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BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1 1. Aula 1 - Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem. .......... 2 2. Memorex ..................................................................................................................... 29 3. Lista das questões abordadas em aula ................................................................. 31 4. Gabarito ...................................................................................................................... 37 AULA 1 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 2 1. Aula 1 - Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem. Começamos com uma questão sobre os números Inteiros. Observem o seguinte diagrama: Por este diagrama, vocês podem perceber que os números Racionais englobam também os números Inteiros e os Naturais. Questão 1 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N: I - N2 + N + 1 é um número ímpar; II – N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; III - N2 tem uma quantidade par de divisores; IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. A quantidade de afirmações verdadeiras é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 0 NÚMEROS RACIONAIS (Q) Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ... NÚMEROS INTEIROS (Z) Ex: -2; -1; 0; 1; 2 NÚMEROS NATURAIS (N) Ex: 0; 1; 2 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 3 Os números Inteiros são aqueles que não são frações. Por exemplo, � = {..., - 2, -1, 0, 1, 2, ...}. Normalmente, o conjunto dos números Inteiros é expresso pela letra � . Assim, sabemos que 3 4 não é um número inteiro, pois ele é uma fração. Dentro dos números Inteiros, como o diagrama mostra, existem os números Naturais. São todos os Inteiros positivos, incluindo o Zero. O conjunto dos números Naturais é expresso por � = {0, 1, 2, ...}. Portanto, 3 4 não é um número Natural. Assim como –2. Temos também os números Racionais. Eles são os números Inteiros mais as frações. Qualquer número que possa ser expresso por uma fração é um número Racional. Normalmente, o conjunto dos números Racionais é chamado de � , isso porque Q vem de quociente. Assim, 3 4 é um número Racional. - 3 4 também. E 1,33333333...? Será que é um número Racional? Sim, pois 1,33333333... pode ser expresso sob a forma de fração. É o número 4 3 . Números como o 1,33333333... são chamados de dízimas periódicas. São números resultantes de divisões de frações. No entanto, 1,376983987... não é número racional. É, sim, um número Irracional. Números Irracionais são números que não são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais. Os números Irracionais não podem ser expressos por frações. O conjunto dos números Reais é formado pelos números Racionais mais os números Irracionais. Basicamente, qualquer número que possa ser extraído de uma raiz é um número Real. O conjunto dos números Reais é denotado por � . BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 4 Ficam de fora os números Complexos, que não são pedidos pelo edital do concurso. Agora que temos uma ideia de como são os números, vamos analisar cada alternativa: I - N2 + N + 1 é um número ímpar; Em questões assim, para resolver o ideal é fazer um teste, com números pares e com números ímpares: • N = par: Exemplo: N = 2 22 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 • N = ímpar: Exemplo: N = 3 32 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 Conclusão: todo número par elevado ao quadrado resulta num número par, e todo número ímpar elevado ao quadrado resulta num número ímpar. Por isso, chega-se ou na soma PAR + PAR + ÍMPAR (soma ímpar) ou na soma ÍMPAR + ÍMPAR + ÍMPAR (soma ímpar). Alternativa correta. II - N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; Esse item é verdadeiro pelo seguinte motivo. Para qualquer N, ou N será múltiplo de 3 (exemplo: 3), ou N + 1 será múltiplo de 3 (exemplo: 2), ou N + 2 será múltiplo de 3 (exemplo: 1). Portanto, para qualquer N, o número sempre será resultado de um produto de algum múltiplo de 3. E será, portanto, múltiplo de 3. Alternativa verdadeira. III - N2 tem uma quantidade par de divisores; Vamos testar com alguns números. • N = 1: BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 5 N2 = 1. E só é divisível por ele mesmo (1). Portanto, quantidade ímpar de divisores. Alternativa falsa. IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. Vamos testar: • N = 1: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6. É múltiplo de 6. • N = 2: 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9. Não é múltiplo de 6. Alternativa falsa. Resposta: Letra B. A prova possui 45 questões. A pessoa acerta X questões e, consequentemente, erra 45 – X questões. Para cada questão que acerta, ganha 8 pontos. Ou seja, se acertar X questões, ganha 8X pontos. Para cada questão que erra, perde 7 pontos. Ou seja, se errar 45 – X questões, perde 7.