P2 10 Julho - FILA A

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Prova 2 – Álgebra Linear, 10/7/2014 FILA A 
UFSC Campus Araranguá 
Prof. Tadeu Z. de Almeida 
 
Nome: _______________________________Matrícula:__________ Curso:_________________ Nota: 
Instruções: Aguarde 1h20m para poder sair da sala. DESLIGUEM OS CELULARES. 
� A INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO FAZ PARTE DA PROVA  
BOA PROVA! 
 
1) (2,0) Sabendo que os autovalores de � = 	0 0 −21 2 11 0 3 
 são dados por �� = 1, �� = 2, responda: a) Determine os autoespaços de A. b) Decida se A é diagonalizável ou não. Em caso negativo, justifique, em caso afirmativo, exiba P e D. 
2) 2) 2) 2) (2,0) Considere 1o subespaço de ℝ3 gerado por 4�, 4�, 45, onde 4� = 611117 , 4� = 6
10017 , 45 = 6
1−101 7, com o produto interno canônico. Construa uma base ORTONORMAL para 1. 3333)))) (2,0) Seja � a matriz associada à forma quadrática A(B) = 4B�� + 4B�� + 4B5� + 4B�B� + 4B�B� +4B�B5. Sabendo que �� = 2, �� = 8 são os autovalores da �, responda: a) Classifique a forma quadrática. Justifique. b) Encontre �. Encontre H, talque a mudança de variável ortogonal B = HI elimina os termos cruzados. Encontre a esta nova expressão (A na nova variável). c) Encontre o máximo de A(B) sujeito a BJB = ⃦B ⃦ = 1, e um vetor (ou ponto) que atinge este máximo. 4) 4) 4) 4) (2,0) Encontre LM e L� para os quais a reta I = LM + L�B melhor ajusta os dados abaixo (−1, −2), (1, −1), (2,0), (3,2) segundo o critério dos Mínimos Quadráticos. Use sua resposta para aproximar I, quando B = 5. 5)5)5)5) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA. a) (0,5) Todo autovetor de �, é também autovetor de ��. b) (0,5) Se � for diagonalizável por matriz ortogonal, então � é simétrica. c) (0,5) Se uma matriz � 5B5 tiver menos que 5 autovalores distintos, então � não será diagonalizável. d) (0,5) Se ⃦V + 4 ⃦� = ⃦V ⃦� + ⃦4 ⃦� então V e 4 são ortogonais. (O produto interno não precisa ser canônico). e) (0,5)O menor valor de uma forma quadrática BJ�B para BJB = 1 é o menor valor da diagonal de �.