Prova 05

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/1
PROMEIRA PROVA (P1) – 27/04/2012
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno
de resoluc¸a˜o, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
sen2θ + cos2θ = 1, sen2θ = 2senθcosθ
sen(α± θ) = senαcosθ ± cosαsenθ, cos(α± θ) = cosαcosθ ∓ senαsenθ
d
dx
xn = nxn−1
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
(n 6= −1)
d
dx
senax = acosax,
d
dx
cosax = −asenax
Lei dos senos:
a
senα
=
b
senβ
=
c
senγ
Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um carro sobe uma ladeira em linha reta com
velocidade constante em relac¸a˜o a um referencial
fixo ao cha˜o da ladeira; considere a Terra como um
referencial inercial. Uma pessoa num helico´ptero
observa que a velocidade do carro em relac¸a˜o a
ele e´ zero. Qual destas afirmac¸o˜es em relac¸a˜o ao
referencial do helico´ptero e´ verdadeira?
(a) A acelerac¸a˜o do helico´ptero em relac¸a˜o ao
referencial fixo do cha˜o e´ diferente de zero
(b) O referencial do helico´ptero e´ inercial
(c) As leis de Newton na˜o sa˜o aplica´veis nesse
referencial
(d) Como a velocidade do helico´ptero na˜o e´
dada na˜o e´ poss´ıvel saber se o referencial
do helico´petero e´ inercial ou na˜o.
(e) Nenhuma das respostas anteriores
2. Um corpo de massa m ao ser largado de uma al-
tura H, a partir do repouso, num plano inclinado
de um aˆngulo θ em relac¸a˜o a horizontal, atinge
uma velocidade de mo´dulo v ao chegar na base do
plano. Ha´ atrito entre o corpo e a superf´ıcie do
plano sendo o coeficiente de atrito cine´tico igual a
µ. O mesmo corpo quando largado sob as mesmas
condic¸o˜es em outro plano de mesma inclinac¸a˜o,
mas sem atrito, atinge a base do plano com uma
velocidade cujo mo´dulo e´ o dobro da situac¸a˜o an-
terior. O valor de µ e´ igual a:
(a) 2
3
tan θ
(b) 1
2
tan θ
(c) 3
4
tan θ
(d) tan θ
(e) 1
2
cos θ
3. Ao ser disparado verticalmente um proje´til atinge
uma altura ma´xima h. Se o mesmo proje´til e´
disparado numa direc¸a˜o que faz um aˆngulo θ
(θ < π/2) com a horizontal, a altura ma´xima atin-
gida e´ igual a:
(a) h cos θ
(b) (h/2) tan θ
(c) (h/2) sen θ
(d) h sen 2θ
(e) h sen2θ
4. Uma part´ıcula descreve um movimento circular,
com velocidade de mo´dulo constante e igual a V .
Num intervalo de tempo em que percorre 1/4 da
circunfereˆncia, o mo´dulo de seu vetor velocidade
me´dia e´ igual a
(a) 2
√
2
pi
V
(b) 1
4
V
(c) 2V
(d) pi
2
V
(e)
√
2
2
V
5. O vetor posic¸a˜o de um corpo em func¸a˜o do tempo,
t, e´ ~r(t) = ~r0 + ~v0t +
1
2
~at2, onde ~r0(posic¸a˜o ini-
cial), ~v0(velocidade inicial) e ~a(acelerac¸a˜o) sa˜o ve-
tores constantes. Afirma-se que: I) se ~v0 e ~a tem
a mesma direc¸a˜o o movimento e´ retil´ıneo. II) a
trajeto´ria e´ um arco de para´bola para qualquer ~a.
