prova p1 gab geom 2013 1 mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
08/05/2013
1a Questa˜o: (3 pontos) Deˆ uma prova ou um contra-exemplo:
1. Existe um exemplo de uma ”geometria” com 10 pontos, em que sa˜o va´lidos os dois
axiomas de incideˆncia e em que todas as retas tenham exatamente quatro pontos.
Soluc¸a˜o
Como toda reta tem exatamente 4 pontos e o conjunto tem 10 pontos, com certeza
esta ”geometria” vai satisfazer o primeiro axioma de incideˆncia, pois existem pontos
que pertencem a` reta e pontos que na˜o pertencem.
A fim de satisfazer o segundo axioma de incideˆncia, temos que construir retas con-
tendo 4 pontos de tal modo que dados 2 pontos, exista uma u´nica reta contendo-os.
Por exemplo, dado o conjunto de pontos {A,B,C,D,E, F,G,H, I, J}, a primeira
reta pode ser {A,B,C,D}. Criamos enta˜o as retas {A,E, F,G} e {A,H, I, J}, o que
nos da´ uma u´nica reta contendo A e cada um dos outros pontos.
Voltando nossa atenc¸a˜o para o ponto B, verificamos que ja´ existe uma reta contendo
B e os pontos A,C e D. Devemos construir retas contendo B e os pontos E, F , G,
H, I e J . A pro´xima reta na˜o pode conter os pares (E,F ), (E,G), (F,G), (H, I),
(H, J) e (I, J). Assim, ela pode conter por exemplo, os pontos B, E, H, mas fica
faltando um ponto para que esta reta tenha 4 pontos.
Logo, um exemplo de uma ”geometria” deste tipo, na˜o pode ser constru´ıdo.
2. Na geometria do motorista de taxi, onde a distaˆncia entre dois pontos (x1, y1) e
(x1, y1) do plano cartesiano e´ calculada por |x1 − x2|+ |y1 − y2|, o c´ırculo centrado
no ponto (0, 0) e raio de comprimento igual a 1 e´ ”redondo”.
Soluc¸a˜o
O c´ırculo centrado no ponto (0, 0) e raio de comprimento igual a 1, tem equac¸a˜o:
|x1 − 0|+ |y1 − 0| = 1.
Um esboc¸o do c´ırculo pode ser visto a seguir e na˜o e´ ”redondo”.
Um quadrila´tero ABCD e´ uma figura formada pela sequeˆncia de pontos A, B, C e
D (chamados ve´rtices do quadrila´tero) e pelos segmentos AB, BC, CD eDA (chama-
dos lados do quadrila´tero), tais que os lados se interceptam somente nos ve´rtices e
dois lados com mesma extremidade na˜o pertencem a uma mesma reta.
Sejam r(A,B), r(B,C), r(C,D) e r(A,D) as retas que conte´m os lados do quadrila´tero.
O quadrila´tero e´ convexo se esta´ contido em um dos semi-planos determinados pelas
retas r(A,B), r(B,C), r(C,D) e r(A,D).
3. Se ABCD e ABDC sa˜o ambos, quadrila´teros, enta˜o ABCD e ABDC sa˜o convexos.
Soluc¸a˜o 1
Um exemplo de dois quadrila´teros ABCD e ABDC na˜o convexos pode ser visto
a seguir:
Soluc¸a˜o 2
Se ABCD e´ quadrila´tero convexo, enta˜o ABDC nem e´ um quadrila´tero (pois BD e
AC sa˜o diagonais que se intersectam no quadrila´tero ABCD).
2a Questa˜o: (3 pontos)
1. Se um quadrila´tero ABCD na˜o e´ convexo, prove que AB ∩ r(C,D) 6= Ø ou
BC ∩ r(A,D) 6= Ø ou CD ∩ r(A,B) 6= Ø ou AD ∩ r(B,C) 6= Ø.
Soluc¸a˜o
Se o quadrila´tero ABCD na˜o e´ convexo, existe pelo menos uma reta r(A,B), r(B,C),
r(C,D) ou r(A,D), digamos (sem perda de generalidade) a reta r(A,B), tal que
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ABCD na˜o esta´ contido em um dos semi-planos determinados por r(A,B). Portanto,
os ve´rtices C e D pertencem a semi-planos distintos determinados por r(A,B), o que
implica que CD ∩ r(A,B) 6= Ø.
2. Se ABCD e´ um quadrila´tero convexo, prove que o ponto P do plano para o qual
a soma PA+ PB + PC + PD e´ mı´nima e igual a AC +BD e´ o ponto de encontro
das diagonais AC e BD.
(Sugesta˜o: aplique a desigualdade triangular aos triaˆngulos PAC e PBD.)
Soluc¸a˜o
Seja P um ponto do plano. Seguiremos a sugesta˜o.
