Aula de revisão Exercício 13

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Teoria Microeconômica I
Prof. Marcelo Matos
Aula de revisão
Primeira parte
Preferências, utilidade e escolha
Preferências
• completas - quaisquer duas cestas podem ser
comparadas
• reflexivas - qualquer cesta é no mínimo tão boa
quanto ela mesma
• transitivas - se (x1, x2) é preferida a (y1, y2) e (y1, y2)
é preferida a (z1, z2), então (x1, x2) é preferida a (z1,
z2).
? transitividade é condição necessária para modelar a escolha
do consumidor, de forma a encontrar uma escolha ótima
• Curvas de indiferença - conjunto de cestas que são
indiferentes a uma dada cesta
Preferências bem-comportadas
• Monotonicidade – mais é melhor
? Curvas de indiferença terão inclinação negativa
• Convexidade
– Convexa: média é no mínimo tão boa quanto os
extremos
?inclinação não cresce (em valores absolutos) aos nos
movermos para a direita
– Estritamente convexa: média é preferida aos
extremos
?inclinação decresce (em valores absolutos) ao nos
movermos para a direita
Taxa Marginal de Substituição
• Inclinação da curva de indiferença
• TMS = ?x2??x1
• Mede o trade off que o consumidor enfrenta
entre o consumo de um bem e de outro bem
(depende no nível que o consumidor já
consome dos bens)
• Mede propensão marginal a pagar (abrir mão)
Diferente de o quanto consumidor tem que
pagar
• Preferências bem-comportadas ? TMS
decrescente (em valor absoluto)
Taxa Marginal de Substituição
TMS
UTILIDADE
• A Função de utilidade é dada pela relação entre o pacote de
consumo individual e o montante total de utilidade que ele
gera
u (x1, x2, x3, ... , xk)
• u(x1, x2) > u(y1, y2) se e somente se (x1, x2) (y1, y2)
• Na maioria dos casos, a curva cresce a taxas decrescentes
? Utilidade Marginal decrescente
• Transformação monotônica –preserva a ordem original dos
números
• Se u(x1, x2) é função de utilidade que representa alguma
relação de preferência e f(·) é uma função crescente, então
f(u(x1, x2)) representa as mesmas preferências
Exemplos
• a) Substitutos perfeitos – o que importa é número total de bens
(p.ex. Canetas pretas e azuis)
u(x1, x2) = x1 + x2
• b) complementares perfeitos – o que importa é quantidade
mínima dos bens (p. ex. Mínimo de pés esquerdo e direito)
u(x1, x2 ) = min {x1, x2}
• c) Preferências quase-lineares – curvas de indiferença são
paralelas verticalmente (linear em x2) ou horizontalmente
(linear em x1)
u(x1, x2) = v(x1) + x2 ou
u(x1, x2) = x1 + v(x2)
• d) Preferências tipo Cobb-Douglas
– u(x1, x2) = x1c x2d
– Transformação: f(u) = x1a x2 1-a, no caso de a = c/(c + d)
Utilidade Marginal e TMS
• Variação incremental de utilidade ao se variar a quantidade
consumida de um bem, mantendo os demais Constantes
? Derivada parcial da função utilidade
UMg1 = ?u(x1,x2)/?x1
• Exemplos
a) u(x1, x2) = x1 + x2,? UMg1 = ?u/?x1 = 1
b) u(x1, x2) = x1a x21-a ? UMg1 = ?u/?x1 = a x1a-1 x21-a
c) u(x1, x2) = v(x1) + x2 ? UMg1 = ?u/?x1 = ?u/?v * ?v/x1
• Taxa Marginal de Substituição:
UMg1 dx1 + UMg2 dx2 = 0 ? TMS = UMg1 / UMg2
? Tranformação monotônica não altera TMS
Escolha do consumidor
• Maximização com restrição:
L = u(x1,x2) – ? (p1x1+p2x2 – m)
Condições de primeira ordem:
? UMg1 / UMg2 = p1 / p2
? m = p1x1+p2x2
• Exemplos
– Cobb-douglas: x1 = c/(c+d) * m/p1
– Substitutos perfeitos: u(x1,x2) = x1 + x2
• x1 = m/p1 se p1 < p2; 0 caso contrário
– Complementares: u(x1,x2) = min {x1 , x2}
• x1 = x2 = x = m/(p1 + p2)
Preferência revelada
Varian - cap. 7
Preferência Revelada
• se (x1, x2) é escolhida aos preços (p1, p2) e p1 x1 + p2 x2 ? p1 y1 +
p2 y2, então (x1, x2) (y1, y2)
– (x1, x2) é diretamente revelada como preferida a (y1, y2)
•Se X = (x1, x2) é diretamente revelada como preferida a
Y , e Y é diretamente revelada como preferida a Z (etc.),
dizemos que X é indiretamente revelada como preferida
a Z.