III) esta equac¸a˜o descreve um movimento circular
uniforme. IV) se ~a = 0 o movimento e´ retil´ıneo e
uniforme. A resposta correta e´:
(a) I e II esta˜o corretas
(b) I e III esta˜o corretas
(c) II e III esta˜o corretas
(d) I e IV esta˜o corretas
(e) nenhuma delas esta correta
6. Sobre um corpo atuam duas forc¸as bidimensio-
nais ~F1 e ~F2 e a acelerac¸a˜o do corpo e´ nula. Qual
afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
(a) ~F1 e ~F2 constituem o par ac¸a˜o e reac¸a˜o
(b) A forc¸a ~F1 e´ igual a` forc¸a ~F2
(c) Se em relac¸a˜o a um sistema de refereˆncia
a componente de ~F1 em relac¸a˜o a ıˆ e´ posi-
tiva e a componente de ~F1 em relac¸a˜o a ˆ
e´ negativa enta˜o nesse mesmo referencial
a componente de ~F2 em relac¸a˜o a ıˆ e´ ne-
gativa e a componente de ~F2 em relac¸a˜o
a ˆ e´ positiva
(d) A forc¸a ~F1 tem o mesmo mo´dulo que a
forc¸a ~F2 pois as componentes de ~F1 e
~F2 sa˜o iguais em qualquer sistema de re-
fereˆncia
(e) A forc¸a ~F1 tem o mesmo mo´dulo que a
forc¸a ~F2 mas na˜o existe nehuma relac¸a˜o
entre as componentes destas forc¸as pois
estas dependem do sistema de refereˆncia
escolhido
2
7. Uma u´nica forc¸a conservativa atua em uma
part´ıcula paralela ao eixo horixontal OX de um
sistema de coordenadas. A energia potencial
desta forc¸a e´ dada pela figura abaixo. Qual opc¸a˜o
representa corretamente os vetores(direc¸a˜o, inten-
sidade e sentido) das forc¸as que atuam sobre a
part´ıcula nos pontos A e B respectivamente.
A
B
3)1) 2) 5)4)
(a) diagrama 4
(b) diagrama 1
(c) diagrama 5
(d) diagrama 2
(e) diagrama 3
8. Um corpo de massa m e´ visto descendo um plano
com velocidade constante; so´ ha´ o plano e o corpo.
Sabendo-se que o aˆngulo de inclinac¸a˜o do plano
em relac¸a˜o a` horizontal e´ igual a θ, pode-se afir-
mar que a resultante das forc¸as que o plano incli-
nado exerce sobre o corpo tem mo´dulo igual a
(a) mg senθ
(b) mg
(c) mg cosθ
(d) mg (1− senθ)
(e) mg (1 + cosθ)
9. Considere um peˆndulo constituido de um fio de
massa desprez´ıvel de comprimento L e um corpo
de massa m. Preso ao teto o fio e´ esticado hori-
zontalmente e o peˆndulo abandonado a partir do
repouso. Para que o peˆndulo movimente-se sem
o fio arrebentar, a intensidade de trac¸a˜o mı´nima
que o fio deve suportar e´:
(a) mg
(b)
√
2mg
(c) 3
2
mg
(d) 3mg
(e) 4mg
10. Um observador parado no solo veˆ um pacote
caindo de um avia˜o, com uma velocidade de
mo´dulo igual a v1, mas que faz um certo aˆngulo
com a vertical; considere a Terra um refereˆncial
inercial. Simultaneamente o piloto do avia˜o, que
voa na horizontal com velocidade constante, veˆ o
mesmo pacote caindo na vertical, com velocidade
de mo´dulo igual a v2. O mo´dulo da velocidade do
avia˜o em relac¸a˜o ao observador no solo e´
(a)
√
v21 − v
2
2
(b)
√
v21 + v
2
2
(c) v2 + v1
(d) v2 − v1
(e) v1 − v2
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Um bloco de massa M esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a horizontal
~F constante sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Sobre
ele ha´ um bloco de massa m, preso a` esquerda por um fio ideal.
Este fio passa por uma roldana ideal que encontra-se fixa a
uma parede vertical, e o conecta ao bloco de massa M . Os
segmentos do fio sa˜o paralelos ao plano horizontal; vide a figura
ao lado. Suponha que haja atrito entre os blocos em contato
entre si. Considere como conhecidos os valores dos coeficientes
de atrito esta´tico µe e cine´tico µc, as massas m e M e o mo´dulo
da acelerac¸a˜o da gravidade g.
a) Isole os blocos e represente por meio de um diagrama
de corpo livre todas as forc¸as que atuam em cada um deles.
b) Suponha inicialmente que os blocos estejam em repouso.
