B) 3,8%. 
(C) 4,6%. 
(D) 5,0%. 
(E) 5,6%. 
 
Vamos “chutar” um valor para facilitar os cálculos na resolução da questão. 
 
Digamos que um produto custe 100. 
 
Para pagamento à vista, há desconto de 10%. Ou seja, o cliente pagará 90 
reais. 
 
Para pagamento depois de um mês, há desconto de 5%. Ou seja, o cliente 
pagará 95 reais. 
 
Os 5 reais de diferença entre o pagamento à vista e a prazo são os juros 
embutidos no pagamento a prazo. Vamos calcular de quanto são esses juros. 
Temos: 
 
FV = PV(i + i)n 
 
95 = 90.(1 + i)1 
 
95 = 90 + 90i 
 
90i = 5 
 
i = 0,05555... 
 
Portanto, a taxa de juros deve ser, aproximadamente, de 0,056 = 5,6%. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 2 – CESGRANRIO/Petroquímica Suape/Téc. Laboratório/2011 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 17
Durante uma liquidação, uma loja de roupas vendia camisetas com 
25% de desconto. Sandra aproveitou a promoção e comprou uma 
camiseta por R$ 12,00. Qual era, em reais, o preço dessa camiseta sem 
o desconto? 
(A) 14,00 
(B) 15,00 
(C) 16,00 
(D) 17,00 
(E) 18,00 
 
Essa questão parece ser de Matemática Financeira, mas na verdade ela é de 
porcentagem. 
 
Vejam. Sandra comprou uma camiseta com 25% de desconto, e pagou 12 
reais. Ou seja, esse é o valor final, resultado de uma variação percentual de –
25% (negativa, porque é desconto. Se fosse “aumento de 25%”, seria 
positiva). 
 
Portanto, colocando na equação da variação percentual: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
12 - Valor Inicial
25% 100
Valor Inicial
12 - Valor Inicial
0,25
Valor Inicial
0,25 12
0,25 12
0,75 12
16
x
VI VI
VI VI
VI
VI
 
− =  
 
 
− =  
 
− = −
− =
=
=
 
 
Assim, sem o desconto, a camiseta custava 16 reais. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 3 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu 
vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 18
bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. 
O valor presente do título, em reais, é 
(A) 860,00 
(B) 850,00 
(C) 840,00 
(D) 830,00 
(E) 820,00 
 
O desconto simples por fora é o desconto comercial simples. 
 
A equação do desconto comercial simples é D = N.i.n 
 
Temos: 
 
N = 1000 
n = 3 
i = 0,05 
 
D = N.i.n 
 
D = 1000.0,05.3 = 150. 
 
Portanto, o valor presente do título é 1000 – Desconto = 1000 – 150 = 850. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 4 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
O valor, em reais, mais próximo do montante da aplicação de R$ 
2.000,00 a juros compostos de taxa mensal 4% por dois meses é 
(A) 2.040 
(B) 2.080 
(C) 2.160 
(D) 2.163 
(E) 2.180 
 
Questão direta de juros compostos. 
 
A equação dos juros compostos é: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
Temos: 
 
VF = 2000.(1 + 0,04)2 
VF = 2000.(1,04)2 = 2000.1,0816 = 2163,2. 
 
O valor mais próximo é 2163, letra D. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 19
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2011 
 
 
 
José adquiriu um título com valor de emissão R$ 20.000,00 e 
vencimento em 18 meses, remunerado a juros compostos de taxa 
mensal 3%. Por necessitar de recursos, José negocia o título 50 dias 
antes do vencimento em um banco que adota o desconto simples por 
fora de taxa 6% ao mês. Desconsiderando custos bancários, o valor 
líquido do resgate é, em reais, mais próximo de 
(A) 32.080 
(B) 31.145 
(C) 30.643 
(D) 29.552 
(E) 28.657 
 
José adquiriu um título, cujo VP = 20000, n = 18 e i = 3%. Ou seja, o valor 
futuro do título, a ser resgatado, é de: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
VF = 20000.(1 + 0,03)18 
 
Na tabela, o valor de (1 + 0,03)18 é: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 20
 
 
 
VF = 20000.1,7024 = 34048. 
 
João negociou a antecipação dos recebimentos, 50 dias antes, a uma taxa de 
6% ao mês, num sistema de desconto simples por fora (comercial). 
 
50 dias correspondem a 1 mês e 20 dias, ou seja, 1 mês mais 2/3 de outro 
mês. Assim, n = 1 + 2/3 = 3/3 + 2/3 = 5/3. 
 
A equação do desconto comercial simples é: 
 
D= N.i.n 
 
5
34048.0,06.
3
34048.0,02.5
3404,8
D
D
D
=
=
=
 
 
Assim, o valor líquido do resgate é o valor de 34048 menos o desconto de 
3404,8. 
 
34048 – 3404,8 = 30643,2. 
 
O valor mais próximo é 30643, letra C. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 6 – CESGRANRIO/Gov. RN/Professor Matemática/2011 
 
Para emprestar uma quantia de R$ 1.000,00, uma financeira cobra 
uma taxa de juros mensal de 5%, em regime composto, enquanto 
outra financeira cobra uma taxa mensal de juros de 10%, em regime 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 21
simples. A função que representa a diferença D(n) entre os valores 
devidos à primeira e à segunda financeira, n meses contados a partir 
da data do empréstimo, é 
 
 
 
No sistema de juros compostos, a uma taxa de 5%, o valor devido pelo 
empréstimo será de: 
 
VFcomposto = VP.(1 + i)n = 1000.(1 + 0,05)n = 1000.1,05n 
 
Já o valor devido em um sistema de juros simples, a uma taxa de 10%, será 
de: 
 
VFsimples = VP.(1 + ni) = 1000.(1 + 0,1n) = 1000 + 100n. 
 
A função D é dada por VFcomposto - VFsimples. 
 
D = VFcomposto - VFsimples 
 
D = 1000.1,05n – (1000 + 100n) 
 
D = 1000.(1,05n – 1 – 0,1n) 
 
D = 1000.(1,05n – 1 – n/10) 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 7 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Contador Jr/2011 
 
A taxa mensal, de juros compostos, equivalente à taxa anual de 
60,12%, também de juros compostos, está entre 
 
 
a) 0,5% e 1,5% 
b) 1,5% e 2,5% 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 22
c) 2,5% e 3,5% 
d) 3,5% e 4,5% 
e) 4,5% e 5,5% 
 
Questão bem interessante sobre taxas equivalentes. 
 
Já sabemos que: 
 
1 + I = (1 + i)K 
 
A taxa de 60,12%, ou 0,6012, é anual. A questão quer saber o seu equivalente 
mensal. 
 