(45 – X). A soma de todas as questões foi 0, portanto temos de somar os pontos que a pessoa ganhou menos os que ela perdeu: Ganhou – perdeu = 0 8X – 7.(45 – X) = 0 Questão 2 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2011 Numa prova de 45 questões, cada questão respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa pessoa acertou? (A) 0 (B) 15 (C) 21 (D) 24 (E) 30 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 6 8X – 7.45 + 7X = 0 15X = 7.45 X = 7.3 = 21. Portanto, a pessoa acertou 21 questões. Resposta: Letra C. Primeiramente, vamos analisar Aldo e Baldo. Eles possuem 24 figurinhas cada, e o dinheiro exato para comprar individualmente suas figurinhas. Portanto, cada um possui o seguinte número de centavos: Aldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 288 Baldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 288 Ou seja, ambos possuem, juntos 576 centavos. Caldo foi até a banca, comprou todas as figurinhas que todos precisam e ainda trouxe troco de 6 centavos. Se Caldo comprou figurinhas para todos, ele comprou, no mínimo, 48 figurinhas, que é o número que Aldo e Baldo precisam. Portanto, já sabemos que Caldo pagou 10 centavos por cada figurinha. Portanto, temos: Questão 3 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 Uma banca de jornal vende figurinhas a 12 centavos cada, se a pessoa comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48 figurinhas, o preço unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48 figurinhas, o preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e ambos têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que faltam. Caldo vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhassuficientes para que todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 9 (E) 10 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 7 Aldo = 24 figurinhas x 10 centavos cada = 240 Baldo = 24 figurinhas x 12 centavos cada = 240 Caldo = X figurinhas x 10 centavos cada = 10X Todo esse valor, somado, resultou no dinheiro que Aldo e Baldo possuem, com menos 6 centavos (que sobrou de troco): 240 + 240 + 10X = 576 – 6 10X = 570 – 480 10X = 90 X = 9 Portanto, Caldo comprou 9 figurinhas. Resposta: Letra D. Para resolver essa questão, é importante pensar apenas nas transações como as notas verdadeiras, afinal as falsas não valem nada. Pensem na caixa registradora do livreiro: Primeiramente, entraram nela 10x10 do jornaleiro. Depois, saíram 80, entregues ao homem. Depois, saíram mais 100, para o jornaleiro, repondo sua nota falsa. Portanto, o saldo na caixa registradora do livreiro é: 10x10 – 80 – 100 = 100 – 80 – 100 = -80. Questão 4 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 notas de 10 reais. Em seguida, entra o jornaleiro dizendo que a nota de 100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100, verdadeira. O prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi (A) 200 (B) 180 (C) 100 (D) 80 (E) 20 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 8 Assim, ele teve 80 reais de prejuízo. Resposta: Letra D. Questão muito simples, sobre o troco recebido. O troco é sempre: Troco = Quantia Dada – Quantia Gasta Troco = 2.5 – (4,20 + 3,10) = 10 – 7,30 = 2,70 Resposta: Letra B. Questão 5 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 Joana foi ao mercado. Lá, comprou 1 kg de café por R$ 4,20 e um pacote de macarrão que custou R$ 3,10. Se Joana pagou essa despesa com duas notas de R$ 5,00, quantos reais ela recebeu de troco? (A) 2,20 (B) 2,70 (C) 3,30 (D) 3,70 (E) 4,20 Questão 6 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 Desde o ano de 2009, os brasileiros podem mudar de operadora de telefonia, sem necessidade de alterar os números de seus telefones. Dezembro