Determine o valor ma´ximo do mo´dulo de ~F , Fmax para que o
sistema permanec¸a em repouso.
c) Considere agora que ~F , cujo mo´dulo e´ igual a F ′, seja capaz
de colocar os blocos em movimento com acelerac¸a˜o constante.
Para o intervalo detempo no qual os blocos permanecem em
contato entre si, determine os vetores acelerac¸a˜o de cada bloco,
em func¸a˜o de F ′, µc, m, M e g.
d) Determine o mo´dulo da trac¸a˜o do fio, para o caso do item
anterior c).
2. Um bloco de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis encontra-se
sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de cons-
tante ela´stica k no ponto A de uma distaˆncia d em relac¸a˜o a`
posic¸a˜o O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto
a partir do repouso ele percorre o trajeto A-O-B perdendo
contato com a mola no ponto O, onde a mola esta´ relaxada.
Somente entre os pontos O e B, separados de uma distaˆncia
desconhecida ha´ atrito. O coeficiente de atrito cine´tico en-
tre as superf´ıcies do bloco e do plano e´ µc na regia˜o O-B.
Apo´s o ponto B ha´ uma rampa sem atrito. A partir do
ponto C, final da rampa, a superf´ıcie e´ horizontal e tem uma
alturaH em relac¸a˜o a` horizontal do trechoA-O-B; vide a figura.
a) Determine a velocidade do bloco no ponto O;
b) Determine a distaˆncia D entre os pontos O e B, supondo
que a velocidade do bloco em B e´ nula;
c) Determine a compressa˜o mı´nima, xmin, da mola necessa´ria
para que o bloco atinja o ponto C no topo da rampa.
A BO
C
H
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 27/04/2012
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1
a) valor=1.0 pontos
Diagrama de forc¸as:
As forc¸as ~Pm e ~PM sa˜o as forc¸as peso, ~T a trac¸a˜o do fio, ~Nm e ~NM as forc¸as normais, ~F
′
at
e´ a forc¸a de atrito que age sobre M e ~Fat a sua reac¸a˜o agindo sobre m, ~F a forc¸a aplicada
sobre M e ~N ′m a reac¸a˜o de
~Nm.
b) valor=0.5 pontos
Na situac¸a˜o esta´tica ~Fat ≡ ~Fe e na dinaˆmica ~Fat ≡ ~Fd. Os mo´dulos das tenso˜es nos
extremos da corda teˆm igual mo´dulo pois a corda e a roldana teˆm massas desprez´ıveis e sa˜o
consideradas ideais. Vamos considerar que estamos na imineˆncia do movimento dos blocos
nesse caso ~Fat = ~F
(max)
e = µeNm ıˆ. Nesta situac¸a˜o o mo´dulo da forc¸a aplicada |~F | = Fmax
e´ a forc¸a necessa´ria para estarmos no limiar do movimento (ainda a velocidade e´ nula
mas qualquer valor levemente superior a Fmax fara´ o sistema se movimentar). Portanto a
segunda lei de Newton para o bloco de massa m e´:
~Nm + ~F
(max)
at + ~T + ~Pm = m~a = ~0 (1)
que escrita em componentes fica,
ıˆ) F (max)e − T = 0 ⇒ T = F
(max)
e = µeNm (2)
e
ˆ) Nm − Pm = 0 ⇒ Nm = mg . (3)
A segunda lei de Newton para o bloco de massa M e´:
~NM + ~F
(max)′
at + ~T + ~PM + ~N
′
m +
~Fmax =M~a = ~0, (4)
2
que escrita em componentes fica,
ıˆ) Fmax − F
(max)′
e − T = 0 ⇒ Fmax = µemg + T = 2µemg , (5)
e
ˆ) NM −N
′
m − Pm = 0 ⇒ NM = (m+M)g , (6)
Note que ~Nm e ~N
′
m assim como
~F
(max)
at e
~~F
(max)′
at constituem os respectivos pares ac¸a˜o e
reac¸a˜o. Ao substituimos o valor de Nm achado na Eq. (3) na Eq. (2) obtemos o valor de
T . Finalmente da Eq. (5) obtemos o valor
Fmax = 2µemg
c) valor=0.5 pontos
Na situac¸a˜o dinaˆmica, para o bloco de massa m temos que ~Fat = Fc ıˆ = µcNm ıˆ = µcmg ıˆ.
