Polinomios

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Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Álgebra I - GAN 00155
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Análise
Niterói, 2018
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Sumário
1 Polinômios com coeficientes em um Anel
Comutativo com Unidade
2 Igualdade de Polinômios
3 Adição de Polinômios
4 Multiplicação ou Produto de Polinômios
5 Observações
6 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A,
e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A.
Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x)
= a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0
+ a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminadaou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x
+ ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...
+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Seja A um anel comutativo com unidade 1A, e x uma
indeterminada ou variável sobre A. Denotamos
x1 = x , x j a j-ésima potência de x, para j ≥ 1
Definição
Um polinômio sobre A é uma expressão formal do tipo:
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn =
n∑
j=0
ajx j
onde aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n,n ∈ N.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
O coeficiente a0 é chamado o termo constante.
O grau do polinômio p(x) é denotado por ∂p(x), neste
caso
∂p(x) = n
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
O coeficiente a0 é chamado o termo constante.
O grau do polinômio p(x) é denotado por ∂p(x), neste
caso
∂p(x) = n
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
O coeficiente a0 é chamado o termo constante.
O grau do polinômio p(x) é denotado por ∂p(x),
neste
caso
∂p(x) = n
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
O coeficiente a0 é chamado o termo constante.
O grau do polinômio p(x) é denotado por ∂p(x), neste
caso
∂p(x) = n
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
O coeficiente a0 é chamado o termo constante.
O grau do polinômio p(x) é denotado por ∂p(x), neste
caso
∂p(x) = n
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn
e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somentese,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj
em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) =
0 + 0x + ...+ 0xn
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Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 +
0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+
0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Igualdade de Polinômios
Definição (Igualdade de polinômios)
Dados os polinômios sobre A,
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bnxn,
dizemos são iguais se e somente se,
aj = bj em A, para todo 0 ≤ j ≤ n.
Denotamos p(x) = q(x).
Observação
O polinômio identicamente nulo ou zero sobre A, é:
p(x) = 0 + 0x + ...+ 0xn
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.
Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0
⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn,
aj ∈ A,∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A, ∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Polinômios em A[x]
Observação
Se a ∈ A, chamamos ao polinômio p(x) = a, o polinômio
constante a.Temos que:
∂p(x) = 0 ⇔ p(x) = a 6= 0, a ∈ A
Podemos então considerar que A ⊂ A[x ].
Observação
Denotamos por A[x ] o conjunto de todos os polinômios
sobre A, em uma indeterminada x, ou seja
A[x ] =
{
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn, aj ∈ A, ∀ 0 ≤ j ≤ n
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
Álgebra I -
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N,
∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
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Polinômios
com
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em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
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Ricardo
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Polinômios
com
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em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Função Grau
Observação
Podemos definira a função ∂, tal que
∂ : A[x ]− {0} → N, ∂ [p(x)] = grau de p(x)
O grau de p(x) é o maior número natural n tal que an 6= 0.
an = coeficiente líder do polinômio.
Se an = 1, dizemos que o polinômio é mônico.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômioscom
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn
e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
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Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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em um Anel
Comutativo
com Unidade
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Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
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Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) =
(a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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Igualdade de
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
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Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0)
+ (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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Comutativo
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Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x
+ ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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ou Produto de
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Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...
+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
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Proposição
Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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com Unidade
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Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
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Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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com
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em um Anel
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Multiplicação
ou Produto de
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Adição de Polinômios
Definição (Adição de Polinômios)
Definimos a adição dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (an + bn)xn,
Consideramos bj = 0, m + 1 ≤ j ≤ n.
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Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um AnelComutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn
e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com Unidade
Igualdade de
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Adição de
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Multiplicação
ou Produto de
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Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
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Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) =
c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com Unidade
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0
+ c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com Unidade
Igualdade de
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x
+ ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
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Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...