Preferência Revelada
• AFrPR : se (x1, x2) é diretamente revelada como preferida a
(y1, y2), então (y1, y2)
não pode ser diretamente revelada como preferida a (x1, x2)
? se p1 x1 + p2 x2 ? p1 y1 + p2 y2, então, se aos preços
(q1,q2) a cesta Y for escolhida, terá que ocorrer que
q1 y1 +q2 y2 ? q1 x1 + q2 x2
• AFoPR: se (x1, x2) é diretamente ou indiretamente revelada
como preferida a (y1, y2), então (y1, y2) não pode ser
diretamente ou indiretamente revelada como preferida (x1,
x2)
– AFoPR é condição necessária e suficiente para o
comportamento ser consistente com a maximização de
utilidade
Exercícios
• V ou F: Um consumidor que atende ao axioma forte da
preferência revelada, atende necessariamente o axioma fraco
da preferência revelada
• Aos preços (p1,p2) = (2,2) o consumidor escolheu a cesta
(x1,x2) = (4,6) e aos preços (p1,p2) = (1,3) o consumidor
escolheu a cesta (y1,y2) = (5,5)
- Este comportamento é consistente com o modelo de
comportamento maximizador?
- Qual cesta é preferida pelo consumidor?
A Equação de Slutsky
Varian - cap. 8
Decomposição do efeito de uma
variação do preço
• Variação dos preços relativos ? Efeito substituição
? “neutralizar” o efeito renda, de forma a isolar o efeito substituição
? Critérios para manutenção de poder aquisito
• Mantendo disponível a cesta originalmente escolhida
(Slutsky)
– Ajuste da renda: ?m = x1 ?p1
• Mantendo o mesmo nível de utilidade originalmente
alcançado (Hicks)
– Ajuste da renda de forma que
u [x1(m’,p’1,p2), x2(m’,p’1,p2)] = u [x1(m,p1,p2), x2(m,p1,p2)]
• Variação do poder aquisitivo
? Efeito renda
Efeitos Substituição e Renda
(Slutsky)
X? Z: ?x1 = x1(p’1,m) - x1(p1,m)
Efeito substituição
X? Y: ?xs1 = x1(p’1,m’) - x1(p1,m)
Efeito renda
Y? Z: ?xn1 = x1(p’1,m) - x1(p’1,m’)
Sinal dos efeitos substituição e
renda
• Equação de Slutsky em termos de taxas de variação
?x1??p1 = ?xs1??p1 ? ?xn1??p1
Bens normais: ( ? ) ( ? ) ( ? )
Bens inferiores: ( ? ) ( ? ) ( + )
Inferior ? ? )
Giffen ( + )
• Definindo ?xn1 = - ?xm e aplicando ?m = x1 ?p1, encontramos
a nova versão da equação de Slusky:
?x1??p1 = ?xs1??p1 ? ?xm1??m * x1
Decomposição do efeito de uma
variação do preço
• A equação de Slutsky
• A equação de Hicks
1
211
1
211
1
211 ),,(),,(),,( x
m
mppx
p
uppx
p
mppx h
?
???
???
?
ou
1
211
1
2211211
1
211 ),,(),,(),,( x
m
mppx
p
xpxpppx
p
mppx s
?
???
????
?
Bens Inferiores e de Giffen
Lei da demanda
• Se a demanda de um bem aumenta
quando a renda aumenta, a demanda
desse bem tem de diminuir quando seu
preço subir
• Isto decorre da equação de slutsky
Se ?x1??m > 0 ? bem normal
Bem normal? feito renda negativo ? ?x1??p1 < 0
Exemplos específicos
Complementares perfeitos
Exemplos específicos
Substitutos perfeitos
Exemplos específicos
Preferências Quase-lineares
Exercícios
• Vou F - No caso de um bem inferior, em que o efeito renda
tenha um valor maior que o do efeito substituição, temos
caracterizado um bem de Giffen
• O que nos diz a teoria da preferência revelada sobre o sinal do
efeito substituição?
• Questão.