de 2010 foi o mês com maior volume de troca de operadoras, tanto na telefonia fixa quanto na telefonia móvel, totalizando 463 mil transferências. Se, nesse mês, o número de transferências na telefonia móvel correspondeu ao dobro do número de transferências realizadas na telefonia fixa, menos 26 mil, quantos milhares de transferências de operadora de telefonia móvel foram realizadas em dezembro de 2010? (A) 163 (B) 189 (C) 215 (D) 300 (E) 326 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 9 O número total de transferências foi de 463 mil (vamos omitir o mil, já que ele está presente em todos os cálculos): TF = Transferência Telefonia Fixa TM = Transferência Telefonia Móvel TF + TM = 463 TM foi o dobro de TF menos 26: TM = 2TF – 26 Como TF + TM = 463, TF = 463 – TM Substituindo na equação: TM = 2TF – 26 TM = 2(463 – TM) – 26 TM = 926 – 2TM – 26 3TM = 900 TM = 300. Resposta: Letra D. Déficit = Importações – Exportações As Importações foram de 197,44. As Exportações foram de 158,66. Questão 7 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico/2011 Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total das importações e das exportações realizadas em um determinado período. Em outubro de 2010, os Estados Unidos importaram 197,44 bilhões de dólares e exportaram 158,66 bilhões de dólares. Qual foi, em bilhões de dólares, o deficit comercial dos Estados Unidos nesse mês? (A) 31,78 (B) 38,78 (C) 39,72 (D) 41,22 (E) 41,88 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 10 Temos: Déficit = 197,44 – 158,66 Déficit = 38,78 Resposta: Letra B. Troco = Quantia Dada – Quantia Paga O cafezinho custa X. O sorvete custa X + 1,6. João tomou 3 cafezinhos e um sorvete, 3X + X + 1,6. Assim: 1,2 = 10 – (4X + 1,6) 1,2 = 10 – 4X – 1,6 4X = 7,2 X = 1,8. O cafezinho custa R$ 1,80. Resposta: Letra B. Questão 8 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 Ao pagar três cafezinhos e um sorvete com uma nota de R$10,00, João recebeu R$1,20 de troco. Se o sorvete custa R$1,60 a mais que cada cafezinho, qual é, em reais, o preço de um cafezinho? (A) 1,60 (B) 1,80 (C) 2,00 (D) 2,20 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 11 Questão direta, de substração: Construção Civil – Agropecuária = 54330 – 4143 = 50187 Resposta: Letra B. Questão 9 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira assinada. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira assinada criados em alguns setores da economia, em janeiro de 2010. Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do que o setor agropecuário, em janeiro de 2010? (A) 49.953 (B) 50.187 (C) 51.213 (D) 53.746 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 12 Vamos ver quanto a pessoa gastaria pagando em real e quanto gastaria pagando em “terra”. Lembrando que ela comprou 4P (pãezinhos) e 2R (refrigerantes). Pagando em real: Real = 4.(0,15) + 2.(1,5) Real = 0,60 + 3 = 3,6. Pagando em “terra”: Terra = 4.(0,1) + 2.(1) = 2,4. A diferença Real – Terra é de 3,6 – 2,4 = 1,2. Resposta: Letra B. Questão 10 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2006 A "terra" é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real vale o mesmo que um "terra". Mas quem compra com "terra" paga mais barato. O preço do pãozinho é R$0,15, ou 0,10 "terra" e um refrigerante, que custa R$1,50, é vendido por 1,00 "terra". Comparado ao real, qual será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes, pagando com "terra"? (A) 0,80 (B) 1,20 (C) 1,80 (D) 2,40 (E) 3,60 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 13 A produção do Espírito Santo (ES) e do Rio Grande do Norte (RN) é de 64573. Ou seja: ES + RN = 64573 Se a produção do Rio Grande do Norte fosse de 2RN, ela seria igual a do ES + 2423. 2RN = ES + 2423 Assim: RN = 64573 – ES 2RN = ES + 2423 2.(64573 – ES) = ES + 2423 129146 – 2ES = ES + 2423 3ES = 129146 – 2423 ES = 126723/3 = 42241 Portanto, a produção do Espírito Santo foi de 42241 milhares de barris. Resposta: Letra E. Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico/2010 Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os estados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. Juntos,esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo? (A) 20.716 (B) 22.332 (C) 31.075 (D) 36.086 (E) 42.241 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 14 A diretora da escola decidiu comprar: • Um Atlas das representações literárias de regiões brasileiras: custa 45 reais; • Quatro exemplares do Atlas geográfico escolar - 5a edição: custa 40 reais; • Dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a edição: 15 reais. Assim, temos: 1.