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Aula 01 Matem e Raciocinio Lógico Questões

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BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1
 
1. Aula 1 - Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem. .......... 2 
2. Memorex ..................................................................................................................... 29 
3. Lista das questões abordadas em aula ................................................................. 31 
4. Gabarito ...................................................................................................................... 37 
AULA 1 
 
BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
 
Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 2
1. Aula 1 - Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem. 
 
 
 
Começamos com uma questão sobre os números Inteiros. 
 
Observem o seguinte diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por este diagrama, vocês podem perceber que os números Racionais englobam 
também os números Inteiros e os Naturais. 
 
Questão 1 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações 
seguintes, qualquer que seja o valor de N: 
 
I - N2 + N + 1 é um número ímpar; 
II – N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; 
III - N2 tem uma quantidade par de divisores; 
IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. 
 
A quantidade de afirmações verdadeiras é 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 0 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
 
Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ... 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
Ex: -2; -1; 0; 1; 2 
NÚMEROS NATURAIS (N) 
 
Ex: 0; 1; 2 
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Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 3
Os números Inteiros são aqueles que não são frações. Por exemplo, � = {..., -
2, -1, 0, 1, 2, ...}. Normalmente, o conjunto dos números Inteiros é expresso 
pela letra � . 
 
Assim, sabemos que 
3
4
 não é um número inteiro, pois ele é uma fração. 
 
Dentro dos números Inteiros, como o diagrama mostra, existem os números 
Naturais. São todos os Inteiros positivos, incluindo o Zero. O conjunto 
dos números Naturais é expresso por � = {0, 1, 2, ...}. 
 
Portanto, 
3
4
 não é um número Natural. Assim como –2. 
 
Temos também os números Racionais. Eles são os números Inteiros 
mais as frações. Qualquer número que possa ser expresso por uma fração é 
um número Racional. Normalmente, o conjunto dos números Racionais é 
chamado de � , isso porque Q vem de quociente. 
 
Assim, 
3
4
é um número Racional. -
3
4
 também. 
 
E 1,33333333...? Será que é um número Racional? 
 
Sim, pois 1,33333333... pode ser expresso sob a forma de fração. É o número 
4
3
. 
 
Números como o 1,33333333... são chamados de dízimas periódicas. São 
números resultantes de divisões de frações. 
 
No entanto, 1,376983987... não é número racional. 
 
É, sim, um número Irracional. Números Irracionais são números que não 
são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais. 
 
Os números Irracionais não podem ser expressos por frações. 
 
O conjunto dos números Reais é formado pelos números Racionais mais os 
números Irracionais. 
 
Basicamente, qualquer número que possa ser extraído de uma raiz é um 
número Real. 
 
O conjunto dos números Reais é denotado por � . 
 
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Ficam de fora os números Complexos, que não são pedidos pelo edital do 
concurso. 
 
Agora que temos uma ideia de como são os números, vamos analisar cada 
alternativa: 
 
I - N2 + N + 1 é um número ímpar; 
Em questões assim, para resolver o ideal é fazer um teste, com números pares 
e com números ímpares: 
• N = par: 
Exemplo: N = 2 
22 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 
• N = ímpar: 
Exemplo: N = 3 
32 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 
Conclusão: todo número par elevado ao quadrado resulta num número par, e 
todo número ímpar elevado ao quadrado resulta num número ímpar. Por isso, 
chega-se ou na soma PAR + PAR + ÍMPAR (soma ímpar) ou na soma ÍMPAR + 
ÍMPAR + ÍMPAR (soma ímpar). 
Alternativa correta. 
II - N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; 
Esse item é verdadeiro pelo seguinte motivo. 
Para qualquer N, ou N será múltiplo de 3 (exemplo: 3), ou N + 1 será múltiplo 
de 3 (exemplo: 2), ou N + 2 será múltiplo de 3 (exemplo: 1). 
Portanto, para qualquer N, o número sempre será resultado de um produto de 
algum múltiplo de 3. E será, portanto, múltiplo de 3. 
Alternativa verdadeira. 
III - N2 tem uma quantidade par de divisores; 
Vamos testar com alguns números. 
• N = 1: 
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N2 = 1. E só é divisível por ele mesmo (1). Portanto, quantidade ímpar de 
divisores. 
Alternativa falsa. 
IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. 
Vamos testar: 
• N = 1: 
1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6. É múltiplo de 6. 
• N = 2: 
2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9. Não é múltiplo de 6. 
Alternativa falsa. 
Resposta: Letra B. 
 
 
A prova possui 45 questões. A pessoa acerta X questões e, consequentemente, 
erra 45 – X questões. 
 
Para cada questão que acerta, ganha 8 pontos. Ou seja, se acertar X questões, 
ganha 8X pontos. 
 