Então, 0,6012 = I. K = 12, pois 1 ano possui 12 meses: 
 
1 + 0,6012 = (1 + i)12 
 
1,6012 = (1 + i)12 
 
O enunciado fornece diversos valores de (1 + i)12. Mas não forneceu nenhum 
valor que seja equivalente a 1,6012! 
 
Com base no resultado que encontramos acima, vamos analisar os valores que 
ele deu. 
 
Vejamos. Se (1 + i)12 = 1,6012, então: 
 
• (1,005)12 = 1,0617: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
0,5% é 6,17. 
• (1,015)12 = 1,1956: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
1,5% é 19,56%. 
• (1,025)12 = 1,3449: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
2,5% é 34,49. 
• (1,035)12 = 1,5111: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
3,5% é 51,11%. 
• (1,045)12 = 1,6959: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
4,5% é 69,59%. 
• (1,055)12 = 1,9012: significa que o equivalente anual de uma taxa de 
5,5% é 90,12%. 
 
Percebam o que a taxa i, que é o equivalente mensal da taxa de 60,12%, deve 
ser algum valor entre 3,5 e 4,5%. Isso porque (1,035)12 = 1,5111 e (1,045)12 
= 1,6959. O valor que temos, 1,6012, está entre estes dois valores. 
 
Portanto, i é algum valor entre 3,5 e 4,5%. 
 
Resposta: Letra D. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 23
Questão 8 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Contador Jr/2011 
A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é 
a) 19,58% 
b) 19,65% 
c) 19,95% 
d) 20,00% 
e) 21,55% 
 
Questão sobre taxas equivalentes. Também é bem interessante. 
 
De antemão, podemos descartar a alternativa D. 1 ano possui 4 trimestres, 
então ela diz que para transformar a taxa de 5% seria apenas multiplicar 
por 4, o que daria 20%. Errado, pois o regime é de juros compostos, a taxa 
deve ser maior do que essa. 
 
Percebam a única alternativa que traz uma taxa maior do que essa é a 
alternativa E. Essa é, portanto, a resposta da questão. 
 
Vamos fazer para vocês verem. 
 
A equação das taxas equivalentes é: 
 
1 + I = (1 + i)K 
 
Colocando na equação: 
 
1 + I = (1 + 0,05)4 
 
1 + I = (1,05)4 
 
1 + I = 1,2155 
 
I = 0,2155. 
 
Resposta: Letra E. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 24
 
Questão 9 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Contador Jr/2011 
 
A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% 
ao ano, capitalizada mensalmente, monta a 
 
a) 12,68% 
b) 12,75% 
c) 12,78% 
d) 12,96% 
e) 13,03% 
 
Para descobrir a taxa efetiva mensal de uma taxa nominal anual basta dividir a 
taxa pelo número de meses que um ano possui. 
 
Ou seja, a taxa efetiva mensal da taxa nominal anual é de 12/12 = 1% ao 
mês. 
 
A questão quer saber o equivalente anual. 
 
Por isso, colocamos na nossa equação: 
 
1 + I = (1 + i)K 
 
1 + I = (1 + 0,01)12 
 
1 + I = (1,01)12 
 
A questão não forneceu o valor de (1,01)12. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 25
Mas forneceu o valor de (1,01)11. Pelas regras de potenciação, que vimos, 
sabemos que (1,01)12 = (1,01)11. (1,01)1, afinal a base é a mesma, portanto 
somam-se os expoentes. 
 
Como (1,01)11 = 1,1157, então: 
 
(1,01)12 = (1,01)11. (1,01)1 
 
(1,01)12 = 1,1157. (1,01) 
 
(1,01)12 = 1,1157. (1,01) 
 
(1,01)12 = 1,1268 
 
Portanto, I = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%. 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Questão 10 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
Utilize a tabela, caso haja necessidade, para resolver a questão. 
 
 
 
Ana aplicou R$ 20.000,00 a juros compostos durante 2 meses e 
resgatou, ao final do prazo, R$ 21.632,00. A taxa anual da aplicação foi 
de 
(A) 60,10% 
(B) 58,18% 
(C) 48,00% 
(D) 42,58% 
(E) 36,00% 
 
A equação dos juros compostos é: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 26
 
Nesta questão, VF é 21632, que é o valor resgatado no final. VP é o valor no 
início, 20000. n = 2 meses. Colocando na equação: 
 
21632 = 20000.(1 + i)2 
 
(1 + i)2 = 
21632
20000
 
 
(1 + i)2 = 1,0816 
 
Agora, vejamos a tabela dada pela questão, para i = 4%: 
 
 
 
Vejam que, para n = 2, o valor de (1 + i)2 é exatamente o que encontramos. 
Então, i = 4% ao mês. 
 
A questão pede o valor da taxa anual, por isso vamos utilizar a equação das 
taxas equivalentes, lembrando que, como 1 ano possui 12 meses, K = 12: 
 
1 + I = (1 + i)12 
 
1 + I = (1 + 0,04)12 
 
Novamente, utilizamos a tabela para encontrar o valor de (1 + 0,04)12: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 27
 
 
1 + I = 1,6010 
I = 1,6010 – 1 = 0,6010 = 60,10%. 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
A remuneração percentual devida a um capital que foi aplicado à taxa 
de juros compostos de 5% ao trimestre, durante um semestre, é de 
(A) 30,00% 
(B) 20,25% 
(C) 15,76% 
(D) 10,25% 
(E) 10,00% 
 
A questão quer saber qual a remuneração devida a um capital (qualquer um) 
durante 6 meses, a uma taxa de 5% ao trimestre. 
 
Ou seja, o que a questão quer saber é qual a taxa equivalente a estes 5% ao 
trimestre, só que durante 6 meses. 
 
6 meses são 2 trimestres, portanto, utilizando a equação das taxas 
equivalentes: 
 
1 + I = (1 + i)K 
 
1 + I = (1 + 0,05)2 
 
1 + I = 1,052 
 
1 + I = 1,1025 
 
I = 1,1025 – 1 = 0,1025 = 10,25%. 
 
Portanto, a remuneração percentual do capital é de 10,25%. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINEWALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 28
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 12 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
Utilize a tabela, se necessário, para resolver a questão. 
 
 
 
Um capital é aplicado à taxa composta de 3% ao bimestre durante 10 
meses. Ao final do prazo, os juros gerados são reaplicados por 1 ano à 
taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral, resultando 
em um montante de R$ 2.420,18. O valor, em reais, mais próximo do 
capital aplicado é 
(A) 13.592 
(B) 13.497 
(C) 13.328 
(D) 13.207 
(E) 13.152 
 
Vamos fazer a questão “por partes”. 
 