(45) + 4.(40) + 2.(15) = 45 + 160 + 30 = 235 reais. Resposta: Letra D. Questão 12 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 Na loja virtual do IBGE (www.ibge.gov.br/lojavirtual), é possível adquirir diversos produtos cartográficos. A tabela abaixo apresenta os atlas disponíveis para compra. Se a diretora de uma escola decidir comprar um Atlas das representações literárias de regiões brasileiras, quatro exemplares do Atlas geográfico escolar - 5a edição e dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a edição para a biblioteca da escola, quanto vai gastar, em reais? (A) 135,00 (B) 142,00 (C) 212,00 (D) 235,00 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 15 Essa questão traz uma fração. Agora, falaremos sobre elas. Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a “parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo: 2 7 Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações: • Adição e Subtração de frações: Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma abaixo: 2 7 + 1 9 + 3 5 Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC – Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do zero. No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus múltiplos. São eles (já excluímos o zero): Questão 13 – CESGRANRIO/SEARH/SEEC/Professor/2011 Dados dois números inteiros quaisquer, x e y, tem-se que o número z, dado por 12 18 2 x y z + = , é (A) maior do que, ou igual a, 15 (B) múltiplo de 5 (C) divisível por 2 (D) divisível por 3 (E) ímpar Numerador Denominador BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 16 • Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 301, 308 315, 322, 329, ...} • Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...} • Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...} Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números? Na hora da prova vocês não podem perder esse tempo todo. Para isso, utilizamos a Fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um quociente igual a 1. Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7: 7 7 1 Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo. Fatorando o 9: 9 3 3 3 1 Fatoração do 9 = 32. Fatoração do 5: 5 5 1 Temos, então, a regra de ouro do MMC: BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 17 Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315. Resgatando nossa soma inicial: 2 7 + 1 9 + 3 5 Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração, dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da seguinte forma: 2 7 + 1 9 + 3 5 2 x 3 2 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 3 2 x 7 315 Fazendo a soma, chega-se no resultado de 314 315 . ÷ Fatores não comuns a todas as fatorações Entra no cálculo do MMC REGRA DE OURO DO MMC Entra no cálculo do MMC com o maior expoente Fatores comuns a todas as fatorações X Primeiro passo: DIVIDIR 315 ÷ 7 = 32 x 5 Segundo passo: MULTIPLICAR 2 X 32 x 5 = BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 18 • Multiplicação e divisão de frações: A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os numeradores e denominadores entre si. Exemplo: 3 5 x 4 9 = 3 x 4 5 x 9 = 4 5 x 3 = 4 15 Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através do “Extremos pelos Meios”, ou seja: 3 5 4 9 = 3 x 9 5 x 4 = 27 20 Vamos analisar as alternativas: (A) maior do que, ou igual a, 15 Alternativa falsa. Se x e y forem números negativos (por exemplo –100), não será maior que 15: 12( 100) 18( 100) 1200 1800 3000 1500 2 2 2 z − + − − − − = = = = − (B) múltiplo de 5 Testando para x = -1 e y = 1: 12( 1) 18(1) 12 18 6 3 2 2 2 z − + − + = = = = 3 não é múltiplo de 5. Alternativa falsa. (C) divisível por 2 Extremos Meios BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 19 Na alternativa anterior, encontramos o número 3, que não é múltiplo de 2. Alternativa falsa. (D) divisível por 3 Essa é a alternativa correta pois 12 é múltiplo de 3 e 18 também. Portanto, os números resultado da multiplicação 12x e 18y também serão múltiplos de 3, e somados serão, igualmente