Para cada questão que erra, perde 7 pontos. Ou seja, se errar 45 – X 
questões, perde 7.(45 – X). 
 
A soma de todas as questões foi 0, portanto temos de somar os pontos que a 
pessoa ganhou menos os que ela perdeu: 
 
Ganhou – perdeu = 0 
 
8X – 7.(45 – X) = 0 
Questão 2 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2011 
 
Numa prova de 45 questões, cada questão respondida corretamente vale 8 
pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão errada. Uma pessoa faz 
essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa pessoa acertou? 
 
(A) 0 
(B) 15 
(C) 21 
(D) 24 
(E) 30 
 
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8X – 7.45 + 7X = 0 
 
15X = 7.45 
 
X = 7.3 = 21. 
 
Portanto, a pessoa acertou 21 questões. 
 
Resposta: Letra C. 
 
 
 
Primeiramente, vamos analisar Aldo e Baldo. Eles possuem 24 figurinhas cada, 
e o dinheiro exato para comprar individualmente suas figurinhas. Portanto, 
cada um possui o seguinte número de centavos: 
 
Aldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 288 
Baldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 288 
 
Ou seja, ambos possuem, juntos 576 centavos. 
 
Caldo foi até a banca, comprou todas as figurinhas que todos precisam e ainda 
trouxe troco de 6 centavos. 
 
Se Caldo comprou figurinhas para todos, ele comprou, no mínimo, 48 
figurinhas, que é o número que Aldo e Baldo precisam. Portanto, já sabemos 
que Caldo pagou 10 centavos por cada figurinha. Portanto, temos: 
 
Questão 3 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
Uma banca de jornal vende figurinhas a 12 centavos cada, se a pessoa 
comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48 figurinhas, o preço 
unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48 figurinhas, o 
preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo 
colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem 
figurinhas para completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para 
comprar mais figurinhas. Aldo e Baldo precisam de 24 figurinhas cada um 
para completar suas coleções e ambos têm o dinheiro exato para comprar 
individualmente as figurinhas que faltam. Caldo vai à banca com o 
dinheiro de seus irmãos e compra figurinhassuficientes para que todos 
completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas 
figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 9 
(E) 10 
 
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Aldo = 24 figurinhas x 10 centavos cada = 240 
Baldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 240 
Caldo = X figurinhas x 10 centavos cada = 10X 
 
Todo esse valor, somado, resultou no dinheiro que Aldo e Baldo possuem, com 
menos 6 centavos (que sobrou de troco): 
 
240 + 240 + 10X = 576 – 6 
 
10X = 570 – 480 
 
10X = 90 
 
X = 9 
 
Portanto, Caldo comprou 9 figurinhas. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
Para resolver essa questão, é importante pensar apenas nas transações como 
as notas verdadeiras, afinal as falsas não valem nada. 
 
Pensem na caixa registradora do livreiro: 
 
Primeiramente, entraram nela 10x10 do jornaleiro. 
 
Depois, saíram 80, entregues ao homem. 
 
Depois, saíram mais 100, para o jornaleiro, repondo sua nota falsa. 
 
Portanto, o saldo na caixa registradora do livreiro é: 
 
10x10 – 80 – 100 = 100 – 80 – 100 = -80. 
Questão 4 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga 
com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais 
e troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 
8 notas de 10 reais. Em seguida, entra o jornaleiro dizendo que a nota de 
100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100, verdadeira. 
O prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi 
 
(A) 200 
(B) 180 
(C) 100 
(D) 80 
(E) 20 
 
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Assim, ele teve 80 reais de prejuízo. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
 
Questão muito simples, sobre o troco recebido. 
 
O troco é sempre: 
 
Troco = Quantia Dada – Quantia Gasta 
 
Troco = 2.5 – (4,20 + 3,10) = 10 – 7,30 = 2,70 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 
 
Joana foi ao mercado. Lá, comprou 1 kg de café por R$ 4,20 e um pacote 
de macarrão que custou R$ 3,10. Se Joana pagou essa despesa com duas 
notas de R$ 5,00, quantos reais ela recebeu de troco? 
 
(A) 2,20 
(B) 2,70 
(C) 3,30 
(D) 3,70 
(E) 4,20 
 
Questão 6 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 
 
Desde o ano de 2009, os brasileiros podem mudar de operadora de 
telefonia, sem necessidade de alterar os números de seus telefones. 
Dezembro de 2010 foi o mês com maior volume de troca de operadoras, 
tanto na telefonia fixa quanto na telefonia móvel, totalizando 463 mil 
transferências. Se, nesse mês, o número de transferências na telefonia 
móvel correspondeu ao dobro do número de transferências realizadas na 
telefonia fixa, menos 26 mil, quantos milhares de transferências de 
operadora de telefonia móvel foram realizadas em dezembro de 2010? 
 
