Prova de Cálculo I - UFRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
PRIMEIRA PROVA UNIFICADA – CA´LCULO I. 2010-I.
GABARITO
Questa˜o 1.(2,0 pontos)
(a) Considere a func¸a˜o 푔 : IR→ IR definida por:
푔(푥) =
⎧⎨
⎩
cos
[
(푥 − 1)2 sin
( 1
푥3 − 1
)]
, se 푥 ∕= 1
0 , se 푥 = 1.
Determine o valor de lim
푥→1
푔(푥).
(b) Considere as func¸o˜es 푓, 푔 : IR→ IR definidas por :
푓(푥) = 푥3 − 푥+ 1 e 푔(푥) = 푥3(1 + sin푥).
Mostre que os gra´ficos de 푓(푥) e 푔(푥) se interceptam pelo menos em um ponto.
Soluc¸a˜o.
(a) Primeiro temos que
lim
푥→1
(푥− 1)2 sin ( 1
푥3 − 1
)
= 0. (1)
De fato,
−(푥− 1)2 ≤ (푥− 1)2 sin ( 1
푥3 − 1
) ≤ (푥− 1)2.
Logo, como lim
푥→1
−(푥− 1)2 = lim
푥→1
(푥− 1)2 = 0, podemos usar o teorema do confronto para mostrar
(1).
Ale´m disso, sendo a func¸a˜o cos(푥) cont´ınua em IR, temos : lim
푥→1
푔(푥) = 1.
(b) Seja ℎ(푥) = 푓(푥)− 푔(푥). Sendo ℎ(푥) a diferenc¸a de duas func¸o˜es cont´ınuas, ℎ(푥) e´ cont´ınua. Ale´m
disso temos que
ℎ(0) = 1 > 0 e ℎ(1) = 1− (1 + sin 1) < 0.
Logo, usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, existe 푐 ∈ (0, 1) onde ℎ(푐) = 0, isto e´ 푓(푐) = 푔(푐).
Questa˜o 2.(2,0 pontos)
(a) Determine 푓 ′(푥); onde 푓(푥) = ln(sin2(푥)).
(b) Determine as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de 푓(푥) = 푥2 − 3푥 que passam pelo ponto
(3,−4).
(c) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o impl´ıcita definida por 푥3 + 푦3 = 6푥푦, no
ponto (3, 3).
Soluc¸a˜o.
(a) Sendo 푔(푥) = ln(푥), ℎ(푥) = 푥2 e 푢(푥) = sin(푥), temos que 푓(푥) = 푔 ∘ ℎ ∘ 푢(푥). Pela Regra da
Cadeia, 푓 ′(푥) = 푔′((ℎ ∘ 푢)(푥)).ℎ′(푢(푥)).푢′(푥). Logo
푓 ′(푥) =
1
sin2(푥)
.2 sin(푥). cos(푥) = 2 cot(푥).
(b) O ponto dado na˜o pertence ao gra´fico de 푓 . Por outro lado a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de 푓 no ponto (푥0, 푓(푥0)) e´
푦(푥) = 푓(푥0) + 푓
′(푥0)(푥 − 푥0),
onde 푓 ′(푥0) = 2푥0−3 e 푓(푥0) = 푥20−3푥0. O ponto (3,−4) pertence a` reta tangente, logo, obtemos:
−4 = 푦(3) = 푥20 − 3푥0 + (2푥0 − 3)(3− 푥0) = −푥20 + 6푥0 − 9.
Resolvendo a equac¸a˜o, obtemos: 푥0 = 1 ou 푥0 = 5. Enta˜o, as equac¸o˜es obtidas sa˜o
푦 + 푥+ 1 = 0 e 푦 − 7푥+ 25 = 0.
(c) Derivando a equac¸a˜o implicitamente:
푑푦
푑푥
=
2푦 − 푥2
푦2 − 2푥.
No ponto (3, 3) temos que
푑푦
푑푥
= −1, e a equac¸a˜o da reta tangente e´ 푥+ 푦 = 6.
Questa˜o 3.(3,0 pontos)
Considere a func¸a˜o definida por 푓(푥) = 푥1/3 + 2푥4/3. Determine, caso existam:
(a) O domı´nio e a imagem de 푓(푥).
(b) As ass´ıntotas verticais e horizontais.
(c) Os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente e onde e´ decrescente.
(d) Os valores de ma´ximo e mı´nimo locais e/ou absolutos.
(e) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o.
(f) Use as informac¸o˜es anteriores para fazer um esboc¸o do gra´fico de 푓 .
Soluc¸a˜o.
(a) A func¸a˜o esta´ definida para 푥 ∈ IR. Logo veremos que a imagem de 푓(푥) e´ [−3/8,∞) (ver ı´tem
(d)).
(b) Como o domı´nio de 푓(푥) e´ IR, na˜o existem ass´ıntotas verticais. Ale´m disso, como
lim
푥→∞
푓(푥) = lim
푥→∞
푥4/3
(
1
푥
+ 2
)
= ∞
e
lim
푥→−∞
푓(푥) = lim
푥→−∞
푥4/3
(
1
푥
+ 2
)
= ∞,
na˜o existem ass´ıntotas horizontais.