Um capital, que chamaremos de C, é aplicado à taxa de 3% ao bimestre 
durante 10 meses. 10 meses são 5 bimestres. Colocando na equação de juros 
compostos, temos: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
VF = C.(1 + 0,03)5 
 
Procuramos o valor acima na tabela dada: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 29
 
 
VF = C.1,1593 
 
O juros gerados na aplicação acima são reaplicados, por 1 ano, a uma taxa de 
12% ao ano com capitalização trimestral. 
 
Se a taxa é nominal, de 12% ao ano com capitalização trimestral, então a taxa 
efetiva é dada por taxanominal/período. Um ano possui 4 trimestres, portanto 
a taxa efetiva é de 12/4 = 3% ao trimestre. 
 
O montante da nova aplicação é de 2420,18. Vamos colocar estes valores na 
equação dos juros compostos: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
2420,18 = VP.(1 + 0,03)4 
 
Procurando o valor de (1 + 0,03)4 na tabela, temos: 
 
 
 
2420,18 = VP.1,1255 
 
VP = 2150,32 
 
Ou seja, o valor acima representa os juros da primeira aplicação. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 30
A equação que encontramos, para a primeira aplicação, é: 
 
VF = C.1,1593 = C.(1 + 0,1593) = C + 0,1593C 
 
VF = C.(1 + 0,1593) 
 
VF = C + 0,1593C 
 
Na primeira aplicação o capital C sofreu um aumento de 0,1593C. Ou seja, 
estes são os juros dessa aplicação, que equivalente ao valor de 2150,32 que 
encontramos lá em cima. Assim: 
 
0,1593C = 2150,32 
 
C = 13498,56. 
 
Dentre os valores das alternativas, o valor mais próximo do valor acima é de 
13497, letra B. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 13 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
Aplicaram-se R$ 10.000,00 por nove meses à taxa nominal de 12% ao 
ano com capitalização trimestral. No momento do resgate, pagou-se 
Imposto de Renda de alíquota 15%, sobre os rendimentos. O valor 
líquido do resgate foi, em reais, mais próximo de 
(A) 10.927 
(B) 10.818 
(C) 10.787 
(D) 10.566 
(E) 9.287 
 
A aplicação foi feita com taxa nominal de 12% ao ano, com capitalização 
trimestral. Como um ano possui 4 trimestres, a taxa efetiva é de 12/4 = 3% 
ao trimestre. 
 
A aplicação foi feita por 9 meses, que correspondem a 3 trimestres, assim: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
VF = 10000.(1 + 0,03)3 = 10000.1,092727 = 10927,27. 
 
No momento do resgate, houve o pagamento de 15% de imposto de renda, 
sobre a renda do investimento. A renda foram os juros, como foram aplicados 
10000 e o montante foi de 10927,27, os juros são de 927,27. 
 
Assim, houve o pagamento de 15%.927,27 = 0,15.927,27 = 139,0905. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 31
 
O valor líquido do resgate foi 10927,27 – 139,0905 = 10788,18. 
 
O valor mais próximo deste valor é 10787. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 14 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
 
 
 
Um investidor aplicou 60% de um capital, a juros compostos de taxa 
mensal de 4%, por 3 meses e, o restante, a juros simples, de taxa 5% 
ao mês, pelo mesmo prazo. Se, ao final do prazo, a soma dos 
montantes obtidos foi R$ 3.785,40, o valor mais próximo do capital 
inicial, em reais, é 
 
(A) 3.335 
(B) 3.287 
(C) 3.126 
(D) 3.089 
(E) 3.000 
 
A soma dos montantes obtidos foi de 3785,20. Ou seja, VF1 + VF2 = 3785,20. 
 
A aplicação 1, de 60%C = 0,6C, foi de: 
 
VF1 = VP.(1 + i)n = 0,6C.(1 + 0,04)3. 
 
Procurando na tabela o valor de (1 + 0,04)3, temos: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 32
 
 
Assim, a equação fica: 
 
VF1 = VP.(1 + i)n = 0,6C.1.1249 = 0,67494C 
 
A aplicação 2, do restante, ou seja 40%C = 0,4C, foi a juros simples, numa 
taxa de 5%: 
 
VF2 = VP.(1 + in) = 0,4C.(1 + 0,05.3) = 0,4C.(1 + 0,15) = 1,15.0,4C = 0,46C 
 
A soma VF1 + VF2 é o montante obtido nas duas aplicações: 
 
VF1 + VF2 = 3785,20 
 
0,67494C + 0,46C = 3785,20 
 
1,13494C = 3785,20 
 
C = 3335,15 
 
O valor mais próximo é 3335, letra A. 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Questão 15 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse 
mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual 
para esse investimento foi 
(A) 0,5%. 
(B) 5,0%. 
(C) 5,5%. 
(D) 10,0%. 
(E) 10,5%. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 33
Nesta questão, utilizamos a equação da taxa aparente e da taxa real: 
 
1 + ia = (1 + ir).(1 + inf) 
 
A questão diz que a variação nominal do investimento foi de 15,5% no ano. Ou 
seja, essa é a variação aparente. ia = 15,5% = 0,155. 
 
A inflação no período foi de 5%. inf = 5% = 0,05. 
 
Queremos saber a taxa de juros real. Ou seja: 
 
1 + ia = (1 + ir).(1 + inf) 
 
1 + 0,155 = (1 + ir).(1 + 0,05) 
 
1,155 = (1 + ir).(1,05) 
 
1,155 = 1,05 + 1,05ir 
 
1,05ir = 1,155 - 1,05 
 
1,05ir = 0,105 
 
ir = 0,1 = 10% 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 16 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Auditor Jr/2010 
Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 
2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no 
período foi de 
a) 3,02% 
b) 3,10% 
c) 8,10% 
d) 8,24% 
e) 8,32% 
 
Mais uma vez, utilizamos a equação da taxa aparente e real: 
 
1 + ia = (1 + ir).(1 + inf) 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 34
A inflação no período foi de 2,5%, portanto inf = 0,025. 
 
ir = 0,056. 
 
1 + ia = (1 + 0,056).(1 + 0,025) 
 
1 + ia = (1,056).(1,025) 
 
1 + ia = 1,0824 
 
ia = 1,0824 – 1 = 0,0824 = 8,24%. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 17 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administrativo/2010 
 
 
Use a tabela, se necessário, para resolver a questão. 
 