(A) 163 
(B) 189 
(C) 215 
(D) 300 
(E) 326 
 
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O número total de transferências foi de 463 mil (vamos omitir o mil, já que ele 
está presente em todos os cálculos): 
 
TF = Transferência Telefonia Fixa 
 
TM = Transferência Telefonia Móvel 
 
TF + TM = 463 
 
TM foi o dobro de TF menos 26: 
 
TM = 2TF – 26 
 
Como TF + TM = 463, TF = 463 – TM 
 
Substituindo na equação: 
 
TM = 2TF – 26 
 
TM = 2(463 – TM) – 26 
 
TM = 926 – 2TM – 26 
 
3TM = 900 
 
TM = 300. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
 
Déficit = Importações – Exportações 
 
As Importações foram de 197,44. 
 
As Exportações foram de 158,66. 
Questão 7 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico/2011 
 
Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total das 
importações e das exportações realizadas em um determinado período. 
Em outubro de 2010, os Estados Unidos importaram 197,44 bilhões de 
dólares e exportaram 158,66 bilhões de dólares. Qual foi, em bilhões de 
dólares, o deficit comercial dos Estados Unidos nesse mês? 
(A) 31,78 
(B) 38,78 
(C) 39,72 
(D) 41,22 
(E) 41,88 
 
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Temos: 
 
Déficit = 197,44 – 158,66 
 
Déficit = 38,78 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Troco = Quantia Dada – Quantia Paga 
 
O cafezinho custa X. 
 
O sorvete custa X + 1,6. 
 
João tomou 3 cafezinhos e um sorvete, 3X + X + 1,6. 
Assim: 
 
1,2 = 10 – (4X + 1,6) 
 
1,2 = 10 – 4X – 1,6 
 
4X = 7,2 
 
X = 1,8. 
 
O cafezinho custa R$ 1,80. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 8 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
Ao pagar três cafezinhos e um sorvete com uma nota de R$10,00, João 
recebeu R$1,20 de troco. Se o sorvete custa R$1,60 a mais que cada 
cafezinho, qual é, em reais, o preço de um cafezinho? 
(A) 1,60 
(B) 1,80 
(C) 2,00 
(D) 2,20 
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Questão direta, de substração: 
 
Construção Civil – Agropecuária = 54330 – 4143 = 50187 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
Questão 9 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira 
assinada. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira 
assinada criados em alguns setores da economia, em janeiro de 2010. 
 
 
 
Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do 
que o setor agropecuário, em janeiro de 2010? 
(A) 49.953 
(B) 50.187 
(C) 51.213 
(D) 53.746 
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Vamos ver quanto a pessoa gastaria pagando em real e quanto gastaria 
pagando em “terra”. 
 
Lembrando que ela comprou 4P (pãezinhos) e 2R (refrigerantes). 
 
Pagando em real: 
 
Real = 4.(0,15) + 2.(1,5) 
 
Real = 0,60 + 3 = 3,6. 
 
Pagando em “terra”: 
 
Terra = 4.(0,1) + 2.(1) = 2,4. 
 
A diferença Real – Terra é de 3,6 – 2,4 = 1,2. 
 
Resposta: Letra B. 
 
 
 
Questão 10 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2006 
 
A "terra" é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região 
Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real 
vale o mesmo que um "terra". Mas quem compra com "terra" paga mais 
barato. O preço do pãozinho é R$0,15, ou 0,10 "terra" e um refrigerante, 
que custa R$1,50, é vendido por 1,00 "terra". Comparado ao real, qual 
será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes, 
pagando com "terra"? 
 
(A) 0,80 
(B) 1,20 
(C) 1,80 
(D) 2,40 
(E) 3,60 
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A produção do Espírito Santo (ES) e do Rio Grande do Norte (RN) é de 64573. 
 
Ou seja: 
 
ES + RN = 64573 
 
Se a produção do Rio Grande do Norte fosse de 2RN, ela seria igual a do ES + 
2423. 
 
2RN = ES + 2423 
 
Assim: 
 
RN = 64573 – ES 
 
2RN = ES + 2423 
 
2.(64573 – ES) = ES + 2423 
 
129146 – 2ES = ES + 2423 
 
3ES = 129146 – 2423 
 
ES = 126723/3 = 42241 
 
Portanto, a produção do Espírito Santo foi de 42241 milhares de barris. 
 
Resposta: Letra E. 
 
 
 
Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico/2010 
 
Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os 
estados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de 
Janeiro. Juntos,esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil 
barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a 
do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de 
barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo? 
(A) 20.716 
(B) 22.332 
(C) 31.075 
(D) 36.086 
(E) 42.241 
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A diretora da escola decidiu comprar: 
 
• Um Atlas das representações literárias de regiões brasileiras: custa 45 
reais; 
 
• Quatro exemplares do Atlas geográfico escolar - 5a edição: custa 40 
reais; 
 
• Dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a edição: 15 reais. 
 
