Anéis Ordenados

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Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Álgebra I - GAN 00155
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Análise
Niterói, 2018
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Sumário
1 Anéis Ordenados
2 Positivo ou Negativo
3 Números Complexos
4 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Sumário
1 Anéis Ordenados
2 Positivo ou Negativo
3 Números Complexos
4 Proposição
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Sumário
1 Anéis Ordenados
2 Positivo ou Negativo
3 Números Complexos
4 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Sumário
1 Anéis Ordenados
2 Positivo ou Negativo
3 Números Complexos
4 Proposição
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
Definição
Um anel a comutativo com 1 6= 0, é chamado ordenado,
se existir uma relação binária a ≤ b (“a menor ou igual a
b"), tal que verifica:
1 Reflexiva; a ≤ a.
2 Antisimétrica: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b
3 Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c
4 Total: Se a,b ∈ A, então a ≤ b ou b ≤ a.
5 Compatível com a Adição:
Se a ≤ b então a + c ≤ b + c
6 Compatível com o Produto:
Se a ≤ b e 0 ≤ c, então a.c ≤ b.c
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
a < b ⇔ a ≤ b, e a 6= b
b > a (“b maior que a") ⇔ a < b
Observação
Se a ∈ A, vale só uma:
a > o, a = 0, a < o
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenadosa < b ⇔ a ≤ b, e a 6= b
b > a (“b maior que a") ⇔ a < b
Observação
Se a ∈ A, vale só uma:
a > o, a = 0, a < o
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
a < b ⇔ a ≤ b, e a 6= b
b > a (“b maior que a") ⇔ a < b
Observação
Se a ∈ A, vale só uma:
a > o, a = 0, a < o
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
a < b ⇔ a ≤ b, e a 6= b
b > a (“b maior que a") ⇔ a < b
Observação
Se a ∈ A, vale só uma:
a > o, a = 0, a < o
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Anéis Ordenados
a < b ⇔ a ≤ b, e a 6= b
b > a (“b maior que a") ⇔ a < b
Observação
Se a ∈ A, vale só uma:
a > o, a = 0, a < o
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Definição
Se a ∈ A, dizemos que “a é positivo"se a > 0, e dizemos
que “a é negativo"se a < 0.
Exemplo:
Z, Q, R.
Álgebra I -
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Definição
Se a ∈ A, dizemos que “a é positivo"se a > 0, e dizemos
que “a é negativo"se a < 0.
Exemplo:
Z, Q, R.
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Definição
Se a ∈ A, dizemos que “a é positivo"se a > 0,
e dizemos
que “a é negativo"se a < 0.
Exemplo:
Z, Q, R.
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Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Definição
Se a ∈ A, dizemos que “a é positivo"se a > 0, e dizemos
que “a é negativo"se a < 0.
Exemplo:
Z, Q, R.
Álgebra I -
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Definição
Se a ∈ A, dizemos que “a é positivo"se a > 0, e dizemos
que “a é negativo"se a < 0.
Exemplo:
Z, Q, R.
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Positivo ou
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Números
Complexos
Proposição
Positivo ou Negativo
Proposição
Se a ∈ A, então:
Se a ≤ 0, então −a ≥ 0.
Se a ≥ 0, então −a ≤ 0.
a2 ≥ 0.
1 > 0,
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Ricardo
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Se a ≤ 0 ⇔ a + (−a) ≤ 0 + (−a)⇒ 0 ≤ −a
Se a ≥ 0 ⇔ a + (−a) ≥ 0 + (−a)⇒ −a ≤ 0
a ≥ 0⇒ a.a ≥ 0⇒ a2 ≥ 0.
1 = 12 ≥ 0, e 1 6= 0⇒ 1 > 0.
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Números Complexos
Observação
Os números complexos C, não é um corpo ordenado.
Pois, caso contrário, i 6= 0, por proposição anterior (iii)
−1 = i2 > 0.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Números Complexos
Observação
Os números complexos C, não é um corpo ordenado.
Pois, caso contrário, i 6= 0, por proposição anterior (iii)
−1 = i2 > 0.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Números Complexos
Observação
Os números complexos C, não é um corpo ordenado.
Pois, caso contrário, i 6= 0, por proposição anterior (iii)
−1 = i2 > 0.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Números Complexos
Observação
Os números complexos C, não é um corpo ordenado.
Pois, caso contrário, i 6= 0, por proposição anterior (iii)
−1 = i2 > 0.
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Proposição
Proposição
Se D é um domínio ordenado, então o corpo de frações de
D é um corpo ordenado.
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Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Proposição
Proposição
Se D é um domínio ordenado, então o corpo de frações de
D é um corpo ordenado.