 
Uma empresa tem doze compromissos financeiros anuais, iguais e 
sucessivos, no valor de R$ 20.000,00 cada, sendo o primeiro deles ao 
final do primeiro ano. Tendo problemas de caixa, essa empresa deseja 
substituir esses compromissos por um único a vencer ao final do 
décimo terceiro ano. Se a taxa de juros compostos do financiamento é 
de 10% ao ano, o valor que mais se aproxima desse único pagamento 
é 
(A) R$ 400.080,00 
(B) R$ 420.169,00 
(C) R$ 470.454,00 
(D) R$ 523.682,00 
(E) R$ 548.520,00 
 
A empresa possui 12 parcelas a pagar, uma por ano, cada uma de 20000: 
 
 
 
 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 35
 
 
 
 
 
 
 
 
Ela deseja substituir todas essas parcelas por uma só, no 13º ano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para isso, vamos utilizar o fator de valor futuro, também chamado de Fator de 
acumulação de capital. 
 
No entanto, a parcela é um período após a série de pagamentos. Então, 
poderíamos usar o “truque” que vimosna teoria: 
 
VF = PMT.[S(n+1,i) – 1] 
 
Assim, na hora de procurar na tabela, mesmo sendo 12 parcelas, 
procuraríamos S(13,i), e diminuímos 1 do valor. 
 
No entanto, a tabela da questão não fornece o valor de S(13,i). E agora? 
 
Neste caso, vamos fazer o seguinte: vamos utilizar o valor de S(12,i). Vamos 
achar o valor no 12º ano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20000 cada 
VF 
20000 cada 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 36
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, depois, vamos utilizar a equação dos juros compostos para saber o valor 
futuro deste valor 1 ano depois, no 13º ano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos começar os cálculos. Primeiramente, vamos calcular o valor futuro dos 
12 pagamentos de 20000, na data 12. 
 
VF = PMT.S(12,10%) 
 
Segundo a tabela do enunciado, temos: 
 
 
VF 
20000 cada 
Encontraremos este valor 
E este será VF: 
VF = VP.(1 + i)n, como 
n = 1, 
VF = VP.(1 + i) 
Este valor será o novo VP 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 37
 
 
Assim: 
 
VF = 20000.21,3843 
VF = 427686 
 
Este é o valor futuro na data 12, mas, como vimos, o que o enunciado quer 
saber é o valor futuro na data 13. 
 
Para isso, vamos utilizar a equação dos juros compostos que vimos. O valor 
acima será o VP, e o valor que desejamos (valor futuro na data 13) o novo VF: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
VF = 427686.(1 + 0,1) = 427686.1,1 = 470454,6. 
 
O valor que mais se aproxima do valor acima é 470454, letra c. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 18 – CESGRANRIO/BNDES/Téc. Administrativo/2010 
 
 
 
Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais 
no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros 
compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês 
após o último dos 6 depósitos, é 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 38
(A) 2.040,00 
(B) 2.142,00 
(C) 2.240,00 
(D) 2.304,00 
(E) 2.442,00 
 
Esta questão é semelhante à anterior, mas, aqui, o examinador forneceu uma 
tabela mais completa. Vejam que, se são 6 depósitos, e ele quer o montante 1 
mês após o último, ou seja, no 7º mês, precisaremos do valor de S(6 + 1,5%) 
= S(7, 5%), que é fornecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, podemos utilizar a equação: 
 
VF = PMT.[S(n+1,i) – 1] 
 
Temos: 
 
VF = PMT.[S(6+1,i) – 1] = VF = PMT.[S(7,i) – 1] 
 
O enunciado forneceu duas tabelas. Devemos procurar a tabela do fator de 
valor futuro, também chamada de fator de acumulação de uma série de 
pagamentos. Nesta tabela, procuramos o valor de S(7,5%). 
 
 
VF 
300 cada 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 39
 
 
Encontramos S(7,5%), vamos utilizá-lo na equação: 
 
VF = PMT.[S(7,5%) – 1] 
 
VF = 300.[8,14 – 1] = 300.7,14 = 2142. 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
Questão 19 – CESGRANRIO/BNDES/Téc. Administrativo/2010 
 
 
 
Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação 
diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, 
com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 40
dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização 
mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações 
somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação 
diversificada no período foi de 
(A) 60% 
(B) 54% 
(C) 46% 
(D) 34% 
(E) 26% 
 
Vamos analisar as duas aplicações. 
 
Aplicação 1: 
 
VP = 3000 
taxa = 24% ao ano com capitalização bimestral � ou seja, essa é a taxa 
nominal. A taxa efetiva desta aplicação é dada por taxa nominal/período. 
Como 1 ano possui 6 bimestres, a taxa é 24%/6 = 4% ao bimestre. 
período = 1 semestre = 6 meses = 3 bimestres. 
 
Vamos utilizar a equação dos juros compostos para saber o valor futuro desta 
aplicação: 
 
VF = VP(1 + i)n 
 
VF = 3000.(1 + 0,04)3 
 
Utilizamos a tabela dada no enunciado para descobrir o valor de (1 + 0,04)3: 
 
 
 
 
VF = 3000.1,12 = 3360. 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 41
Portanto, com essa aplicação, a pessoa conseguiu 3360, ao final do semestre. 
Se nas duas aplicações ela conseguiu 6000, então, na Aplicação 2, ela 
conseguiu 6000 – 3360 = 2640. 
 
Vamos utilizar esse valor para descobrir qual foi o valor que ela aplicou na 
Aplicação 2. 
 
Aplicação 2: 
 
VP = não sabemos 
taxa = 42% ao semestre com capitalização mensal. Como um semestre possui 
6 meses, a taxa efetiva é 42%/6 = 7% ao mês. 
n = 1 semestre = 6 meses. 
VF = 2640 (o saldo de 6000 – 3360) 
 
VF = VP(1 + i)n 
2640 = VP.(1 + 0,07)6 
 
Novamente, vamos à tabela procurar o valor de (1 + 0,07)6: 
 
 
 
2640 = VP.1,50 
 
VP = 
2640
1760
1,50
= 
 
Assim, tivemos: 
 
Aplicação 1 � VP = 3000; VF = 3360 
Aplicação 2 � VP = 1760; VF = 2640 
 
O total das duas aplicações é: 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 42
 
Aplicação Total (1 + 2) � VP = 3000 + 1760 = 4760; VF = 6000. 
 
Vamos, por fim, descobrir qual a taxa na aplicação total, utilizando, para isso, 
a equação dos juros compostos. Vamos considerar n = 1, pois queremos saber 
a taxa no semestre todo. 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
6000 = 4760.(1 + i)1 
 
6000 = 4760 + 4760i 
 
4760i = 1240 
 
i = 
1240
0,26
4760
= 05... 
 
Portanto, arredondando, temos que i = 26%. 
 