Assim, temos: 
 
1.(45) + 4.(40) + 2.(15) = 45 + 160 + 30 = 235 reais. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
 
Questão 12 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
 
Na loja virtual do IBGE (www.ibge.gov.br/lojavirtual), é possível adquirir 
diversos produtos cartográficos. A tabela abaixo apresenta os atlas 
disponíveis para compra. 
 
 
 
Se a diretora de uma escola decidir comprar um Atlas das representações 
literárias de regiões brasileiras, quatro exemplares do Atlas geográfico 
escolar - 5a edição e dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a 
edição para a biblioteca da escola, quanto vai gastar, em reais? 
(A) 135,00 
(B) 142,00 
(C) 212,00 
(D) 235,00 
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Essa questão traz uma fração. Agora, falaremos sobre elas. 
 
Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a 
“parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo: 
 
 
2
7 
 
Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados 
devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações: 
 
• Adição e Subtração de frações: 
 
Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os 
denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a 
soma abaixo: 
 
2
7
 + 1
9
 + 3
5 
 
Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso 
MMC – Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos 
três denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número 
divisível por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por 
qualquer número e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo 
comum, a exceção do zero. 
 
No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus 
múltiplos. São eles (já excluímos o zero): 
 
Questão 13 – CESGRANRIO/SEARH/SEEC/Professor/2011 
 
Dados dois números inteiros quaisquer, x e y, tem-se que o número z, 
dado por 
12 18
2
x y
z
+
= , é 
(A) maior do que, ou igual a, 15 
(B) múltiplo de 5 
(C) divisível por 2 
(D) divisível por 3 
(E) ímpar 
 Numerador 
 Denominador 
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• Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 
105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 
196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 
294, 301, 308 315, 322, 329, ...} 
• Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 
135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 
261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...} 
• Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 
75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 
150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 
220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 
290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...} 
 
Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. 
 
Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números? Na hora 
da prova vocês não podem perder esse tempo todo. 
 
Para isso, utilizamos a Fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo 
menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um 
quociente igual a 1. 
 
Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7: 
 
7 7 
1 
 
Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele 
mesmo. Fatorando o 9: 
 
9 3 
3 3 
1 
 
Fatoração do 9 = 32. 
 
Fatoração do 5: 
 
5 5 
1 
 
Temos, então, a regra de ouro do MMC: 
 
 
 
 
 
 
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Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315. 
 
Resgatando nossa soma inicial: 
 
 
2
7
 + 1
9
 + 3
5 
 
Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada 
fração, dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
7
 + 1
9
 + 3
5
2 x 3
2
 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 3
2
 x 7
315
 
 
 
 
Fazendo a soma, chega-se no resultado de 
314
315 . 
÷ 
Fatores não 
comuns a todas 
as fatorações 
Entra no cálculo do MMC 
REGRA DE OURO DO MMC 
Entra no cálculo do MMC 
com o maior expoente 
 
Fatores comuns 
a todas as 
fatorações 
X 
Primeiro passo: 
DIVIDIR 
 
315 ÷ 7 = 32 x 5 
Segundo passo: 
 
MULTIPLICAR 
 
2 X 32 x 5 
= 
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• Multiplicação e divisão de frações: 
 
A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os 
numeradores e denominadores entre si. 
 
Exemplo: 
 
3
5
 x 4
9
 = 3 x 4
5 x 9
 = 4
5 x 3
 = 4
15 
 
Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer 
dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através 
do “Extremos pelos Meios”, ou seja: 
 
3
5
4
9
 = 3 x 9
5 x 4
 = 27
20
 
 
 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
(A) maior do que, ou igual a, 15 
 
Alternativa falsa. Se x e y forem números negativos (por exemplo –100), não 
será maior que 15: 
 
12( 100) 18( 100) 1200 1800 3000
1500
2 2 2
z
− + − − − −
= = = = − 
 
(B) múltiplo de 5 
 
Testando para x = -1 e y = 1: 
 
12( 1) 18(1) 12 18 6
3
2 2 2
z
− + − +
= = = = 
 
3 não é múltiplo de 5. Alternativa falsa. 
 
(C) divisível por 2 
 
Extremos 
Meios 
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Na alternativa anterior, encontramos o número 3, que não é múltiplo de 2. 
Alternativa falsa. 
 
(D) divisível por 3 
 
Essa é a alternativa correta pois 12 é múltiplo de 3 e 18 também. Portanto, os 
números resultado da multiplicação 12x e 18y também serão múltiplos de 3, e 
somados serão, igualmente múltiplos de 3. Alternativa correta. 
 
(E) ímpar 
 
Vimos que pode ser encontrado o número –1500, que é par. Alternativa falsa. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
Essa questão é da FCC, mas caiu no concurso do BB. Por isso, trouxe-a para a 
aula. 
 
