Lista 3 (24.03.2018)

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Instituto de Matema´tica - IM/UFRJ
MAW117 - Introduc¸a˜o ao Ca´lculo - 2018.1
Lista 3
OPERAC¸O˜ES COM FUNC¸O˜ES
1. Sejam f(x) = 2x2 + 3x, f(x) =
√
3x2 + 4 e h(x) = 1/x. Determine:
a) f(x) + g(x), b) f(x) · g(x), c) f(5)− f(2), d) f(g(x)), e) h(g(0)).
2. Escreve a expressa˜o para f(g(x)) e para g(f(x)) se
a) f(x) = 2x e g(x) = 5x, b) f(x) = ex e g(x) = 5xx−1 , c) f(x) =
√
ex e g(x) = lnx.
d) f(x) = x2 e g(x) = cosx.
3. Ache f(g(1)) se f(x) = 3
√
x e g(x) = 5x+ 3.
4. Ache f(g(e)) se f(x) =
√
x e g(x) = ln(x4).
5. Ache x∗ tal que f(g(x∗)) = 16 se f(x) = x2 e g(x) = x2.
6. Ache f e g de modo que
a) cos(x4 + x2 + 1) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x), b) exex+2 = f(g(x)) = (f ◦ g)(x).
7. As func¸o˜es reais definidas a seguir sa˜o bijetoras. Ache a fo´rmula da inversa de cada uma delas.
a) f(x) = 2x+ 3, b) f(x) = 4−3x2 , c) f(x) =
x−1
x+2 , (x 6= 2),
d) f(x) = 1x−3 (x 6= 3), e) f(x) = 3
√
x− 1.
8. Ache f , g e h de modo que √√√
x+ 1 = f(g(h(x))) = (f ◦ g ◦ h)(x).
GRA´FICOS
1. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = |x+ 5|, b) f(x) = √3− x, c) f(x) = 1/x2,
d) f(x) =
9− x2
x+ 3
, e) f(x) =
|x|
x
, f) f(x) =
5x+ |x|
x
,
g) f(x) =
|5 + x|
x
, h) f(x) =
{
3, se x ≥ 0
2x+ 3, se x < 0,
i) f(x) =

x+ 3, se x < −3,
(x− 1)2, se |x| ≤ 3,
2x
2x+1 , se x > 3,
j) f(x) =
 x
2 + 3x+ 2, se x > 0,
3, se x = 0,
x+ 1, se x < 0.
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TAXA DE VARIAC¸A˜O ME´DIA
1. Calcule:
a)
f(x)− f(2)
x− 2 , se f(x) = 3x
2 − 4;
b)
f(1 + h)− f(x)
h
, se f(x) = 1/x;
c)
f(2 + h)− f(2)
h
, se f(x) = 3x2 − 4;
d)
f(h)− f(0)
h
, se f(x) = 3x3 − 4x2 + 7x− 3.
2. Simplifique f(x+h)−f(x)h , h 6= 0, onde f e´ dada por:
a) f(x) = 3x+ 8, b) f(x) = −x2 + 5, c) f(x) = 1/x.
MODELAGEM
1. Um azulejo quadrado de lado R cent´ımetros tem a´rea R2 cm2. Encontre uma func¸a˜o que represente a a´rea
do cha˜o de um banheiro quadrado de lado (R+ 170) cm. Quantos azulejo sera˜o necessa´rios para azulejar
este banheiro? Qual a a´rea do banheiro, em m2, se R = 30 cm?
2. Um bala˜o esfe´rico com raio r cent´ımetros tem volume V (r) = 13pir
3 cm3. Encontre uma func¸a˜o que
represente a quantidade de ar necessa´ria para inflar o bala˜o de um raio r ate´ um raio r + 1 cent´ımetros.
3. Um retaˆngulo tem per´ımetro de 20 metros. Expresse a a´rea do retaˆngulo como uma func¸a˜o do comprimento
de um de seus lados.
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