Prova 14

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/1
SEGUNDA PROVA – 15/07/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um pescador esta´ sentado no centro de sua canoa
que repousa em um lago de a´guas tranquilas. A
sua frente esta´ um cesto com peixes a uma distaˆncia
d. Num dado instante ele muda a posic¸a˜o do cesto
colocando-o detra´s dele na posic¸a˜o d ′. Considerando
o centro de massa do sistema canoa-pescador-cesto e
desprezando-se o atrito da a´gua com a canoa, e´ correta
a opc¸a˜o:
(a) o centro de massa permanece na posic¸a˜o origi-
nal;
(b) o centro de massa move-se para frente de d ′;
(c) o centro de massa move-se para tra´s de d;
(d) apo´s mudar o cesto de posic¸a˜o a canoa passa a
se movimentar com velocidade uniforme, pois
a forc¸a resultante sobre o sistema e´ nula;
(e) nada se pode afirmar pois na˜o sa˜o conhecidas
as massas da canoa, do pescador e do cesto.
2. Um disco homogeˆneo de massa M e raio R encontra-
se sobre uma mesa horizontal completamente lisa, sem
estar preso a ela. Em um dado instante duas forc¸as
esta˜o aplicadas tangencialmente na beirada do disco,
uma em um ponto diametralmente oposto ao ponto de
aplic¸a˜o da outra. Sabendo que o momento de ine´rcia
do disco relativo ao eixo perpendicular a ele que passa
pelo seu centro de massa e´ MR2/2, e denotando por
acm e α os mo´dulos respectivos da acelerac¸a˜o do centro
de massa do disco e da acelerac¸a˜o angular de rotac¸a˜o
em torno do eixo no instante considerado, podemos
dizer que:
(a) acm = F/M e α = 2F/(MR);
(b) acm = F/M e α = 6F/(MR);
(c) acm = 2F/M e α = 2F/(MR);
(d) acm = 3F/M e α = 6F/(MR);
(e) acm = F/M e α = 0.
1
3. Um aro el´ıptico homogeˆneo de massa M e´ posto para
girar com velocidade angular ω ao redor do seu eixo
maior, em relac¸a˜o ao qual tem momento de ine´rcia I1.
Em seguida, e´ colocado para girar com mesma veloci-
dade angular ao redor de seu eixo menor, em relac¸a˜o
ao qual tem momento de ine´rcia I2. Veja as figuras.
Sobre os mo´dulos dos momentos angulares L1 e L2 dos
aros nas respectivas situac¸o˜es 1 e 2, podemos afirmar
que:
(a) L1 < L2, pois o momento de ine´rcia I1 < I2;
(b) L1 = L2, pois trata-se do mesmo sistema gi-
rando com a mesma velocidade angular;
(c) L1 > L2, pois o momento de ine´rcia I1 > I2;
(d) L1 > L2, pois o momento de ine´rcia I1 < I2;
(e) L1 < L2, pois o momento de ine´rcia I1 > I2.
4. Um corpo de massa m esta´ suspenso por um fio de
massa desprez´ıvel enrolado numa polia de raio R. A
polia consiste em um disco r´ıgido do qual foi reti-
rado um pedac¸o, como mostra a (figura). A polia
tem massa M e gira sem atrito em torno de um eixo
que passa pelo seu centro. Se a massa desce com ace-
lerac¸a˜o de mo´dulo a, o momento de ine´rcia da polia
e´:
(a) mR2
(g
a
+ 1
)
;
(b) mR2
(
1−
g
a
)
;
(c) (m+M)R2
(g
a
+ 1
)
;
(d) mR2
(g
a
− 1
)
;
(e) (m+M)R2
(g
a
− 1
)
;
5. Treˆs part´ıculas de massas m1, m2 e m3 diferentes
movem-se com a mesma velocidade vetorial ~v cons-
tante relativas a um dado referencial. SendoK a ener-
gia cine´tica do sistema e KCM a energia cine´tica do
seu centro de massa, relativas a esse referencial iner-
cial, e K ′ sua energia cine´tica relativa ao centro de
massa, e´ correto afirmar que:
(a) K = K ′ − KCM com K
′ e KCM ambas dife-
rentes de zero;
(b) K = K ′ + KCM com K
′ e KCM ambas dife-
rentes de zero;
(c) KCM e´ sempre nula;
(d) K ′ = KCM ;
(e) K ′ = 0.