(c) Como 푓 ′(푥) =
1 + 8푥
3푥2/3
, Os pontos cr´ıticos correspondem aos valores 푥 = −1/8 (pois 푓 ′(−1/8) = 0)
e 푥 = 0 ( pois 푓 ′(0) na˜o existe).
Estudando o sinal da derivada, note que 푥2/3 > 0 para qualquer 푥 ∕= 0. Logo
∙ 푓 ′(푥) > 0 quando 푥 > −1/8 e
∙ 푓 ′(푥) < 0 quando 푥 < −1/8.
Assim, a func¸a˜o 푓(푥) e´ crescente quando em (−∞,−1
8
) e e´ decrescente em (−1
8
,∞).
(d) Pelo estudo de sinal da derivada primeira, o ponto
(
−1
8
,−3
8
)
e´ um ponto de mı´nimo local e o
ponto (0, 0) na˜o e´ ponto nem de ma´ximo nem de mı´nimo local. Logo o ponto
(
−1
8
,−3
8
)
e´ um
ponto de mı´nimo absoluto. Podemos concluir tambe´m que a imagem de 푓 e´ o intervalo [−3/8,∞).
(e) Como 푓 ′′(푥) =
2
9
(
4푥− 1
푥5/3
)
, enta˜o 푓 ′′(푥) = 0 quando 푥 = 1/4 e na˜o existe 푓 ′′(0). Logo, os
candidatos a pontos de inflexa˜o sa˜o:
(
1
4
,
3
2 3
√
4
)
e (0, 0). Pelo estudo de sinal da derivada segunda:
∙ 푓 ′′(푥) > 0 quando 푥 < 0 ou 푥 > 1/4
∙ 푓 ′′(푥) < 0 quando 0 < 푥 < 1/4.
Portanto, a concavidade esta´ voltada para cima em (−∞, 0) e (1
4
,∞) e a concavidade esta´ voltada
para baixo em (0,
1
4
). Assim, os pontos (0, 0) e
(
1
4
,
3
2 3
√
4
)
sa˜o pontos de inflexa˜o.
(f) Um esboc¸o do gra´fico:
푥
푦
− 1
8
− 3
8
1/4
3/(2
3√
4)
Questa˜o 4.(1,0 pontos)
Um triaˆngulo iso´sceles ABC tem o ve´rtice A em (0,0). A base deste triaˆngulo que esta´ situada acima
deste ve´rtice e´ paralela ao eixo x, e tem os ve´rtices B e C localizados sobre a para´bola 푦 = 9− 푥2.
Sabendo que o lado BC aumenta a` raza˜o de 2cm/s, determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo,
no instante em que o lado BC mede 4 cm.
Soluc¸a˜o.
Denotando-se 퐴퐷 = ℎ(푡) e 퐵퐶 = 2푥(푡) , a a´rea do triaˆngulo ABC e´ escrita como :
푆(푡) =
2ℎ(푡)푥(푡)
2
= ℎ(푡)푥(푡).
푥
푦
ℎ(푡)
−푥(푡) 푥(푡)−푥(푡)
S(t)
퐴
퐵 퐶
Assim,
푆(푡) = ℎ(푡)푥(푡) = (9− 푥2)푥(푡) ⇒ 푆(푡) = 9푥− 푥3.
Logo
푑푆
푑 푡
= 9푥
′ − 3푥2푥′ .
Como (2푥(푡))
′
= 2푥
′
= 2푐푚/푠, enta˜o 푥
′
(푡) = 1푐푚/푠. Sendo 퐵퐶 = 4 = 2푥(푡)⇒ 푥(푡) = 2푐푚. Logo,
푑푆
푑 푡
= 9− 12 = −3 푐푚2/푠.
Assim, como
푑푆
푑 푡
< 0, a a´rea decresce.
Questa˜o 5.(2,0 pontos)
Calcule os seguintes limites.
(a) lim
푥→0
cos(sin(푥)) − cos(푥)
푥2
(b) lim
푥→1
(
1
ln푥
− 푥
(푥− 1)2
)
.
Soluc¸a˜o.
(a) Temos a indeterminac¸a˜o 0/0. Aplicando a regra de L’Hoˆspital temos:
lim
푥→0
cos(sin(푥)) − cos(푥)
푥2
= lim
푥→0
[− sin(sin(푥)) cos(푥) + sin(푥)
2푥
]
= lim
푥→0
− sin(sin(푥)) cos(푥)
2푥
+ lim
푥→0
sin(푥)
2푥
.
Usando o fato que lim
푥→0
sin(푥)
푥
= 1, teremos que
lim
푥→0
− sin(sin(푥)) cos(푥)
2푥
= −1
2
lim
푥→0
[
sin(sin(푥))
sin(푥)
.
sin(푥)
푥
. cos(푥)
]
= −1
2
.
Logo
lim
푥→0
cos(sin(푥)) − cos(푥)
푥2
= −1
2
+
1
2
= 0.
(b) Este limite e´ da forma ∞−∞. Escrevendo
[ 1
ln푥
− 푥
(푥− 1)2
]
=
(푥− 1)2 − 푥 ln푥
(푥 − 1)2 ln푥 =
0
0
,
podemos usar L´Hospital. Assim
lim
푥→1
[ 1
ln푥
− 푥
(푥 − 1)2
]
= lim
푥→1
2(푥− 1)− 1− ln푥
(푥− 1)2 + 2(푥− 1) ln푥 = −∞.