múltiplos de 3. Alternativa correta. (E) ímpar Vimos que pode ser encontrado o número –1500, que é par. Alternativa falsa. Resposta: Letra D. Essa questão é da FCC, mas caiu no concurso do BB. Por isso, trouxe-a para a aula. O “E” é uma soma de frações, e deve ser um número inteiro. Sendo apenas uma soma de frações, E deve ser no máximo 1. Afinal ele é a soma de uma metade, mais uma terça parte, mais um sete avos, e mais a parte determinada pela razão 1/x. Mas, detalhe importante: E deve ser inteiro. Ou seja, ele só pode ser 1, poisse for menor do que 1 ou maior do que 1 não será inteiro. Assim, temos: Questão 14 – FCC/BB/Escriturário/2011 Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número inteiro, então, (A) existem infinitas possibilidades distintas para x. (B) x é múltiplo de 12. (C) x é maior do que 84. (D) x tem oito divisores. (E) E pode ser maior do que 2. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 20 1 1 1 1 2 3 7 1 1 1 1 1 2 3 7 1 1 1 1 1 ( ) 2 3 7 E x x x = + + + + + + = = − + + Nesse ponto, fazemos o Mínimo Múltiplo Comum das frações: 1 2.3.7 3.7 2.7 2.3 2.3.7 1 42 21 14 6 42 1 1 42 42 x x x x − − − = − − − = = = Assim, para que E seja igual a 1, x deve ser igual a 42. Se x for maior do que 42, E será menor do que 1, mas um número fracionário, e não inteiro, como pedido pela questão. Se x for menor do que 42, E será maior do que 1. Mas ainda não chegará a 2, pois todos os números são frações de 1. Vamos analisar as alternativas: (A) existem infinitas possibilidades distintas para x. Falso. x deve ser igual a 42 apenas, pois, do contrário, E não é um número inteiro. (B) x é múltiplo de 12. Falso. 42 não é múltiplo de 12. (C) x é maior do que 84. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 21 Falso. 42 não é maior do que 84. (D) x tem oito divisores. Os divisores de 42 são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. São, portanto, 8 divisores. Resposta correta. (E) E pode ser maior do que 2. Falso. Como vimos, é impossível E ser maior do que 1. Imaginem que E é uma pizza, formada por pedaços, mas que só pode ser servida inteira. Você pede que a pizza seja ½ mussarela, 1/3 calabresa, 1/7 quatro queijos. O atendente da pizzaria fala: falta 1/x para completar a pizza. Já vimos que esse 1/x é 1/42. Se você pedir 1/43, o pedacinho restante vai ser menor, e a pizza (o E) vai vir menor do que 1. E se você pedir 1/41, a pizza vai vir maior do que 1. Mesmo que o x valha 1, os pedaços restantes somam ½ + 1/3 + 1/7, o que dá 41/42. Ou seja, mesmo que x valha 1, a soma será 1 + 41/42. O que não dá 2. Resposta: letra D. Vamos utilizar esta questão para falar sobre a potenciação e a radiciação. A potenciação existe para quando os números envolvidos em uma multiplicação são todos iguais. Por exemplo, se temos: Questão 15 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008 Analise as afirmativas a seguir: Assinale: (A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (D) se somente a afirmativa I estiver correta. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 22 3 x 3 x 3 x 3 = 81 Isso pode ser representado por: 34 = 81 Assim, a potenciação é formada por: 34 = 81 O “3” é a base da potência. O “4” é o expoente. E o 81 é o produto. A potenciação possui algumas propriedades: • Multiplicação de potências de mesma base - conserva-se a base e somam-se os expoentes: 2 3 2 3 52 .2 2 2+= = • Divisão de potências de mesma base - conserva-se a base e subtraem-se os expoentes: 3 3 2 2 2 2 2 2 − = = • Potências de potências - conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes: 2 3 2.3 6(2 ) 2 2= = Já a radiciação é a operação inversa da potenciação: 481 3 9= = O símbolo básico da radiciação é o radical: n x O valor n é o índice do radical. Ele é o equivalente ao expoente na potenciação, e indica qual deve ser o expoente do valor x para que este possa ser extraído da raiz. Quando o valor n não é informado, ele vale 2 (é o que se chama raiz quadrada). BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 23 Assim: 81 9= , pois 92 = 81 3 27 3= , pois 33 = 27 A radiciação também possui propriedades: • Multiplicação de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e multiplicam-se o conteúdo dos dois radicais: 2. 