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Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Proposição
Proposição
Se D é um domínio ordenado, então o corpo de frações de
D é um corpo ordenado.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Proposição
Proposição
Se D é um domínio ordenado, então o corpo de frações de
Dé um corpo ordenado.
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Ricardo
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Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Anéis
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
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Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Seja x = (a,b) ∈ K (corpo de frações de D). Assumimos
b > 0, a ordem de D induz uma ordem em K, definindo:
a
b
≤ c
d
⇔ ad ≤ bc em D
onde b > 0,d > 0.
Verificamos as seis propriedades:
1.- Reflexiva:
a
b
≤ a
b
⇔ ab ≤ ba em D
2.- Antisimétrica: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ a
b
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Resulta que
a.d ≤ b.c, b.c ≤ a.d em D
Usando a segunda propriedade em D, tem-se que
a.d = b.c em D ⇔ (a,b) = (c,d) em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Resulta que
a.d ≤ b.c, b.c ≤ a.d em D
Usando a segunda propriedade em D, tem-se que
a.d = b.c em D ⇔ (a,b) = (c,d) em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Resulta que
a.d ≤ b.c, b.c ≤ a.d em D
Usando a segunda propriedade em D, tem-se que
a.d = b.c em D ⇔ (a,b) = (c,d) em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
Resulta que
a.d ≤ b.c, b.c ≤ a.d em D
Usando a segunda propriedade em D, tem-se que
a.d = b.c em D ⇔ (a,b) = (c,d) em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0.
Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
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Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
3.- Transitiva: a
b
≤ c
d
,
c
d
≤ e
f
a.d ≤ b.c, c.f ≤ d .e em D
com b > 0,d > 0, f > 0. Usando a sexta propriedade em D,
tem-se que
a.d .f ≤ b.c.f , b.c.f ≤ b.d .e em D
e da transitividade em D, tem-se que
a.d .f ≤ b.d .e em D
Como d > 0, usando de novo a sexta propriedade temos
que
a.f ≤ b.e em D ⇔ a
b
≤ e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
4.- Se
a
b
,c
d
∈ K , com b > 0,d > 0,
pela propriedade quarta em D, tem-se que
a.d ≤ b.c ou b.c ≤ a.d em D
⇔ a
b
≤ c
d
ou
c
d
≤ a
b
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
4.- Se
a
b
,
c
d
∈ K , com b > 0,d > 0,
pela propriedade quarta em D, tem-se que
a.d ≤ b.c ou b.c ≤ a.d em D
⇔ a
b
≤ c
d
ou
c
d
≤ a
b
em K
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
4.- Se
a
b
,
c
d
∈ K , com b > 0,d > 0,
pela propriedade quarta em D, tem-se que
a.d ≤ b.c ou b.c ≤ a.d em D
⇔ a
b
≤ c
d
ou
c
d
≤ a
b
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
4.- Se
a
b
,
c
d
∈ K , com b > 0,d > 0,
pela propriedade quarta em D, tem-se que
a.d ≤ b.c ou b.c ≤ a.d em D
⇔ a
b
≤ c
d
ou
c
d
≤ a
b
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
4.- Se
a
b
,
c
d
∈ K , com b > 0,d > 0,
pela propriedade quarta em D, tem-se que
a.d ≤ b.c ou b.c ≤ a.d em D
⇔ a
b
≤ c
d
ou
c
d
≤ a
b
em K
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0,
temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0.
O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
5.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
∈ K ,
onde b > 0,d > 0, f > 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e f 2 > 0
a.d .f 2 ≤ b.c.f 2 em D
a.d .f 2 + b.d .e.f ≤ b.c.f 2 + b.d .e.f em D
⇔ (a.f + b.e)(d .f ) ≤ (c.f + d .e)(b.f ) em D
onde df > 0,bf > 0. O qual equivale,
a
b
+
e
f
≤ c
d
+
e
f
=
a.f + b.e
b.f
≤ c.f + d .e
d .f
=
c
d
+
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0,
temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Ordenados
Positivo ou
Negativo
Números
Complexos
Proposição
Demonstração
6.- Dados
a
b
≤ c
d
em K e
e
f
≥ 0,
onde b > 0,d > 0, f > 0,e ≥ 0, temos que
a.d ≤ b.c em D e e.f ≥ 0
(a.d).(e.f ) ≤ (b.c)(e.f ) em D
(a.e).(d .f ) ≤ (b.f )(c.e) em D, com df > 0,bf > 0
a
b
.
e
f
≤ c
d
.
e
f
em K
	Anéis Ordenados 
	Positivo ou Negativo 
	Números Complexos 
	Proposição