Resposta: Letra E. 
 
OBS: reparem que, diferentemente de outras bancas, na CESGRANRIO muitos 
dos valores são “quebrados”, devendo ser arredondados. Isso é ruim para nós, 
que faremos a prova, pois, como na maioria das bancas as respostas são 
valores inteiros, quando o valor dá “quebrado” sabemos que erramos alguma 
conta. Por isso, a prova deve ser feita com atenção redobrada. 
 
Questão 20 – CESGRANRIO/BNDES/Téc. Arquivo/2011 
 
Maria aplicou certa quantia em um banco que ofereceu uma taxa de 
juros compostos de 10% ao mês. Após a segunda capitalização, uma 
amiga pediu todo seu dinheiro investido emprestado, prometendo 
pagar juros de 10% ao mês, mas no regime de juros simples. Maria 
prontamente atendeu o pedido da amiga e, após 5 meses, a amiga 
quitou a dívida com Maria pagando um total de R$ 1.089,00. Qual a 
quantia, em reais, que Maria aplicou no banco? 
(A) 600,00 
(B) 605,00 
(C) 636,84 
(D) 726,00 
(E) 900,00 
 
Vamos analisar o enunciado: 
 
Maria aplicou certa quantia em um banco que ofereceu uma taxa de 
juros compostos de 10% ao mês. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 43
i = 10% ao mês 
 
Após a segunda capitalização, 
 
Ou seja, o dinheiro foi capitalizado 2 vezes. Não sabemos qual o período (mês, 
ano, etc...), mas sabemos que n = 2, pois foram 2 capitalizações. 
 
Assim: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
VF = VP.(1 + 0,1)2 
 
VF = VP.(1,1)2 
 
uma amiga pediu todo seu dinheiro investido emprestado, 
 
A amiga pegou todo o VF que Maria conseguiu na aplicação anterior. 
 
prometendo pagar juros de 10% ao mês, mas no regime de juros 
simples. 
 
Ou seja, o VF que Maria conseguiu na aplicação anterior viram o novo VP de 
uma aplicação no regime de jurossimples. A equação dos juros simples é: 
 
VF = VP.(1 + in) 
 
Temos: 
 
VP = o VF da aplicação anterior = VP.(1,1)2 
 
i = 10% ao mês = 0,1 
 
VF = VP.(1,1)2.(1 + 0,1n) 
 
Maria prontamente atendeu o pedido da amiga e, após 5 meses, a 
amiga quitou a dívida com Maria pagando um total de R$ 1.089,00. 
 
Assim, sabemos que n = 5 e VF = 1089 
 
VF = VP.(1,1)2.(1 + 0,1n) 
 
1089 = VP.(1,1)2.(1 + 0,1.5) 
 
1089 = VP.(1,21).(1 + 0,5) 
 
1089 = VP.(1,21).(1,5) 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 44
1089 = VP.(1,21).(1,5) 
 
1089 = VP.1,815 
 
VP = 600. 
 
Assim, Maria aplicou, no banco, a quantia de 600 reais. 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Questão 21 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Contabilidade/2011 
 
Certo investidor, que dispunha de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em 
duas partes e aplicou-as em dois fundos de investimento. O primeiro 
fundo rendeu 0,6% em um mês, e o segundo, 1,5% no mesmo período. 
Considerando-se que o valor do rendimento (em reais) nesse mês foi o 
mesmo em ambos os fundos, a parte do capital aplicada no fundo com 
rendimentos de 0,6% foi 
(A) R$ 18.000,00 
(B) R$ 27.000,00 
(C) R$ 36.000,00 
(D) R$ 45.000,00 
(E) R$ 54.000,00 
 
O investidor possui 63000. Dividiu seu capital em duas partes e aplicou, cada 
uma, em um investimento. 
 
Assim, o investimento 1 ficou com uma parcela do capital que vamos chamar 
de X. 
 
Já o investimento 2 ficou com o restante, ou seja, 63000 – X. 
 
Ambos os investimentos foram aplicados em regime de juros compostos. 
 
A questão fala que o rendimento foi igual em ambos os investimentos, em 
um mês. Na equação dos juros compostos, VF = VP.(1 + i)n, ou, para o caso 
de 1 mês, VF = VP.(1 + i), rendimento é VP.i. 
 
O rendimento é sempre a diferença entre o valor futuro e o valor presente, 
ou seja, VF – VP. Para o caso de n = 1, o rendimento fica VP.i. 
 
Portanto, se o rendimento foi igual em ambos os investimentos, temos: 
 
Rendimento 1 = Rendimento 2 
 
Como o período é de 1 mês: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 45
VPinvestimento 1.iinvestimento 1 = VPinvestimento 2.iinvestimento 2 
 
As taxas são de 0,6% para o investimento 1 (ou seja, i = 0,006) e 1,5% para 
o investimento 2 (i = 0,015): 
 
X.(0,006) = (63000 – X).(0,015) 
 
0,006X = 63000.0,015 – 0,015.X 
 
0,021X = 945 
 
X = 45000 
 
A questão pergunta qual a parte que foi aplicada no investimento de 0,6%, 
que, para nós, foi o investimento 1, cujo VP chamamos de X. 
 
Por isso, a resposta é a letra D. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 22 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Contador Jr/2011 
 
 
a) misto 
b) constante 
c) radial 
d) alemão 
e) francês 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 46
O enunciado descreve um sistema de amortização em que as parcelas são 
iguais, formadas pelos juros e pela amortização. 
 
No SAC, as parcelas não são iguais, o que é igual é a amortização. 
 
No sistema americano (que nem está entre as alternativas), as parcelas não 
são formadas pela amortização, e sim pelos juros, apenas. 
 
O que a questão descreve, com exatidão, é o sistema francês, o Price. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 23 – CESGRANRIO/BB/Escriturário/2010 
 
Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser 
pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização 
Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros 
compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de 
pagamento for duplicado, será reduzida em 
(A) 100%. 
(B) 50%. 
(C) 25%. 
(D) 10%. 
(E) 5%. 
 
Vamos calcular como fica a primeira prestação com n = 100 e com n = 200. 
 
Com n = 100, temos que a amortização mensal é A = PV/n = 100000/100 = 
1000. 
 
Os juros referentes à primeira parcela são de J = PV.i = 100000x0,01 = 1000. 
 
Portanto, a primeira parcela é de 1000 + 1000 = 2000. 
 
Se o prazo for duplicado (ou seja, n = 200), a amortização mensal será de A = 
PV/n = 100000/200 = 500. 
 
No entanto, os juros da primeira parcela não mudarão, pois continuarão sendo 
100000x0,01 = 1000. 
 