O “E” é uma soma de frações, e deve ser um número inteiro. 
 
Sendo apenas uma soma de frações, E deve ser no máximo 1. Afinal ele é a 
soma de uma metade, mais uma terça parte, mais um sete avos, e mais a 
parte determinada pela razão 1/x. 
 
Mas, detalhe importante: E deve ser inteiro. Ou seja, ele só pode ser 1, poisse 
for menor do que 1 ou maior do que 1 não será inteiro. 
 
Assim, temos: 
 
Questão 14 – FCC/BB/Escriturário/2011 
Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número 
inteiro, então, 
(A) existem infinitas possibilidades distintas para x. 
(B) x é múltiplo de 12. 
(C) x é maior do que 84. 
(D) x tem oito divisores. 
(E) E pode ser maior do que 2. 
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1 1 1 1
2 3 7
1 1 1 1
1
2 3 7
1 1 1 1
1 ( )
2 3 7
E
x
x
x
= + + +
+ + + =
= − + +
 
 
Nesse ponto, fazemos o Mínimo Múltiplo Comum das frações: 
 
 
 
1 2.3.7 3.7 2.7 2.3
2.3.7
1 42 21 14 6
42
1 1
42
42
x
x
x
x
− − −
=
− − −
=
=
=
 
 
Assim, para que E seja igual a 1, x deve ser igual a 42. 
 
Se x for maior do que 42, E será menor do que 1, mas um número fracionário, 
e não inteiro, como pedido pela questão. 
 
Se x for menor do que 42, E será maior do que 1. Mas ainda não chegará a 2, 
pois todos os números são frações de 1. 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
(A) existem infinitas possibilidades distintas para x. 
Falso. x deve ser igual a 42 apenas, pois, do contrário, E não é um número 
inteiro. 
(B) x é múltiplo de 12. 
Falso. 42 não é múltiplo de 12. 
(C) x é maior do que 84. 
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Falso. 42 não é maior do que 84. 
(D) x tem oito divisores. 
Os divisores de 42 são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. São, portanto, 8 divisores. 
Resposta correta. 
(E) E pode ser maior do que 2. 
 
Falso. Como vimos, é impossível E ser maior do que 1. Imaginem que E é uma 
pizza, formada por pedaços, mas que só pode ser servida inteira. 
 
Você pede que a pizza seja ½ mussarela, 1/3 calabresa, 1/7 quatro queijos. O 
atendente da pizzaria fala: falta 1/x para completar a pizza. 
 
Já vimos que esse 1/x é 1/42. Se você pedir 1/43, o pedacinho restante vai ser 
menor, e a pizza (o E) vai vir menor do que 1. E se você pedir 1/41, a pizza 
vai vir maior do que 1. Mesmo que o x valha 1, os pedaços restantes somam 
½ + 1/3 + 1/7, o que dá 41/42. 
 
Ou seja, mesmo que x valha 1, a soma será 1 + 41/42. O que não dá 2. 
 
Resposta: letra D. 
 
 
Vamos utilizar esta questão para falar sobre a potenciação e a radiciação. 
 
A potenciação existe para quando os números envolvidos em uma 
multiplicação são todos iguais. 
 
Por exemplo, se temos: 
Questão 15 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008 
Analise as afirmativas a seguir: 
 
 
 
Assinale: 
(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(B) se somente a afirmativa II estiver correta. 
(C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
(D) se somente a afirmativa I estiver correta. 
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
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3 x 3 x 3 x 3 = 81 
 
Isso pode ser representado por: 
 
34 = 81 
 
Assim, a potenciação é formada por: 
 
34 = 81 
 
O “3” é a base da potência. O “4” é o expoente. E o 81 é o produto. 
 
A potenciação possui algumas propriedades: 
 
• Multiplicação de potências de mesma base - conserva-se a base e 
somam-se os expoentes: 
 
 2 3 2 3 52 .2 2 2+= = 
 
• Divisão de potências de mesma base - conserva-se a base e 
subtraem-se os expoentes: 
 
 
3
3 2
2
2
2 2
2
−
= = 
 
• Potências de potências - conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes: 
 
 2 3 2.3 6(2 ) 2 2= = 
 
Já a radiciação é a operação inversa da potenciação: 
 
 481 3 9= = 
 
O símbolo básico da radiciação é o radical: 
 
 n x 
 
O valor n é o índice do radical. Ele é o equivalente ao expoente na 
potenciação, e indica qual deve ser o expoente do valor x para que este possa 
ser extraído da raiz. 
 
