algebraI 2011 06

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6a Lista de A´lgebra I
1. O grupo D4 das simetrias de um quadrado tem ordem oito.
a) Descreva cada um dos elementos de D4 como uma permutac¸a˜o dos ve´rtices
do quadrado.
b) Determine o inverso de cada um dos elementos de D4.
c) Seja ρ a rotac¸a˜o de 90◦ e σ uma das reflexo˜es do quadrado. Verifique que
σρ = ρ3σ, em particular o grupo na˜o e´ abeliano.
d) Escreva a tabela do grupo D4.
2. Calcule ϕ(125), ϕ(16200) e ϕ(10!).
3. Seja n um inteiro e p um fator primo de n.
a) Mostre que p-1 divide ϕ(n).
b) Mostre que pode acontecer que p na˜o divida a ϕ(n).
4. Mostre que se n e´ um inteiro que satisfaz ϕ(n) = n− 1, enta˜o n e´ primo.
5. Seja G um grupo. Mostre que se o quadrado de qualquer elemento do grupo e´ a
identidade o grupo e´ abeliano.
6. Determine todos os subgrupos do grupo de simetrias de um triaˆngulo equila´tero.
7. Mostre que 2Z = {2n|n ∈ Z} e´ um sbgrupo aditivo de Z. Mostre que ele na˜o e´
um subgrupo multiplicativo de Z.
8. Mostre que para todo m ∈ N, Zm e´ um grupo c´ıclico(aditivo).
9. Verifique que Z∗2 e Z∗4 sa˜o grupos c´ıclicos, mas que Z∗8 na˜o e´ c´ıclico.
10. Suponhamos que G e´ um grupo c´ıclico finito de ordem n. Mostre que se m divide
n enta˜o G possui um elemento de ordem m.
11. Considere o grupo Z∗20.
(a) Determine a ordem de Z20.
(b) Determine a ordem de cada elemento do grupo.
(c) Verifique que o grupo na˜o e´ c´ıclico.
(d) Determine os subgrupos de ordem 4.
(e) Determine um subgrupo que na˜o seja c´ıclico.
12. Seja G um grupo abeliano e n ∈ N. Mostre que o conjunto H = {g ∈ g|gn = e}
e´ um subgrupo de G.
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13. Sejam G um grupo, H < G e g ∈ G. Mostre que gH = {gh|h ∈ H} = H se e
somente se g ∈ H. Em particular sempre vale gG = G, ∀g ∈ G.
14. Sejam G um grupo, H < G e g ∈ G.
a) Mostre que o conjunto gHg−1 = {ghg−1|h ∈ H} e´ ainda um subgrupo de G.
b) Mostre que a func¸a˜o φg : H → gHg−1 e´ uma bijec¸a˜o. Conclua que H e gHg−1
sa˜o subgrupos com a mesma ordem.
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