Enta˜o a componente na direc¸a˜o ıˆ da segunda lei de Newton da Eq.(1) e´,
ıˆ) Fc − T = ma1 ,⇒ µcmg − T = ma1 . (7)
Na direc¸a˜o ˆ a equac¸a˜o e´ ana´loga a equac¸a˜o (3).
Para o bloco de massa M a componente ıˆ da segunda lei de Newton na Eq.(4) e´:
ıˆ) F ′ − Fc − T =Ma2 ⇒ , F
′ − µcmg − T =Ma2 . (8)
A componente ˆ e´ ana´loga a` equac¸a˜o (6).
Como o fio e´ inextens´ıvel ~a2 = a ıˆ = −~a1 (a > 0), ou seja, enquanto o bloco de massa
M acelera para a direita o bloco de massa m acelera para a esquerda. Assim, finalmente
temos o sistema de equac¸o˜es: 

µcmg − T = −ma
F ′ − µcmg − T =Ma
onde as inco´gnitas sa˜o T e a. Resolvendo o sistema temos que:
T = µdmg + (F
′ − 2µcmg)m/(m+M) (9)
e a = (F ′ − 2µcmg)/(m+M). Portanto:
~a1 = −(F
′ − 2µcmg)/(m+M) ıˆ , (10)
e a acelerac¸a˜o do bloco de massa M e´:
~a2 = (F
′ − 2µcmg)/(m+M) ıˆ . (11)
d) valor= 0.5 pontos
A valor da trac¸a˜o que atua no fio e´:
T =
m
m+M
(F ′ + µc(M −m)g). (12)
3
Questa˜o discursiva 2
a) valor=1.0 pontos
A energia mecaˆnica conserva-se no trecho A-O pois na˜o ha´ atrito, a forc¸a de reac¸a˜o
normal na˜o realiza trabalho e o peso e a forc¸a da mola sa˜o conservativas. Escolhendo
o trecho A-O-B como o “zero” da energia potencial gravitacional, temos que a energia
mecaˆnica no ponto A e´ dada unicamente pela energia potencial ela´stica, pois e´ solto do
repouso, assim: EA = kd
2/2, no ponto O, a energia mecaˆnica e´ dada unicamente pela
energia cine´tica, pois a mola encontra-se relaxada, logo EO = mv
2
0/2. Pela conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica encontramos a velocidade no ponto O
EA = EO ⇒
kd2
2
=
mv2O
2
→ vO =
√
k
m
d.
b) valor=1.0 pontos
Temos duas maneiras de resolver o problema, e em ambas, e´ necessa´rio calcular o
trabalho da forc¸a de atrito no trecho O-B:
W~Fat =
~Fat · ~OB = |~Fat|| ~OB| cos pi = −|~Fat|| ~OB| = −µcND = −µcmgD.
Maneira 1: Usemos que a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho das forc¸as
na˜o-conservativas, enta˜o
∆K =
=0︷︸︸︷
KB − KO︸︷︷︸
mv2
O
2
=
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat
∴ −
mv2O
2
= −µcmgD ⇒ D =
v2O
2µcg
→ D =
kd2
2µcmg
,
onde usamos o resultado da al´ınea (a) na u´ltima passagem.
Maneira 2: Neste caso utilizemos diretamente o teorema do trabalho energia cine´tica
∆K =
=0︷︸︸︷
KB − KO︸︷︷︸
mv2
O
2
=
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat ⇒ −
mv2O
2
= −µcmgD
∴ D =
v2O
2µcg
→ D =
kd2
2µcmg
,
aqui, o resultado da al´ınea (a) na u´ltima passagem tambe´m foi usado.
4
c) valor=0.5 pontos
A compressa˜o mı´nima da mola, xmin e´ tal que o bloco atinge o ponto C com velocidade
nula. Usando que a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho das forc¸as na˜o-
conservativas temos:
∆E = EC︸︷︷︸
mgH
−
kx
2
min
2︷︸︸︷
EA =
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat
∴ mgH −
kx2min
2
= −µcmgD
kx2min
2
= mgH + µcmg
(
kd2
2µcmg
)
xmin =
√
2mgH
k
+ d2.
5