2 2.2= • Divisão de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e dividem-se o conteúdo dos dois radicais: 2 2 22 = • Radical de radical - conserva-se o conteúdo e multiplicam-se os índices: 3 62 2= Vou aproveitar essa questão para ensinar a vocês algo que pode ser muito útil, também em outras matérias. É um jeito de extrair número da raiz quadrada sem calculadora. Vamos à análise das alternativas: I – 6 é maior que 5/2. Quanto é 6 ? Sabemos que 6 não é um quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são os números resultados de outros números elevados ao quadrado. Por exemplo: 22 = 4, 34 = 9... Para extrair a raiz de 6 (será um número decimal) devemos seguir 3 passos: PASSO 1: achar um quadrado perfeito próximo. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 24 Qual o quadrado perfeito mais próximo de 6 ? Temos que 22 = 4, e 32 = 9. 4 é mais próximo de 6 do que 9. Vamos usar o 4. Resposta: 4 = 22. PASSO 2: vamos trabalhar com: 6 = a raiz que queremos; 4 = quadrado perfeito mais próximo; 2 = raiz mais próxima. PASSO 3: fazer uma divisão: Assim: 6 4 10 2,5 2 2 4x + = = Temos que 6 é aproximadamente 2,5. Pela calculadora, encontramos 2,449. É uma boa aproximação, não acham? Agora, passamos à análise da alternativa. 5/2 é exatamente igual a 2,5. A questão diz que 6 é maior que 2,5. Pelo nosso cálculo, encontramos os 2,5. Mas sabemos que não é um valor exato. Nesse caso, passaríamos para a próxima alternativa, pois talvez sabendo as próximas não precisemos saber essa para resolver a questão. II – 0,555... é um número racional. Todas as dízimas periódicas são números racionais. Dízimas periódicas são resultado de frações com divisão inexata. Por isso, são racionais. Alternativa correta. III – Todo número inteiro tem antecessor. O conjunto dos números Inteiros é dado por: � = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO X QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 25 Como o conjunto dos números Inteiros começa em - ∞ , todo número inteiro realmente tem antecessor, uma unidade inferior. Sabemos, portanto, que a II e a III estão corretas. Isso resulta na letra E. Reparem que não existe alternativa que diga que a I, a II e a III estão certas. Portanto, não teríamos nem dúvida. A resposta é a letra E. Resposta: Letra E. Nessa questão, temos uma multiplicação que resulta em um número com 3 números racionais. Fazemos da seguinte maneira: 2 2 2 3 3 ( 27 3 2).( 27 3 2) 27. 27 27. 3 27. 2 3. 27 3. 3 3. 2 2. 27 2. 3 2. 2 27 81 54 81 3 6 54 6 2 27 9 2.3 9 3 6 2.3 6 2 27 9 3 6 9 3 6 3 6 6 2 50 8 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Portanto: x = 50 y = 8 z = 6 x + y + z = 64 Agora analisamos as alternativas:Questão 16 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010 Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número (A) cubo perfeito. (B) menor que 50. (C) primo. (D) maior que 70. (E) divisível por 6. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 26 (A) cubo perfeito. Cubo perfeito é um número com raiz cúbica. 64 realmente é um cubo perfeito, pois: 33 64 = 4.4.4 4= Muita gente não sabia o que era um cubo perfeito na hora da prova, e mesmo assim acertou a questão, através da eliminação das demais alternativas. Alternativa verdadeira. (B) menor que 50. 64 é maior que 50. Alternativa falsa. (C) primo. Números primos são aqueles que não são divisíveis por nenhum outro número além de si mesmo e do 1. 64 é divisível por 32, 16, 8, 4, 2 e 1. Portanto, 64 não é primo. Alternativa falsa. (D) maior que 70. 64 não é maior que 70. Alternativa falsa. (E) divisível por 6. 64 não é divisível por 6. Alternativa falsa. Resposta: Letra A. Questão 17 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010 Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se então x + y é igual a (A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) 8. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 27 Essa questão mistura vários conhecimentos que já vimos, sobre os números inteiros e sobre as frações. x e y são números inteiros e positivos. Ou seja, eles pertencem ao conjunto dos números naturais, � = {0, 1, 2, ...} e não são decimais. No entanto, na fração dada eles estão na forma decimal. Então, é necessário multiplicar os números da fração até que se encontrem dois números inteiros, positivos e irredutíveis, tal como a questão exige. Temos: 4 8 0,00125.10 0,75.10 x y − − = Primeiramente, vamos reduzir os expoentes que estão na base 10. 