A primeira parcela será de 1500. 
 
Vamos utilizar a equação que vimos na aula 3 para calcular a variação 
percentual: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 47
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
 
1500 - 2000 500
100 100 0,25.100 25%
2000 2000
x x
−   
= = − = −   
   
 
 
Assim, com a duplicação do prazo de pagamento, a primeira parcela ficou 
reduzida em 25%. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 24 – ESAF/CVM/Inspetor/2010 
 
Um financiamento no valor de R$ 612.800,00 deve ser pago pelo 
Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal 
de 30% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro 
semestre, a segunda ao fim do segundo semestre, e assim 
sucessivamente. Obtenha o valor mais próximo da amortização do 
saldo devedor embutido na segunda prestação. 
 
a) R$ 10.687,00 
b) R$ 8.081,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 9.740,00 
e) R$ 9.293,00 
 
 
Vou fazer algumas questões da prova da CVM, feita pela ESAF, porque elas são 
bem interessantes. 
 
Essa questão é sobre Sistema Price, que pede a amortização embutida na 2a 
prestação. 
 
No Sistema Price, as parcelas são constantes, os juros decrescentes, e a 
amortização é crescente. 
 
Para calcular as parcelas, basta usar o fator de valor atual. A taxa dada é 
nominal, de 30% ao ano. Ou seja, é de 30/2 = 15% por semestre. 
 
PV = PMT.A(18,15) 
 
Pela tabela de fator de valor atual (foi dada na prova), A(18,15) = 6,128. 
 
PMT = 612800/6,128 = 100.000 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 48
Assim, por mês, a parcela é de 100.000. Precisamos saber quanto disso são 
juros e quanto disso é a amortização propriamente dita. 
 
Na primeira parcela, temos que os juros são de 15% sobre todo o capital. Ou 
seja: 
 
J1 = 0,15*612.800 = 91920 
 
Ou seja, a amortização na primeira parcela foi de 100000 – 91920 = 8080. 
 
O saldo devedor, para a segunda parcela, é de 604720. Sobre ele incidem os 
juros de 15%, ou seja: 
 
J2 = 0,15*604720 = 90708 
 
Ou seja, na segunda parcela, a amortização foi de 100000 – 90708 = 9292. 
 
O valor mais próximo é 9293, letra E. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 25 – ESAF/CVM/Inspetor/2010 
 
Um certo número de bônus de valor de face de 1.000 USD, e 
constituído por 12 cupons semestrais no valor de 50 USD cada um, é 
lançado por uma empresa no mercado internacional com o objetivo de 
levantar um empréstimo. A empresa se compromete a pagar o valor de 
cada cupom no fim de cada semestre e o valor de face do bônus ao fi m 
de seis anos juntamente com o valor do último cupom. Caso cada 
bônus seja vendido hoje por 841,15 USD, já descontadas as despesas 
de lançamento, qual o valor mais próximo da taxa de juros paga pela 
empresa lançadora do bônus? 
 
a) 4% ao semestre. 
b) 5% ao semestre. 
c) 7% ao semestre. 
d) 6% ao semestre. 
e) 8% ao semestre. 
 
 
Essa questão é sobre o Sistema Americano. Veja a lógica dele: 
 
• O cidadão precisa de dinheiro; 
• Para isso, lança um título no mercado (ele chama de bônus); 
• O valor de face do bônus é de 1000 (pensem num papel escrito “1000” 
em cima – na face, claro. Rs). 
• Se ele for bem remunerado e os investidores acharem que é um bom 
investimento, provavelmente haverá mais investidoresquerendo adquirir 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 49
o bônus do que bônus disponíveis. Nesse caso, o bônus será vendido por 
um valor maior do que o valor de face (lei da oferta e da procura). Mas 
pode acontecer o contrário, no caso de haver mais bônus do que 
investidores interessados. Nesse caso, o cidadão que precisa de dinheiro 
terá de vender seus bônus por um valor menor do que o valor de face. 
Reparem que foi isso que aconteceu, pois ele está vendendo seu bônus 
por 841,15. 
• O investidor que compra o bônus receberá 50 durante 12 períodos. Ao 
final (junto com o último 50) receberá o valor de face do bônus. 
 
 
Portanto, para resolver a questão, fazemos nada mais do que uma 
“equivalência” entre o valor que o investidor pagou e o que ele vai receber 
como remuneração. A diferença entre esses dois valores são os juros 
recebidos. 
 
O desenho abaixo mostra o fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o que temos de fazer é igualar a parte de cima do fluxo de caixa (os 
pagamentos do investidor) com a parte de baixo do fluxo de caixa (os 
recebimentos do investidor). Lembrando que devemos escolher a data que 
mais simplifique os cálculos. Normalmente, essa data ou é a primeira do fluxo 
ou é a última (porque, na maioria das vezes, já sabemos quanto o título vale 
nessas datas). Aqui, vamos transpor tudo para o último dia do fluxo 
(poderíamos trazer tudo para o primeiro dia também). 
 
Temos, então: 
 
Parte de cima do fluxo de caixa = 841,15.(1 + i)12 
 
Parte de baixo do fluxo de caixa = 50.S(12,i) + 1000 
 
Igualando: 
 
J 
Valor de face = 1000 
 
Valor pago efetivamente = 841,15 (houve deságio) 
Valor de face + juros 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 50
 
841,15.(1 + i)12 = 50.S(12,i) + 1000 
 
E agora, como saber a resposta? O “i” está presente em 2 termos da equação, 
não tem como “juntar” e isolá-lo. 
 
Bem, pessoal, o jeito foi pegar as alternativas e substituir na equação (por 
exemplo, a primeira alternativa fala em 4% ao semestre. Você vai nas tabelas 
dadas pela prova e pega os valores referentes a i = 4% e n = 12). 
 
Se a alternativa estiver correta, ela representará uma igualdade. Trabalhoso 
isso, não é? Eu pularia a questão e voltaria se desse tempo, porque esses 
algebrismos na hora da prova são realmente um saco. 
 