Quando o valor n não é informado, ele vale 2 (é o que se chama raiz 
quadrada). 
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Assim: 
 
81 9= , pois 92 = 81 
 
3 27 3= , pois 33 = 27 
 
A radiciação também possui propriedades: 
 
 
• Multiplicação de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e 
multiplicam-se o conteúdo dos dois radicais: 
 
 2. 2 2.2= 
 
• Divisão de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e 
dividem-se o conteúdo dos dois radicais: 
 
 
2 2
22
= 
 
 
• Radical de radical - conserva-se o conteúdo e multiplicam-se os 
índices: 
 
 3 62 2= 
 
 
Vou aproveitar essa questão para ensinar a vocês algo que pode ser muito útil, 
também em outras matérias. É um jeito de extrair número da raiz quadrada 
sem calculadora. 
 
Vamos à análise das alternativas: 
 
I – 6 é maior que 5/2. 
 
Quanto é 6 ? 
 
Sabemos que 6 não é um quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são os 
números resultados de outros números elevados ao quadrado. Por exemplo: 22 
= 4, 34 = 9... 
 
Para extrair a raiz de 6 (será um número decimal) devemos seguir 3 passos: 
 
PASSO 1: achar um quadrado perfeito próximo. 
 
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Qual o quadrado perfeito mais próximo de 6 ? 
 
Temos que 22 = 4, e 32 = 9. 4 é mais próximo de 6 do que 9. Vamos usar o 4. 
 
Resposta: 4 = 22. 
 
PASSO 2: vamos trabalhar com: 
 
6 = a raiz que queremos; 
4 = quadrado perfeito mais próximo; 
2 = raiz mais próxima. 
 
PASSO 3: fazer uma divisão: 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
6 4 10
2,5
2 2 4x
+
= = 
 
Temos que 6 é aproximadamente 2,5. Pela calculadora, encontramos 2,449. 
É uma boa aproximação, não acham? 
 
Agora, passamos à análise da alternativa. 5/2 é exatamente igual a 2,5. 
 
A questão diz que 6 é maior que 2,5. Pelo nosso cálculo, encontramos os 2,5. 
Mas sabemos que não é um valor exato. 
 
Nesse caso, passaríamos para a próxima alternativa, pois talvez sabendo as 
próximas não precisemos saber essa para resolver a questão. 
 
II – 0,555... é um número racional. 
 
Todas as dízimas periódicas são números racionais. Dízimas periódicas são 
resultado de frações com divisão inexata. Por isso, são racionais. Alternativa 
correta. 
 
III – Todo número inteiro tem antecessor. 
 
O conjunto dos números Inteiros é dado por: 
 
� = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. 
 
NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO X QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO 
NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA 
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Como o conjunto dos números Inteiros começa em - ∞ , todo número inteiro 
realmente tem antecessor, uma unidade inferior. 
 
Sabemos, portanto, que a II e a III estão corretas. Isso resulta na letra E. 
Reparem que não existe alternativa que diga que a I, a II e a III estão certas. 
Portanto, não teríamos nem dúvida. A resposta é a letra E. 
 
Resposta: Letra E. 
 
 
Nessa questão, temos uma multiplicação que resulta em um número com 3 
números racionais. 
 
Fazemos da seguinte maneira: 
 
 
2 2 2
3 3
( 27 3 2).( 27 3 2)
27. 27 27. 3 27. 2 3. 27 3. 3 3. 2 2. 27 2. 3 2. 2
27 81 54 81 3 6 54 6 2
27 9 2.3 9 3 6 2.3 6 2
27 9 3 6 9 3 6 3 6 6 2
50 8 6
+ + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+
 
 
Portanto: 
 
x = 50 
y = 8 
z = 6 
 
x + y + z = 64 
 
Agora analisamos as alternativas:Questão 16 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010 
Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que 
x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número 
(A) cubo perfeito. 
(B) menor que 50. 
(C) primo. 
(D) maior que 70. 
(E) divisível por 6. 
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(A) cubo perfeito. 
Cubo perfeito é um número com raiz cúbica. 64 realmente é um cubo perfeito, 
pois: 
 33 64 = 4.4.4 4= 
 
Muita gente não sabia o que era um cubo perfeito na hora da prova, e mesmo 
assim acertou a questão, através da eliminação das demais alternativas. 
Alternativa verdadeira. 
(B) menor que 50. 
64 é maior que 50. Alternativa falsa. 
(C) primo. 
Números primos são aqueles que não são divisíveis por nenhum outro número 
além de si mesmo e do 1. 
64 é divisível por 32, 16, 8, 4, 2 e 1. Portanto, 64 não é primo. Alternativa 
falsa. 
(D) maior que 70. 
64 não é maior que 70. Alternativa falsa. 
 
(E) divisível por 6. 
64 não é divisível por 6. Alternativa falsa. 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Questão 17 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010 
Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é 
irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se 
então x + y é igual a 
(A) 53. 
(B) 35. 
(C) 26. 
(D) 17. 
(E) 8. 
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Essa questão mistura vários conhecimentos que já vimos, sobre os números 
inteiros e sobre as frações. 
 
x e y são números inteiros e positivos. Ou seja, eles pertencem ao conjunto 
dos números naturais, � = {0, 1, 2, ...} e não são decimais. 
 