10-8 é o mesmo que 10-4. 10-4. Em multiplicação de potências de mesma base, soma-se os expoentes. Portanto: 4 4 4 4 0,00125.10 0,75.10 .10 0,00125 0,75.10 x y x y − − − − = = Agora, temos que multiplicar o numerador e o denominador por um número que os torne inteiros, positivos e irredutíveis. Vamos tomar como base o número que está no denominador, ele parece ser mais fácil, afinal 0,75*2 = 1,5 * 2 = 3. Ou seja, 0,75*4 = 3. Além de multiplicar por 4, multiplicamos também por 104, pois temos 10-4 no denominador. Lembrando que 10-4.104 = 100 = 1. Temos, então: 4 4 4 4 0,00125 0,00125 4.10 0,75.10 0,75.10 4.10 x x y − − = = 4 4 12,5.4 0,75.4.10 x y − + = BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 28 12,5.4 3 x y = 50 3 x y = 50/3 é uma fração irredutível, de números inteiros e positivos, que satisfaz o que foi exigido pelo enunciado. Portanto: x + y = 50 + 3 = 53 Resposta: Letra A. Bons estudos e nos vemos no fórum. Abraços, Karine BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 29 2. Memorex Números Descrição Exemplos Inteiros São os números que não são frações Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} OBS! = não é um número inteiro Naturais São os números inteiros positivos (inclusive o zero) N = {0, 1, 2, ...} OBS! , -2 = não são números naturais Racionais São os números (de qualquer sinal) que podem ser expressados por frações - = números racionais 1,333333... (e demais dízimas períodicas) = são números racionais (1,333333... = ) OBS! 1,376983987... = não é número racional = Número Irracional (são números que não são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais) Reais São todos os números racionais e irracionais Todos os números que vimos acima são reais BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 30 Fatores não comuns a todas as fatorações Entra no cálculo do MMC REGRA DE OURO DO MMC Entra no cálculo do MMC com o maior expoente Fatores comuns a todas as fatorações = + Divisor Dividendo Quociente Resto x BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 31 3. Lista das questões abordadas em aula Questão 1 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N: I - N2 + N + 1 é um número ímpar; II – N.(N + 1).(N + 2) é um número múltiplo de 3; III - N2 tem uma quantidade par de divisores; IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. A quantidade de afirmações verdadeiras é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 0 Questão 2 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2011 Numa prova de 45 questões, cada questão respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa pessoa acertou? (A) 0 (B) 15 (C) 21 (D) 24 (E) 30 Questão 3 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 Uma banca de jornal vende figurinhas a 12 centavos cada, se a pessoa comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48 figurinhas, o preço unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48 figurinhas, o preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e ambos têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que faltam. Caldo vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhas suficientes para que todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 9 (E) 10 Questão 4 – CESGRANRIO/BACEN/Técnico/2010 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 32 Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 notas de 10 reais. Em seguida, entra o jornaleiro dizendo que a nota de 100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100, verdadeira. O prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi (A) 200 (B) 180 (C) 100 (D) 80 (E) 20 Questão 5 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 Joana foi ao mercado. Lá, comprou 1 kg de café por R$ 4,20 e um pacote de macarrão que custou R$ 3,10. Se Joana pagou essa despesa com duas notas de R$ 5,00, quantos reais ela recebeu de troco? (A) 2,20 (B) 2,70 (C) 3,30 (D) 3,70 (E) 4,20 Questão 6 – CESGRANRIO/PetroquímicaSuape/Técnico/2011 Desde oano de 2009, os brasileiros podem mudar de operadora de telefonia, sem necessidade de alterar os números de seus telefones. Dezembro de 2010 foi o mês com maior volume de troca de operadoras, tanto na telefonia fixa quanto na telefonia móvel, totalizando 463 mil transferências. Se, nesse mês, o número de transferências na telefonia móvel