Bem, fazendo isso que eu falei, você encontrará que 7% é a resposta correta: 
 
841,15.(1 + 0,07)12 = 50.S(12,7) + 1000 
841,15.2,2522 = 50.17,88 + 1000 
1894 = 894 + 1000 
1894 = 1894 
 
Bem, essa questão complicou um pouquinho porque o que foi pedido foi a 
taxa. Mas nem sempre é assim, e elas costumam ser questões fáceis de serem 
resolvidas na prova. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 26 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 
 
Um financiamento no valor de R$ 360.000,00 deve ser pago em 180 
prestações mensais, pelo Sistema de Amortizações Constantes - SAC, a 
uma taxa nominal de 12% ao ano, vencendo a primeira prestação ao 
fim do primeiro mês, a segunda ao fim do segundo mês e assim 
sucessivamente. Calcule o valor mais próximo da décima prestação. 
 
a) R$ 5.600,00 
b) R$ 5.420,00 
c) R$ 5.400,00 
d) R$ 5.380,00 
e) R$ 5.500,00 
 
 
Se o sistema é SAC, a amortização é constante. No nosso caso: 
 
A = PV/n = 360000/180 = 2000 
 
Já falamos que, a cada prestação, são pagos os juros referentes ao saldo 
devedor resultante no período anterior. E que o saldo devedor é uma 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 51
progressão aritmética. Logo após o pagamento da primeira prestação ele é de 
PV – A, logo após a segunda prestação ele é de PV – 2A... 
 
Assim, os juros pagos na décima parcela são aqueles referentes ao saldo 
devedor resultante após o pagamento da nona parcela, ou seja, SD = PV – 9A. 
 
A taxa, sendo de 12% nominal ao ano, é de 1% ao mês. Os juros pagos na 
décima parcela serão: 
 
J = SD.i = (PV – 9A).i = (360000 – 9.2000).0,01 = (360000 – 18000).0,01 = 
342000.0,01 = 3420. 
 
A parcela é composta de A + J = 2000 + 3420 = 5420 
 
Assim, a resposta é a letra B. Tentem resolver a questão da CVM, que é muito 
parecida. Qualquer coisa perguntem no fórum. O gabarito dela é letra A. 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
Questão 27 – CESGRANRIO/Petrobrás/Auditor Jr/2011 
 
Considere um financiamento imobiliário que poderá ser pago, nas 
mesmas condições, pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), pelo 
Sistema das Amortizações Constantes (SAC) ou pelo Sistema 
Americano (SA). É correto afirmar que 
a) o valor da primeira prestação será maior se escolhido o SFA. 
b) a cota de juros paga na primeira prestação terá maior valor se 
escolhido o SA. 
c) escolhido o SAC, as parcelas relativas ao pagamento das cotas de 
juros aumentam a cada prestação. 
d) escolhido o SAC, a última prestação corresponderá à cota de 
amortização corrigida pela taxa do financiamento. 
e) a última prestação terá o menor valor se escolhido o SA. 
 
Vamos analisar cada alternativa. 
 
a) o valor da primeira prestação será maior se escolhido o SFA. 
 
No Sistema Price (Francês), a primeira parcela é igual a todas as outras. No 
SAC, a primeira parcela contém a amortização (constante) e os juros sobre 
todo o capital. No sistema americano, a primeira parcela contém só juros. 
 
Então, a primeira parcela é maior no SAC, pois ela contém, não só a 
amortização, como também os juros sobre todo o capital. 
 
Alternativa falsa. 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 52
b) a cota de juros paga na primeira prestação terá maior valor se 
escolhido o SA. 
 
Novamente, a alternativa está falsa, pelo mesmo motivo que demos na 
alternativa anterior. Os juros pagos no SAC na primeira parcela são maiores do 
que em qualquer outro sistema pois, nesse, se pagam os juros sobre todo o 
capital já na primeira prestação. 
 
Alternativa falsa. 
 
c) escolhido o SAC, as parcelas relativas ao pagamento das cotas de 
juros aumentam a cada prestação. 
 
Alternativa falsa. Como já dissemos, no SAC os juros do saldo devedor vão 
sendo pagos a cada prestação. Como o saldo devedor vai diminuindo, os juros 
também vão diminuindo, e não aumentando. 
 
d) escolhido o SAC, a última prestação corresponderá à cota de 
amortização corrigida pela taxa do financiamento. 
 
No SAC, a última prestação corresponderá à amortização mais os juros 
referentes a essa amortização. Ou seja, como a alternativa disse, a 
amortização estará corrigida pela taxa. Alternativa correta. 
 
e) a última prestação terá o menor valor se escolhido o SA. 
 
Alternativa falsa. No AS, a última prestação corresponde aos juros mais todo o 
valor que foi emprestado. Ou seja, a última parcela é a maior de todas. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
Questão 28 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico de Administração e 
Controle Jr/2011 
 
Considere o fluxo de caixa representado a seguir: 
 
 
O valor presente líquido desse fluxo de caixa, na data zero, à taxa de 
atratividade de 10% ao ano, a juros compostos, em reais, é 
a) 6.000 
b) 7.000 
c) 11.800 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 53
d) 12.000 
e) 15.705 
O valor presente líquido (VPL) é o valor que o projeto assume, com todos os 
pagamentos e recebimentos transportados para a data zero. 
Por exemplo, a tabela da questão diz: 
 
 
 
Isso significa que, na data zero, foram gastos 30000 (-30000). E nos 3 anos 
seguintes,foram ganhos 8800, 16940 e 19965, respectivamente. 
 
Ocorre que, para saber se o projeto vale a pena, não adianta simplesmente 
somar os valores da tabela. Isso porque 100, hoje, vale mais do que 100 
amanhã. 
 
Por isso, é necessário “transportar” os valores para a data zero, descontando 
os juros do período. 
 
Se o VPL (a soma de todos os valores na data zero) é maior que zero, o 
projeto vale a pena, e se é menor que zero, não vale a pena. 
 
Quando eu digo “transportar”, quero dizer trazer para a data zero. Por 
exemplo, “transportar” o valor de 8800 para a data zero significa considerar 
8800 como VF, e o valor transportado é o VP. Assim: 
 
VF = VP.(1 + i)n 
8800 = VP.(1 + 0,1)1 
 
VP = 1
8800
8000
(1 0,1)
=
+
 
 
Então, 8000 que quanto vale hoje o 8800 que a empresa vai ganhar 
daqui 1 ano. 
 
Vamos fazer o mesmo com os demais valores da tabela, transportando todos 
os valores para a data zero: 
 
 
1 2 3
8800 16940 19965
30000
(1 0,1) (1 0,1) (1 0,1)
VPL = − + + +
+ + +
 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 54
2 3
8800 16940 19965
30000
(1,1) (1,1) (1,1)
8800 16940 19965
30000
1,1 1,21 1,331
30000 8000 14000 15000
VPL
VPL
VPL
= − + + +
= − + + +
= − + + +
 
 
VPL = 7000 
 
Portanto, todos os valores transportados para a data zero, somados, valem 
7000. Assim, o projeto vale a pena. 
 