– Função utilidade do consumidor: u(x1,x2) = x1 x2
– Situação original: p1 = 10, p2 = 2 e m = 200
– Variação do preço: p’1 = 5
? Calcule efeito substituição e renda de Slutsky
? Calcule efeito substituição e renda de Hicks
Comprando e vendendo
Varian - cap. 9
A reta orçamentária
• Demando bruta: (x1, x2)
• Dotação: (?1? ?2)
• Demanda líquida: (x1 ? ?1, x2 ? ?2)
• p1x1 + p2x2 = p1?1 + p2?2
? p1 (x1 ? ?1) + p2 (x2 ? ?2) = 0
No caso de dois bens, o
consumidor sempre será
demandante líquido de
um bem e ofertante
líquido do outro bem
Mudanças nos preços
• Variação de preço desfavorável
– Cai preço de bem que se é ofert. líquido– Aumenta o preço do bem que se é dem. líquido
? Se indivíduo permanece como
ofertante/demandante, situação piora
• Variação de preço favorável
– Aumenta preço de bem que se é ofert. líquido
– Cai o preço do bem que se é dem. líquido
?Pref. Revelada diz que ele permanece como
ofertante/demandante? situação melhora
Curva de preço-consumo e de
demanda
Curva de preço-consumo e de
demanda
Equação de Slutsky Revisitada
• Poder aquisitivo tem duas razões para variar
– Efeito renda comum: qdo preço cai, sobra dinheiro
– Efeito renda-dotação: variação do valor da dotação e, portanto, sua
renda monetária
• Efeito renda-dotação = variação na demanda quando a renda varia * a
variação na renda quando o preço varia = ?xm1??m * ?1
• Nova equação e slutsky:
?x1??p1 = ?xs1??p1 ? ?xm1??m * x1 + efeito renda-dotação
?x1??p1 = ?xs1??p1 ? ?xm1??m * x1 + ?xm1??m * ?1
?x1??p1 = ?xs1??p1 + ( ?1 - x1) ?xm1??m
Equação de Slutsky e efeito de
variação do preço
Ef. substituição: A? B
Ef. Renda comum: B? D
Ef. Renda-dotação: D? C
Exercício
• Se p1 = 1 e p2 = 5 e
? ?1 = 10 e ?2= 10
• u(x1,x2) = x12 x2
? Quais são as demandas brutas e líquidas pelos bens?
• Se p’1=2
? Qual é a sua demanda após a variação do preço?
? Qual seria sua demanda se a renda monetária tivesse se
mantida inalterada?
? Que variação na demanda decorre do efeito renda-dotação?
Escolha Intertemporal
Varian - cap. 10
Restrição orçamentária
• Escolha intertemporal: expressa trade-off entre consumir hoje ou
consumir no futuro
• Transferência de consumo hoje para futuro ou vice versa
– Poupador: m1 > c1 ? c2 = m2 + (m1 - c1)
– Tomador de empréstimo: m1 < c1 ? c2 = m2 + (m1 - c1)
• Introduzindo os juros: consumidor poupa ou toma emprestado a
uma taxa de juros r
• Seu consumo no segundo período é determinado por:
c2 = m2 + (1 + r)(m1 - c1)
• Reescrevendo a restrição orçamentária
– a) (1 + r) c1 + c2 = (1+r) m1 + m2 — valor futuro
– b) c1 + c2 /(1 + r) = m1 + m2/(1 + r) — valor presente
Estática Comparativa
• 1+r: preço do consumo hoje vs no futuro
• Variação de r? giro da R.O. em torno do
ponto de dotação (m1,m2)
• Variação favorável (exemplo ao lado)
Estática Comparativa
Variação desfavorável
Exemplo:se indivíduo permanece como tomador de
empréstimo após aumento de r, sua situação irá piorar
Valor Presente em vários períodos
• Modelo de três períodos:
c1 + c2 /(1 + r) + c3 /(1 + r)2 = m1 + m2/(1 + r) + m3 /(1 + r)2
• Preço de consumo do período t em termos do consumo hoje:
p = ct /(1 + r)t-1
• Com taxas de juros variáveis:
c1 + c2 /(1 + r1) + c3/(1 + r1)(1 + r2) = m1 + m2/(1 + r) + m3 /(1 + r1)(1 + r2)
Bônus
• Tipo específico de título que promete pagar uma quantia fixa $x
(cupom) em um determinado período até uma data T (data de
maturidade), quando será pago um valor F (valor de face) ao
portador do bônus
VP = x/(1 + r) + x/(1 + r)2 + ..... + F /(1 + r)T
• Perpetuidade: bônus que promete pagar periodicamente para
sempre um valor $x
VP = x/(1 + r) + x/(1 + r)2 + .....
VP = x / r
• Que valor preciso para garantir pagamento de contínuo de $10 se a
taxa de juros for 10% e se for 20%?
Excedente
Varian - cap. 14
Do bem discreto ao bem contínuo
Variação compensadora e
equivalente
• Var. compensadora: quanto de dinheiro
teríamos que dar a um consumidor para
compensá-lo (manutenção de seu nível de
utilidade) por uma variação nos seus
padrões de consumo (derivada, por
exemplo, de um aumento do preço)
• Var. equivalente: que variação da renda
deixaria o cunsumidor em situação
equivalente (mesmo nível de utilidade) à
situação na qual este se encontraria depois
Variação compensadora e equivalente
Variação compensadora e
equivalente
Exercício
• Um consumidor tem a função de utilidade u
(x1,x2) = x1 x2
• Originalmente ele se defronta com os preços
p1=2 e p2=1 e tem uma renda de R$500
• Então o preço do bem 1 diminui para p1=1
• Quais são as variações compensadora e
Excedente do Produtor