+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com Unidade
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Polinômios
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj =
a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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Polinômios
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Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Multiplicação ou Produto de Polinômios
Definição (Multiplicação ou Produto de Polinômios)
Definimos a Multiplicação ou Produto dos polinômios
p(x) = a0 + a1x + ...+ anxn e q(x) = b0 + b1x + ...+ bmxm,
n ≥ m sobre A, por:
p(x) · q(x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxm+n,
onde cj = a0.bj + a1,bj−1 + ...+ aj−1.b1 + ajb0.
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Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com
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em um Anel
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com Unidade
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Polinômios
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Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
PolinômiosAdição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com Unidade
Igualdade de
Polinômios
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Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com Unidade
Igualdade de
Polinômios
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Polinômios
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ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com Unidade
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)}
≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com
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em um Anel
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com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com
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em um Anel
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com Unidade
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Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)}
= ∂p(x) + ∂q(x)
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com
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com Unidade
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Polinômios
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Polinômios
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ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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Polinômios
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ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Para a definição do produto (acima) provém da regra:
xm · xn = xm+n. Convencionam-se também x0 = 1, x1 = x .
Observação
Das definições das operações, resulta que:
(i) ∂ {p(x) + q(x)} ≤ máx {∂p(x), ∂q(x)}
(ii) ∂ {p(x) · q(x)} = ∂p(x) + ∂q(x)
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com
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com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
Álgebra I -
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
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com
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em um Anel
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com Unidade
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ou Produto de
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Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
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com
coeficientes
em um Anel
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com Unidade
Igualdade de
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Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
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com
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com Unidade
Igualdade de
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Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A,
então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade.
Mais ainda,se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio,
então A[ x ] é um domínio.
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com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
Álgebra I -
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
No caso A seja um corpo, segue-se de (ii) que os únicos
polinômios inversíveis em A[ x ] são os polinômios
constantes (não nulos).
Proposição
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, então A[ x ] é
um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A é um
domínio, então A[ x ] é um domínio.
Álgebra I -
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
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em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A,
verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto,
logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m,
implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n,
portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Demonstração
Demonstração:
No caso A um anel comutativo com unidade 1A, verifica-se
de forma natural que A[ x ] também é anel comutativo com
unidade p(x) = 1.
Quando a é domínio, usamos propriedade (ii) de grau para
o produto, logo se ∂p(x) = n e ∂q(x) = m, implica que
∂ {p(x) · q(x)} = m + n, portanto p(x) · q(x) 6= 0.
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo comunidade.
Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y,
denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade.
De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga,
podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
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Ricardo
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Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se A é um anel comutatico com unidade 1A, temos que
A[ x ] é um anel comutativo com unidade. Logo podemos
construir outro anel de polinômios em outra indeterminada
y, denotado por A[x , y ] = A[x ][y ] também anel comutativo
com unidade. De forma analoga, podemos extender para o
anel comutativo com unidade A[x1, x2, ..., xn].
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio,
temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ...,xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
,
p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Observações
Observação
Se D é um domínio, temos o respectivo corpo de frações
para D[ x ], denotado por
D(x) =
{
p(x)
q(x)
, p(x),q(x) ∈ D[x ],q(x) 6= 0
}
No caso geral, para n indeterminadas, resulta que
D(x1, x2, ..., xn) =
{ p(x1, x2, ..., xn)
q(x1, x2, ..., xn)
, p,q ∈ D[x1, x2, ..., xn],
q(x1, x2, ..., xn) 6= 0
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Polinômios
com
coeficientes
em um Anel
Comutativo
com Unidade
Igualdade de
Polinômios
Adição de
Polinômios
Multiplicação
ou Produto de
Polinômios
Observações
Proposição
Exercícios
Se A é um anel comutativo com unidade 1A,mostre que:
1.- A é um subanel de A[x].
2.- A[x ]∗ = A∗.
3.- Se A é um corpo, então A[x ]∗ = A− {0} .
	Polinômios com coeficientes em um Anel Comutativo com Unidade 
	Igualdade de Polinômios
	Adição de Polinômios
	Multiplicação ou Produto de Polinômios
	Observações
	Proposição