No entanto, na fração dada eles estão na forma decimal. 
 
Então, é necessário multiplicar os números da fração até que se encontrem 
dois números inteiros, positivos e irredutíveis, tal como a questão exige. 
 
Temos: 
 
 
4
8
0,00125.10
0,75.10
x
y
−
−
= 
 
Primeiramente, vamos reduzir os expoentes que estão na base 10. 
 
10-8 é o mesmo que 10-4. 10-4. Em multiplicação de potências de mesma base, 
soma-se os expoentes. 
 
Portanto: 
 
4
4 4
4
0,00125.10
0,75.10 .10
0,00125
0,75.10
x
y
x
y
−
− −
−
=
=
 
 
Agora, temos que multiplicar o numerador e o denominador por um número 
que os torne inteiros, positivos e irredutíveis. 
 
Vamos tomar como base o número que está no denominador, ele parece ser 
mais fácil, afinal 0,75*2 = 1,5 * 2 = 3. Ou seja, 0,75*4 = 3. 
 
Além de multiplicar por 4, multiplicamos também por 104, pois temos 10-4 no 
denominador. Lembrando que 10-4.104 = 100 = 1. 
 
Temos, então: 
 
4
4 4 4
0,00125 0,00125 4.10
0,75.10 0,75.10 4.10
x
x
y − −
= = 
 
4 4
12,5.4
0,75.4.10
x
y − +
= 
 
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12,5.4
3
x
y
= 
 
50
3
x
y
= 
 
50/3 é uma fração irredutível, de números inteiros e positivos, que satisfaz o 
que foi exigido pelo enunciado. Portanto: 
 
x + y = 50 + 3 = 53 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Bons estudos e nos vemos no fórum. 
 
Abraços, 
 
Karine 
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2. Memorex 
 
 
Números Descrição Exemplos 
Inteiros São os números que não são 
frações 
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 
...} 
 
OBS! 
 = não é um número 
inteiro 
Naturais São os números inteiros 
positivos (inclusive o zero) 
N = {0, 1, 2, ...} 
 
OBS! 
, -2 = não são números 
naturais 
Racionais São os números (de qualquer 
sinal) que podem ser 
expressados por frações 
- = números 
racionais 
 
1,333333... (e demais 
dízimas períodicas) = 
são números racionais 
(1,333333... = ) 
 
OBS! 
1,376983987... = não é 
número racional = 
Número Irracional (são 
números que não são 
dízimas periódicas e 
possuem número infinito 
de casas decimais) 
Reais São todos os números 
racionais e irracionais 
Todos os números que 
vimos acima são reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fatores não 
comuns a todas 
as fatorações 
Entra no cálculo do MMC 
REGRA DE OURO DO MMC 
Entra no cálculo do MMC 
com o maior expoente 
 
Fatores comuns 
a todas as 
fatorações 
= 
+ 
Divisor Dividendo 
Quociente Resto 
x 
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3. Lista das questões abordadas em aula 
 
Questão 1 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações 
seguintes, qualquer que seja o valor de N: 
 
I - N2 + N + 1 é um número ímpar; 
II – N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; 
III - N2 tem uma quantidade par de divisores; 
IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. 
 
A quantidade de afirmações verdadeiras é 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 0 
 
Questão 2 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2011 
 
Numa prova de 45 questões, cada questão respondida corretamente vale 8 
pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão errada. Uma pessoa faz 
essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa pessoa acertou? 
 
(A) 0 
(B) 15 
(C) 21 
(D) 24 
(E) 30 
 
Questão 3 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
Uma banca de jornal vende figurinhas a 12 centavos cada, se a pessoa 
comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48 figurinhas, o preço 
unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48 figurinhas, o preço 
unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo colecionam um 
álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para completar 
seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e 
Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e 
ambos têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que 
faltam. Caldo vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhas 
suficientes para que todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 
centavos. Quantas figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 9 
(E) 10 
 
Questão 4 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 
 
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Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga 
com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e 
troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 
notas de 10 reais. Em seguida, entra o jornaleiro dizendo que a nota de 100 
reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100, verdadeira. O 
prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi 
 
(A) 200 
(B) 180 
(C) 100 
(D) 80 
(E) 20 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 
 
Joana foi ao mercado. Lá, comprou 1 kg de café por R$ 4,20 e um pacote de 
macarrão que custou R$ 3,10. Se Joana pagou essa despesa com duas notas 
de R$ 5,00, quantos reais ela recebeu de troco? 
 