6. Quatro contas esta˜o presas nos ve´rtices de um arame
quadrado de lado a, como mostra a figura. Duas con-
tas possuem massa m e as outras duas massa 2m.
Desprezando a massa do arame e de acordo com o
sistema de refereˆncia indicado na figura, a posic¸a˜o do
centro de massa do arranjo e´:
(a) xcm = 2a/5 e ycm = a/2;
(b) xcm = a/5 e ycm = a/2 ;
(c) xcm = a/4 e ycm = a/2;
(d) xcm = a/2 e ycm = a/2.
(e) xcm = 2a/3 e ycm = a/2;
2
7. Uma part´ıcula de massa m esta´ girando em torno
de um eixo (perpendicular a pa´gina) com movimento
de rotac¸a˜o uniformemente variado com acelerac¸a˜o ~a,
como mostra a figura; vista de cima. O raio da tra-
jeto´ria e´ R e o vetor acelerac¸a˜o da part´ıcula tem a sua
direc¸a˜o formando um aˆngulo δ com a direc¸a˜o radial.
Num dado instante ela tem velocidade angular ω e
acelerac¸a˜o angular α. Pode-se afirmar que:
(a) tan δ = ω2/α;
(b) tan δ = α/ω2 ;
(c) sen δ = α/
√
ω4 − α2;
(d) cos δ = ω2/
√
ω4 − α2;
(e) sen δ =
√
ω4 − α2/α.
8. A figura mostra um carrinho de massa m, sobre um
trilho de ar, que comprime de x uma mola de cons-
tante ela´stica k. O carrinho esta´ inicialmente preso
ao suporte do trilho por um fio. O fio e´ cortado, e
a mola expande-se empurrando o carrinho. Ao pas-
sar pela posic¸a˜o de equil´ıbrio da mola, O, o carrinho
perde contato com a mola. No trajeto ate´ perder con-
tato com a mola, o impulso fornecido ao carrinho foi
igual a:
(a) 2x(km)1/2;
(b) x
(
km
2
)1/2
;
(c) x(2km)1/2;
(d) x(km)1/2
(e)
x
2
(km)1/2.
9. Um haltere e´ formado por duas part´ıculas de massa
m, ligadas por uma barra r´ıgida de massa desprez´ıvel
e comprimento 2a, e gira com velocidade angular ω1
em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e pas-
sando pelo seu ponto me´dio. Um segundo haltere e´
formado por duas part´ıculas de massa m/2, ligadas
por uma barra r´ıgida de massa desprez´ıvel e compri-
mento 4a, e gira com velocidade angular ω2 em torno
de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo
seu ponto me´dio. Considerando que os halteres teˆm o
mesmo momento angular, podemos afirmar que:
(a) ω2 = ω1
(b) ω2 = 2ω1
(c) ω2 = ω1/2
(d) ω2 =
√
2ω1
(e) ω2 = ω1/
√
2
10. Duas part´ıculas 1 e 2 de massas m1 =m e m2 = 4m
movem-se em movimento retil´ıneo uniforme com ve-
locidades ~v1 = ~v/4 e ~v2 = −~v respectivamente. Num
dado instante ocorre uma colisa˜o entre elas totalmente
inela´stica, pode-se afirmar, sobre a velocidade ~Vcm do
centro de massa das part´ıculas que:
(a) depois da colisa˜o ~Vcm = ~0;
(b) antes da colisa˜o ~Vcm =
1
4
~v;
(c) depois da colisa˜o ~Vcm = −
3
4
~v;
(d) antes da colisa˜o ~Vcm = ~0 e depois da colisa˜o
~Vcm = −~v
(e) depois da colisa˜o ~Vcm =
3
4
~v;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Uma corda de massa desprez´ıvel e inextens´ıvel esta´ enrolada ao redor de um disco uniforme de raio R e de massaM
e possui a outra extremidade fixada numa barra (conforme mostra a figura). O disco, liberado a partir do repouso,
cai com a corda na posic¸a˜o vertical e mante´m o seu eixo de rotac¸a˜o sempre na mesma direc¸a˜o. Dado: o momento
de ine´rcia de um disco de raioR e de massa M , segundo um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a sua
super´ıcie, e´ igual a (1/2)MR2.
a) Determine a acelerac¸a˜o do centro de massa do disco.
b) Qual e´ o mo´dulo da tensa˜o na corda?
c) Qual e´ a velocidade do centro de massa apo´s o disco ter descido uma altura h?
d) Qual e´ a raza˜o KR/KT entre as energias cine´ticas de rotac¸a˜o KR e de translac¸a˜o KT , na mesma situac¸a˜o do
item c)?