Aplicando a desigualdade triangular aos pontos P , A e C, temos
AC ≤ PA+ PC,
onde a igualdade ocorre se e somente se os treˆs pontos sa˜o colineares e P esta´ entre
A e C.
Aplicando a desigualdade triangular aos pontos P , B e D, temos
BD ≤ PB + PD,
onde a igualdade ocorre se e somente se os treˆs pontos sa˜o colineares e P esta´ entre
B e D.
Logo
PA+ PB + PC + PD ≥ AC +BD,
onde a igualdade (mı´nimo) ocorre se e somente se P esta´ entre A e C e P esta´ entre
B e D, isto e´, o ponto P pertence a`s duas diagonais AC e BD.
3a Questa˜o: (4 pontos) Complete a demonstrac¸a˜o do teorema, justificando os passos da prova
a seguir:
Teorema: ”Se as retas r(B,C) e r(A,D) na˜o se intersectam enta˜o o quadrila´tero ABCD
e´ convexo.”
prova.
1. O segmento BC esta´ contido num dos semi-planos determinados por r(A,D)
e o segmento AD esta´ contido num dos semi-planos determinados por
r(B,C).
Soluc¸a˜o
Uma reta divide um plano em dois semi-planos. Se as retas r(B,C) e r(A,D) na˜o
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se intersectam, qualquer segmento contido numa das retas estara´ contido em um dos
semi-planos formado pela outra reta.
2. Supomos que AB na˜o esta´ contido num dos semi-planos determinados por r(C,D).
Seja H o semi-plano determinado pela reta r(B,C) que conte´m A e seja H∗ o semi-
plano determinado pela reta r(A,D) que conte´m B.
Logo AB ∩ r(C,D) ⊂ H ∩H∗ ∩ r(C,D) = CD.
Soluc¸a˜o
Como H conte´m r(B,C) e A, enta˜o conte´m o segmento AB.
Como H∗ conte´m r(A,D) e B, enta˜o conte´m o segmento AB.
Portanto AB ⊂ H ∩H∗ e
AB ∩ r(C,D) ⊂ H ∩H∗ ∩ r(C,D).
Como D ∈ H, SCD ⊂ H e H ∩ r(C,D) = SCD.
Como C ∈ H∗, SDC ⊂ H∗ e H∗ ∩ r(C,D) = SDC .
Portanto
H ∩H∗ ∩ r(C,D) = SDC ∩ SDC = CD,
como quer´ıamos mostrar.
3. Absurdo!
Soluc¸a˜o
Se AB ∩ r(C,D) ⊂ CD, temos que os segmentos AB e CD se intersectam, o que
e´ um absurdo, pois ABCD na˜o seria um quadrila´tero.
4. Como, de modo similar se prova que CD esta´ contido num dos semi-planos determi-
nados por r(A,B), enta˜o o quadrila´tero ABCD e´ convexo.
Soluc¸a˜o
No item 1, provamos que BC esta´ contido num dos semi-planos determinados por
r(A,D) e AD esta´ contido num dos semi-planos determinados por r(B,C). Nos
itens 2 e 3, que AB esta´ contido num dos semi-planos determinados por r(C,D).
E, finalmente, que CD esta´ contido num dos semi-planos determinados por r(A,B).
Portanto, o quadrila´tero esta´ contido em um dos semi-planos determinados por todas
as retas r(A,B), r(B,C), r(C,D) e r(A,D), o que mostra que e´ convexo.
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Comenta´rios:
• Na 2a Questa˜o, item 1, provar
”Se um quadrila´tero ABCD na˜o e´ convexo, enta˜o AB ∩ r(C,D) 6= Ø ou
BC ∩ r(A,D) 6= Ø ou CD ∩ r(A,B) 6= Ø ou AD ∩ r(B,C) 6= Ø.”
e´ equivalente a provar
”Se AB∩ r(C,D) = Ø e BC ∩ r(A,D) = Ø e CD∩ r(A,B) = Ø e AD∩ r(B,C) = Ø
enta˜o o quadrila´tero ABCD e´ convexo.”
• Mas, na 2a Questa˜o, item 1, quem provou
”Se AB ∩ r(C,D) 6= Ø enta˜o o quadrila´tero ABCD na˜o e´ convexo.”
estava trabalhando uma outra proposic¸a˜o, na˜o pedida na questa˜o.
• Sempre que se oferece uma sugesta˜o, e´ aconselha´vel segui-la...
• Quando mencionamos um quadrila´tero, na˜o desenhe um retaˆngulo, pois seu argu-
mento deixara´ completamente de ser geral...
• Cuidado com a notac¸a˜o.
• Cuidado ao ler o texto da prova. Por exemplo, na 3a Questa˜o, item 3, muitos usaram
que AB ∩ r(C,D) = CD, e na˜o era o que estava escrito no item anterior.
• E, NA˜O USE A CONCLUSA˜O PARA PROVAR A CONCLUSA˜O!
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