Aproveito e peço para gravarem para a prova (colocarei no Memorex) os 
valores de 1,12 e 1,13, pois as questões de VPL e TIR normalmente utilizam a 
taxa de 10% ao ano. Isso fará vocês ganharem um tempinho. 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
Questão 29 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico de Administração e 
Controle Jr/2011 
 
O fluxo de caixa a seguir corresponde a um projeto de investimento 
com taxa interna de retorno de 10% ao ano. 
 
 
 
O valor de X é, em reais, mais próximo de 
a) 13.270 
b) 13.579 
c) 13.831 
d) 14.125 
e) 14.418 
 
A TIR – Taxa Interna de Retorno, é a taxa que faz com que um projeto tenha 
VPL = 0. 
 
Assim, nesta questão, o que devemos fazer é transportar todos os valores para 
a data zero (como fizemos na questão anterior), colocando a TIR no lugar da 
taxa e igualando a zero (pois o VPL = 0 quando a taxa utilizada é igual à TIR). 
 
Portanto: 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 55
1 2 3
2 3
10000 2
40000
(1 0,1) (1 0,1) (1 0,1)
10000 2
40000
1,1 (1,1) (1,1)
X X
VPL
X X
VPL
= − + + +
+ + +
= − + + +
 
 
Nesta questão, não é interessante fazer a multiplicação das potências 1,1² e 
1,1³, pois não é possível dividir X por eles. 
 
Vamos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum entre os denominadores da 
equação. Como a maior potência é 1,1³, então este é o MMC: 
 
2 3
3
10000 2
40000
1,1 (1,1) (1,1)
40000.(1,1)³ 10000.(1,1)² .1,1 2
(1,1)
X X
VPL
X X
VPL
= − + + +
− + + +
=
 
 
Finalmente, podemos substituir 1,1³ = 1,331 e 1,1² = 1,21. 
 
40000.1,331 10000.1,21 .1,1 2
1,331
53240 12100 3,1
1,331
X X
VPL
X
VPL
− + + +
=
− + +
=
 
 
O VPL é igual a zero, portanto: 
 
53240 12100 3,1 0
3,1 41140
13270,96...
X
X
X
− + + =
=
=
 
 
O valor mais próximo é 13270, letra A. 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 30 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Contador Jr/2011 
 
A Cia. Renovar S/A encontra-se em fase de avaliação de propostas de 
investimentos de capital, como segue. 
 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 56
 
 
Admitindo-se que o orçamento de capital esteja limitado a R$ 
11.500.000,00, as alternativas que, somadas, apresentam maior Valor 
Presente Líquido são: 
 
a) P + Q + T 
b) P + R + S 
c) P + Q + S 
d) P + Q + R 
e) Q + R + S + T 
Essa questão pede que escolhamos os projetos que mais dão retorno, com o 
capital inicial de 11500000. 
O retorno é dado pela soma do VPL de cada projeto. 
O VPL é dado pela soma do valor presente dos benefícios menos o 
investimento necessário. 
Então, devemos calcular o VPL de cada projeto. Vamos suprimir os 3 últimos 
zeros, tanto do investimento quanto dos retornos, pois eles não atrapalham a 
resolução: 
Projetos Investimento Retornos 
VPL = Retorno -
Investimento 
P 5750 7475 1725 
Q 2300 2530 230 
R 1150 1207 57 
S 4600 5635 1035 
T 3450 4140 690 
Agora, vamos às alternativas: 
a) P + Q + T: 1725 + 230 + 690 = 2645 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 57
b) P + R + S: 1725 + 57 + 1035 = 2817 
 
c) P + Q + S: 1725 + 230 + 1035 = 2990 
 
d) P + Q + R: 1725 + 230 + 57 = 2012 
 
e) Q + R + S + T: 230 + 57 + 1035 + 690 = 2012 
Portanto, a alternativa que retornou maior VPL foi a letra C. Vamos conferir se 
o capital dela está dentro do estipulado (11500): 
Capital P + Q + S = 5750 + 2300 + 4600 = 12650. 
Portanto, para essa alternativa, o capital fica fora do estipulado. Vamos para a 
2a alternativa com maior VPL, a letra B: 
Capital P + R + S = 5750 + 1150 + 4600 = 11500. 
Portanto, esse é o projeto com maior VPL, e que obedece à regra do 
enunciado. 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 31 – CESGRANRIO/Petrobrás/Téc. Administração e Controle 
Jr/2011 
 
Use a tabela, se necessário, para resolver a questão. 
 
 
 
 
 
O fluxo de caixa líquido esperado de um investimento é o seguinte, em 
milhares de reais: 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 58
 
 
Seu valor presente líquido (VPL) na data zero, à taxa de 10% ao ano é, 
em milhares de reais, mais próximo de 
a) 2.246 
b) 2.418 
c) 2.785 
d) 3.215 
e) 3.471 
 
Vamos encontrar o VPL, nesta questão, utilizando o fator de valor atual. 
 
O fator de valor atual antecipa o valor de uma série de pagamentos. Portanto, 
se utilizarmos o fator de valor atual para a série do período 2 ao período 18, 
teremos o valor atual da série na data 1. 
 
Depois, basta transportar este valor, bem como o próprio valor do retorno na 
data 1, para a data zero. Diminuindo esse valor do investimento inicial (-
10000), encontramos o valor presente líquido. 
 
Portanto, vamos aos cálculos. Primeiramente, vamos calcular o valor atual, na 
data 1, da série de 2 a 18. Como a série é de 2 a 18, n = 17 (é como se fosse 
do 1 até o 17): 
 
PV = PMT.A(n, i) 
 
PV = 3000.A(17, 10%) 
 
Pela tabela dada no enunciado: 
 
 
 
PV = 3000.8,0216 = 24064,8 
 
Esse é o valor da série na data 1. Vamos somar este valor ao próprio valor do 
retorno na data 1, para, então, passar tudo para a data zero: 
Data 1 = 24064,8 – 10000 = 14064,8 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 59
O VPL será dado pela soma do projeto todo na data zero, portanto: 
 
14064,8
10000
1,1
10000 12786,18
VPL
VPL
= − +
= − +
 
 
VPL = 2786,18 
 
O valor mais próximo é 2785, letra C. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 32 – CESGRANRIO/Petrobrás/Auditor Jr/2011 
 
 
 
Uma empresa deve decidir quanto à alternativa de investimento que 
consiste em um desembolso inicial de R$ 150.000,00 e 12 entradas 
anuais líquidas e postecipadas de R$ 20.000,00. Se a taxa de 
atratividade mínima é de 10% ao ano, é correto afirmar que a empresa 
a) deverá realizar o investimento porque terá lucro de R$ 90.000,00. 
b) deverá realizar o investimento porque a taxa interna de retorno é 
de 10% ao