(A) 2,20 
(B) 2,70 
(C) 3,30 
(D) 3,70 
(E) 4,20 
 
Questão 6 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 
 
Desde oano de 2009, os brasileiros podem mudar de operadora de telefonia, 
sem necessidade de alterar os números de seus telefones. Dezembro de 2010 
foi o mês com maior volume de troca de operadoras, tanto na telefonia fixa 
quanto na telefonia móvel, totalizando 463 mil transferências. Se, nesse mês, 
o número de transferências na telefonia móvel correspondeu ao dobro do 
número de transferências realizadas na telefonia fixa, menos 26 mil, quantos 
milhares de transferências de operadora de telefonia móvel foram realizadas 
em dezembro de 2010? 
 
(A) 163 
(B) 189 
(C) 215 
(D) 300 
(E) 326 
 
Questão 7 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico/2011 
 
Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total das importações 
e das exportações realizadas em um determinado período. Em outubro de 
2010, os Estados Unidos importaram 197,44 bilhões de dólares e exportaram 
158,66 bilhões de dólares. Qual foi, em bilhões de dólares, o deficit comercial 
dos Estados Unidos nesse mês? 
(A) 31,78 
(B) 38,78 
(C) 39,72 
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(D) 41,22 
(E) 41,88 
 
Questão 8 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
Ao pagar três cafezinhos e um sorvete com uma nota de R$10,00, João 
recebeu R$1,20 de troco. Se o sorvete custa R$1,60 a mais que cada 
cafezinho, qual é, em reais, o preço de um cafezinho? 
(A) 1,60 
(B) 1,80 
(C) 2,00 
(D) 2,20 
 
Questão 9 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira 
assinada. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira 
assinada criados em alguns setores da economia, em janeiro de 2010. 
 
 
 
Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do 
que o setor agropecuário, em janeiro de 2010? 
(A) 49.953 
(B) 50.187 
(C) 51.213 
(D) 53.746 
 
Questão 10 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2006 
 
A "terra" é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região 
Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real 
vale o mesmo que um "terra". Mas quem compra com "terra" paga mais 
barato. O preço do pãozinho é R$0,15, ou 0,10 "terra" e um refrigerante, que 
custa R$1,50, é vendido por 1,00 "terra". Comparado ao real, qual será o 
desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes, pagando com 
"terra"? 
 
(A) 0,80 
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(B) 1,20 
(C) 1,80 
(D) 2,40 
(E) 3,60 
 
Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico/2010 
 
Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os estados 
brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. 
Juntos, esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil barris. Se a 
produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito 
Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de 
petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo? 
(A) 20.716 
(B) 22.332 
(C) 31.075 
(D) 36.086 
(E) 42.241 
 
Questão 12 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 
 
Na loja virtual do IBGE (www.ibge.gov.br/lojavirtual), é possível adquirir 
diversos produtos cartográficos. A tabela abaixo apresenta os atlas 
disponíveis para compra. 
 
 
 
Se a diretora de uma escola decidir comprar um Atlas das representações 
literárias de regiões brasileiras, quatro exemplares do Atlas geográfico 
escolar - 5a edição e dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a edição 
para a biblioteca da escola, quanto vai gastar, em reais? 
(A) 135,00 
(B) 142,00 
(C) 212,00 
(D) 235,00 
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Questão 13 – CESGRANRIO/SEARH/SEEC/Professor/2011 
 
Dados dois números inteiros quaisquer, x e y, tem-se que o número z, dado 
por 
12 18
2
x y
z
+
= , é 
(A) maior do que, ou igual a, 15 
(B) múltiplo de 5 
(C) divisível por 2 
(D) divisível por 3 
(E) ímpar 
 
Questão 14 – FCC/BB/Escriturário/2011 
Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número inteiro, 
então, 
(F) existem infinitas possibilidades distintas para x. 
(G) x é múltiplo de 12. 
(H) x é maior do que 84. 
(I) x tem oito divisores. 
(J) E pode ser maior do que 2. 
Questão 15 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008 
Analise as afirmativas a seguir: 
 
 
 
Assinale: 
(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(B) se somente a afirmativa II estiver correta. 
(C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
(D) se somente a afirmativa I estiver correta. 
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
 
Questão 16 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010 
Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, 
y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número 
(F) cubo perfeito. 
(G) menor que 50. 
(H) primo. 
(I) maior que 70. 
(J) divisível por 6. 
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Questão 17 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010 
Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível, 
ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se então x + y é 
igual a 
(A) 53. 
(B) 35. 
(C) 26. 
(D) 17. 
(E) 8. 
 
 
 
 
 
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4. Gabarito 
 
1 – B 
2 – C 
3 – D 
4 – D 
5 – B 
6 – D 
7 – B 
8 – B 
9 – B 
10 – B 
11 – E 
12 – D 
13 – D 
14 – D 
15 – E 
16 – A 
17 – A

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