correspondeu ao dobro do número de transferências realizadas na telefonia fixa, menos 26 mil, quantos milhares de transferências de operadora de telefonia móvel foram realizadas em dezembro de 2010? (A) 163 (B) 189 (C) 215 (D) 300 (E) 326 Questão 7 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico/2011 Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total das importações e das exportações realizadas em um determinado período. Em outubro de 2010, os Estados Unidos importaram 197,44 bilhões de dólares e exportaram 158,66 bilhões de dólares. Qual foi, em bilhões de dólares, o deficit comercial dos Estados Unidos nesse mês? (A) 31,78 (B) 38,78 (C) 39,72 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 33 (D) 41,22 (E) 41,88 Questão 8 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 Ao pagar três cafezinhos e um sorvete com uma nota de R$10,00, João recebeu R$1,20 de troco. Se o sorvete custa R$1,60 a mais que cada cafezinho, qual é, em reais, o preço de um cafezinho? (A) 1,60 (B) 1,80 (C) 2,00 (D) 2,20 Questão 9 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira assinada. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira assinada criados em alguns setores da economia, em janeiro de 2010. Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do que o setor agropecuário, em janeiro de 2010? (A) 49.953 (B) 50.187 (C) 51.213 (D) 53.746 Questão 10 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2006 A "terra" é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real vale o mesmo que um "terra". Mas quem compra com "terra" paga mais barato. O preço do pãozinho é R$0,15, ou 0,10 "terra" e um refrigerante, que custa R$1,50, é vendido por 1,00 "terra". Comparado ao real, qual será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes, pagando com "terra"? (A) 0,80 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 34 (B) 1,20 (C) 1,80 (D) 2,40 (E) 3,60 Questão 11 – CESGRANRIO/Petrobrás/Técnico/2010 Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os estados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. Juntos, esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo? (A) 20.716 (B) 22.332 (C) 31.075 (D) 36.086 (E) 42.241 Questão 12 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2010 Na loja virtual do IBGE (www.ibge.gov.br/lojavirtual), é possível adquirir diversos produtos cartográficos. A tabela abaixo apresenta os atlas disponíveis para compra. Se a diretora de uma escola decidir comprar um Atlas das representações literárias de regiões brasileiras, quatro exemplares do Atlas geográfico escolar - 5a edição e dois do Atlas geográfico escolar multimídia - 2a edição para a biblioteca da escola, quanto vai gastar, em reais? (A) 135,00 (B) 142,00 (C) 212,00 (D) 235,00 BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 35 Questão 13 – CESGRANRIO/SEARH/SEEC/Professor/2011 Dados dois números inteiros quaisquer, x e y, tem-se que o número z, dado por 12 18 2 x y z + = , é (A) maior do que, ou igual a, 15 (B) múltiplo de 5 (C) divisível por 2 (D) divisível por 3 (E) ímpar Questão 14 – FCC/BB/Escriturário/2011 Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número inteiro, então, (F) existem infinitas possibilidades distintas para x. (G) x é múltiplo de 12. (H) x é maior do que 84. (I) x tem oito divisores. (J) E pode ser maior do que 2. Questão 15 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008 Analise as afirmativas a seguir: Assinale: (A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (D) se somente a afirmativa I estiver correta. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Questão 16 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010 Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número (F) cubo perfeito. (G) menor que 50. (H) primo. (I) maior que 70. (J) divisível por 6. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 36 Questão 17 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010 Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se então x + y é igual a (A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) 8. BANCO DO BRASIL – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 37 4. Gabarito 1 – B 2 – C 3 – D 4 – D 5 – B 6 – D 7 – B 8 – B 9 – B 10 – B 11 – E 12 – D 13 – D 14 – D 15 – E 16 – A 17 – A
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