2. Dois objetos de mesma massa m e dimenso˜es desprez´ıveis colidem no espac¸o sideral, na auseˆncia de forc¸as externas.
A figura mostra um sistema de eixos OXY de um referencial inercial, com seus unita´rios ıˆ e ˆ. Antes da colisa˜o os
objetos se movem ao longo do eixo OX com velocidades de sentidos opostos, como indicado na figura, e mo´dulos
v1 = 3v e v2 = 2v, nos quais v e´ uma constante dada. Apo´s a colisa˜o, um dos objetos adquire velocidade
~v′
1
= −vıˆ+ vˆ (na figura da direita apenas um dos objetos e´ mostrado).
a) Determine a velocidade ~v′
2
do outro objeto apo´s a colisa˜o, expressando sua resposta em termos da constante v e
dos unita´rios ıˆ e ˆ.
b) Determine a raza˜o K ′/K entre a energia cine´tica K ′ do par de objetos depois da colisa˜o e sua energia cine´tica
K antes da colisa˜o; esta colisa˜o e´ ela´stica ou inela´stica?
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Segunda Prova de F´ısica IA - 15/07/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5.0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,2 pontos
O ioioˆ desloca-se com dois modos de movimento dados pela dinaˆmica de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o.
translac¸a˜o :
∑
~F ext =M~aCM
rotac¸a˜o :
∑
~τ ext = I~α
Na direc¸a˜o e sentido do movimento de translac¸a˜o e considerando que o ioioˆ gira em torno
do seu centro de massa no sentido anti-hora´rio sem deslizar sobre o corda e que os torques sa˜o
calculados em relac¸a˜o centro de massa, temos:

Mg − T = MaCM
TR = Iα
aCM = αR
→


Mg − T = MaCM (i)
T = IaCM/R
2 (ii)
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o do centro de massa,
aCM =
Mg
(I/R2 +M)
como I = (1/2)MR2 ∴ aCM =
2
3
g
b) valor=0.3 pontos
Para obter o valor da tensa˜o da corda podemos usar a equac¸a˜o (ii) do sistema de equac¸o˜es,
substituindo o valor da aCM obtido do item anterior. Logo,
T =
IaCM
R2
→ T = 1
3
Mg
c) valor=0.5 ponto
A velocidade do centro de massa do ioioˆ apo´s ele cair de uma altura h, pode ser obtida aplicando
o princ´ıpio da conservac¸a˜o de energia mecaˆnica. Assim temos:
Ei = Mgh e Ef = KR +KT =
1
2
Iω2 +
1
2
Mv2CM
Para Ei = Ef e ω = vCM/R,
v2CM =
2Mgh
(I/R2 +M)
com I = (1/2)MR2 → vCM =
√
4
3
gh
d) valor=0,5 ponto
A energia cine´tica de rotac¸a˜o e´KR = (1/2)Iω
2 e de translac¸a˜o KT = (1/2)Mv
2
CM . Portanto,
KR
KT
=
(1/2)Iω2
(1/2)Mv2CM
=
(1/2)MR2v2CM/R
2
Mv2CM
∴
KR
KT
=
1
2
Este resultado vale para qualquer instante t e tambe´m quando o ioioˆ cai de uma altura h.
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
Na˜o ha´ forc¸a externa sobre o sistema constitu´ıdo pelos dois objetos. Portanto, seu momento
linear se conserva, isto e´, m(−3vıˆ) +m 2vıˆ = m(−vıˆ+ vˆ) +m~v ′
2
, donde
~v ′
2
= −vˆ.
b) valor=1,5 pontos
Calculando a energia cine´tica total antes da colisa˜o temos:
K = (1/2)m(−3v)2 + (1/2)m(2v)2 = (13/2)mv2
Depois da colisa˜o,
K ′ = (1/2)m((−v)2 + v2) + (1/2)m(−v)2 = (3/2)mv2, donde
K ′/K = 3/13.
Concluimos assim que o choque e´ inela´stico, pois K ′ 6= K.
3