P1 13 Maio - FILA B

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Prova 1 – Álgebra Linear, 13/5/2014 FILA B 
UFSC Campus Araranguá 
Prof. Tadeu Z. de Almeida 
 
Nome: _______________________________Matrícula:__________ Curso:_________________ Nota: 
Instruções: Justifique suas respostas. Aguarde 1h20m para poder sair da sala. DESLIGUEM OS 
CELULARES. Antes de sair, assine a presença. 
BOA PROVA! 
1) Seja T a transformação linear �:	ℝ� 	→ ℝ� que primeiro faz um cisalhamento que leva ��	em �� − 2��, 
(levando �� nele mesmo), depois reflete em relação ao eixo ��. 
a) (1,0) Encontre [�] (a matriz canônica de T). Calcule �(3, −2). 
b) (1,0) Calcule ���	� = ���	�, onde � = [�]. Usando o Teorema do Posto, encontre dim ��� =
dim ����.	
2)	2)	2)	2)	Considere	� = 	 % 2 1 0−1 −6 113 2 −1) , *� =	 %
344) , *� = 	%
311) , � = 	 %
111).	
a)	(1,0)	Mostre	que	�� = *�.	Sabendo	que	�� = *�,	qual	a	solução	geral	de	�� = *�?	Justifique.	
b)	(1,0)	Mostre	que	*�	não	pertence	a	<��(�).	Qual	a	solução	geral	de	�� = *�.	Justifique.	
				
3333))))	Classifique	os	vetores	abaixo	em	L.	Independente	ou	L.	Dependente,	justificando	sua	resposta:	
a)	(0,5)	E� = (1,1,2,1), E� = (2,2, −5,1)	em	ℝF.				
b)	(1,5)	polinômios	em	H	real	(qualquer	grau:	ℙ):	J�(H) = 1 + H, J�(H) = 2 − 3H, JL(H) = 4 − 4H.	Qual	a	
dimensão	do	espaço	gerado?	Justifique	sua	resposta.	
4)	4)	4)	4)	(2,0)	Encontre,	escrevendo	todo	o	desenvolvimento,	a	fatoração	NO	da	matriz	� = 	 % 2 −4 21 5 −4−6 −2 4 ).	
Utilize	a	fatoração	para	encontrar	a	solução	geral	de	�� = *,	com	* = (6, −4,−4).	Deixe	claro	quem	é	
N,	quem	é	O,	e	quais	sistemas	estão	sendo	resolvidos.	
	
5)5)5)5)				Classifique	as	afirmações	abaixo	como	verdadeiras	ou	falsas,	JUSTIFICANDO	SUA	RESPOSTA.	
a)	(1,0)	Se	�:	ℝ� 	→ ℝ�	é	transformação	linear	dada	por	� [\�]^_ = 	 \ � − ]2� + 3]^,	então	E = 		 \ 5−5^	
pertence	à	imagem	de	T.	
b)	(1,0)	Sejam		� = 	 \3 21 1^ 	�	ab� = 	 \0 12 3^.	Se	cb� = �a,	então	c = 	 \3 −15 −1^.	
	
(Bônus)	Sejam	e	um	espaço	vetorial	e	f	 ⊆ e.	Suponha		f = iE�, E�, … , Ekl.	
a)	Que	condição	f		deve	satisfazer	para	ser	chamado	L.D.?		
b)	Se	f	for	L.I.	e	gerar	V,	qual	será	a	dimensão	de	e?	Neste	caso,	f	é	uma	_________de	V.